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(共35张PPT)
第十二章 全等三角形
12.3.2 等腰三角形的判定
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
通过对等腰三角形判定定理的探究，抽象出“等角对等边”的核心关系，明确判定定理的本质是由角的数量关系推导线的数量关系。
01
通过折叠、测量等动手操作，直观感知“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的结论，结合图形理解判定定理的几何意义，发展几何直观能力。
02
能综合运用性质和判定定理解决证明和计算问题，提升逻辑推理的综合性和严谨性。
03
02
新知导入
【想一想】什么样的三角形是等腰三角形？
对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，所以可以按定义去判定，看一个三角形是否有两条边相等.
有没有其他的判定方法可以判定三角形是等腰三角形？
03
新知探究
探究
探究等腰三角形的判定
【探索】我们知道，等腰三角形的两个底角相等.
反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗
你能试着画一画吗？
03
新知探究
探究
探究等腰三角形的判定
【画一画】在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的另一边相交于点A.
B
C
A
量一量，线段AB与AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗 你发现了什么
03
新知探究
探究
探究等腰三角形的判定
【猜想】如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.
B
C
A
你能证明这个猜想吗？
03
新知探究
探究
探究等腰三角形的判定
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
分析：要证明AB=AC，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边，于是想到作∠BAC的平分线AD.
03
新知探究
探究
探究等腰三角形的判定
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
证明：如图，作∠BAC的平分线AD.
在△BAD和△CAD 中，
∵∠B=∠C，∠1=∠2，AD=AD，∴△BAD≌△CAD( AAS ).
∴AB=AC( 全等三角形的对应边相等 ) .
知识要点
我们可以发现，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形.
即有两个角相等的三角形是等腰三角形 .简写成“等角对等边”.
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C， (已知)
∴ AC=AB. (等角对等边)
即△ABC为等腰三角形.
B
C
A
(
(
【拓展提高】如图，下列推理正确吗
A
B
C
D
2
1
∵ ∠1=∠2 ,
∴ BD=DC（等角对等边）.
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2，
∴ DC=BC（等角对等边）.
“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
03
新知探究
探究
探究等腰三角形的判定
【例4】如图，在△ABC中，已知∠A= 40°，∠B= 70°.
求证：AB=AC.
证明：∠A+∠B+ ∠C=180°(三角形的内角和等于180°)
∠A=40°，∠B=70°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-70°=70°.
∴∠C=∠B.
∴AB=AC(等角对等边).
03
新知探究
探究
探究等边三角形的判定
由上述等腰三角形的判定定理，我们还可以得到等边三角形的两个判定定理：
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这两
个定理吗？
03
新知探究
探究
探究等边三角形的判定
证明：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
A
C
B
证明：∵∠A=∠B， ∴BC=AC，
又∵∠A=∠C，∴BC=AB，
∴AB=BC=CA，即△ABC是等边三角形．
03
新知探究
探究
探究等边三角形的判定
证明：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°．
求证：△ABC是等边三角形．
A
C
B
证明: ∵AB=AC，∠B=60°，
∴∠C=∠B=60°，∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形.
03
新知探究
【例5】如图，AB∥CD，∠1= ∠2. 求证：AB =AC.
证明：AB∥CD，
∴∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1=∠2，∴∠B=∠1.
∴AB=AC(等角对等边).
【分析】要证AB=AC，可以设法证明∠B=∠1，而∠1=∠2，因此只要证明∠B=∠2.
03
新知探究
【例6】如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB =∠A'C'B'=90°,
AB =A'B', AC =A'C'.
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
证明：由于直角边AC=A'C'，我们通过平移和轴对称，改变Rt△ABC的位置，使点A与点A'、点C与点C'重合，且使点B与点B'分别位于A'C'的两侧，如图所示.
03
新知探究
∵∠A'C'B= ∠A'C'B'= 90°. ∴∠B'C'B = ∠A'C'B'+ ∠A'C'B= 180°,
即点B'、C'、B在同一条直线上.
在△A'B'B 中，∵A'B'=AB =A'B，∴∠B=∠B'(等边对等角).
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∵∠B=∠B'，∠ACB = ∠A'C'B', AC =A'C',
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS).
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是( ).
