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山东省烟台市莱州市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．是分式
B．对于任意实数，总有意义
C．将式子写成分式的形式是
D．分式的分子为0，则分式的值为0
2．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列四个分式中，为最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差，之后小亮进行了补测，成绩为90分．与该班39人的体能测试成绩相比，关于该班40人的体能测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差变小 B．平均分不变，方差变大
C．平均分变小，方差变小 D．平均分变小，方差变大
5．在篮球选修课上，男、女各有5名编号分别为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人均投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（ ）

A．男生投篮水平比女生投篮水平高
B．男生、女生投篮命中次数的极差相等
C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为6
D．男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定
6．已知一个圆的面积为，则该圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
7．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．若多项式可分解为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．若关于的方程无解，则的值是（ ）
A．2 B．2或1 C．2或 D．
10．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（ ）．
A．每天比原计划多铺设10米，结果延明15天才完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天完成
11．如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（　　）

A． B． C． D．
12．观察下列式子的变形规律：
①，②，③，④，……
请尝试回答下面问题：
若，则的值为（ ）
A．1000 B．998 C．1 D．2
二、填空题
13．已知a、b是的两边，且满足，则的形状是 ．
14．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是 元．
15．如图，根据图中给出的数据，判断第一个图形的周长与第二个图形的周长的关系： ．（填“”或“”或“”或“无法判断”）
16．甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天的工作量是 ．
17．已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为 ．
18．若，则分式的值是 ．
19．下列几种说法：
①在开机状态下，按键即可进入统计计算状态；
②标准差不可能是0；
③如果一组数据，，…，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是20；
④某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：）如下
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均分 标准差
甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 601.6 8.11
乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 599.3 16.86
历届比赛表明，成绩达到就能打破记录，为了打破记录，应该选甲参加这项比赛．
以上说法中，正确的个数为 个．
20．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差例数，是的差倒数……以此类推，则 ．
三、解答题
21．按要求计算：
(1)利用因式分解进行简便计算：；
(2)因式分解：．
22．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0）；点A的坐标为（5，2）．如果将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段B，求点的坐标．
23．解方程：
(1)；
(2)．
24．（1）式子的值能否为0？为什么？
（2）若，求的值．
25．某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七年级成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成五组：，，．，）；
b．七年级成绩在的数据如下（单位：分）：80，85，85，85，85，85，85，85，85，88，89．
c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 m n
八年级 83 84
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中 ， ；
(2)下列推断合理的是 ；
①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；
②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩一定超过了该校八年级一半以上学生的成绩．
(3)竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数．
26．小刚到离家米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了分钟．
(1)小刚步行的速度是每分钟多少米？
(2)小刚能否在电影放映前赶到电影院？
27．课堂上，老师提出下面的问题：
已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法”
老师：比较与的大小．
小聪：∵，
∴．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题；
(2)比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”）
(3)解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？”
我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘．
28．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．
学习材料：如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形．
利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：．
(1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______．
①；②；③；④；⑤．
(2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，请模仿学习材料中的拼图方式，画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______．
