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习题课1　平抛运动规律的综合应用
1.如图所示，甲、乙两人在高楼不同窗口向对面的斜面上水平抛出两个质量不等的A、B小球，分别同时落在斜面上。不计空气阻力，则B小球比A小球（　　）
A.先抛出，初速度大
B.后抛出，初速度大
C.先抛出，初速度小
D.后抛出，初速度小
2.滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0 m/s的速度水平飞出，落在斜坡上，然后继续沿斜坡下滑。已知斜坡倾角为45°，空气阻力忽略不计，g取10 m/s2，则他在该斜坡上方平抛运动的时间为（　　）
A.0.5 s B.1.0 s
C.1.5 s D.5.0 s
3.如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则（　　）
A.当v1＞v2时，α1＞α2
B.当v1＞v2时，α1＜α2
C.无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D.α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
4.如图所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点把两个可视为质点的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为（sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6）（　　）
A.1∶1 B.1∶3
C.16∶9 D.9∶16
5.（多选）（2024·四川达州期末）如图所示，一小球从倾角为θ的斜面顶端O点先以速度大小v1水平抛出，用时t1落在斜面上的A点，后以速度大小v2水平抛出，用时t2落在斜面上的B点。已知O、B间距离是O、A间距离的3倍，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
6.如图所示，一根长木杆AB两端分别固定在竖直墙壁AO和水平地面上，已知杆的B端与水平地面之间的夹角为53°，A点到地面的距离为10 m。从竖直墙壁上距地面8 m的C点以水平速度v0射出一颗小石子，要使小石子能在落地前碰到AB杆（重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6），则小石子出射的水平速度至少为（　　）
A.2 m/s B.3 m/s
C.5 m/s D. m/s
7.（多选）如图所示，在某次比赛中，排球从底线A点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB平行于边界CD。已知网高为h，球场的长度为s，重力加速度为g，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H和水平初速度v分别为（　　）
A.H＝h B.H＝h
C.v＝ D.v＝
8.如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平地面上，不计阻力，则下列说法正确的是（　　）
A.A、B的运动时间相同
B.A、B沿x轴方向的速度不同
C.A、B运动过程中的加速度大小相同
D.A、B落地时速度大小相同
9.（多选）在倾角为37°的斜面上，从A点以6 m/s的速度水平抛出一小球，小球落在B点，如图所示，则以下说法正确的是（g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）（　　）
A.小球在空中飞行时间为0.85 s
B.A、B两点距离为6.75 m
C.小球在B点时的速度方向与水平方向夹角的正切值为1.5
D.到达B点时的速度为12 m/s
10.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　）
A.＜v＜L1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
11.如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点。求：（空气阻力不计，重力加速度为g）
（1）A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；
（2）从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？
习题课1　平抛运动规律的综合应用
1.B　B的竖直位移较小，根据t＝可知，B运动的时间较短，则B后抛出；B水平位移较大，根据v0＝可知，B的初速度较大。
2.B　滑雪运动员做平抛运动，在水平方向有x＝v0t，在竖直方向有y＝gt2，根据题意有tan 45°＝＝，解得t＝1.0 s，故选B。
3.C　小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移方向与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝＝＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan β＝＝，故可得tan β＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是β，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的大小无关，选项C正确。
4.D　根据平抛运动的规律可知，x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝，则运动时间t＝，分别将37°、53°代入可得A、B两个小球运动时间之比为tA∶tB＝tan 37°∶tan 53°＝9∶16，选项D正确，A、B、C错误。
5.BD　小球做平抛运动，则有x＝v0t，h＝gt2，由于O、B间距离是O、A间距离的3倍，则＝，＝，则＝，＝，故B、D正确。
6.D　平抛运动轨迹如图所示。