A. ∠B= 40°，∠C=80°
B. ∠A：∠B：∠C= 1：2：3
C. 2∠A=∠B+∠C
D. ∠A：∠B：∠C = 2：2：1
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C = 72°，则图中等腰三角形有
( ).
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点 G，AB=DF，AC=DE，BE =CF. 求证：△GEC是等腰三角形.
证明：∵BE=CF，∴BE +EC=CF+EC，即BC=EF.
在△ABC和△DFE中， AB =DF，AC=DE，BC=FE，△ABC≌△DFE(SSS).
∴∠ACB =∠DEF，∴EG=CG,
即△GEC是等腰三角形.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，在△ABC中，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连结AD，作∠ADE= 40°，DE交线段AC于点E.在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，
则∠BDA=_______________.
110°或80°
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点. △EAD为等腰三角形，∠AED=90°，则∠EBC等于( ).
A.60°
B.45°
C.30°
D.15°
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若∠ABC=∠ACB，AB=10cm，则AC的长为( ).
A.9 cm
B.10 cm
C.11cm
D.12 cm
B
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，在△ABC中，D为AB边上一点， DF⊥BC于点F，延长FD，CA交于点E. 若∠E=30°，AD =AE. 求证：△ABC为等边三角形.
证明：∵AD=AE，∴∠E =∠ADE =30°，
∴∠CAB=∠E +∠ADE =30°+30°=60°. ∵DF⊥BC，∴∠EFC=90°，
∴∠C=90°-∠E=60°，
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，在△ABC中，D为AB边上一点， DF⊥BC于点F，延长FD，CA交于点E. 若∠E=30°，AD =AE. 求证：△ABC为等边三角形.
∴∠B=180° - ∠C - ∠CAB
=180° - 60° - 60°=60°，
∴∠C=∠B=∠CAB，
∴△ABC为等边三角形.
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形.
即有两个角相等的三角形是等腰三角形 .简写成“等角对等边”.
2.等边三角形的两个判定定理：
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( ).
A.等腰直角三角形
B.一般的等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰钝角三角形
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2. 下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是( ).
A. 2∠A=∠B +∠C
B. ∠A：∠B：∠C = 1：2：3
C. 三角形的一个外角为60°
D. ∠B = 40°，∠C=70°
D
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为_________.
2cm
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，∠AOB = 120°，OP平分∠AOB，且0P=1. 若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足条件的△PMN有( ).
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
D
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD =12，BC=DC，∠A=60°，点E在AD上，连结BD，CE相交于点F，CE∥AB.若CE=9，求CF的长.
解：如图，连结AC，在△ABC和△ADC中，
∵AB=AD，BC = DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC= ∠CAD.
∵ CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∴∠CAD=∠ACE，
∴EA=EC.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD =12，BC=DC，∠A=60°，点E在AD上，连结BD，CE相交于点F，CE∥AB.若CE=9，求CF的长.
∵CE = 9，∴ AE=9，∴ ED=12-9=3. ∵AB=AD，
∠BAD = 60°，∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD = ∠ADB =60°，∵CE∥AB，
∴∠EFD =∠ABD =60°， ∠FED = ∠BAD =60°，
∴∠EFD=∠FED = ∠EDF =60°.
∴ △EFD是等边三角形，∴EF =ED=3，∴CF=CE - EF=9 - 3=6.
