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浙江省温州新力量联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题
1．（2024高一上·温州期中）已知，则有（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：依题意，，，A错误；
由元素与集合、集合与集合的关系知BC错误；
，D正确.
故答案为：D.
【分析】先求解集合，再根据元素与集合、集合与集合的关系，对每个选项进行判断.
2．（2024高一上·温州期中）设函数，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．5
【答案】C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：由已知，，
故答案为：C．
【分析】根据自变量的取值范围，代入对应的分段函数表达式逐步计算.先计算内层函数的值，再将其结果作为自变量代入函数计算外层函数的值.
3．（2024高一上·温州期中）下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：奇函数是C和D，ABD都是增函数，因此只有D中函数既是奇函数又是增函数，
故答案为：D．
【分析】根据奇函数和增函数的定义，对每个选项中的函数进行判断.奇函数满足，增函数是指在定义域内，当时，.
4．（2024高一上·温州期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知a，b，c满足，且，那么下列选项中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：对A，当时，由，则，故A错误；
对B，由，，则，由，则，所以，故B正确；
对C，由B可知，由，则，所以，故C错误；
对D，由，则，当时，，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件且，利用不等式的性质，结合举反例的方法，对每个选项逐一进行分析判断.
5．（2024高一上·温州期中）若，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系；不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，，∴，
又，所以不等式的解为或．
故答案为：C．
【分析】先根据参数a的符号，利用不等式性质化简不等式，再分析对应方程根的大小关系，最后根据一元二次不等式的解法得出解集.
6．（2024高一上·温州期中）已知函数的图象如图所示，则可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】 由图可知，函数的定义域为，该函数为奇函数，且函数在上不单调，
对于A选项，函数的定义域为，
，则函数为奇函数，
因为，，，
所以，，，则函数在上不单调，合乎要求；
对于B选项，对于函数，有，即，即，
解得，即函数的定义域为，不合乎要求；
对于C选项，函数的定义域为，
，即函数不是奇函数，不合乎题意；
对于D选项，函数的定义域为，
，则函数为奇函数，
任取、，且，则，
所以，，即，则函数在上为增函数，
不合乎要求.
故答案为：A.
【分析】结合函数图象的特征，从定义域、奇偶性以及在上的单调性这几个方面，对每个选项中的函数进行分析，从而找出符合图象的函数.
7．（2024高一上·温州期中）已知x，y均为正实数，且.则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：令，可得，
由，，则，，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：A.
【分析】通过换元将原式转化为可利用基本不等式的形式，再结合‘1’的代换，构造出能应用基本不等式的结构，进而求出最小值。
8．（2024高一上·温州期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意，当时，，
所以当时，；
当时，；
当时，.
综上，函数在时的解析式
等价于.
根据奇函数的图象关于原点对称作出函数在上的大致图像如图所示，
观察图像可知，要使，，
则需满足，解得.
故答案为：B.
【分析】根据时的函数表达式分区间讨论得出分段解析式，再利用奇函数的对称性作出上的大致图象，最后根据的条件，结合图象分析得出实数的取值范围.
9．（2024高一上·温州期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　）
A．，
B．，2x为偶数
C．所有菱形的四条边都相等
D．每个二次函数的图象都是轴对称图形
【答案】A,C,D
【知识点】全称量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：选项ACD是全称命题，选项B是特称命题，A中，由，正确；
CD均正确．
故答案为：ACD．
【分析】明确全称量词命题的定义（含有全称量词“所有” “任意” “每一个”等的命题），然后对每个选项判断是否为全称量词命题，并验证其真假.
10．（2024高一上·温州期中）若的充分不必要条件是，则实数m的值可以是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A,B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由题意可得，则，解得，
易知.
故答案为：ABC.
【分析】根据充分不必要条件与集合包含关系的联系来求解.若是的充分不必要条件，则对应的集合是对应的集合的真子集.这里“的充分不必要条件是”，意味着是的真子集，据此建立不等式求解的范围，再判断选项.
11．（2024高一上·温州期中）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数是偶函数，所以，
因为为奇函数，所以，
令，则，则，，故B正确，
令，则，故D正确，
取函数，则，，
故满足是定义域为的偶函数，且为奇函数，
而，，故AC错误.
