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数学试题
一、单选题
1．命题“”的否定为（　　）
A． B．
C． D．
2．已知集合且，则（ ）
A． B． C． D．
3．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
4．下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数满足：，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
7．若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题是真命题的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若且，则
D．若且，则
10．已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
11．下列命题正确的是（ ）
A．
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．函数的值域为
D．若，，且，则
三、填空题
12．已知，则的定义域为 .
13．已知，且，则的最小值为 ．
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过x的最大整数，如，，[2]=2，则关于x的不等式的解集为 .
四、解答题
15．已知函数
(1)求，，；
(2)若，求的取值范围．
16．已知集合，.
(1)当时，求，；；；
(2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
17．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
(1)若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
18．已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围;
(2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围.
19．已知函数，二次函数满足：且．
(1)求的解析式；
(2)若，解关于x的不等式．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C D A D C B BCD AD
题号 11
答案 ABD
1．C
直接由全称命题的否定即可得出答案.
【详解】命题“”，
由全称命题的否定可知，
命题“”的否定为：，
故选：C.
2．A
根据一元二次不等式的解法解集合，结合交集的概念与运算即可求解.
【详解】且，
或.
.
故选：A
3．C
根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可.
【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ，
可知A图象定义域不满足条件；
B图象不满足函数的值域；
C图象满足题目要求；
D图象，不是函数的图象；
故选：C．
4．D
根据相同函数的定义一一判定即可.
【详解】对于A项，两函数的对应关系不同，故A错误；
对于B项，，两函数定义域不一样，故B错误；
对于C项，的定义域为，的定义域为，
两函数定义域不一样，故C错误；
对于D项，，与，
两函数定义域一样，对应关系一样，故D正确.
故选：D.
5．A
通过化简即可得出函数的解析式.
【详解】因为，∴，
故选：A.
6．D
利用必要条件和充分条件的定义判断.
【详解】由，解得，
所以不等式成立的一个必要不充分条件是.
故选：D.
7．C
由题意得为方程的根，且，进而结合韦达定理求得，进而求解不等式即可.
【详解】由题意，为方程的根，且，
则，即，
则不等式，即为，
则，即，解得，
所以不等式的解集是.
故选：C
8．B
根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围.
【详解】由，
仅当，即时等号成立，
要使不等式有解，只需，
所以.
故选：B
9．BCD
举反例可得A错误；由不等式的性质可得B正确；作差后由题意可得C、D正确；
【详解】对于A，设，则，故A错误；
对于B，由不等式的性质可得，若，则，故B正确；
对于C，，
因为且，所以，所以，且，
所以，所以，故C正确；
对于D，，因为，所以，
又，所以，故D正确；
故选：BCD.
10．AD
设，代入列方程组求解即可.
【详解】设，
由题意可知，
所以，解得或，
所以或.
故选：AD.
11．ABD
由可判断A，由求解可判断B，由在单调递增，可判断C，由基本不等式可判断D.
【详解】对于A，，
易知，即，A正确；
对于B，由题意得，解得，
即函数的定义域为，B正确；
对于C，由可得定义域为，
由解析式知在单调递增，
函数最小值为1，故C错误；
对于D，，即，解得，
即，当且仅当取等号，D正确，
故选：ABD
12．
由，求解即可.
【详解】由，
得：，
解得，
所以的定义域为，
故答案为：
13．4
根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
14．
解一元二次不等式，结合新定义即可得到结果.
【详解】∵，
∴，
∴，
故答案为：
15．(1)，，
(2)
（1）将自变量代入对应的解析式中求解即可；
（2）分别在、和的情况下，构造不等式求得结果.
【详解】（1）；；
，.
（2）当时，，解得：，；
当时，，解得：，；
当时，，解得：，；
综上所述：实数的取值范围为.
16．(1)，，或，.
(2)
（1）直接根据集合的交并补运算求解即可；
（2）根据题意得真包含于，进而分与两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）解：当时，，，
所以，，
或，或.
（2）解：因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以
当时，,即，此不等式无解，故不成立；
当时，，解不等式得，
当时，此时有，不满足真包含于，舍去
综上，实数的取值范围
17．(1)米
(2)平方米
（1）设草坪的宽为米，长为米，得到，列出不等式，求得的范围，进而求得宽的最大值；
（2）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：设草坪的宽为米，长为米，由面积均为400平方米，可得，
因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，
可得，解得，
又因为，所以，所以宽的最大值为米.
（2）解：记整个的绿化面积为平方米，
由题意可得
（平方米）
当且仅当时，即米时，等号成立，
所以整个绿化面积的最小值为平方米.
18．(1)
(2)
（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可.
（2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可.
【详解】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根，
当时，有实数根，
当时，则，解得且，
综上，实数的取值范围为
（2）命题为真命题，则，不等式恒成立，
当时，，
则，解得
当真假时，有，则或；
当假真时，有，则解集为：
综上，或，
故实数m的取值范围为
19．(1)
(2)答案见详解
（1）利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）不等式可整理为，根据的符号以及和的大小关系分类讨论即可.
【详解】（1）设二次函数 ，
所以，
即，故，
解得，所以，
所以，解得，
所以.
（2）因为，
所以，即，
当时，则不等式为，解得，此时解集为；
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为或，
综上所述，时，不等式的解集为，
时，解集为；
时，不等式的解集为或，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为.

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