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第十二章
课标要求 1.能够区分真命题与假命题，准确判断命题的真假，理解命题由题设和结论两部分组成。2.掌握定义的内涵，能通过定义对几何对象进行分类，体会定义的严谨性与规范性。3.掌握 “两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）”“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）”“三边分别相等的两个三角形全等（SSS）” “斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）”这几个全等三角形的判定方法。4.会利用基本作图，根据已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形。5.明确等腰三角形的定义（有两条边相等的三角形），区分腰、底边、顶角、底角等关键元素；结合边的长度关系，会进一步分类。6.对应性质形成逆向判定逻辑，包括 “等角对等边”（若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边相等）、等边三角形的判定（三边相等、三角均为 60°、有一个角为 60° 的等腰三角形）。7.明确垂直平分线的定义，能在复杂图形中识别线段的垂直平分线，区分 “线段的垂直平分线”（直线）与 “线段的垂线”“线段的中线” 的差异。
内容分析 本章是在学生学习了三角形的基本概念、性质和作图等知识的基础上进行的，全等三角形的性质和判定是研究三角形、四边形、相似三角形等后续内容的重要工具。例如，后续学习等腰三角形的性质、平行四边形的判定等，都需要运用全等三角形的知识进行证明。同时，本章所学的演绎推理方法，也是初中数学推理证明的重要基础，为后续更复杂的几何证明打下坚实的基础。全等三角形的知识在实际生活中有着广泛的应用，如建筑设计、机械制造、测量技术等领域。通过本章学习，能让学生体会数学与生活的密切联系，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
学情分析 八年级学生在七年级已经学习了三角形的概念、三边关系、内角和定理以及三角形的作图方法，对三角形的基本性质有了一定的了解。同时，学生在之前的学习中已经接触过一些简单的推理证明，具备初步的合情推理能力，能够通过观察、实验等方式发现一些简单的数学规律，这些都为本章全等三角形的学习提供了良好的知识储备。同时八年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们对直观、具体的事物更容易理解和接受，但对于抽象的概念和严谨的推理证明仍存在一定的难度。学生喜欢通过动手操作、小组合作等方式进行学习，对新鲜的数学知识充满好奇心和探索欲。
单元目标 （一）教学目标1.了解命题的概念,理解命题的结构,并会区分一个命题的条件和结论。2.能准确说出全等三角形的定义，在具体图形中正确找出对应顶点、对应边和对应角，熟练掌握全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等），并能运用性质解决简单的计算和证明问题。 3.掌握 SSS、SAS、ASA、AAS 四种一般三角形全等的判定方法以及 HL 直角三角形全等的判定方法，能根据具体条件选择合适的判定方法证明两个三角形全等。 4.理解角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等）和判定定理（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），能运用这两个定理解决与角平分线相关的计算和证明问题。 5.能运用全等三角形的性质和判定方法、角平分线的性质和判定定理解决简单的实际问题，如测量物体长度、作图等。（二）教学重点、难点重点1.全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）及其应用。 2.全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）及其灵活运用，能根据不同的已知条件选择合适的判定方法证明三角形全等。 3.角平分线的性质定理和判定定理及其应用。难点1.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应边和对应角。 2.理解并掌握全等三角形判定方法中的关键条件，如 SAS 中的 “夹角”、HL 中的 “斜边和一条直角边”，避免误用判定条件。 3.掌握规范的几何证明书写格式，能清晰、有条理地进行演绎推理证明。 4.运用全等三角形的知识解决实际问题，将实际问题转化为数学模型，构造全等三角形解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数12.1 命题、定义、定理与证明命题的概念和结构定义、 定理与证明212.2 三角形全等的判定全等三角形的判定条件边角边角边角边边边斜边直角边512.3等腰三角形等腰三角形的性质等腰三角形的判定212.4逆命题和逆定理互逆命题和互逆定理线段垂直平分线角平分线3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务12.1 命题、定义、定理与证明1.了解命题的概念,理解命题的结构,并会区分一个命题的条件和结论.2.会用“如果……,那么……”来改写一个命题,并会判断真假.通过学习，会用“如果……,那么……”来改写命题,以分清命题的结构，并且会识别命题的真假.任务一：探究命题的概念。任务二：理解命题的结构。1.理解已学的5个基本事实，理解定理的概念.2.理解证明的概念，体会证明的必要性.3.掌握推理证明的格式，并会证明简单命题的真假.(1)理解五个基本事实.(2)理解定理的概念.(3)证明及证明的过程与步骤.任务一：探究什么是定理。任务二：理解什么是证明及证明的必要性。12.2 三角形全等的判定1.理解全等三角形的概念,会找全等三角形的对应边、对应角和对应顶点.2.掌握全等三角形的性质,并能进行简单的推理和计算.1.