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苏州市2025-2026学年第一学期八年级数学期中模拟卷（1）
一．选择题（共8小题）
1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各数是无理数的是（　　）
A． B． C．﹣5 D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．4π﹣6 D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，一张台球桌的桌面长为2.84m，宽为1.42m，一个台球在桌面的一个角落，将该球按如图所示的45°角击出，球持续直线运动（球碰到桌面边界会以相同角度反弹），最终落入台球桌角落的一个球袋．则该球（入球袋前，在桌面边缘反弹的次数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在△ABC中，已知∠A＝30°，∠ABC＝70°，D为AC边上一点，且AD＝BD．则∠DBC＝（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
7．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC于点E，DE＝2，AB+AC＝16，则△ABC的面积为（　　）
A．32 B．20 C．16 D．8
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法错误的个数为（　　）
①S△ABD＝S△ADC；
②∠CFD＝60°；
③S△CDF：S△AEF＝FC：AF；
④AE＝AC﹣CD；
⑤若BE＝AB，则CE是△ABC的高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
二．填空题（共8小题）
9．若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
10．“近似数3.14万”精确到 　 　 位．
11．比较大小：　 　 0.618（填空“＞”，“＜”，”＝”）．
12．若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 　 　 ．
13．如图，△ABC中，∠BAC＝108°，PM和QN分别是AB和AC的垂直平分线，则∠PAQ＝　 　 ．
14．如图，△ACD与△ABD关于AD所在的直线成轴对称，B，D，C三点共线．若AC＝3，BD＝2，则△ABC的周长为　 　 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　 　 ．
16．如图，AB＝6，点C为线段AB上一个动点，在AB上方构造等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，∠ACD＝∠BCE＝90°，点F，G分别在边AD和BE上，且满足，则FG的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共10小题）
17．计算：（1）． （2）×﹣+÷．
18．求下列各式中的x：
（1）（x﹣3）2﹣1＝3； （2）8（x+1）3＝1．
19．解方程:
20．如图甲，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，总体积为V cm3．
（1）这个魔方的棱长为 　 　 cm（用代数式表示）．
（2）当魔方体积V＝64cm3时，
①这个魔方的棱长为 　 　 cm．
②图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，阴影部分正方形ABCD的边长为 　 　 cm．
③把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为 　 　 ．
④请在乙图中数轴上准确画出表示实数的点E的位置（保留作图痕迹）．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°：
（1）在AC边上求作点D，使得DA＝DB；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，连接BD，若BC＝2，AC＝5，则△ABC的周长＝ 　 　 ．
22．已知：如图，AE⊥BC于点M，FG⊥BC于点N，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若CD＝CB，∠D＝75°，求∠ABC的度数．
23．在数轴上点A表示a，点B表示b．且a，b满足．
（1）a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）x表示a+b的整数部分，y表示a+b的小数部分，则x＝　 　 ，y＝　 　 ；
（3）实数p，q在数轴上的位置如图所示，化简．
24．如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝∠ACB＝90°，E是AB的中点．
（1）求证：∠CDE＝∠DCE；
（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC的度数．
25．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“悦动三角形”．例如：某三角形三边长分别是3，和3，因为，所以这个三角形是“悦动三角形”．（注：直角三角形两直角边的长度的平方和等于斜边长的平方，如直角三角形三边长分别为3，4和5，则有32+42＝52．）
（1）若△ABC三边长分别是5，和，则此三角形　 　 “悦动三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）若Rt△ABC是“悦动三角形”，求此三角形的三边长之比（请按从小到大排列）；
（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D为AB的中点，连接CD，CD＝DB，若△BCD是“悦动三角形”，求AB的长．