AC之间的距离为：10 m－8 m＝2 m，由图可知x＝（y＋2）tan 37°，根据平抛运动规律有：x＝v0t，y＝gt2，tan 53°＝＝，联立解得v0＝ m/s，故选D。
7.AD　排球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，有x＝vt，则排球从初位置运动到网的位置与排球从初位置到落地的时间之比为t1∶t2＝∶s＝1∶2，排球在竖直方向上做自由落体运动，由H－h＝g，H＝g得，＝＝，解得H＝h，故A正确，B错误；排球从被发出至落在B点的过程中有s＝vt，所以v＝＝＝，故C错误，D正确。
8.D　设O点与水平地面的高度差为h，A质点做平抛运动，根据平抛运动的规律可知，vx＝v0，h＝g，B质点在光滑斜面上的运动可视为类平抛运动，沿x轴方向的速度vx＝v0，其沿斜面方向的加速度为gsin θ，由类平抛运动规律可知，＝gsin θ，则A、B两质点运动时间分别为：t1＝，t2＝，故t1＜t2，选项A、B错误；由a1＝g，a2＝gsin θ可知，选项C错误；A落地的速度大小为
vA＝＝，B落地的速度大小为vB＝＝，所以vA＝vB，选项D正确。
9.BC　如图所示，vx＝v0，vy＝gt，x＝v0t，y＝gt2，tan 37°＝＝，所以t＝＝0.9 s，所以A错误；A、B两点的距离s＝＝6.75 m，所以B正确；小球在B点有，tan α＝＝＝1.5，所以C正确；到达B点时的速度v＝＝ m/s＜12 m/s，所以D错误。
10.D　设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间。则竖直方向上有3h－h＝g，水平方向上有＝v1t1，联立可得v1＝。设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h＝g，在水平方向有＝v2t2，联立可得v2＝，则v的最大取值范围为v1＜v＜v2，故选项D正确。
11.（1）　　（2）　
解析：（1）设飞行时间为t，则
水平方向位移lABcos 30°＝v0t，
竖直方向位移lABsin 30°＝gt2，
解得t＝tan 30°＝，lAB＝。
（2）如图所示，把初速度v0、重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量。在垂直斜面方向上，小球做的是以v0y为初速度、gy为加速度的“竖直上抛”运动。
小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0，
由vy＝v0y－gyt'可得
t'＝＝＝ tan 30°＝
小球离斜面的最大距离y＝＝＝。
2 / 3习题课1　平抛运动规律的综合应用
核心 素养 目标 1.会推导平抛运动的两个重要推论，并会利用两个结论解决实际问题。 2.学会解决与斜面、曲面结合的平抛运动问题的方法。 3.掌握解决平抛运动临界问题的方法。 4.会利用平抛运动规律解决类平抛运动问题。
要点一　平抛运动的两个重要推论
【探究】
　（1）如图所示，以初速度v0水平抛出的物体，经时间t后速度方向和位移方向相同吗？两者与水平方向夹角的正切值有什么关系？
（2）结合以上结论并观察速度反向延长线与x轴的交点，你有什么发现？
【归纳】
　平抛运动的两个重要推论
（1）“正切2倍”：做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向的夹角θ、位移方向与水平方向的夹角α的关系为tan θ＝2tan α。
（2）“反延过中”：做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
【典例1】　一物体做平抛运动的轨迹如图所示，物体从O点抛出，x、y分别表示其水平和竖直的分位移。在物体运动过程中的某一点P（x0，y0），其速度vP的反向延长线交x轴于A点（A点未画出），则OA的长度为（　　）
A.x0　　　　　　　　　　　 B.0.5x0
C.0.3x0 D.不能确定
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　如图所示，一小球自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，小球与斜面接触时速度方向与水平方向的夹角φ满足（　　）
A.tan φ＝sin θ B.tan φ＝cos θ
C.tan φ＝tan θ D.tan φ＝2tan θ
要点二　与斜面、曲面结合的平抛运动
1.顺着斜面抛：如图所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后，又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。结论有：
（1）速度方向与斜面夹角恒定。
（2）水平位移和竖直位移的关系：
tan θ＝＝＝。
（3）运动时间t＝。
2.对着斜面抛：如图所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角。结论有：
（1）速度方向与斜面垂直。
（2）水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝＝。
（3）运动时间t＝。
3.与斜面相切：如图所示，物体从斜面顶端切入，即速度恰好沿斜面方向，水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝＝。
4.与曲面结合：如图所示，处理方式跟斜面类平抛运动类似，即找出速度或位移的几何特性，分解后写出相应的边角关系解题。
　
【典例2】　跳台滑雪以其特有的惊险性、刺激性成为历届冬奥会中备受关注的项目之一，目前的世界纪录已经超过了250米。如图，某运动员在比赛中以v0＝30 m/s的水平速度从倾角为30°的斜坡顶端飞出（可近似视为平抛运动），当地重力加速度取g＝10 m/s2。当该运动员再次落到斜面上时，落点与斜坡顶端的高度差约为（　　）
A.60 m　 B.90 m
C.120 m　 D.150 m
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例3】　如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为（　　）
