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2024-2025学年吉林省长春市博硕学校八年级（上）期中数学试卷
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．（3分）化简的结果是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
2．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列运算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a3 a4＝a12 C．a3÷a2＝a D．（3a）2＝6a2
5．（3分）要使（﹣x）（x2﹣mx+2x）的展开式中不含x2的项，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
6．（3分）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为16时，输出的y的值是（　　）
A．8 B．4 C． D．
7．（3分）若长方形面积是3a2﹣3ab+9a，一边长为3a，则这个长方形的宽是（　　）
A．8a﹣2b+6 B．2a﹣2b+6 C．a+b+3 D．a﹣b+3
8．（3分）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（　　）
A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB
C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180°
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）已知x﹣2的立方根是﹣2，则x＝　 　 ．
10．（3分）因式分解：3x2﹣3＝　 　 ．
11．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是 　 　 ．
12．（3分）若x2﹣14x+m是完全平方式，则m＝　 　 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，则∠ADB的度数是 　 　 .
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则：①AD是∠BAC的平分线；②若∠B＝30°，则∠ADC＝60°；③AD＝BD；④S△DAC：S△DAB＝AC：AB．以上说法中正确的序号是　 　 ．
三、解答题（共10小题，共78分）
15．（6分）计算：
（1）；
（2）．
16．（8分）利用因式分解进行简便运算：
（1）20242﹣2025×2023；
（2）4+4×196+982．
17．（8分）把下列多项式分解因式：
（1）﹣5a2+25a；
（2）4a2﹣3b（4a﹣3b）．
18．（8分）先化简，再求值：
（3x+2y）（x﹣2y）﹣x（3x﹣2y），其中（y）2＝0．
19．（8分）图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中△ABC的形状是 　 　 ；
（2）在图①中确定一点D，连接DB、DC，使△DBC与△ABC全等；
（3）在图②中△ABC的边AB上确定一点P，连接CP，使△ACP与△ABC的面积比1：2．
20．（8分）如图，D、A、E三点在直线m上，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则线段DE、BD、CE之间有什么样的数量关系？请加以证明．
21．（8分）如图，某小区内有一块长（3m+n）米，宽（2m+n）米的长方形广场，该小区要对边长为（m+n）米的正方形阴影部分区域进行绿化，其余空白区域进行广场硬化．
（1）求该长方形广场上需要硬化部分的面积；
（2）若m＝10，n＝5，求硬化部分的面积．
22．（8分）如图，这是一张长方形纸片ABCD，其中AB＝4cm，AD＝8cm，E是BC边上的一点，且BE＝3cm，AE＝5cm，点P以2cm/s的速度从点A开始沿A﹣D﹣C﹣B﹣A的方向运动一周停止，当△AEP是以AE为腰的等腰三角形时，求点P运动的时间．
23．（8分）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1，所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9；得a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝6，x2+y2＝30，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若3a+b＝7，ab＝2，则3a﹣b＝　 　 ；
②若（x﹣3）（x﹣5）＝8，则（x﹣3）2+（x﹣5）2＝　 　 ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝76，求图中阴影部分面积．
24．（8分）【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据　 　 ，证明△AOC≌△BOC，则AO＝BO，AC＝BC（即点C为AB的中点）．
【类比解答】
如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC＝63°，∠B＝37°，通过上述构造全等的办法，可求得∠DAE＝　 　 ．
【拓展延伸】
如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论．
【实际应用】
如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取∠ACB的角平分线CD；②过点A作AD⊥CD于D．已知BC＝13，AC＝10，△ABC面积为26，则划出的△ACD的面积是多少？
