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第二章 一元二次方程 2.3
一元二次方程根
的判别式
湘教版（2024）九年级上册数学课件
01
新课导入
03
课堂小结
02
新课讲解
04
课后作业
目录
新课导入
第一部分
PART 01
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同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？
配方法
公式法
因式分解法
新课导入
新课讲解
第二部分
PART 02
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我们在运用公式法求解一元二次方程ax2+bx +c =0 ( a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么
新课讲解
将方程ax2+ bx +c=0 ( a≠0)配方后得到
由于a≠0，所以4a2 >0，因此我们不难发现:
(1)当b2-4ac >0时，
由于正数有两个平方根，所以原方程的根为
此时，原方程有两个不相等的实数根.
新课讲解
将方程ax2+ bx +c=0 ( a≠0)配方后得到
由于a≠0，所以4a2 >0，因此我们不难发现:
(2)当b2-4ac =0时，
由于0的平方根为0，所以原方程的根为
此时，原方程有两个相等的实数根.
新课讲解
将方程ax2+ bx +c=0 ( a≠0)配方后得到
由于a≠0，所以4a2 >0，因此我们不难发现:
(3)当b2-4ac <0时，
由于负数在实数范围内没有平方根,所以原方程没有实数根.
新课讲解
我们把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx +c = 0 (a≠0)的根的判别式，记作“Δ”，即Δ = b2-4ac .
新课讲解
综上可知，我们不难发现一元二次方程ax2+ bx +c =0 (a≠0)的根的情况可由Δ = b2- 4ac来判断:
当Δ >0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
当Δ =0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
当Δ <0时，原方程没有实数根.
新课讲解
例
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:
(1) 3x2+4x -3=0; (2) 4x2= 12x - 9;
(3) 7y= 5(y2+1 ) .
解：(1)因为Δ = b2-4ac =42-4×3×( -3 )
=16+ 36 =52>0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
新课讲解
例
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:
(1) 3x2+4x -3=0; (2) 4x2= 12x - 9;
(3) 7y= 5(y2+1 ) .
解：(1)因为Δ = b2-4ac =42-4×3×( -3 )
=16+ 36 =52>0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
(2)将原方程化为一般形式，得
4x2- 12x +9=0.
因为Δ =b2-4ac = ( -12 )2-4×4×9
=144-144=0,
所以，原方程有两个相等的实数根.
新课讲解
例
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况:
(1) 3x2+4x -3=0; (2) 4x2= 12x - 9;
(3) 7y= 5(y2+1 ) .
(3)将原方程化为一般形式，得
5y2-7y+5=0.
因为Δ =b2-4ac = ( -7 )2-4×5×5
=49-100=-51<0,
所以，原方程没有实数根.
新课讲解
1. 一元二次方程x2-x+1=0 的根的情况为( )
(A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)只有一个实数根 (D)没有实数根
因为Δ =b2-4ac = ( -1 )2-4×1×1
=1-4=-3<0,
x2-x+1=0
所以，原方程没有实数根.
D
课堂练习
2. 不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:

解：(1)因为Δ = b2-4ac =32-4×1×( -1 )
=9+ 4 =13>0，
所以，原方程有两个不相等的实数根.
课堂练习
2. 不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:

解：(2)因为Δ = b2-4ac =(-6)2-4×1×9
=36-36=0，
所以，原方程有两个相等的实数根.
课堂练习
2. 不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:

解：(3)因为Δ = b2-4ac =(-3)2-4×2×4
=9-32 =-23<0，
所以，原方程没有实数根.
课堂练习
2. 不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况:

解：(4)将原方程化为一般形式，得


所以，原方程有两个相等的实数根.
课堂练习
3. 若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集(用含a的式子表示)．
解：∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0
∴a<-2


课堂练习
4.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
(1)求q关于p的关系式；
(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
解：(1)∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2，
∴4+2p+q+1=0，
即q=-2p-5；
课堂练习
4.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
(1)求q关于p的关系式；
(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
(2)证明：令x2+px+q=0．
则Δ=p2-4q=p2-4(-2p-5)=(p+4)2+4＞0，即Δ＞0，
所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根．
即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
课堂练习
课堂小结
第三部分
PART 03
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一元二次方程ax2+ bx +c =0 (a≠0)的根的情况可由Δ = b2- 4ac来判断:
当Δ >0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为
当Δ =0时，原方程有两个相等的实数根，其根为
当Δ <0时，原方程没有实数根.
课堂小结
课后作业
第四部分
PART 04
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1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业
第二章 一元二次方程 2.3
一元二次方程根
的判别式
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