26．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动．
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，连接MB、MC（图3），请判断并直接写出MB、MC的数量关系；
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．
答案与解析
一．选择题（共8小题）
1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2．下列各数是无理数的是（　　）
A． B． C．﹣5 D．
【解答】解：＝3，﹣5是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是无理数．
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．4π﹣6 D．
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝25，
则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2
＝×3×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）
＝6，
故选：A．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．，原题计算错误，不符合题意；
B．，原题计算错误，不符合题意；
C．，原题计算正确，符合题意；
D．，原题计算错误，不符合题意，
故选：C．
5．如图，一张台球桌的桌面长为2.84m，宽为1.42m，一个台球在桌面的一个角落，将该球按如图所示的45°角击出，球持续直线运动（球碰到桌面边界会以相同角度反弹），最终落入台球桌角落的一个球袋．则该球（入球袋前，在桌面边缘反弹的次数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
所以该球在桌面边缘反弹的次数为1．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，已知∠A＝30°，∠ABC＝70°，D为AC边上一点，且AD＝BD．则∠DBC＝（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【解答】解：∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝40°，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC于点E，DE＝2，AB+AC＝16，则△ABC的面积为（　　）
A．32 B．20 C．16 D．8
【解答】解：过D作DH⊥AB于H，
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC于点E，
∴DH＝DE＝2，
∴△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积＝AB DH+AC DE＝（AB+AC） DE，
∵AB+AC＝16，
∴△ABC的面积＝×16×2＝16．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法错误的个数为（　　）
①S△ABD＝S△ADC；
②∠CFD＝60°；
③S△CDF：S△AEF＝FC：AF；
④AE＝AC﹣CD；
⑤若BE＝AB，则CE是△ABC的高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【解答】解：①当AD是△ABC的中线时，S△ABD＝S△ADC，
而AD平分∠BAC，故①错误；
②在△ABC中，∠ABC＝60°，
∴∠ACB+∠CAB＝120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠FCA＝ACB，∠FAC＝CAB，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FCA+∠FAC）＝180°﹣（∠ACB+∠CAB）＝120°，
∴∠CFD＝60°；故②正确；
③如图1，作∠AFC的平分线交AC于点G，过G作GM⊥FC，GH⊥AF于点G，H，
∴GH＝GM，
∴S△AGF：S△FGC＝AF：FC，
∵∠AFC＝120°，
∴∠AFG＝∠CFG＝60°，
∴∠AFE＝60°，
∴∠AFG＝∠CFG＝∠AFE＝60°，
∵∠EAF＝∠GAF，∠DCF＝∠GCF，
∴△AEF≌△AGF（ASA），△CDF≌△CGF（ASA），
∴S△AEF：S△FDC＝AF：FC，故③正确；
④∵△AEF≌△AGF（ASA），△CDF≌△CGF（ASA），
∴AE＝AG，CD＝CG，
∴CD+AE＝CG+AG＝AC，
∴AE＝AC﹣CD，故④正确；
⑤如图2，延长CE至G，使GE＝CE，连接BG，
∵BE＝AB，
∴AB＝2BE＝2AE，
∴AE＝BE，
∵∠AEC＝∠BEG，
∴△ACE≌△BGE（SAS），
∴∠ACE＝∠G，CE＝GE，
∵CE为角平分线，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠G，
∴BC＝BG，
∵CE＝GE，
∴BE⊥CE，
∴CE是△ABC的高，故⑤正确；
综上所述：正确的有②③④⑤，错误的有①，共1个，
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x≥　 ．
【解答】解：要使二次根式有意义，必须5x﹣1≥0，
解得：x≥，
所以x的取值范围是x≥．
故答案为：x≥．
10．“近似数3.14万”精确到 　百　 位．
【解答】解：∵“近似数3.14万”中的数字4在百位上，
∴“近似数3.14万”精确到百位，
故答案为：百．
11．比较大小：　＞　 0.618（填空“＞”，“＜”，”＝”）．
【解答】解：∵≈2.23607，
∴≈0.618035，
∵0.618035＞0.618，
∴＞0.618．
故答案为：＞．
12．若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 　12　 ．