A. B.
C. D.
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例4】　如图所示，小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上。在这一过程中，求：（不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，tan 37°＝）
（1）小球在空中的飞行时间；
（2）抛出点距撞击点的竖直高度；
（3）小球撞到斜面时，小球在竖直方向上下落的距离与在水平方向上通过的距离之比。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图所示，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点。已知球拍与水平方向的夹角θ＝60°，A、B两点间的高度差h＝1 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则球刚要落到球拍上时速度的大小为（　　）
A.2 m/s　 B.2 m/s
C.4 m/s　 D. m/s
2.如图所示，在竖直放置的半球形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2沿相反方向抛出两个小球1和2（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球的初速度之比为（　　）
A.tan α B.cos α
C.tan α D.cos α
要点三　平抛运动的临界问题
1.与平抛运动相关的临界情况
（1）有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在临界点。
（2）如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
（3）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点。
2.分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹。当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受下落高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解。
【典例5】　如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，不计空气阻力。则v的取值范围是（　　）
A.v＞7 m/s B.v＜2.3 m/s
C.3 m/s＜v＜7 m/s D.2.3 m/s＜v＜3 m/s
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏。如图所示，游戏时，游戏者滑动屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固定在水平地面上的圆柱形废纸篓，纸团恰好从纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底角。若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行的是（　　）
A.在P点将纸团以小于v的速度水平抛出
B.在P点将纸团以大于v的速度水平抛出
C.在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出
D.在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出
2.如图所示，M、N是两块挡板，挡板M高h'＝10 m，其上边缘与挡板N的下边缘在同一水平面。从高h＝15 m的A点以速度v0水平抛出一小球（可视为质点），A点与两挡板的水平距离分别为d1＝10 m，d2＝20 m。N板的上边缘高于A点，若能使小球直接进入挡板M的右边区域，则小球水平抛出的初速度v0的大小可能是下列给出数据中的哪个（g取10 m/s2，空气阻力不计）（　　）
A.8 m/s　　　　　　　 B.4 m/s
C.15 m/s D.21 m/s
要点四　类平抛运动
1.受力特点
物体所受的合力为恒力，且与初速度方向垂直。
2.研究方法：运动的分解
将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和恒定合力方向的初速度为零的匀变速直线运动。
3.运动规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t。
合力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2。
【典例6】　如图所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点P沿水平方向射入，恰好从底端右侧Q点离开斜面，已知重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）物块加速度的大小a；
（2）可以把物块的运动怎样分解；
（3）物块由P运动到Q所用的时间t；
（4）物块由P点水平射入时初速度的大小v0。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　如图所示，A、B两个质点以相同的水平速度从坐标原点O沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B紧贴光滑的斜面运动，落地点为P2，P1、P2在同一水平面内，P1和P2对应的x轴坐标分别为x1和x2，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A.x1＝x2 B.x1＞x2
C.x1＜x2 D.无法判断
1.如图所示，若质点以初速度v0正对倾角为θ＝37°的斜面水平抛出，要求质点到达斜面时位移最小，则质点的飞行时间为（ 重力加速度为g，tan 37°＝）（　　）
A. B.
C. D.
2.（多选）如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端P处；在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处，若不计空气阻力，下列关系式正确的是（　　）
A.va＝vb B.va＝vb
C.ta＝tb D.ta＝tb
3.羽毛球运动员林丹曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，如图是他表演时的羽毛球场地示意图。图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等高。若林丹每次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则（　　）
A.击中甲、乙的两球初速度v甲＝v乙
B.击中甲、乙的两球初速度v甲＞v乙