故答案为：BD.
【分析】用函数是偶函数和是奇函数的性质，推导出函数的关系式，再通过赋值法以及举例特殊函数来判断各个选项的真假.
12．（2024高一上·温州期中）　 　（填“＞”或“＝”或“＜”）
【答案】＞
【知识点】利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为函数是增函数，，所以，
故答案为：．
【分析】对幂函数，当时，函数在上单调递增.这里要比较和的大小，可根据幂函数的单调性来判断.
13．（2024高一上·温州期中）已知函数，若在上有解，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意，解得，
故答案为：．
【分析】根据函数在区间上有解，利用零点存在定理，即函数在区间端点处的函数值异号（或其中一个为），来确定的取值范围.
14．（2024高一上·温州期中）已知函数（）在和上单调递增，在和上单调递减．若函数（）在正整数集合内单调递增，则实数t的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由对勾函数的性质可得，要使函数（）在正整数集合内单调递增，
则，即，解得，
故答案为：.
【分析】使函数在正整数集合内单调递增，根据对勾函数的性质，需要保证在正整数范围内，后一个正整数对应的函数值大于前一个正整数对应的函数值，这里取最小的两个正整数和来建立不等式求解的取值范围.
15．（2024高一上·温州期中）化简：
（1）
（2）（）
【答案】（1）原式
（2）原式
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）由分数指数幂的运算法则计算；
（2）把根式化为分数指数幂后再运算．
（1）原式
（2）原式
16．（2024高一上·温州期中）已知集合，，全集
（1）求：；
（2）若，且，求m的取值范围.
（3）若，且，求a的值.
【答案】（1）解：由题可得，或，
则，所以，，
（2）解：∵，∴.
（ⅰ）当时，，得.
（ⅱ）当时，，解得.
综上所述，.
（3）解：∵，∴，又∵，
∴方程的两个根都在内.
∴令，则，
解得.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）用一元二次不等式的解法（因式分解法）求出集合，再利用分式不等式转化为整式不等式的方法求出集合，接着求出在全集中的补集，最后根据交集和并集的定义分别计算与.
（2）由得出，然后分为空集和不为空集两种情况讨论.当为空集时，根据空集的定义列出关于的不等式求解；当不为空集时，根据子集的定义列出不等式组求解，最后综合两种情况的结果得到的取值范围.
（3）由得出，因为方程的判别式恒大于，所以方程有两个实根.设出二次函数，根据二次函数的零点分布（两个根都在区间内），列出关于的不等式组，求解不等式组得到的值.
（1），或，，
，，
（2）∵，∴.
（ⅰ）当时，，得.
（ⅱ）当时，，解得.
综上所述，.
（3）∵，∴，
又∵，∴方程的两个根都在内.
∴令，则，
解得.
17．（2024高一上·温州期中）已知函数（），
（1）若函数在上不单调，求的取值范围.
（2）若函数在上的最小值为，求函数的最大值.
【答案】（1）解：函数的对称轴为.∵函数在上不单调，
∴，解得；
（2）解：（ⅰ）当，即时，函数在上单调递增，∴
（ⅱ）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，∴
（ⅲ）当，即时，函数在上单调递减，∴，
综上所述，
∵当时，；
当时，；
当时，，
∴当时，.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）二次函数的单调性由对称轴决定，若函数在某区间不单调，说明对称轴在该区间内.先求出函数的对称轴，再根据区间，列出对称轴在该区间内的不等式，求解得出的取值范围.（2）根据二次函数对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论函数在上的单调性，进而求出每种情况下的最小值，得到的表达式.然后分别分析每种情况下的取值范围，比较得出的最大值.
（1）函数的对称轴为.
∵函数在上不单调，∴
解得；
（2）（ⅰ）当，即时，函数在上单调递增，
∴
（ⅱ）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，∴
（ⅲ）当，即时，函数在上单调递减，
∴
综上所述
∵当时，；
当时，；
当时，
∴当时，
18．（2024高一上·温州期中）洞头一中的校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放m（，且）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．
（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放m个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求m的最小值．
【答案】（1）解：∵∴.