(3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果）
参考答案
1．B
解：A. 是整式，故不符合题意，
B. ∵，
∴对于任意实数，总有意义，故符合题意；
C. 将式子写成分式的形式是，故不符合题意；
D. 分式的分子为0，分母不为0，则分式的值为0，故不符合题意；
故选：B
2．D
解：A、右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是一个多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
3．A
解：A、为最简分式，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选：A．
4．A
解：小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，
该班40人的测试成绩的平均分为90分不变，
根据方差的计算公式，
，
，
可得方差变小了，
故选：A．
5．D
解：男生投篮命中次数按从小到大进行排列为，
女生投篮命中次数按从小到大进行排列为，
则男生投篮命中次数的平均数为，
男生投篮命中次数的方差为，
女生投篮命中次数的平均数为，
女生投篮命中次数的方差为，
男生投篮命中次数的极差为，女生投篮命中次数的极差为，
所以选项B说法错误；
男生投篮命中次数的中位数为5，女生投篮命中次数的中位数为5，
所以选项C说法错误；
由平均数相等可知男生、女生投篮水平相当，但女生比男生稳定，故选项A说法错误，选项D说法正确；
故选：D．
6．A
解：，
∴圆的半径是，
故选：A．
7．C
解：，
故选：C．
8．C
解：多项式可分解为，
．
．
．
故选：C．
9．B
解：方程去分母得：，
整理得：，
当时，整式方程无解，所以原分式方程无解，
或当时分母为0，方程无解，
即，，
综上可知或1时方程无解．
故选：B．
10．C
解：∵实际每天铺设管x米，
∴表示原计划每天铺设管道的长度，
即：每天比原计划多铺设10米，
方程表示：原计划的所用天数减去实际所用天数等于15，即：结果提前15天完成；
故选C．
11．D
解：∵绕点逆时针旋转得到，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴旋转角度数是．
故选：D．
12．B
解：已知等式整理得：
，
∴
去分母得：
解得：
经检验：是分式方程的解.
故选: B．
13．等腰三角形
解：∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
14．2.25
解：这天销售的矿泉水的平均单价是：
（元）．
故答案为：2.25．
15．
解：如图所示，设凹槽的深度为a，
由题意得，第一个图形的周长，
第二个图形的周长，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
解：∵甲工程队完成一项工程需天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，
∴乙工程队完成一项工程需天，
∴两队共同工作一天的工作量是：，
故答案为：
17．m＞1且m≠2．
【详解】原方程整理得：2x-m=x-1
解得：x=m-1
因为x＞0，所以m-1＞0，即m＞1．①
又因为原式是分式方程，所以，x≠1，即m-1≠1，所以m≠2．②
由①②可得，则m的取值范围为m＞1且m≠2．
故答案为：m＞1且m≠2．
18．2
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
19．2
解：①在开机状态下，按键即可进入统计计算状态是正确的；
②当各个数据相等时，标准差是0，此说法错误；
③如果一组数据，，…，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是，此说法正确；
④从两名跳远运动员10次的成绩来看，乙运动员成绩达到的次数多于甲运动员，成绩也比甲运动员高，更有可能打破记录，应该选乙参加这项比赛．此说法不正确．
因此正确的说法有两个，
故答案为：2.
20．
解：由题知，
∵，
∴，
则，
则，
∴，
则，
则，
，
依次类推，这列数按循环出现，
又因为余2，
所以．
故答案为：．
21．(1)；
(2)
【分析】本题考查的是因式分解及因式分解的应用，掌握公式法分解因式是关键；
（1）把原式化为，再利用完全平方公式进行简便计算即可；
（2）先变形，再提公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
【详解】（1）解：
；
（2）解：
.
22．（3,-4）．
解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点 作 轴于点D，
∴∠ACB=∠ =90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段B，
∴∠ =90°， ，
∴∠ABC+ ，
∴，
∴ ，
∴ ， ，
∵点B的坐标是（1，0）；点A的坐标为（5，2），
∴OB=1，AC=2，OC=5，
∴BD=AC=2，BC=OC-OB=4，
∴,OD=OB+BD=3,
∵点在第四象限内，
∴点的坐标为（3,-4）．
23．(1)
(2)无解
（1）解：，
原方程变形得：，
方程两边都乘得：，
解这个方程，得：，
检验：将代入原方程两边，
左边，右边，
左边右边，
是原方程的根.
（2）解：，
原方程变形得：，
方程两边都乘得：，
解这个方程，得：，
检验：当时，原方程中分式和的分母的值为零，
是原方程的增根，应舍去，
因此，原方程无解.
24．（1）式子的值不能为0，理由见解析；（2）
解：（1）式子的值不能为0，理由如下：
原式
，
若原分式的值为0，则，且，
，
只有当时，，而此时，原分式没有意义，
式子的值不能为0；
（2）
，
，
原式．
25．(1)85；85
(2)①
(3)估计七年级成绩优秀的学生人数大约为340名
（1）解：把七年级30个学生的成绩从小到大排列，排在第15和第16个数分别是85，85，故中位数；
七年级30个学生的成绩中出现次数最多的是85，故众数.
故答案为：85；85；
（2）解：由题意可知，样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小，故①说法正确；
若八年级小明同学的成绩是84分，高于八年级成绩的中位数，所以能推断他的成绩成绩高于八年级一半或者一半以上，故②说法错误；
故答案为：①；
（3）解：（名），
答：估计七年级成绩优秀的学生人数大约为340名．
26．(1)米/分
(2)小刚能在电影放映前赶到电影院
（1）解：设小刚步行的速度是米/分，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
小刚步行的速度是每分钟米；
（2）（分钟），
且，
小刚能在电影放映前赶到电影院．
27．(1)
(2)<
(3)加糖后糖水会变甜，理由见解析
（1）解：由题意得，
，
又，
，
，
，
∴；
（2）由题意，结合（1）当时，
，
故答案为：．
（3）由题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为．
，
又，
，
，
，
∴在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜．
28．(1)①③④⑤；
(2)见解析，；
(3)9或21或12
（1）解：由图形可得，、，故①正确，
∴，即②错误；
由图形可得，，即，即③正确；
∵、，
∴，即，即④正确；
∵，，即故⑤正确．
故答案为：①③④⑤．
（2）解：由题意可得，图形如图所示，
∴．
（3）解：由题意可得，
①当，，
②当，，
③当，．
综上：的值为：9或21或12．

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