C.假设某次发球能够击中丙鼓，用相同大小的速度发球可能击中丁鼓
D.击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大
4.如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为（　　）
A. B.
C. D.
习题课1　平抛运动规律的综合应用
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：（1）不相同；
由题图知，tan θ＝＝
tan α＝＝＝
所以tan θ＝2tan α。
（2）xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，vx＝v0，
又tan θ＝＝，解得xA'B＝＝。
【典例1】　B　法一：由题意作图，设v与水平方向的夹角为θ，由几何关系得tan θ＝ ①
由平抛运动规律得
水平方向有x0＝v0t ②
竖直方向有y0＝vyt ③
由①②③得tan θ＝
在△AEP中，由几何关系得AE＝＝
所以OA＝x0－＝0.5x0。
法二：由平抛运动的推论知，物体做平抛运动时速度方向的反向延长线过水平位移的中点，故OA的长度为0.5x0。
素养训练
　D　法一：由题图可知，接触斜面时位移方向与水平方向的夹角为θ，由平抛运动的推论可知，速度方向与水平方向的夹角φ与θ有关系tan φ＝2tan θ，选项D正确。
法二：设小球飞行时间为t，则tan φ＝＝，tan θ＝＝＝，故tan φ＝2tan θ，选项D正确。
要点二
【典例2】　A　由题意知，运动员做平抛运动，从斜面顶端抛出又落到斜面上，则＝tan θ，根据平抛运动规律又有x＝v0t，h＝gt2联立各式解得t＝，则其落点与坡顶的高度差为h＝gt2＝60 m，故选A。
【典例3】　B　小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则小球在B点的速度方向与水平方向的夹角为30°，故vy＝v0tan 30°，又vy＝gt，则v0tan 30°＝gt，
联立解得t＝。
小球在水平方向上做匀速直线运动，则有
R＋Rcos 60°＝v0t，
联立解得v0＝，故选B。
【典例4】　（1）2 s　（2）20 m　（3）2∶3
解析：（1）将小球垂直撞在斜面上的速度分解，如图所示。
由图可知θ＝37°，φ＝90°－37°＝53°
tan φ＝
则t＝tan φ＝× s＝2 s。
（2）h＝gt2＝×10×22 m＝20 m。
（3）小球在竖直方向上下落的距离y＝gt2＝20 m，小球在水平方向上通过的距离x＝v0t＝30 m，所以y∶x＝2∶3。
素养训练
1.C　球的运动示意图如图所示。
根据h＝gt2，得t＝ ＝ s＝ s
竖直分速度vy＝gt＝10× m/s＝2 m/s，根据平行四边形定则知，球刚要落到球拍上时速度的大小v＝＝4 m/s，故C正确，A、B、D错误。
2.C　两小球被抛出后都做平抛运动，设容器的半径为R，两小球运动的时间分别为t1、t2。对球1：Rsin α＝v1t1，Rcos α＝g，对球2：Rcos α＝v2t2，Rsin α＝g，联立以上四式解得＝tan α，故选C。
要点三
【典例5】　C　若小物件恰好经窗口上沿，则有h＝g，L＝v1t1，解得v1＝7 m/s；若小物件恰好经窗口下沿，则有h＋H＝g，L＋d＝v2t2，解得v2＝3 m/s，所以3 m/s＜v＜7 m/s，故C正确。
素养训练
1.C　在P点将纸团以小于v的速度水平抛出，纸团下降到纸篓上边沿这段时间内，水平位移变小，纸团不能进入纸篓中，故A错误；在P点将纸团以大于v的速度水平抛出，则纸团下降到篓底的时间内，水平位移增大，不能直接击中篓底的正中间，故B错误；要使纸团进入纸篓且直接击中篓底正中间，分析临界状态可知，最可能的入篓点为左侧纸篓上边沿，若在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出，根据x＝v知，纸团水平位移可以减小且不会与纸篓的左边沿相撞，纸团有可能击中篓底正中间，故C正确；同理可得D错误。
2.C　要让小球落到挡板M的右边区域，下落的高度为Δh＝h－h'＝5 m，由t＝得t＝1 s，由d1＝v01t，d2＝v02t，得v0的范围为10 m/s＜v0＜20 m/s，故C正确，A、B、D错误。　
要点四
【典例6】　（1）gsin θ　（2）分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿斜面向下的匀加速直线运动　（3）
（4）b
解析：（1）物块合力沿斜面向下，正交分解重力，则有
mgsin θ＝ma
解得a＝gsin θ。
（2）物块沿初速度方向不受力，做匀速直线运动，合力方向初速度为0，做匀加速直线运动。
（3）沿斜面方向有l＝at2。
解得t＝。
（4）沿水平方向有b＝v0t
v0＝＝b。
素养训练
　C　设A、B质点抛出时的水平初速度为v0，下落高度为h。A质点做平抛运动，运动的时间为tA＝；B质点做类平抛运动，在斜面上沿垂直v0方向，有＝gsin θ（θ为斜面与水平面的夹角），解得tB＝，可知tB＞tA。由质点沿x轴方向的位移x＝v0t，可得x1＜x2。故A、B、D错误，C正确。
【教学效果·勤检测】
1.C　要使质点到达斜面时位移最小，则质点的位移应垂直斜面，如图所示，有x＝v0t，y＝gt2，且tan θ＝＝＝，所以t＝＝，选项C正确。
2.AD　a球下落的高度和水平方向上运动的距离均是b球的2倍，即ya＝2yb，xa＝2xb，而xa＝vata，ya＝g，xb＝vbtb，yb＝g，可求出ta＝tb，va＝vb。
3.B　甲、乙距飞出点的高度相同，击中甲、乙的羽毛球的运动时间相同，由于水平位移x甲＞x乙，所以v甲＞v乙，A错误，B正确；同理可知v丁＞v丙，C、D错误。
4.A　如图所示，对在B点时的速度进行分解，小球运动的时间t＝＝，则A、B间的水平距离x＝v0t＝，故A正确，B、C、D错误。
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习题课1　平抛运动规律的综合应用
核心 素养 目标 1.会推导平抛运动的两个重要推论，并会利用两个结论解决实际问题。
2.学会解决与斜面、曲面结合的平抛运动问题的方法。
3.掌握解决平抛运动临界问题的方法。
4.会利用平抛运动规律解决类平抛运动问题。
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　平抛运动的两个重要推论
【探究】
　（1）如图所示，以初速度v0水平抛出的物体，经时间t后速度方向和位移方向相同吗？两者与水平方向夹角的正切值有什么关系？
提示：不相同；
由题图知，tan θ＝＝
tan α＝＝＝
所以tan θ＝2tan α。
（2）结合以上结论并观察速度反向延长线与x轴的交点，你有什
么发现？
提示： xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，vx＝v0，
又tan θ＝＝，解得xA'B＝＝。
【归纳】
　平抛运动的两个重要推论
（1）“正切2倍”：做平抛运动的物体在某时刻速度方向与水平方向
的夹角θ、位移方向与水平方向的夹角α的关系为tan θ＝2tan α。