当时，由，解得，此时；
当时，由，解得，此时．
综上，得．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天．
（2）解：当时，
，又，，则．
当且仅当，即时取等号.
令，解得，故所求m的最小值为1．
【知识点】函数的表示方法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据得出药剂浓度的分段函数，再针对不同的分段区间，分别解浓度不低于克/升的不等式，最后综合两个区间的结果，得到有效治污的时间范围.
（2）确定两次投放药剂后，在后续天内（对应时间变量转换）的总浓度表达式，通过换元法将其转化为关于新变量的函数，然后根据总浓度不低于克/升的条件，分离出，再求出关于新变量的函数的最大值，从而得到的最小值.
（1）∵
∴.
当时，由，解得，此时；
当时，由，解得，此时．
综上，得．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天．
（2）当时，
，
又，，则．
当且仅当，即时取等号.
令，解得，故所求m的最小值为1．
19．（2024高一上·温州期中）已知函数.
（1）若，求函数的值域；
（2）若该函数图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，求函数的解析式并写出其单调性（写出即可，不用证明）；
（3）若，且对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：若，，则，
∵，单调递减，可得，
∴的值域为
（2）解：∵该函数图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
∴且.所以
∴，
是减函数，在上递减，在上递增，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
（3）解：若，，，
∴，
当时，即为，
即.
∵，∴对于恒成立．
∵，∴，
故m的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用；指数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性，结合绝对值的非负性来确定函数的值域.
（2）用函数过原点的条件以及渐近线的性质确定函数的参数，进而得到解析式和单调性.
（3）化简函数，再将不等式进行变形，通过换元法结合函数单调性求实数的取值范围.
（1）若，，则，
∵，单调递减，可得，
∴的值域为.
（2）∵该函数图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
∴且.所以
∴，
是减函数，在上递减，在上递增，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
（3）若，，，
∴
当时，即为，即.
∵，
∴对于恒成立．
∵，∴，
故m的取值范围是．
1 / 1浙江省温州新力量联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题
1．（2024高一上·温州期中）已知，则有（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·温州期中）设函数，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．5
3．（2024高一上·温州期中）下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·温州期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知a，b，c满足，且，那么下列选项中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·温州期中）若，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024高一上·温州期中）已知函数的图象如图所示，则可以为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·温州期中）已知x，y均为正实数，且.则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024高一上·温州期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·温州期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　）
A．，
B．，2x为偶数
C．所有菱形的四条边都相等
D．每个二次函数的图象都是轴对称图形
10．（2024高一上·温州期中）若的充分不必要条件是，则实数m的值可以是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
11．（2024高一上·温州期中）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（　　）
A． B． C． D．
12．（2024高一上·温州期中）　 　（填“＞”或“＝”或“＜”）
13．（2024高一上·温州期中）已知函数，若在上有解，则m的取值范围是　 　．
14．（2024高一上·温州期中）已知函数（）在和上单调递增，在和上单调递减．若函数（）在正整数集合内单调递增，则实数t的取值范围为　 　．
15．（2024高一上·温州期中）化简：
（1）
（2）（）
16．（2024高一上·温州期中）已知集合，，全集
（1）求：；
（2）若，且，求m的取值范围.
（3）若，且，求a的值.
17．（2024高一上·温州期中）已知函数（），
（1）若函数在上不单调，求的取值范围.
（2）若函数在上的最小值为，求函数的最大值.
18．（2024高一上·温州期中）洞头一中的校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放m（，且）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．
（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放m个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求m的最小值．
19．（2024高一上·温州期中）已知函数.
（1）若，求函数的值域；
（2）若该函数图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，求函数的解析式并写出其单调性（写出即可，不用证明）；
（3）若，且对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：依题意，，，A错误；
由元素与集合、集合与集合的关系知BC错误；
，D正确.
故答案为：D.
【分析】先求解集合，再根据元素与集合、集合与集合的关系，对每个选项进行判断.
2．【答案】C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：由已知，，
故答案为：C．
【分析】根据自变量的取值范围，代入对应的分段函数表达式逐步计算.先计算内层函数的值，再将其结果作为自变量代入函数计算外层函数的值.