【解答】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5，2，
能组成三角形，
周长＝5+5+2＝12，
②5是底边时，三角形的三边分别为2、2、5，
不能组成三角形，
故答案为：12．
13．如图，△ABC中，∠BAC＝108°，PM和QN分别是AB和AC的垂直平分线，则∠PAQ＝　36°　 ．
【解答】解：∵PM和QN分别是AB和AC的垂直平分线，
∴PA＝PB，AQ＝CQ，
∴∠B＝∠PAB，∠C＝∠QAC，
∵∠BAC＝108°，
∴∠B+∠C＝72°，
∴∠PAB+∠QAC＝72°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）
＝108°﹣72°
＝36°，
故答案为：36°．
14．如图，△ACD与△ABD关于AD所在的直线成轴对称，B，D，C三点共线．若AC＝3，BD＝2，则△ABC的周长为　10　 ．
【解答】解：∵△ACD与△ABD关于AD所在的直线成轴对称，AC＝3，BD＝2，
∴根据轴对称的性质可得，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，
∴△ABC的周长为3+3+2×2＝3+3+4＝6+4＝10．
故答案为：10．
15．如图，在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　3　 ．
【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
由条件可知M′H＝M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
由条件可知．
∴BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝3，
故答案为：3．
16．如图，AB＝6，点C为线段AB上一个动点，在AB上方构造等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，∠ACD＝∠BCE＝90°，点F，G分别在边AD和BE上，且满足，则FG的最小值为 　　 ．
【解答】解：过点F作FHAB于H，过点G作GK⊥AB于K，过点F作FL⊥GK于L，如图所示：
则四边形FHKL为矩形，
∴FL＝HK，FH＝KL，
∵△ACD为等腰直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴AC＝DC，∠A＝45°，
∵FH⊥AB，
∴△AHF为等腰直角三角形，即FH＝AH，
∵FH⊥AB，∠ACD＝90°，
∴FH∥CD，
∴△AHF∽△ACD，
∴，
∴AH＝FH＝AC，
同理：△BKG∽△BCE，
∴，
∴BK＝GK＝BC，
设BC＝x，则AC＝AB﹣BC＝6﹣x，
∴AH＝FH＝AC＝，BK＝GK＝BC＝，
∴FL＝HK＝AB﹣AH﹣BK＝＝，
GL＝|GK﹣KL|＝＝|x﹣2|，
在Rt△FGL中，由勾股定理得：FG2＝FL2+GL2，
即FG2＝＝，
整理得：FG2＝，
∴当x＝3时，FG2为最小，最小值为10，
∴FG的最小值为．
故答案为：．
三．解答题（共10小题）
17．计算：（1）．
【解答】解：
＝
＝．
（2）计算：×﹣+÷．
【解答】解：×﹣+÷
＝3﹣2+
＝2．
18．求下列各式中的x：
（1）（x﹣3）2﹣1＝3；
（2）8（x+1）3＝1．
【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣1＝3，
（x﹣3）2＝4，
x﹣3＝±2，
∴x＝5或x＝1；
（2）8（x+1）3＝1，
，
，
∴．
19．
20．如图甲，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，总体积为V cm3．
（1）这个魔方的棱长为 　　 cm（用代数式表示）．
（2）当魔方体积V＝64cm3时，
①这个魔方的棱长为 　4　 cm．
②图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，阴影部分正方形ABCD的边长为 　2　 cm．
③把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为 　1﹣2　 ．
④请在乙图中数轴上准确画出表示实数的点E的位置（保留作图痕迹）．
【解答】解：（1）因为拼成的魔方体积为Vcm3．
所以正方形的边长为cm，
故答案为：；
（2）当魔方体积V＝64cm3时，
①∵43＝64，
∴＝4，
所以这个魔方的棱长为4cm；
故答案为：4；
②因为魔方的棱长为4cm；
所以每个小立方体的棱长为4÷2＝2（cm），
所以阴影部分正方形ABCD的边长为＝2（cm），
答：阴影部分正方形ABCD的边长为2cm；
故答案为：2；
③点D到原点的距离为：2﹣1，
又因为点D在原点的左侧，
所以点D所表示的数为﹣（2﹣1）＝1﹣2，
故答案为：1﹣2；
④如图，作一个长为2，宽为1的矩形，使以原点为一个顶点，长为2的边在数轴的负半轴，再以矩形的对角线的长为半径，原点为圆心画弧，与数轴的负半轴相交于点E，点E所表示的数为﹣．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°：
（1）在AC边上求作点D，使得DA＝DB；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，连接BD，若BC＝2，AC＝5，则△ABC的周长＝ 　7+　 ．
【解答】解：（1）如图所示，作AB的垂直平分线，与AC交于点D，连接BD，则BD＝AD，
（2）∵∠C＝90°，BC＝2，AC＝5，
∴AB＝＝＝，
AB+AC+BC＝+5+2＝7+，
∴△ABC的周长为7+．
故答案为：7+．
22．已知：如图，AE⊥BC于点M，FG⊥BC于点N，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若CD＝CB，∠D＝75°，求∠ABC的度数．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC于点M，GF⊥BC于点N，
∴AE∥GF，
