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第17章 一元二次方程 17.4
一元二次方程的
根与系数的关系
沪教版（2024）八年级下册数学课件
01
新课导入
03
课堂小结
02
新课讲解
04
课后作业
目录
新课导入
第一部分
PART 01
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你是否注意到每个方程中的两根之间的关系？两根之和（x1 + x2）、两根之积（x1x2）与该方程的各项系数之间有怎样的关系？填写下表，然后观察根与系数的关系：
新课导入
新课讲解
第二部分
PART 02
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方程 x1 x2 x1+x2 x1x2
x2 + 2x – 15 = 0
3x2 – 4x + 1 = 0
2x2 – 5x + 1 = 0
–5
3
–2
–15
1
3
1
4
3
1
3
5
2
1
2
新课讲解
猜想：方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根如果是 x1、x2，那么 x1+x2 =_____，x1x2 =_____.
你能证明你的猜想吗？
新课讲解
我们知道，一元二次方 ax2+ bx + c = 0 （a ≠ 0）的两根为
新课讲解
所以 x1 + x2 = +
= =
x1x2 = ·
= =
新课讲解
如果 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1，x2，
那么 x1 + x2 = ， x1x2 = .
韦 达 定 理
新课讲解
当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的标准形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1，x2，这时韦达定理应是：x1 + x2 = –p，x1x2 = q.
新课讲解
练习
不解方程，求下列方程两根的和与积.
x2 – 3x = 15； 5x2 – 1 = 4x2 + x
解：x1 + x2 = 3
x1x2 = –15
解：化简得 x2 – x – 1 = 0
x1 + x2 = 1
x1x2 = –1
新课讲解
例 1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 的一个根是 –4，求它的另一个根及 k 的值.
解 设方程的另一个根是 x2，则
解方程组，得
答：方程的另一个根为 ，k 的值为 7.
新课讲解
想一想
本题还有别的解法吗？
解 将 x = –4 代入方程，得
2×（ –4 ）2 +（ –4 ）k – 4 = 0.
解得 k = 7.
将 k = 7代入方程，得
2x2 + 7x – 4 = 0，
解得
新课讲解
例 2 方程 2x2 – 3x + 1 = 0 的两个根记作x1，x2，不解方程，求 x1 – x2 的值.
解 由韦达定理，得 x1 + x2 = ， x1x2 = .
（x1 – x2）2 =（x1 + x2）2 – 4x1x2
∴ x1 – x2 =
新课讲解
引申：若 ax2 bx c 0（a 0 0）
（1）若两根互为相反数，则 b 0；
（2）若两根互为倒数，则 a c；
（3）若一根为 0，则 c 0；
（4）若一根为 1，则 a b c 0；
（5）若一根为 1，则 a b c 0；
（6）若 a、c 异号，方程一定有两个实数根.
新课讲解
1. 关于 x 的方程 x2 + px + q = 0 的根为 x1 = 1+ ，x2 = 1 – ，则 p = ，q= .
2. 已知方程 5x2 + kx – 6 = 0 的一根是 2，则另一根是 ， k＝ .
–2
–1
–7
课堂练习
3. 求下列方程的两根 x1，x2 的和与积：
（1）x2 – 3x + 2 = 0； （2）x2 + x = 5x + 6
解：x1 + x2 = 3
x1x2 = 2
解：化简得 x2 – 4x – 6 = 0
x1 + x2 = 4
x1x2 = – 6
课堂练习
4. x1，x2 是方程 x2 – 5x – 7 = 0 的两根，不解方程求下列各式的值：
（1） ；（2） .
解：∵ x1，x2 是方程 x2 – 5x – 7 = 0 的两根.
则 x1 + x2 = 5，x1x2 = – 7 .
课堂练习
课堂练习
5. 已知关于 x 的方程 x2 –（2m + 3）x + m2 = 0 的两根之和等于两根之积，求 m 的值.
解：设方程 x2 – （2m + 3）x + m2 = 0 的两根为 x1，x2.
∴ x1 + x2 = 2m + 3，x1x2 = m2.
根据题意得 m2 = 2m +3，解得 m1= 3，m2 = – 1.
当 m = 3 时，原方程为 x2 – 9x + 9 = 0，
b2 – 4ac = 45 > 0. 方程有实数根.
当 m = –1 时，原方程为 x2 – x + 1 = 0，
b2 – 4ac = – 3 < 0. 方程无实数根，此 m 值舍去.
∴ m 的值为 3.
课堂练习
课堂小结
第三部分
PART 03
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如果 ax2+ bx + c = 0（a ≠ 0）的两根为 x1，x2，
那么 x1+x2 = ， x1x2 = .
课堂小结
韦 达 定 理
课后作业
第四部分
PART 04
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1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.
第17章 一元二次方程 17.4
一元二次方程的
根与系数的关系
沪教版（2024）八年级下册数学课件

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