通过图形变换,培养学生用动态观点研究几何图形的能力.2.通过动手操作,理解全等三角形的判定条件.任务一：掌握全等三角形的性质.任务二：会找全等三角形的对应边及对应角.1.掌握证三角形全等的“SAS”判定方法.2.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.提出问题,根据问题归纳认识“边角边”,并学会用“边角边”解决问题.任务一：应用“边角边”证明三角形全等.任务二：寻求三角形全等的条件.1.经历探究三角形全等的条件的过程,进一步体会操作、归纳获得数学规律的过程.2.掌握三角形全等的“角边角”、“角角边”的判定方法.提出问题,根据问题归纳得出“角边角”及“角角边”定理,并学会运用定理解决问题.任务一：应用“角边角”和“角角边”证明三角形全等.任务二：利用三角形全等,证明线段相等或角相等.1.掌握“边边边”基本事实,并能熟练运用它证明两个三角形全等.2.能运用“边边边”,解决简单的实际问题，提出问题,根据问题归纳出判定三角形全等必备的条件,掌握“SSS”基本事实及其运用.任务一：应用“边边边”证明三角形全等.任务二：灵活运用“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”判定三角形全等.1.经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系，2.掌握直角三角形全等的判定方法.会运用“HL”解决一些简单的实际问题和推理证明问题.任务一：“斜边直角边”的探究及其运用.任务二：灵活运用三角形全等的判定方法进行证明，12.3等腰三角形1.了解等腰三角形的概念,掌握等腰三角形的性质.2.会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题.．通过运用等腰三角形的性质解决有关问题,提高运用知识和技能解决问题的能力.任务一：等腰三角形的概念和性质及其应用。任务二：等腰三角形“三线合一”性质的理解及其应用.1.理解并掌握等腰三角形的判定方法.2.理解并掌握等边三角形的判定方法.3.等腰三角形的性质与判定的综合运用.提出问题,根据问题归纳等腰三角形及等边三角形的判定方法,进而探究性质与判定的运用.任务一：等腰三角形的判定与等边三角形的判定.任务二：等腰三角形的判定与性质的综合应用.12.4逆命题和逆定理1.理解逆命题的概念,并会判断一个命题、逆命题的真假.2.理解逆命题与互逆定理的概念.经历探究的过程,去观察、分析、理解、归纳逆命题与逆定理的相关知识.任务一：理解逆命题与逆定理的概念.任务二：会判断命题、逆命题的真假.1.经历探索线段垂直平分线的性质定理与判定定理的过程,进一步体验轴对称的特点。2.会运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的实际问题。提出问题,根据问题归纳线段垂直平分线的性质定理与判定定理,发展学生的空间想象.任务一：理解线段垂直平分线的性质定理与判定定理.任务二：线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的综合运用.1.经历探索角平分线的性质定理及其逆定理的过程,进一步体验轴对称的特点,体会互逆定理之间的关系.2.会运用角平分线的性质定理与判定定理解决简单的实际问题.提出问题,根据问题进行探究、归纳角平分线的性质定理与判定定理,发展学生的空间想象力.任务一：角平分线的性质定理与判定定理.任务二：角平分线的互逆定理的综合运用.
《全等三角形》 大单元教学设计
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12.3.2 等腰三角形的判定 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十二章
课题 12.3.2 等腰三角形的判定 课时 1课时
课标要求 探索并证明等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）。能运用等腰三角形的判定定理解决简单的证明和计算问题，能综合运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题，在探索与应用过程中，进一步发展推理能力和几何直观能力。
教材分析 《等腰三角形的判定》是华师大版八年级上册第12章第3节第2课时的内容，是在学生学习了等腰三角形的概念、性质以及全等三角形的判定与性质的基础上进行的。本节课既是对等腰三角形性质的逆向探究，也是对全等三角形知识的进一步应用，同时为后续学习等边三角形的判定、直角三角形的性质以及圆的相关知识奠定了重要基础。教材通过“思考”栏目引导学生逆向思考等腰三角形的性质，提出“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系”的问题，再通过构造全等三角形证明猜想，最终得出等腰三角形的判定定理。这种“逆向猜想—验证—证明—应用”的编排思路，符合几何知识的认知规律，有助于学生体会“性质与判定”的互逆关系，培养逆向思维能力。
学情分析 八年级学生已经掌握了等腰三角形的概念和“等边对等角”的性质，熟练运用全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）进行证明，具备了一定的几何直观和初步的逻辑推理能力，能够独立进行简单的几何证明和计算。同时，学生在之前的学习中已经经历过“观察—猜想—证明—应用”的几何研究过程，对几何探究的基本思路有了一定的了解。
核心素养目标 1.通过对等腰三角形判定定理的探究，抽象出“等角对等边”的核心关系，明确判定定理的本质是由角的数量关系推导线的数量关系。2.通过折叠、测量等动手操作，直观感知“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的结论，结合图形理解判定定理的几何意义，发展几何直观能力。3.经历“逆向猜想—动手验证—演绎证明”的过程，运用全等三角形的判定与性质证明等腰三角形的判定定理，培养演绎推理能力；能综合运用性质和判定定理解决证明和计算问题，提升逻辑推理的综合性和严谨性。