（2）“反延过中”：做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延
长线一定通过此时水平位移的中点。
【典例1】　一物体做平抛运动的轨迹如图所示，物体从O点抛出，
x、y分别表示其水平和竖直的分位移。在物体运动过程中的某一点P
（x0，y0），其速度vP的反向延长线交x轴于A点（A点未画出），则
OA的长度为（　　）
A. x0 B. 0.5x0
C. 0.3x0 D. 不能确定
解析：法一：由题意作图，设v与水平方向的夹角
为θ，由几何关系得tan θ＝ ①
由平抛运动规律得
水平方向有x0＝v0t ②
竖直方向有y0＝vyt ③
由①②③得tan θ＝
在△AEP中，由几何关系得AE＝＝
所以OA＝x0－＝0.5x0。
法二：由平抛运动的推论知，物体做平抛运动时速度方向的反向延长
线过水平位移的中点，故OA的长度为0.5x0。
　如图所示，一小球自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落
在斜面上，小球与斜面接触时速度方向与水平方向的夹角φ满足
（　　）
A. tan φ＝sin θ B. tan φ＝cos θ
C. tan φ＝tan θ D. tan φ＝2tan θ
解析：　法一：由题图可知，接触斜面时位移方向与水平方向的夹
角为θ，由平抛运动的推论可知，速度方向与水平方向的夹角φ与θ有
关系tan φ＝2tan θ，选项D正确。
法二：设小球飞行时间为t，则tan φ＝＝，tan θ＝＝＝，故
tan φ＝2tan θ，选项D正确。
要点二　与斜面、曲面结合的平抛运动
1. 顺着斜面抛：
如图所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后，又重新落在斜面
上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平
方向的夹角等于斜面的倾角。结论有：
（1）速度方向与斜面夹角恒定。
（2）水平位移和竖直位移的关系：tan θ＝＝＝。
（3）运动时间t＝。
2. 对着斜面抛：如图所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时
物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角。结论有：
（1）速度方向与斜面垂直。
（2）水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝＝。
（3）运动时间t＝。
3. 与斜面相切：如图所示，物体从斜面顶端切入，即速度恰好沿斜面
方向，水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝＝。
4. 与曲面结合：如图所示，处理方式跟斜面类平抛运动类似，即找出
速度或位移的几何特性，分解后写出相应的边角关系解题。
　
【典例2】　跳台滑雪以其特有的惊险性、刺激性成为历届冬奥会中
备受关注的项目之一，目前的世界纪录已经超过了250米。如图，某
运动员在比赛中以v0＝30 m/s的水平速度从倾角为30°的斜坡顶端飞
出（可近似视为平抛运动），当地重力加速度取g＝10 m/s2。当该运
动员再次落到斜面上时，落点与斜坡顶端的高度差约为（　　）
A. 60 m B. 90 m
C. 120 m D. 150 m
解析：由题意知，运动员做平抛运动，从斜面顶端抛出又落到斜面
上，则＝tan θ，根据平抛运动规律又有x＝v0t，h＝gt2联立各式解得t
＝，则其落点与坡顶的高度差为h＝gt2＝60 m，故选A。
【典例3】　如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始
做平抛运动（小球可视为质点），运动过程中恰好与半圆轨道相切于
B点。O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为
60°，重力加速度为g，则小球抛出时的初速度为（　　）
解析：小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则小球在B点的速
度方向与水平方向的夹角为30°，故vy＝v0tan 30°，又vy＝gt，则
v0tan 30°＝gt，
联立解得t＝。
小球在水平方向上做匀速直线运动，则有
R＋Rcos 60°＝v0t，
联立解得v0＝，故选B。
【典例4】　如图所示，小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的
斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上。在这一过程中，
求：（不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，
tan 37°＝）
（1）小球在空中的飞行时间；
答案：2 s　
解析：将小球垂直撞在斜面上的速度分
解，如图所示。
由图可知θ＝37°，φ＝90°－37°＝53°
tan φ＝
则t＝tan φ＝× s＝2 s。
（2）抛出点距撞击点的竖直高度；
答案：20 m　
解析： h＝gt2＝×10×22 m＝20 m。
（3）小球撞到斜面时，小球在竖直方向上下落的距离与在水平方向
上通过的距离之比。
答案：2∶3
解析： 小球在竖直方向上下落的距离y＝gt2＝20 m，小球在水平
方向上通过的距离x＝v0t＝30 m，所以y∶x＝2∶3。
1. 如图所示，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球
拍上的B点。已知球拍与水平方向的夹角θ＝60°，A、B两点间的
高度差h＝1 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则球刚要
落到球拍上时速度的大小为（　　）
解析：　球的运动示意图如图所示。
根据h＝gt2，得t＝ ＝ s＝ s
竖直分速度vy＝gt＝10× m/s＝2 m/s，
根据平行四边形定则知，球刚要落到球拍上
时速度的大小v＝＝4 m/s，故C正确，A、B、D错误。
2. 如图所示，在竖直放置的半球形容器的中心O点分别以水平初速度
v1、v2沿相反方向抛出两个小球1和2（可视为质点），最终它们分
别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直
方向成α角，则两小球的初速度之比为（　　）
A. tan α B. cos α
解析：　两小球被抛出后都做平抛运动，设容器的半径为R，两
小球运动的时间分别为t1、t2。对球1：Rsin α＝v1t1，Rcos α＝
g，对球2：Rcos α＝v2t2，Rsin α＝g，联立以上四式解得
＝tan α，故选C。
要点三　平抛运动的临界问题
1. 与平抛运动相关的临界情况
（1）有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明
题述的过程中存在临界点。
（2）如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词