2024-2025学年吉林省长春市博硕学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C C C． D D B
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．（3分）化简的结果是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．9
【解答】解：3，故A正确，
故选：A．
2．（3分）下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
B、2，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、，不是最简二次根式，故本选项错误．
故选：A．
3．（3分）下列运算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据二次根式的加减法以及二次根式乘除运算法则逐项分析判断如下：
A．，故选项A计算正确，不符合题意；
B． ，故选项B计算正确，不符合题意；
C． ，故选项C计算错误，符合题意；
D． ，故选项D计算正确，不符合题意；
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a3 a4＝a12 C．a3÷a2＝a D．（3a）2＝6a2
【解答】解：A、两者不是同类项，不能合并，a2+a3≠a5，该选项运算错误，不合题意；
B、a3 a4＝a3+4＝a7≠a12，运算错误，不合题意；
C、a3÷a2＝a3﹣2＝a，正确，符合题意；
D、（3a）2＝9a2≠6a2，运算错误，不合题意；
故选：C．
5．（3分）要使（﹣x）（x2﹣mx+2x）的展开式中不含x2的项，则m的值是（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
【解答】解：∵多项式（﹣x）（x2﹣mx+2x）＝﹣x3+（m﹣2）x2不含x2项，
∴m﹣2＝0，
解得m＝2．
故选：C．
6．（3分）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x为16时，输出的y的值是（　　）
A．8 B．4 C． D．
【解答】解：由题中所给的程序可知：把16取算术平方根，结果为4，
因为4是有理数，所以把4取算术平方根，结果为2，
因为2是有理数，所以把2取算术平方根，结果为，
因为结果为无理数，
所以y．
故选：D．
7．（3分）若长方形面积是3a2﹣3ab+9a，一边长为3a，则这个长方形的宽是（　　）
A．8a﹣2b+6 B．2a﹣2b+6 C．a+b+3 D．a﹣b+3
【解答】解：根据长方形面积除以其一边长可得：
（3a2﹣3ab+9a）÷3a
＝3a2÷3a﹣3ab÷3a+9a÷3a
＝a﹣b+3，
故选：D．
8．（3分）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（　　）
A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB
C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180°
【解答】解：∵△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，
∴△OAB≌△ODC，
∴∠AOB＝∠COD，
∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴∠AOE＝∠BOE∠AOB，∠COF＝∠DOF∠COD，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF，
∵OE⊥OF，
∴∠BOE+∠BOF＝90°，
∵∠BOE＝∠DOF，
∴∠DOF+∠BOF＝90°，
∴OB⊥OD，故A正确；
∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定，
∴无法证明∠BOC与∠AOB的关系，故B错误；
∵△OAB≌△ODC，点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴OE＝OF，故C正确；
∵OB⊥OD，
∴∠BOC+∠COD＝90°①，
∵OE⊥OF，
∴∠COF+∠EOC＝90°，
∵∠COF＝∠AOE，
∴∠AOE+∠EOC＝90°，
∴OC⊥OA，
∴∠AOB+∠BOC＝90°②，
①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC＝180°，
即∠BOC+∠AOD＝180°，故D正确．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）已知x﹣2的立方根是﹣2，则x＝　﹣6　 ．
【解答】解：由题意得，x﹣2＝（﹣2）3，
解得：x＝﹣6，
故答案为：﹣6．
10．（3分）因式分解：3x2﹣3＝　3（x﹣1）（x+1）　 ．
【解答】解：原式＝3（x2﹣1）＝3（x﹣1）（x+1），
故答案为：3（x﹣1）（x+1）．
11．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是 　0＜x≤1　 ．
【解答】解：∵式子有意义，
∴，
∴或，
解得0＜x≤1．
故答案为：0＜x≤1．
12．（3分）若x2﹣14x+m是完全平方式，则m＝　49　 ．
【解答】解：∵x2﹣14x+m是完全平方式，
根据完全平方公式：a2±2ab+b2，
∴x2﹣14x+m＝x2﹣2 x 7+72，
即m＝72＝49．
故答案为：49．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，则∠ADB的度数是 　60°　 .