教学重点 1.等腰三角形的判定定理（“等角对等边”）的探究与证明。2.等腰三角形的判定定理的简单应用，以及与性质定理的综合运用。
教学难点 1.等腰三角形判定定理证明中辅助线的添加思路。2.等腰三角形性质定理与判定定理的区别与综合运用。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 【想一想】什么样的三角形是等腰三角形？对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，所以可以按定义去判定，看一个三角形是否有两条边相等.有没有其他的判定方法可以判定三角形是等腰三角形？ 思考教师的逆向问题，结合已有的等腰三角形知识，初步提出猜想：“有两个角相等的三角形，这两个角所对的边可能相等。” 通过复习旧知，巩固等腰三角形的性质，为判定定理的探究做好知识铺垫；通过逆向设问，激发学生的探究兴趣，引导学生形成初步猜想，体现“性质与判定互逆”的几何研究思路。
二、探究 探究等腰三角形的判定【探索】我们知道，等腰三角形的两个底角相等. 反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗 你能试着画一画吗？【画一画】在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的另一边相交于点A.量一量，线段AB与AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗 你发现了什么 【猜想】如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.你能证明这个猜想吗？已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC. 分析：要证明AB=AC，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边，于是想到作∠BAC的平分线AD.证明：如图，作∠BAC的平分线AD.在△BAD和△CAD 中，∵∠B=∠C，∠1=∠2，AD=AD，∴△BAD≌△CAD( AAS ).∴AB=AC( 全等三角形的对应边相等 ) .我们可以发现，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形.即有两个角相等的三角形是等腰三角形 .简写成“等角对等边”.数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C， (已知) ∴ AC=AB. (等角对等边)即△ABC为等腰三角形.【拓展提高】如图，下列推理正确吗 ∵ ∠1=∠2 ， ∵∠1=∠2， ∴ BD=DC（等角对等边）. ∴ DC=BC（等角对等边）.“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．【例4】如图，在△ABC中，已知∠A= 40°，∠B= 70°.求证：AB=AC.证明：∠A+∠B+ ∠C=180°(三角形的内角和等于180°)∠A=40°，∠B=70°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-70°=70°.∴∠C=∠B.∴AB=AC(等角对等边).由上述等腰三角形的判定定理，我们还可以得到等边三角形的两个判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.证明：三个角都相等的三角形是等边三角形．已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=∠B， ∴BC=AC，又∵∠A=∠C，∴BC=AB，∴AB=BC=CA，即△ABC是等边三角形．证明：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°．求证：△ABC是等边三角形．证明: ∵AB=AC，∠B=60°，∴∠C=∠B=60°，∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等边三角形.【例5】如图，AB∥CD，∠1= ∠2. 求证：AB =AC.【分析】要证AB=AC，可以设法证明∠B=∠1，而∠1=∠2，因此只要证明∠B=∠2.证明：AB∥CD，∴∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).又∵∠1=∠2，∴∠B=∠1.∴AB=AC(等角对等边).【例6】如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB =∠A'C'B'=90°，AB =A'B'， AC =A'C'.求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.证明：由于直角边AC=A'C'，我们通过平移和轴对称，改变Rt△ABC的位置，使点A与点A'、点C与点C'重合，且使点B与点B'分别位于A'C'的两侧，如图所示.∵∠A'C'B= ∠A'C'B'= 90°. ∴∠B'C'B = ∠A'C'B'+ ∠A'C'B= 180°，即点B'、C'、B在同一条直线上.在△A'B'B 中，∵A'B'=AB =A'B，∴∠B=∠B'(等边对等角).在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∵∠B=∠B'，∠ACB = ∠A'C'B'， AC =A'C'，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS). 小组内交流操作结果，分享测量数据和折叠现象，统一结论：“有两个角相等的三角形，这两个角所对的边相等。明确已知和求证，回顾证明边相等的常用方法（全等三角形）。结合性质证明的经验，思考辅助线添加方法，提出作角平分线、高或中线的思路。学生根据所学知识完成课本例题。 通过动手测量和折叠，让学生从直观层面验证猜想，增强对判定定理的感性认识；小组交流和动画演示，确保全体学生达成一致的直观结论，为后续的演绎证明奠定直观基础。从直观验证到演绎证明，培养学生的逻辑推理能力，体现几何证明的严谨性。辅助线添加的引导，结合旧知经验，降低难点，让学生理解辅助线添加的合理性；多种证明方法的尝试，拓宽学生思维。例4为基础题，强化“等角对等边”的直接应用，让学生掌握通过角度计算判定等腰三角形的基本方法。