语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”
往往就是临界点。
（3）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表
明题述过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点。
2. 分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹。当受水平位移限
制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受
下落高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛
物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解。
【典例5】　如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d
＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P
点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口
并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，不计空气阻力。则v的取值范围是
（　　）
A. v＞7 m/s
B. v＜2.3 m/s
C. 3 m/s＜v＜7 m/s
D. 2.3 m/s＜v＜3 m/s
解析：若小物件恰好经窗口上沿，则有h＝g，L＝v1t1，解得v1＝7
m/s；若小物件恰好经窗口下沿，则有h＋H＝g，L＋d＝v2t2，解
得v2＝3 m/s，所以3 m/s＜v＜7 m/s，故C正确。
1. 利用手机可以玩一种叫“扔纸团”的小游戏。如图所示，游戏时，
游戏者滑动屏幕将纸团从P点以速度v水平抛向固定在水平地面上
圆柱形废纸篓，纸团恰好从纸篓的上边沿入篓并直接打在纸篓的底
角。若要让纸团进入纸篓中并直接击中篓底正中间，下列做法可行
的是（　　）
A. 在P点将纸团以小于v的速度水平抛出
B. 在P点将纸团以大于v的速度水平抛出
C. 在P点正上方某位置将纸团以小于v的速度水平抛出
D. 在P点正下方某位置将纸团以大于v的速度水平抛出
解析：　在P点将纸团以小于v的速度水平抛出，纸团下降到纸篓
上边沿这段时间内，水平位移变小，纸团不能进入纸篓中，故A错
误；在P点将纸团以大于v的速度水平抛出，则纸团下降到篓底的
时间内，水平位移增大，不能直接击中篓底的正中间，故B错误；
要使纸团进入纸篓且直接击中篓底正中间，分析临界状态可知，最
可能的入篓点为左侧纸篓上边沿，若在P点正上方某位置将纸团以
小于v的速度水平抛出，根据x＝v知，纸团水平位移可以减小且
不会与纸篓的左边沿相撞，纸团有可能击中篓底正中间，故C正
确；同理可得D错误。
2. 如图所示，M、N是两块挡板，挡板M高h'＝10 m，其上边缘与挡
板N的下边缘在同一水平面。从高h＝15 m的A点以速度v0水平抛出
一小球（可视为质点），A点与两挡板的水平距离分别为d1＝10
m，d2＝20 m。N板的上边缘高于A点，若能使小球直接进入挡板M
的右边区域，则小球水平抛出的初速度v0的大小可能是下列给出数
据中的哪个（g取10 m/s2，空气阻力不计）
（　　）
A. 8 m/s B. 4 m/s
C. 15 m/s D. 21 m/s
解析：　要让小球落到挡板M的右边区域，下落的高度为Δh＝h
－h'＝5 m，由t＝得t＝1 s，由d1＝v01t，d2＝v02t，得v0的范围
为10 m/s＜v0＜20 m/s，故C正确，A、B、D错误。　
要点四　类平抛运动
1. 受力特点
物体所受的合力为恒力，且与初速度方向垂直。
2. 研究方法：运动的分解
将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和恒定合力方向的初速
度为零的匀变速直线运动。
3. 运动规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t。
合力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2。
【典例6】　如图所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物
块（可看成质点）从斜面左上方顶点P沿水平方向射入，恰好从底端
右侧Q点离开斜面，已知重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）物块加速度的大小a；
答案：gsin θ　
解析：物块合力沿斜面向下，正交分解重力，
则有mgsin θ＝ma
解得a＝gsin θ。
（2）可以把物块的运动怎样分解；
答案：分解为沿初速度方向的匀速直线
运动和沿斜面向下的匀加速直线运动
解析：物块沿初速度方向不受力，做匀速直线运动，合力方向初
速度为0，做匀加速直线运动。
（3）物块由P运动到Q所用的时间t；
答案：　
解析： 沿斜面方向有l＝at2。解得t＝。
（4）物块由P点水平射入时初速度的大小v0。
答案：b
解析： 沿水平方向有b＝v0t
v0＝＝b。
　如图所示，A、B两个质点以相同的水平速度从坐标原点O沿x轴正
方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B紧贴光滑的斜面运
动，落地点为
P2，P1、P2在同一水平面内，P1和P2对应的x轴坐标分别为x1和x2，不
计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A. x1＝x2 B. x1＞x2
C. x1＜x2 D. 无法判断
解析：　设A、B质点抛出时的水平初速度为v0，下落高度为h。A质
点做平抛运动，运动的时间为tA＝；B质点做类平抛运动，在斜面
上沿垂直v0方向，有＝gsin θ（θ为斜面与水平面的夹角），解
得tB＝，可知tB＞tA。由质点沿x轴方向的位移x＝v0t，可得x1＜
x2。故A、B、D错误，C正确。
02
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
1. 如图所示，若质点以初速度v0正对倾角为θ＝37°的斜面水平抛
出，要求质点到达斜面时位移最小，则质点的飞行时间为（ 重力
加速度为g，tan 37°＝）（　　）
解析：　要使质点到达斜面时位移最小，则质
点的位移应垂直斜面，如图所示，
有x＝v0t，y＝gt2，且tan θ＝＝＝，所以t
＝＝，选项C正确。
2. （多选）如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经
过时间ta恰好落在斜面底端P处；在P点正上方与a等高的b处以速度
vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处，若不计
空气阻力，下列关系式正确的是（　　）
B. va＝vb
