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高三年级模拟考（四）
数学试卷
考试时间：2025年5月31日下午15：00——17:00 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.集合A={a|a2- 2a- 3≥ 0}，B={π，e，0，-e}，则A∩B的真子集的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. z设复数 z满足 2-i = i（i为虚数单位），则 z的共轭复数在复平面内对应的点位于第
（ ）象限
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

3. 4如图，已知AP= 3 AB，用OA，OB表示OP，则OP等于（ ）

A. 1 42 OA- 3 OB
1 4 B. 2 OA+ 3 OB

C. - 1 OA+ 43 3 OB

D. 13 OA-
4
3 OB
4.某数学学习兴趣小组 8名同学，在一次数学素质拓展测试中的得分如下：122，125，
128，131，133，135，138，140．这 8名同学成绩得分的第 60百分位数是（ ）
A. 131 B. 132 C. 133 D. 134
5.设 a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面，则下列命题中错误的是
（ ）
A. 若 a α，b α，则 a b B. 若 α β，α∩ γ= a，β∩ γ= b，则 a b
C. 若 a⊥ β，b⊥ β，则 a b D. 若 α β，a⊥ α，b⊥ β，则 a b
6.已知等差数列 {an}的前n项和为Sn，且S11= 11(a5+ 2)，则公差为（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 2
7.已知 a= log32，b= log54，c= log98，则（ ）
A. c< b< a B. a< c< b C. b< a< c D. a< b< c
数学试卷 第 1 页
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8.在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 kx- y- k+ 1= 0与圆 x2+ y2= 4相交于A，B
两点，则 AB 的最小值为（ ）
A. 4 2 B. 3 C. 2 2 D. 2 3
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题列出的四个选项中，有多个
选项是符合题目要求的，全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
9.对于函数 f(x) = |sin2x|和 g(x) = |cos2x|，下列正确的有（ ）
A. f(x)与 g(x)有相同零点 B. f(x)与 g(x)有相同最大值
C. f(x)与 g(x)有相同的最小正周期 D. f(x)与 g(x)的图象有相同的对称轴
10.函数 f(x) = x3- 3x2- 9x- a有三个不同的零点，从小到大依次为 x1,x2,x3，则（ ）
A. - 27< a< 5
B. 函数 y= f(x) + a的对称中心为 (1，-11)
C. 过 (x1，f(x1))引曲线 y= f(x)的切线，有且仅有 1条
D. 若 x1,x2,x3成等差数列，则 a=-11
11.在棱长为 2正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F是侧面BB1C1C内的一
点（包含边界），则以下结论正确的是（ ）
A. 若 |AF| = 5，则F的轨迹长度为 π
B. EF A D π与 1 所成角的最大值为 3
C. 4若三棱锥A1-DEF的体积为 3，则F的轨迹长度为 2 2
D. 若F CC 41π在线段 1上，则三棱锥A-BB1F外接球表面积的取值范围是 4 ,12π
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 (x- 2y)n展开式中二项式系数之和为 128，则 (x- 2y)n展开式中 x4y3的系数为
．
2
13. F F C x
2 y
已知 1， 2是椭圆 ：9 + 4 = 1的两个焦点，点M C
1 1
在 上，则 + 的最
MF1 MF2
小值为 ．
14.已知正整数n，欧拉函数 φ(n)表示 1,2, ,n中与n互素的整数的个数，如 φ(2) = 1，
φ(4) = 2．若小明从 3，5，7，11，13中随机取一个数 k，小红从 6，8，9，10，30中随机
取一个数 l，则 φ(k) - φ(l) = 2的概率为 .
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）
记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c，asinA= 3bsinC．
（1）求A的最大值；
（2）若 b≠ c，且A= 2B，求 cosC．
16.（15分）
如图，在三棱锥A-BCD中，AB=BD= 2，BC=CD= 2，AB BD，点 E为AD
的中点．
（1）求证：BD CE；
（2）若平面ABD 平面BCD，求直线AC与平面BCE所成角的正弦值；
17.（15分）
某品牌新能源汽车在某城市 2025年 1月至 5月的销售量如下表所示：
月份 x 1 2 3 4 5
销售量 y/辆 32 48 63 80 107
（1）求 y关于 x的经验回归方程：
（2）用（1）中所求的方程来拟合数据时，定义残差的绝对值大于 3的一对数据为“异常
数据”，现从这 5对数据中任取 3对做残差分析，求取到的数据中“异常数据”的对数
X的概率分布和数学期望．

附：经验回归直线 y= bx+ a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
n
(x -x
)(y -y i i )
b= i=1 n ，a
= y - bx .
(x 2i-x)
i=1
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18.（17分）
2 y2
C x已知椭圆 ： 2 + 2 = 1(a> b> 0)
1
的离心率为 2，右顶点为A(2,0)．a b
（1）求C的标准方程；
2 B 1（ ）若 4 ,0 ，直线 l过C的右焦点且与C交于P，Q两点，
①求 |PB|的最小值；
②若AP∥BQ，求 l的方程．
19.（17分）
f x = sinx已知函数 x .
（1）判断函数 f x 在区间 0,3π 上极值点的个数并证明；
（2）函数 f x 在区间 (0, +∞)上的极值点从小到大分别为 x1,x2,x3, ,xn, ，
设 an= f xn ，Sn为数列 an 的前n项和.
①证明：a1+ a2< 0；
②试问是否存在n∈N *使得Sn≥ 0？若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说
明理由.
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