∴∠A＝∠1，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＝∠2，
∴AB∥CD；
（2）解：∵CD＝CB，∠D＝75°，
∴∠CBD＝75°，
∴∠C＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝30°．
23．在数轴上点A表示a，点B表示b．且a，b满足．
（1）a＝　10　 ，b＝　　 ；
（2）x表示a+b的整数部分，y表示a+b的小数部分，则x＝　11　 ，y＝　﹣1　 ；
（3）实数p，q在数轴上的位置如图所示，化简．
【解答】解：（1）根据题意，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
即，
∴a+b的整数部分为11，即x＝11，
a+b的小数部分为，即，
故答案为：；
（3）根据数轴可得q＜0＜p，|q|＜|p|，
∴p+q＞0，q﹣p＜0，
∴
＝|p+q|﹣|q﹣p|+|q|
＝p+q+q﹣p﹣q
＝q．
24．如图，在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝∠ACB＝90°，E是AB的中点．
（1）求证：∠CDE＝∠DCE；
（2）若∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，求∠DEC的度数．
【解答】（1）证明：在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴，，
∴DE＝CE；
∴∠CDE＝∠DCE；
（2）解：∵∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DBA＝40°，
∴∠DAB＝90°﹣∠DBA＝50°，∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，
在Rt△ADB和Rt△ABC中，∠ADB＝90°，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴，，
∴∠ADE＝∠DAB＝50°，∠ECB＝∠ABC＝60°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DAB﹣∠ADE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∠CEB＝180°﹣∠ECB﹣∠CBA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DEA﹣∠CEB＝180°﹣60°﹣80°＝40°．
25．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“悦动三角形”．例如：某三角形三边长分别是3，和3，因为，所以这个三角形是“悦动三角形”．（注：直角三角形两直角边的长度的平方和等于斜边长的平方，如直角三角形三边长分别为3，4和5，则有32+42＝52．）
（1）若△ABC三边长分别是5，和，则此三角形　是　 “悦动三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）若Rt△ABC是“悦动三角形”，求此三角形的三边长之比（请按从小到大排列）；
（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，点D为AB的中点，连接CD，CD＝DB，若△BCD是“悦动三角形”，求AB的长．
【解答】解：（1）∵52＝25，和，
∴25+11＝3×12＝36，
则△ABC是“悦动三角形”，
故答案为：是；
（2）设三角形的三边长从小到大为a，b，c，
∵Rt△ABC是“悦动三角形”，
∴分a2+c2＝3b2，b2+c2＝3a2两种情况求解；
则b2+a2+b2＝3a2，解得a＝b，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）由条件可知，
设CD＝BD＝m，则AB＝2m，
∵△BCD是“悦动三角形”，
∴分CD2+BD2＝3BC2，CD2+BC2＝3BD2，BD2+BC2＝3CD2三种情况求解；
当CD2+BD2＝3BC2时，m2+m2＝3×42，
解得，或（舍去），
∴；
当CD2+BC2＝3BD2时，m2+42＝3×m2，
解得，或（舍去），
∴；
当BD+BC2＝3CD2时，m2+62＝3×m2，
同理；
综上所述，AB的长为或．
26．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动．
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，连接MB、MC（图3），请判断并直接写出MB、MC的数量关系；
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．
【解答】证明：（1）如图2，连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，
∵MD＝ME，
∴∠MAD＝∠MAE，
∴∠MAD﹣∠BAD＝∠MAE﹣∠CAE，
即∠BAM＝∠CAM，
在△ABM和△ACM中，
，
∴△ABM≌△ACM（SAS），
∴MB＝MC；
（2）MB＝MC．
理由如下：如图3，延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，
∴BD＝BE′，CE＝CF，
∵M是ED的中点，B是DE′的中点，
∴MB∥AE′，
∴∠MBC＝∠CAE，
同理：MC∥AD，
∴∠BCM＝∠BAD，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠MBC＝∠BCM，
∴MB＝MC；
（3）MB＝MC还成立．
理由如下：如图4，延长BM交CE于F，
∵CE∥BD，
∴∠MDB＝∠MEF，∠MBD＝∠MFE，
又∵M是DE的中点，
∴MD＝ME，
在△MDB和△MEF中，
，
∴△MDB≌△MEF（AAS），
∴MB＝MF，
∵∠ACE＝90°，
∴∠BCF＝90°，
∴MB＝MC．
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