C. ta＝tb
解析： 　a球下落的高度和水平方向上运动的距离均是b球的2
倍，即ya＝2yb，xa＝2xb，而xa＝vata，ya＝g，xb＝vbtb，yb＝
g，可求出ta＝tb，va＝vb。
3. 羽毛球运动员林丹曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，如图是
他表演时的羽毛球场地示意图。图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓
较低但也等高。若林丹每次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛
运动，则（　　）
A. 击中甲、乙的两球初速度v甲＝v乙
B. 击中甲、乙的两球初速度v甲＞v乙
C. 假设某次发球能够击中丙鼓，用相同大小的速度发球可能击中
丁鼓
D. 击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大
解析：　甲、乙距飞出点的高度相同，击中甲、乙的羽毛球的运
动时间相同，由于水平位移x甲＞x乙，所以v甲＞v乙，A错误，B正
确；同理可知v丁＞v丙，C、D错误。
4. 如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方
向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B
点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，
则A、B之间的水平距离为（　　）
解析：　如图所示，对在B点时的速度进行
分解，小球运动的时间t＝＝，则A、B
间的水平距离x＝v0t＝，故A正确，B、
C、D错误。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 如图所示，甲、乙两人在高楼不同窗口向对面的斜面上水平抛出两
个质量不等的A、B小球，分别同时落在斜面上。不计空气阻力，
则B小球比A小球（　　）
A. 先抛出，初速度大
B. 后抛出，初速度大
C. 先抛出，初速度小
D. 后抛出，初速度小
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解析：　B的竖直位移较小，根据t＝可知，B运动的时间
较短，则B后抛出；B水平位移较大，根据v0＝可知，B的初速
度较大。
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2. 滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0 m/s的速度水平飞
出，落在斜坡上，然后继续沿斜坡下滑。已知斜坡倾角为45°，空
气阻力忽略不计，g取10 m/s2，则他在该斜坡上方平抛运动的时间
为（　　）
A. 0.5 s B. 1.0 s C. 1.5 s D. 5.0 s
解析：　滑雪运动员做平抛运动，在水平方向有x＝v0t，在竖
直方向有y＝gt2，根据题意有tan 45°＝＝，解得t＝1.0
s，故选B。
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3. 如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速
度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达
斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达
斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则（　　）
A. 当v1＞v2时，α1＞α2
B. 当v1＞v2时，α1＜α2
C. 无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D. α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
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解析：　小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位
移方向与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝＝＝
，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan
β＝＝，故可得tan β＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移
方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的
夹角也总是β，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的
大小无关，选项C正确。
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4. 如图所示，两个相对的斜面的倾角分别为37°和53°，在斜面顶点
把两个可视为质点的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平
抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的
运动时间之比为（sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6）（　　）
A. 1∶1 B. 1∶3
C. 16∶9 D. 9∶16
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解析：　根据平抛运动的规律可知，x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝，
则运动时间t＝，分别将37°、53°代入可得A、B两个小球
运动时间之比为tA∶tB＝tan 37°∶tan 53°＝9∶16，选项D正确，
A、B、C错误。
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5. （多选）（2024·四川达州期末）如图所示，一小球从倾角为θ的斜
面顶端O点先以速度大小v1水平抛出，用时t1落在斜面上的A点，后
以速度大小v2水平抛出，用时t2落在斜面上的B点。已知O、B间距
离是O、A间距离的3倍，不计空气阻力。下列说法正确的是
（　　）
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解析： 　小球做平抛运动，则有x＝v0t，h＝gt2，由于O、B间
距离是O、A间距离的3倍，则＝，＝，则＝，＝，故
B、D正确。
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6. 如图所示，一根长木杆AB两端分别固定在竖直墙壁AO和水平地面
