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6.3 角 教材知识 课时练习
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知识点1 角的概念及表示
1.概念：
（1）静态概念：有 的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的 ，这两条射线是角的 ；
（2）动态概念：角是由一条射线绕着它的 旋转而成的，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.
2.表示方法：
表示方法 图示 记法 说明
用三个大写字母表示 ∠BAC或∠CAB 字母A表示角的顶点，要写在 ，B，C表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角.
用一个大写字母表示 ∠O 当以一个字母为顶点的角 时，可用这个顶点字母来表示角.
用阿拉伯数字表示 ∠1 要在靠近角的顶点处加上弧线，并标上阿拉伯数字或希腊字母，该表示方法简洁直观.
用希腊字母表示 ∠α
3.平角与周角：
射线OA绕端点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫作 ，如图①；继续旋转，当OB和OA重合时，所形成的角叫作 ，如图②.
知识点2 角的单位换算
1.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.
2.角度换算：1°＝ '；1'＝ ''；1''＝（ ）'，1'＝（ ）°.
知识点3 钟面角
1.概念：钟面角是时钟的时针和分针所形成的夹角.
2.特点：时针每小时转动的度数为＝30°，每分钟转动的度数为＝0.5°；分针每小时转动的度数为360°，每分钟转动的度数为＝6°.
知识点4 方位角
1.概念：用角度和方向表示方向的角.
2.表示方法：表示方位角时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度.例如：如图，射线OA表示北偏东30°方向，射线OB表示南偏西60°方向，射线OC表示南偏东45°（或东南）方向.
知识点5 角的比较
方法 内容
度量法 先用量角器量出角的度数，再比较其大小.
叠合法 把一个角放到另一个角上，使它们的顶点 ，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在重合的这一条边的 ，根据另一边的位置关系来比较.
知识点6 角的运算
文字描述 数学语言 图示
角的和 ∠AOC是∠AOB与∠BOC的和 ∠AOC＝∠AOB＋∠BOC
角的差 ∠AOB是∠AOC与∠BOC的差 ∠AOB＝∠AOC－∠BOC
知识点7 角平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角 的射线，叫作这个角的平分线.类似地，还有角的三等分线等.
如图，射线OC是∠AOB的平分线，这时，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB（或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC）.
知识点8 余角和补角
概念 性质 性质用数学符号表示
余角 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角 ，其中一个角是另一个角的余角. 同角（等角）的余角 . ①如果∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，那么∠2＝∠3； ②如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4.
补角 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角 ，其中一个角是另一个角的补角. 同角（等角）的补角 . ①如果∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，那么∠2＝∠3； ②如果∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4.
参考答案
知识点1 角的概念及表示
1.概念
（1）公共端点 顶点 两条边
（2）端点
2.表示方法
中间 只有一个
3.平角与周角
平角 周角
知识点2 角的单位换算
60 60
知识点5 角的比较
重合 同侧
知识点7 角平分线
分成两个相等的角
知识点8 余角和补角
余角：互余 相等
补角：互补 相等
课时练习
一、单选题（本大题共9小题）
1．淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）

A．南偏西方向 B．南偏东方向
C．北偏西方向 D．北偏东方向
2．如果和互补，且，那么下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，是直线上一点，射线平分，．则（ ）
A． B． C． D．
4．生活情境·折纸.按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（ ）
A．与互余 B．
C．平分 D．与互补
5．如图，甲从点出发向北偏东方向走到点，乙从点出发向南偏西方向走到点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知∠AOB =160°，则∠COD的度数为( )
A．20° B．30° C．40° D．50°
7．如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．其中不正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．如图，为直线上一点，（和均在上方，且在左侧），平分，有下列四个结论：①；②若，则；③；④平分．其中正确的结论共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，，是内部的一条射线，,分别是和的平分线，,分别是和的平分线，,分别是和的平分线， ，,分别是和的平分线，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题）
10．如图，能用一个大写字母表示的角是____________，以为顶点的角是__________________________.
11．已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是 ．
12．35.48°=　　度　　分　　秒．
13．如图，已知OA⊥OB，，BOC=40°，OD平分AOC，则BOD= ．
14．如图所示的网格是正方形网格,∠ABC　　　　∠DEF(填“>”“=”或“<”)．
15．一副三角板AOB与COD如图摆放，且∠A=∠C=90°，∠AOB=60°，∠COD=45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）.设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β，= 度.
三、解答题（本大题共5小题）
16．小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店处碰面，小丽家在早餐店南偏西 方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上， ，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等.
（1）在图中画出小华家的位置；
（2）求的度数；
（3）若 ，请说出小影家相对于早餐店的方位.
17．如图，已知，，
(1)求的补角的度数；
(2)若平分，平分，求的度数．
18．一个角的余角比它的补角的多 ，求这个角的余角.
19．阅读下列材料，完成后面任务：
数学课上，老师给出了如下问题：已知点A，B，C均在直线l上，． M是的中点，求的长． 小明的解答过程如下： 如图2，， ， 又M是的中点， ， 小芳说：“小明的解答不完整．”
任务：
(1)你同意小芳的说法吗？如果同意，请将小明的解答过程补充完整；如果不同意，请说明理由．
(2)我们发现角的很多规律和线段一样，已知平分，请直接写出的度数．
20．【实践操作】三角尺中的数学．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，．
①若，则______；若，则______；
②猜想：请直接写出与的数量关系：______．
(2)如图2，两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合在一起，，求+的度数．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据方向角的定义可得答案．
【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向．