三、尝试 【知识技能类作业】必做题：1.下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是( D ).A. ∠B= 40°，∠C=80° B. ∠A：∠B：∠C= 1：2：3 C. 2∠A=∠B+∠C D. ∠A：∠B：∠C = 2：2：1 2.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C = 72°，则图中等腰三角形有( D ).A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点 G，AB=DF，AC=DE，BE =CF. 求证：△GEC是等腰三角形. 证明：∵BE=CF，∴BE +EC=CF+EC，即BC=EF.在△ABC和△DFE中， AB =DF，AC=DE，BC=FE，△ABC≌△DFE(SSS). ∴∠ACB =∠DEF，∴EG=CG，即△GEC是等腰三角形.4.如图，在△ABC中，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连结AD，作∠ADE= 40°，DE交线段AC于点E.在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，则∠BDA=110°或80°【知识技能类作业】选做题：5.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点. △EAD为等腰三角形，∠AED=90°，则∠EBC等于( B ).A.60° B.45° C.30° D.15° 6.将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若∠ABC=∠ACB，AB=10cm，则AC的长为( B ).A.9 cm B.10 cm C.11cm D.12 cm 【综合拓展类作业】7. 如图，在△ABC中，D为AB边上一点， DF⊥BC于点F，延长FD，CA交于点E. 若∠E=30°，AD =AE. 求证：△ABC为等边三角形.证明：∵AD=AE，∴∠E =∠ADE =30°，∴∠CAB=∠E +∠ADE =30°+30°=60°. ∵DF⊥BC，∴∠EFC=90°，∴∠C=90°-∠E=60°，∴∠B=180° - ∠C - ∠CAB =180° - 60° - 60°=60°，∴∠C=∠B=∠CAB，∴△ABC为等边三角形. 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。
四、提升 适时小结，兴趣延伸1.如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形.即有两个角相等的三角形是等腰三角形 .简写成“等角对等边”.2.等边三角形的两个判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计 12.3.2 等腰三角形的判定1.等角对等边2.等边三角形的判定3.例题讲解 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】必做题：1.已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( C ).A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形 2. 下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是( D ).A. 2∠A=∠B +∠C B. ∠A：∠B：∠C = 1：2：3 C. 三角形的一个外角为60° D. ∠B = 40°，∠C=70°【知识技能类作业】选做题：3.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为____2cm_____.4.如图，∠AOB = 120°，OP平分∠AOB，且0P=1. 若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足条件的△PMN有( D ).A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 【综合拓展类作业】5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD =12，BC=DC，∠A=60°，点E在AD上，连结BD，CE相交于点F，CE∥AB.若CE=9，求CF的长.解：如图，连结AC，在△ABC和△ADC中，∵AB=AD，BC = DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC= ∠CAD. ∵ CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∴∠CAD=∠ACE，∴EA=EC.∵CE = 9，∴ AE=9，∴ ED=12-9=3. ∵AB=AD，∠BAD = 60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD = ∠ADB =60°，∵CE∥AB，∴∠EFD =∠ABD =60°， ∠FED = ∠BAD =60°，∴∠EFD=∠FED = ∠EDF =60°.∴ △EFD是等边三角形，∴EF =ED=3，∴CF=CE - EF=9 - 3=6.
教学反思 本节课通过合理的流程设计和分层教学，基本达成了教学目标，但在学生思维的深度引导和能力培养方面仍需优化。后续教学中，将结合以上反思，细化教学环节，强化学生的自主探究和思维训练，提升教学效果，更好地落实核心素养目标。
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