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C（180°﹣120°）＝30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∵∠ADB＝∠C+∠DAC，
∴∠ADB＝60°，
故答案为：60°．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则：①AD是∠BAC的平分线；②若∠B＝30°，则∠ADC＝60°；③AD＝BD；④S△DAC：S△DAB＝AC：AB．以上说法中正确的序号是　①②④　 ．
【解答】解：由作图过程可知，AD是∠BAC的平分线，
故①正确，符合题意；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠B＝30°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∴，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝60°，
故②正确，符合题意；
由已知条件不能得出∠B＝∠BAD，
∴不能得出AD＝BD，
故③错误，不符合题意；
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴CD＝DE，
∴，
故④正确，符合题意．
综上所述，正确的序号是①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题（共10小题，共78分）
15．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
16．（8分）利用因式分解进行简便运算：
（1）20242﹣2025×2023；
（2）4+4×196+982．
【解答】解：（1）20242﹣2025×2023
＝20242﹣（2024+1）×（2024﹣1）
＝20242﹣（20242﹣1）
＝20242﹣20242+1
＝1；
（2）4+4×196+982
＝（22+2×2×98+982）+2×2×98
＝（2+98）2+2×2×98
＝1002+392
＝10392．
17．（8分）把下列多项式分解因式：
（1）﹣5a2+25a；
（2）4a2﹣3b（4a﹣3b）．
【解答】解：（1）﹣5a2+25a＝﹣5a（a﹣5）；
（2）4a2﹣3b（4a﹣3b）
＝4a2﹣12ab+9b2
＝（2a﹣3b）2．
18．（8分）先化简，再求值：
（3x+2y）（x﹣2y）﹣x（3x﹣2y），其中（y）2＝0．
【解答】解：原式＝3x2﹣6xy+2xy﹣4y2﹣（3x2﹣2xy）
＝3x2﹣6xy+2xy﹣4y2﹣3x2+2xy
＝﹣2xy﹣4y2，
由非负数性质可知：x﹣1＝0，，
∴x＝1，，
∴原式
＝﹣3﹣9
＝﹣12．
19．（8分）图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中△ABC的形状是 　直角三角形　 ；
（2）在图①中确定一点D，连接DB、DC，使△DBC与△ABC全等；
（3）在图②中△ABC的边AB上确定一点P，连接CP，使△ACP与△ABC的面积比1：2．
【解答】解：（1）由图可得，AB2＝20，AC2＝5，BC2＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC的形状是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（2）如图①，△BCD1，△BCD2，△BCD3都是满足条件的三角形；
（3）取格点P，连接CP，点P即为所求，如图②．
20．（8分）如图，D、A、E三点在直线m上，若AB＝AC，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，则线段DE、BD、CE之间有什么样的数量关系？请加以证明．
【解答】解：线段DE、BD、CE之间的数量关系为：DE＝BD+CE，
证明如下：
∵∠BAC＝∠BDA＝∠AEC，
∴∠DAB+∠DBA＝180°﹣∠ADB＝180°﹣∠BAC＝∠DAB+∠CAE，
∴∠DBA＝∠EAC，
又∵AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC（AAS），
∴AD＝CE，AE＝BD，
又∵DE＝AD+AE，
∴DE＝BD+CE．
21．（8分）如图，某小区内有一块长（3m+n）米，宽（2m+n）米的长方形广场，该小区要对边长为（m+n）米的正方形阴影部分区域进行绿化，其余空白区域进行广场硬化．
（1）求该长方形广场上需要硬化部分的面积；
（2）若m＝10，n＝5，求硬化部分的面积．
【解答】解：（1）根据题意，广场上需要硬化部分的面积是：（2m+n）（3m+n）﹣（m+n）2
＝6m2+2mn+3mn+n2﹣（m2+2mn+n2）
＝6m2+5mn+n2﹣m2﹣2mn﹣n2
＝5m2+3mn，
答：广场上需要硬化部分的面积是（5m2+3mn）米2．
（2）把m＝10，n＝5代入得，
5m2+3mn＝5×102+3×10×5＝650（米2）
答：广场上需要硬化部分的面积是650米2．
22．（8分）如图，这是一张长方形纸片ABCD，其中AB＝4cm，AD＝8cm，E是BC边上的一点，且BE＝3cm，AE＝5cm，点P以2cm/s的速度从点A开始沿A﹣D﹣C﹣B﹣A的方向运动一周停止，当△AEP是以AE为腰的等腰三角形时，求点P运动的时间．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝4cm，AD＝8cm，
∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝4cm，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°，
点P以2cm/s的速度从点A开始沿A﹣D﹣C﹣B﹣A的方向运动一周停止，△AEP是以AE为腰的等腰三角形时，分三种情况如下：
如图1，当AE＝AP1＝5cm时，
∴t＝5÷2＝2.5（s）；
如图2，当AE＝EP2＝5cm时，过点E作EF⊥AP2于点F，
∵∠ABE＝∠AFE＝∠BAF＝90°，
∴四边形ABEF为长方形，
∴AF＝BE＝3cm，
∵AE＝EP2＝5cm，EF⊥AP2，
∴AP2＝2AF，
∴AP2＝6cm，
∴；
如图3，当AE＝EP3＝5cm时，此时点P3与点C重合，
∴点P3运动的距离＝AD+CD＝8+4＝12（cm），
∴．
综上所述，当△AEP是以AE为腰的等腰三角形时，点P运动的时间t为2.5s或3s或6s．
23．（8分）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1，所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9；得a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝6，x2+y2＝30，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若3a+b＝7，ab＝2，则3a﹣b＝　±5　 ；
②若（x﹣3）（x﹣5）＝8，则（x﹣3）2+（x﹣5）2＝　20　 ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝76，求图中阴影部分面积．
【解答】解：（1）∵x+y＝6，x2+y2＝30，
∴（x+y）2＝36，
∴xy＝3；
（2）①∵3a+b＝7，ab＝2，
∴（3a+b）2＝49，
∴9a2+6ab+b2＝49，
∵ab＝2，
∴6ab＝12，
∴9a2+b2＝49﹣12＝37，
∴9a2﹣6ab+b2＝37﹣12＝25，
即（3a﹣b）2＝25，
∴3a﹣b＝±5，
故答案为：±5；
②∵（x﹣3）（x﹣5）＝8，
∴x2﹣8x＝﹣7，
∴（x﹣3）2+（x﹣5）2
＝x2﹣6x+9+x2﹣10x+25
＝2（x2﹣8x）+34
＝﹣7×2+34
＝20，
故答案为：20；
（3）如图：
设AC＝a，BC＝b，
根据题意得：a+b＝10，a2+b2＝76，
则阴影部分的面积为，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝100，
∴2ab＝100﹣76＝24，
∴．
24．（8分）【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，可根据SAS ，证明△AOC≌△BOC，则AO＝BO，AC＝BC（即点C为AB的中点）．
【类比解答】
如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，若∠EAC＝63°，∠B＝37°，通过上述构造全等的办法，可求得∠DAE＝　26°　 ．
【拓展延伸】
如图3，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论．
【实际应用】
如图4是一块肥沃的三角形土地，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取∠ACB的角平分线CD；②过点A作AD⊥CD于D．已知BC＝13，AC＝10，△ABC面积为26，则划出的△ACD的面积是多少？
【解答】解：【问题情境】∵OP平分∠MON，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵AC⊥OP，
∴∠ACO＝∠BCO，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（ASA），
∴AO＝BO，AC＝BC，
故答案为：SAS；
【类比解答】如图2，延长AE交BC于点F，
由【问题情境】可知，AC＝FC，
∴∠EFC＝∠EAC＝63°，
∵∠EFC＝∠B+∠DAE，
∴∠DAE＝∠EFC﹣∠B＝63°﹣37°＝26°，
故答案为：26°；
【拓展延伸】；
证明：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，如图3，延长BE、CA交于点F，
则∠BAF＝180°﹣∠BAC＝90°＝∠BAC，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°＝∠BAC，
∵∠BDC＝∠ABF+∠BED＝∠ACD+∠BAC，
∴∠ABF＝∠ACD，
又∵AB＝AC，
在△ABF和△ACD中，
，
∴△ABF≌△ACD（ASA），
∴BF＝CD，
由【问题情境】可知，，
∴；
【实际应用】如图4，延长AD交BC于E，
由【问题情境】可知，AD＝ED，EC＝AC＝10，
∴S△ACD＝S△ECD，
∵S△ABC＝26，
S△ACES△ABC26＝20，
S△ACDS△ACE＝10，
答：△ACD的面积是10．

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