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(共28张PPT)
第四章 三角函数
4.7 余弦函数的图像和性质
高等教育出版社《数学》
（基础模块 上册）
4.3.2 单位圆与三角函数
课题引入
1、如何利用正弦函数 的图象得到余弦函数 的图象？
4.6.1 正弦函数的图像
探索新知
我们用描点法作出了正弦函数 y＝sinx在[0,2π]上的图像, 通过不断向左、向右平移(每次移动 2π个单位长度)得到了正弦函数
y＝sinx, x∈R的图像, 并通过正弦曲线研究了正弦函数的性质．
对于余弦函数y＝cosx, x∈R, 可否用同样的方法来研究？
4.6.1 正弦函数的图像
探索新知
通过上面的分析，你能不能更快捷地画出余弦函数的简图？如何画？
五点作图法：
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标).
(2) 描点(定出五个关键点).
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连接五个点).
提示:
把区间[0,2π]分成12等份, 分别求出函数y=cosx在各分点及区间端点的正弦函数值.
用描点法作出余弦函数y＝cosx 在 [0,2π]上的图像.
(1)列表.
探索新知
根据表中x，y的数值在平面直角坐标系内描点(x, y) ，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数y＝cosx 在 [0,2π]上的图像.
用描点法作出余弦函数y＝cosx 在 [0,2π]上的图像.
(1)列表.
(2)描点作图.
探索新知
不难看出下面五个点是确定余弦函数y＝cosx在 [0,2π]上的图像的关键点.因此，余弦函数的图像也可以用五点法画出简图.
探索新知
由诱导公式cos(2kπ+x)＝cosx (k∈Z)可知, 将函数y＝cosx在[0,2π]上的图像沿x轴向左或向右平移2π, 4π, …, 就得到了余弦函 y＝cos x, x∈R的图像.
余弦函数的图像也称为余弦曲线, 它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
探索新知
若将正弦函数y＝sinx, x∈R的图像向右平移, 是否也可以得到余弦函数y＝cos x, x∈R的图像, 如果是, 需平移多少？
探究与发现
将正弦函数的图像和余弦函数的图像放在同一个坐标系内,可以看出：把正弦函数y＝sinx, x∈R的图像向左平移 个单位长度，就得到余弦函数y＝cos x, x∈R的图像．
y＝sinx, x∈R
探索新知
(1)定义域.
余弦函数的定义域是实数集R.
观察余弦曲线，类比正弦函数，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论:
探索新知
(2)值域. 余弦函数的值域是[-1, 1].
观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sinx, x∈R的结论:
当x=2kπ(k∈Z)时, y取最大值, ymax=1;
当x=π+2kπ(k∈Z)时, y取最小值, ymin=1.
探索新知
(3) 周期性.
观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sinx, x∈R的结论:
余弦函数是周期为2π的周期函数．
探索新知
观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sinx, x∈R的结论:
(4) 奇偶性
由图像关于y轴对称和诱导公式cos( x)=cosx可知, 余弦函数是偶函数．
探索新知
余弦函数y＝cos x在每一个闭区间[(2k-1)π, 2kπ] (k∈Z) 上都是增函数, 函数值从-1增大到1; 在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π] (k∈Z)上是减函数, 函数值从1减小到-1．
观察余弦曲线, 类比正弦函数, 得到关于正弦函数y＝sinx, x∈R的结论:
(5) 单调性.
探索新知
例1 利用五点法作出函数y=-cosx在[0,2π]上的图像．
解 (1)列表.
巩固提升
(2)根据表中x,y的数值在平面直角坐标系内描点(x,y)，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到函数y=-cosx在[0,2π]上的图像.
例1 利用五点法作出函数y=-cosx在[0,2π]上的图像．
解 (1)列表.
巩固提升
例2 求函数y＝3cosx＋1的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x的集合．
解 由余弦函数的性质知,-1≤cosx≤1 ,所以-3≤3 cosx≤3 ,
从而 -2≤3 cosx+1≤4 ,即 -2 ≤ y ≤ 4.
故函数的最大值为4，最小值为-2.
函数y＝3cosx＋1取最大值时的x的集合, 就是函数y=cosx取得最大值时的x的集合 {x|x=2kπ, k∈Z};
函数y＝3cosx＋1取最小值时的x的集合, 就是函数y=cosx取得最小值时的x的集合 {x|x=2kπ+π, k∈Z}．
巩固提升
例3 不求值比较下列各组数值的大小：
解 根据余弦函数的图像和性质可知：
(1) 因为 , 余弦函数y=cosx在区间[0, π,]上是减函数, 所以
巩固提升
(2) 因为 , 余弦函数y=cosx在区间[-π,0]上是增函数, 所以
例3 不求值比较下列各组数值的大小：
解 根据余弦函数的图像和性质可知：
巩固提升
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课堂训练
1.判断
(1)存在角α，使得cosα=1.(　　)
(2)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数.(　　)
(3)在区间[0，2π]上，函数y=cosx仅当x=0时取得最大值1.
(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
巩固提升
课堂训练
2.在下列区间中，使函数y=sinx为增函数的是(　　)
A.[0，π] B.
C. D.[π，2π]
【解析】选C.由正弦曲线知y=sinx在[ ]上是增函数.
巩固提升
课堂训练
3.函数y=3-2cosx的最大值为________，此x=________.
【解析】因为-1≤cosx≤1，
所以当cosx=-1时ymax=3-2×(-1)=5.
此时x=2kπ+π，k∈Z.
答案：5　2kπ+π，k∈Z
巩固提升
课堂训练
4.函数 的值域为_______.
【解析】画出函数 的图象，如图：
由图象可知，当x= 时ymax=1，当x= 时，ymin=
所以函数 的值域为
答案：
课堂小结
你在本节课学到了什么？
课堂小结
课后作业
必做：完成课后习题和数学学习指导与练习。
课后阅读：阅读教材扩展延伸内容．
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回顾。
再见

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