上，已知杆的B端与水平地面之间的夹角为53°，A点到地面的距
离为10 m。从竖直墙壁上距地面8 m的C点以水平速度v0射出一颗小
石子，要使小石子能在落地前碰到AB杆（重力加速度g取10 m/s2，
sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6），则小石子出射的水平速度至少为
（　　）
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解析：　平抛运动轨迹如图所示。
AC之间的距离为：10 m－8 m＝2 m，由图可知x＝（y＋2）tan
37°，根据平抛运动规律有：x＝v0t，y＝gt2，tan 53°＝＝，
联立解得v0＝ m/s，故选D。
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7. （多选）如图所示，在某次比赛中，排球从底线A点的正上方以某
一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB
平行于边界CD。已知网高为h，球场的长度为s，重力加速度为g，
不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度
H和水平初速度v分别为（　　）
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解析：　排球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，有x
＝vt，则排球从初位置运动到网的位置与排球从初位置到落地的时
间之比为t1∶t2＝∶s＝1∶2，排球在竖直方向上做自由落体运动，
由H－h＝g，H＝g得，＝＝，解得H＝h，故A正
确，B错误；排球从被发出至落在B点的过程中有s＝vt，所以v＝
＝＝ ，故C错误，D正确。
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8. 如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴
正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B沿光滑斜面运
动，落地点为P2，P1和P2在同一水平地面上，不计阻力，则下列说
法正确的是（　　）
A. A、B的运动时间相同
B. A、B沿x轴方向的速度不同
C. A、B运动过程中的加速度大小相同
D. A、B落地时速度大小相同
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解析：　设O点与水平地面的高度差为h，A质点做平抛运动，根
据平抛运动的规律可知，vx＝v0，h＝g，B质点在光滑斜面上的
运动可视为类平抛运动，沿x轴方向的速度vx＝v0，其沿斜面方向的
加速度为gsin θ，由类平抛运动规律可知，＝gsin θ，则A、
B两质点运动时间分别为：t1＝，t2＝，故t1＜t2，选项
A、B错误；由a1＝g，a2＝gsin θ可知，选项C错误；A落地的速度
大小为vA＝＝，B落地的速度大小为vB
＝＝，所以vA＝vB，选项D正确。
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9. （多选）在倾角为37°的斜面上，从A点以6 m/s的速度水平抛出一
小球，小球落在B点，如图所示，则以下说法正确的是（g取10
m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8）（　　）
A. 小球在空中飞行时间为0.85 s
B. A、B两点距离为6.75 m
C. 小球在B点时的速度方向与水平方向夹角的
正切值为1.5
D. 到达B点时的速度为12 m/s
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解析：　如图所示，vx＝v0，vy＝gt，x＝v0t，y
＝gt2，tan 37°＝＝，所以t＝＝
0.9 s，所以A错误；A、B两点的距离s＝＝
6.75 m，所以B正确；小球在B点有，tan α＝＝
＝1.5，所以C正确；到达B点时的速度v＝
＝ m/s＜12 m/s，所以D错误。
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10. 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。
水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网
高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中
点，能以不同速率向右侧不同方向水平发
射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　）
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解析：　设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中
间。则竖直方向上有3h－h＝g，水平方向上有＝v1t1，联立
可得v1＝。设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网
右侧台面的两角处，在竖直方向有3h＝g，在水平方向有
＝v2t2，联立可得v2＝，则v的最大
取值范围为v1＜v＜v2，故选项D正确。
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11. 如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度
v0水平抛出，恰好落到B点。求：（空气阻力不计，重力加速
度为g）
（1）A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；
答案：　　
解析：设飞行时间为t，则水平方向位移lABcos 30°＝v0t，
竖直方向位移lABsin 30°＝gt2，
解得t＝tan 30°＝，lAB＝。
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（2）从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？
答案：　
解析： 如图所示，把初速度v0、重
力加速度g都分解成沿斜面和垂直
斜面的两个分量。在垂直斜面方向
上，小球做的是以v0y为初速度、gy
为加速度的“竖直上抛”运动。
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小球到达离斜面最远处时，速度vy＝0，
由vy＝v0y－gyt'可得
t'＝＝＝ tan 30°＝
小球离斜面的最大距离y＝＝＝。
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