3．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：奇函数是C和D，ABD都是增函数，因此只有D中函数既是奇函数又是增函数，
故答案为：D．
【分析】根据奇函数和增函数的定义，对每个选项中的函数进行判断.奇函数满足，增函数是指在定义域内，当时，.
4．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：对A，当时，由，则，故A错误；
对B，由，，则，由，则，所以，故B正确；
对C，由B可知，由，则，所以，故C错误；
对D，由，则，当时，，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件且，利用不等式的性质，结合举反例的方法，对每个选项逐一进行分析判断.
5．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系；不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，，∴，
又，所以不等式的解为或．
故答案为：C．
【分析】先根据参数a的符号，利用不等式性质化简不等式，再分析对应方程根的大小关系，最后根据一元二次不等式的解法得出解集.
6．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】 由图可知，函数的定义域为，该函数为奇函数，且函数在上不单调，
对于A选项，函数的定义域为，
，则函数为奇函数，
因为，，，
所以，，，则函数在上不单调，合乎要求；
对于B选项，对于函数，有，即，即，
解得，即函数的定义域为，不合乎要求；
对于C选项，函数的定义域为，
，即函数不是奇函数，不合乎题意；
对于D选项，函数的定义域为，
，则函数为奇函数，
任取、，且，则，
所以，，即，则函数在上为增函数，
不合乎要求.
故答案为：A.
【分析】结合函数图象的特征，从定义域、奇偶性以及在上的单调性这几个方面，对每个选项中的函数进行分析，从而找出符合图象的函数.
7．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：令，可得，
由，，则，，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：A.
【分析】通过换元将原式转化为可利用基本不等式的形式，再结合‘1’的代换，构造出能应用基本不等式的结构，进而求出最小值。
8．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意，当时，，
所以当时，；
当时，；
当时，.
综上，函数在时的解析式
等价于.
根据奇函数的图象关于原点对称作出函数在上的大致图像如图所示，
观察图像可知，要使，，
则需满足，解得.
故答案为：B.
【分析】根据时的函数表达式分区间讨论得出分段解析式，再利用奇函数的对称性作出上的大致图象，最后根据的条件，结合图象分析得出实数的取值范围.
9．【答案】A,C,D
【知识点】全称量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：选项ACD是全称命题，选项B是特称命题，A中，由，正确；
CD均正确．
故答案为：ACD．
【分析】明确全称量词命题的定义（含有全称量词“所有” “任意” “每一个”等的命题），然后对每个选项判断是否为全称量词命题，并验证其真假.
10．【答案】A,B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由题意可得，则，解得，
易知.
故答案为：ABC.
【分析】根据充分不必要条件与集合包含关系的联系来求解.若是的充分不必要条件，则对应的集合是对应的集合的真子集.这里“的充分不必要条件是”，意味着是的真子集，据此建立不等式求解的范围，再判断选项.
11．【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数是偶函数，所以，
因为为奇函数，所以，
令，则，则，，故B正确，
令，则，故D正确，
取函数，则，，
故满足是定义域为的偶函数，且为奇函数，
而，，故AC错误.
故答案为：BD.
【分析】用函数是偶函数和是奇函数的性质，推导出函数的关系式，再通过赋值法以及举例特殊函数来判断各个选项的真假.
12．【答案】＞
【知识点】利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为函数是增函数，，所以，
故答案为：．
【分析】对幂函数，当时，函数在上单调递增.这里要比较和的大小，可根据幂函数的单调性来判断.
13．【答案】
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意，解得，
故答案为：．
【分析】根据函数在区间上有解，利用零点存在定理，即函数在区间端点处的函数值异号（或其中一个为），来确定的取值范围.
14．【答案】
【知识点】对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由对勾函数的性质可得，要使函数（）在正整数集合内单调递增，
则，即，解得，
故答案为：.
【分析】使函数在正整数集合内单调递增，根据对勾函数的性质，需要保证在正整数范围内，后一个正整数对应的函数值大于前一个正整数对应的函数值，这里取最小的两个正整数和来建立不等式求解的取值范围.
