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21.2.2 解一元二次方程
解一元二次方程之公式法
第二十一章 一元二次方程
前 言
学习目标
1.使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。
2.引导学生熟记求根公式，并理解公式中的条件。
3.使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程
重点难点
重点：掌握一元二次方程的求根公式，并熟练地运用求根公式求解一元二次方程。
难点：求根公式的推导。
此时可以直接开平方吗？需要注意什么？
用配方法解一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0)
你还记得
配方法的步骤吗？
二次项系数化为1，得
配方，得
整理后，得
解：移项，得
探究
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值不确定，需分情况讨论：
（1）若b2﹣4ac＞0
=±
方程有两个不相等的实数根
则 >0
将①直接开平方，得
探究
（2）若b2﹣4ac=0
则 =0
将①直接开平方，得
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值不确定，需分情况讨论：
=0
此时，方程有两个相等的实数根
x1=x2=﹣
探究
（3）若b2﹣4ac<0
则 <0
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值不确定，需分情况讨论：
而x取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根.
探究
一般地,式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式。
概念：
表示：
通常用希腊字母“Δ”表示（音译为“德尔塔” ），即Δ=b2－4ac.
判别式的概念
=
由前面的推导过程，可知：
1）若0，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根。
2）若0，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根。
3）若0，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根 。
当时，你可以写出一元二次方程根的表达式吗？
当时，方程有两个实数根
小结
求根公式概念：
公式法概念：
当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
公式法的概念
③如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：
①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
②求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
④最后求出x1，x2
公式法解一元二次方程的步骤
例：用公式法解下列方程:
(1)x2-4x-7=0;
(2)2x2-x+1=0
(3)5x2-3x=x+1
(4)x2+17=8x
解:(1)a=1,b=-4,c=-7
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0
方程有两个不等的实数根
即x1=,x2=
=
注意a，b，c的符号
公式法的应用
例：用公式法解下列方程:
(1)x2-4x-7=0;
(2)2x2-x+1=0
(3)5x2-3x=x+1
(4)x2+17=8x
解:(2)a=2,b=- ,c=1
Δ=b2-4ac=(- )2-4×2×(1)=0
方程有两个相等的实数根
即x1=x2=
=
注意a，b，c的符号
公式法的应用
例：用公式法解下列方程:
(1)x2-4x-7=0;
(2)2x2-x+1=0
(3)5x2-3x=x+1
(4)x2+17=8x
解:(3)移项得， 5x2-4x-1=0
a=5,b=- ,c=-1
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0
方程有两个不相等的实数根
=
注意a，b，c的符号
即x1=,x2=-
公式法的应用
例：用公式法解下列方程:
(1)x2-4x-7=0;
(2)2x2-x+1=0
(3)5x2-3x=x+1
(4)x2+17=8x
解:(4)移项得， x2-8x+17=0
a=1,b=- ,c=17
Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4 < 0
方程无实数根
注意a，b，c的符号
公式法的应用
1.用公式法解下列方程:
课堂测试
2.关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是_________ .
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根的两种情况。
解：
则
课堂测试
3.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是 （ ）
A.k>-1 B. k>-1 且k≠ 0
C. k<1 D. k<1 且k≠0
解: ∵＞0
∴ k＞-1
而kx2-2x-1=0是一元二次
∴ k≠0 则 k＞-1且k≠0
课堂测试
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第二十一章 一元二次方程

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