故此题答案为D．
2．【答案】C
【分析】注意：与互补，得出，；的余角是．根据余角和补角的定义即可得到结论．
【详解】解：，
表示的余角，故①正确；
与互补，
，
，，
，
，
表示的余角，故②正确；
，
，故③错误；
，故④正确；
故此题答案为C．
3．【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键．先根据射线平分，得出，再根据，可得即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∵，
∴，
故选B．
4．【答案】C
【分析】由折叠的性质可得，求出，即可判断A；求出即可判断B；根据即可判断C；根据即可判断D．
【详解】解：由折叠的性质可得，
∴，
∴与互余，故A正确，不符合题意；
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴不平分，故C错误，符合题意；
∵，
∴与互补，故D正确，不符合题意.
故此题答案为C．
5．【答案】A
【分析】根据方位角的定义，列算式求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
故此题答案为A．
6．【答案】A
【分析】先根据直角三角板的性质得出，进而可得出的度数．
【详解】解：，是一副直角三角板，
，
，
，
，
故此题答案为．
7．【答案】C
【分析】如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．先利用互补得到，再利用互余得到的余角，则可对①进行判断；由于，所以的余角，则可对②进行判断；利用得到，从而可对③④进行判断．
【详解】解：∵和互补，，
∴，
∵的余角，所以①正确；
∵，
∴的余角，所以②正确；
∵，
∴，
∴的余角，所以③错误，④正确．
故此题答案为C．
8．【答案】C
【分析】①根据∠，得，由此可对该结论进行判断；
②根据，得，再根据角平分线的定义可求出的度数，进而可对该结论进行判断；
③设，则，根据角平分线的定义得，则，再根据得，由此可对该结论进行判断；
④假设平分，则，根据角平分线的定义，再根据得，但是根据已知条件，无法确定，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①∵为直线上一点，
∴，
∵，
∴，故结论①正确；
②∵为直线上一点，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，故结论②正确；
③设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故结论③正确；
④假设平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴90，
∴，
∴∠，
∴，
根据已知条件，无法确定，故结论④不正确，
综上所述：结论正确的是①②③．
故选C．
9．【答案】C
【详解】因为，，分别是和的平分线，所以
,，所以.因为，分别是和的平分线，所以,，所以.因为,分别是和的平分线，所以,，所以 由此规律得.故选C.
10．【答案】，； ，，
【详解】能用一个大写字母表示的角是，，以为顶点的角是，，.故答案为，；，，.
11．【答案】/60度
【分析】本题考查余角和补角的知识，一元一次方程的应用，设出未知数是解决本题的关键．设这个角的度数为x，“利用一个角的补角是它的余角的度数的4倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果．
【详解】设这个角的度数为x，可得
，
解得．
12．【答案】35　28　48　
【解析】0.48°=0.48×60'=28.8',0.8'=0.8×60″=48″,所以35.48°=35°28'48″．
13．【答案】25°
【分析】根据题意,因为OD平分∠AOC，可以先求∠AOC，再求∠COD，利用角的和差关系求∠BOD的度数．
【详解】解：∵OA⊥OB，∠BOC=40°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠AOC÷2=65°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=25°．
14．【答案】>　
【解析】由题图可得∠ABC=45°,∠DEF<45°,所以∠ABC>∠DEF．
15．【答案】105
【分析】图1中先设∠AOM＝x＝∠DOM，则∠BOM＝60 x，根据∠BOD＝∠DOM ∠BOM，得出∠BOD的度数，再根据∠COB＝∠BOD＋∠DOC，求出∠CON＝∠BON，最后根据∠NOM＝∠BOM＋∠BON，即可得出α; 图2中设∠AOM＝∠DOM＝x，∠CON＝∠BON＝y，则∠BOD＝60 2x，根据∠AOB＝60°，∠COD＝45°，列出算式，求出x y的度数，最后根据∠MON与各角之间的关系，
【详解】解：图1中设∠AOM＝x＝∠DOM，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOM＝60° x，
∵∠BOD＝∠DOM ∠BOM，
∴∠BOD＝x （60° x）＝2x 60°，
∵∠COB＝∠BOD＋∠DOC，
∴∠COB＝（2x 60°）＋45°＝2x 15°，
∴∠CON＝∠BON＝（2x 15°）＝x 7.5°，
∴α＝∠NOM＝∠BOM＋∠BON＝60° x＋x 7.5°＝52.5°；
图2中设∠AOM＝∠DOM＝x，∠CON＝∠BON＝y，则∠BOD＝60° 2x，
∵∠COD＝45°，
∴60 2x＋2y＝45°，即x y＝7.5°，
∴β＝∠MON＝x＋（60 2x）＋y＝60 （x y）＝52.5°，
∴＝52.5°＋52.5°＝105°,
16．【答案】
（1） 【解】如图，点即为所求.
（2） .
（3） ，
所以小影家在早餐店北偏西 的方向上.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意计算出，继而根据补角的定义即可求解；
（2）根据角平分线的性质可得，，继而即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴的补角为；
（2）∵平分，平分，
∴，，
∴．
18．【答案】设这个角为，则有 ，解得 ,
所以 ,
即这个角的余角是 .
【关键点拨】
掌握余角与补角的概念是解题的关键.
【关键点拨】
掌握余角与补角的概念是解题的关键.
19．【答案】(1)见详解；(2)或.
【详解】（1）解：同意小芳的说法．小明的解答过程补充如下：
如图，当点C在点B右侧时，
．
，
M是的中点，
；
如图，当点C在点B左侧时，
，
，
又M是的中点，
，
的长为4或8．
（2）解：①当在内部时，如图，

∵，，
∴，
∵平分，
∴；
②当在外部时，如图，

∵，，
∴，
∵平分，
∴．
综上所述，的度数为或．
20．【答案】(1)①，；②；(2).
【详解】（1）解：①由题意得，
当时，
，
∴；
当时，
∵，
∴；
②，
理由如下：
，
∴；
（2）解：∵，
∴．

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