15．【答案】（1）原式
（2）原式
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】（1）由分数指数幂的运算法则计算；
（2）把根式化为分数指数幂后再运算．
（1）原式
（2）原式
16．【答案】（1）解：由题可得，或，
则，所以，，
（2）解：∵，∴.
（ⅰ）当时，，得.
（ⅱ）当时，，解得.
综上所述，.
（3）解：∵，∴，又∵，
∴方程的两个根都在内.
∴令，则，
解得.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）用一元二次不等式的解法（因式分解法）求出集合，再利用分式不等式转化为整式不等式的方法求出集合，接着求出在全集中的补集，最后根据交集和并集的定义分别计算与.
（2）由得出，然后分为空集和不为空集两种情况讨论.当为空集时，根据空集的定义列出关于的不等式求解；当不为空集时，根据子集的定义列出不等式组求解，最后综合两种情况的结果得到的取值范围.
（3）由得出，因为方程的判别式恒大于，所以方程有两个实根.设出二次函数，根据二次函数的零点分布（两个根都在区间内），列出关于的不等式组，求解不等式组得到的值.
（1），或，，
，，
（2）∵，∴.
（ⅰ）当时，，得.
（ⅱ）当时，，解得.
综上所述，.
（3）∵，∴，
又∵，∴方程的两个根都在内.
∴令，则，
解得.
17．【答案】（1）解：函数的对称轴为.∵函数在上不单调，
∴，解得；
（2）解：（ⅰ）当，即时，函数在上单调递增，∴
（ⅱ）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，∴
（ⅲ）当，即时，函数在上单调递减，∴，
综上所述，
∵当时，；
当时，；
当时，，
∴当时，.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）二次函数的单调性由对称轴决定，若函数在某区间不单调，说明对称轴在该区间内.先求出函数的对称轴，再根据区间，列出对称轴在该区间内的不等式，求解得出的取值范围.（2）根据二次函数对称轴与区间的位置关系，分三种情况讨论函数在上的单调性，进而求出每种情况下的最小值，得到的表达式.然后分别分析每种情况下的取值范围，比较得出的最大值.
（1）函数的对称轴为.
∵函数在上不单调，∴
解得；
（2）（ⅰ）当，即时，函数在上单调递增，
∴
（ⅱ）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，∴
（ⅲ）当，即时，函数在上单调递减，
∴
综上所述
∵当时，；
当时，；
当时，
∴当时，
18．【答案】（1）解：∵∴.
当时，由，解得，此时；
当时，由，解得，此时．
综上，得．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天．
（2）解：当时，
，又，，则．
当且仅当，即时取等号.
令，解得，故所求m的最小值为1．
【知识点】函数的表示方法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据得出药剂浓度的分段函数，再针对不同的分段区间，分别解浓度不低于克/升的不等式，最后综合两个区间的结果，得到有效治污的时间范围.
（2）确定两次投放药剂后，在后续天内（对应时间变量转换）的总浓度表达式，通过换元法将其转化为关于新变量的函数，然后根据总浓度不低于克/升的条件，分离出，再求出关于新变量的函数的最大值，从而得到的最小值.
（1）∵
∴.
当时，由，解得，此时；
当时，由，解得，此时．
综上，得．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天．
（2）当时，
，
又，，则．
当且仅当，即时取等号.
令，解得，故所求m的最小值为1．
19．【答案】（1）解：若，，则，
∵，单调递减，可得，
∴的值域为
（2）解：∵该函数图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
∴且.所以
∴，
是减函数，在上递减，在上递增，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
（3）解：若，，，
∴，
当时，即为，
即.
∵，∴对于恒成立．
∵，∴，
故m的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用；指数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性，结合绝对值的非负性来确定函数的值域.
（2）用函数过原点的条件以及渐近线的性质确定函数的参数，进而得到解析式和单调性.
（3）化简函数，再将不等式进行变形，通过换元法结合函数单调性求实数的取值范围.
（1）若，，则，
∵，单调递减，可得，
∴的值域为.
（2）∵该函数图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
∴且.所以
∴，
是减函数，在上递减，在上递增，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
（3）若，，，
∴
当时，即为，即.
∵，
∴对于恒成立．
∵，∴，
故m的取值范围是．
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