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第2课时　向心加速度及向心力公式的应用
1.（多选）关于向心加速度，以下说法中正确的是（　　）
A.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
2.如图所示，半球形的碗固定在水平地面上，一个小铁块从碗口处下滑到碗底处。由于摩擦力的作用，小铁块的速率保持不变。上述过程中，小铁块的（　　）
A.加速度为零
B.加速度恒定不变
C.加速度的大小不变，方向始终沿圆周的切线方向
D.加速度的大小不变，方向始终指向圆心
3.转笔深受广大中学生的喜爱，如图所示，假设某转笔高手能让笔绕其上的某一点O做匀速圆周运动，下列有关转笔中涉及到的物理知识的叙述，正确的是（　　）
A.笔杆上各点线速度大小相同
B.笔杆上各点周期相同
C.笔杆上的点离O点越远，角速度越小
D.笔杆上的点离O点越远，向心加速度越小
4.（多选）如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO'匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动。若两球质量之比mA∶mB＝2∶1，那么关于A、B两球的描述正确的是（　　）
A.运动半径之比为1∶2
B.加速度大小之比为1∶2
C.线速度大小之比为1∶2
D.向心力大小之比为1∶2
5.（多选）如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测质量为m的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，运动员转动的周期T＝2 s，重力加速度为g，估算可知该女运动员（　　）
A.受到的拉力为mg B.受到的拉力为2mg
C.做圆周运动的半径为 D.做圆周运动的半径为
6.在光滑水平转台上开有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端拴一质量为0.1 kg的物体A，另一端连接质量为1 kg的物体B，如图所示，已知O与A物体间的距离为25 cm，开始时B物体与水平地面接触，设转台旋转过程中小物体A始终随它一起运动。（g取10 m/s2）问：要使物体B开始脱离地面，则转台旋转的角速度至少为多大？
7.（多选）磁带录音机的磁带盒的示意图如图所示，A、B为缠绕磁带的两个轮子边缘上的点，两轮的半径均为r，在放音结束时，磁带全部绕到了B点所在的轮上，磁带的外缘半径R＝4r，C为磁带外缘上的一点。现在进行倒带，则此时（　　）
A.A、B、C 三点的周期之比为 4∶1∶4
B.A、B、C 三点的角速度之比为 1∶4∶4
C.A、B、C 三点的线速度之比为 4∶1∶4
D.A、B、C 三点的向心加速度之比为16∶1∶4
8.（多选）如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在如图所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　）
A.球A的线速度必定大于球B的线速度
B.球A的角速度必定小于球B的角速度
C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
9.（多选）如图，内壁光滑的细圆管一端弯成半圆形APB，与光滑的直轨道 BC连接，水平放置在桌面上并固定。半圆形APB半径R＝1.0 m，BC长L＝1.5 m，桌子高度h＝0.8 m，质量m＝1.0 kg的小球以一定的水平初速度从A点沿过A点的切线射入管内，从C点离开管道后水平飞出，落地点D离点C的水平距离s＝2 m，不计空气阻力，g取10 m/s2。则以下分析正确的是（　　）
A.小球做平抛运动的初速度为10 m/s
B.小球在圆轨道P点的角速度为10 rad/s
C.小球在P点的向心加速度为25 m/s2
D.小球从B运动到D的时间为0.7 s
10.如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m。若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？
第2课时　向心加速度及向心力公式的应用
1.ABD　向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故A、B正确；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不一定始终指向圆心，故C错误；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，故D正确。
2.D　小铁块速率不变，做匀速圆周运动，所以小铁块加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，D正确。
3.B　笔绕其上的某一点O做匀速圆周运动，所以笔杆上各点周期相同，角速度相同，故C错误，B正确； 由v＝ωr知角速度相同时，线速度与半径成正比，笔杆上各点线速度大小不相同，故A错误； 由a＝ω2r知角速度相同时，向心加速度与半径成正比，笔杆上的点离O点越远，向心加速度越大，故D错误。
4.ABC　两球所受的向心力都由细绳拉力提供，大小相等；两球都随杆一起转动，角速度相等。设两球的运动半径分别为rA、rB，转动角速度为ω，由mAω2rA＝mBω2rB，得rA∶rB＝mB∶mA＝1∶2，所以＝＝，＝＝。故A、B、C正确，D错误。
5.BC　设女运动员受到的拉力为F，分析女运动员受力情况可知，Fsin 30°＝mg，Fcos 30°＝mr，解得F＝2mg，r＝，故B、C正确。
6.20 rad/s
解析：当物体开始脱离地面时，B对地面的压力为0，此时绳子的拉力为T＝mBg＝10 N，
又因为T'＝mAω2r，T＝T'
解得物体A此时的角速度至少为ω＝20 rad/s。
7.CD　靠传送带传动轮子边缘上的点线速度大小相等，故A、C两点的线速度大小相等，即vA∶vC＝1∶1，B与C的角速度相等，由v＝ωr可知vB∶vC＝1∶4所以A、B、C三点的线速度之比4∶1∶4，故C正确；根据v＝rω，知ωA∶ωC＝4∶1，B与C属于同轴转动，A、B、C三点的角速度之比4∶1∶1，故B错误；根据周期与角速度的关系T＝得A、B、C三点的周期之比1∶4∶4，故A错误；由于a＝ωv，所以aA∶aB∶aC＝ωAvA∶ωBvB∶ωCvC＝（4×4）∶（1×1）∶（1×4）＝16∶1∶4；故D正确。
8.AB　两球均贴着圆锥筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它们的支持力N的作用，其合力必定在水平面内时刻指向圆心，如图所示，可知，筒壁对球的支持力N＝，故A、B两球对筒壁的压力大小相等，选项D错误。由球所受合力提供其做匀速圆周运动的向心力，得＝m＝mω2r＝m，小球的线速度v＝，角速度ω＝，周期T＝2π。由此可见，小球的线速度随轨道半径的增大而增大，所以A球的线速度必定大于B球的线速度，选项A正确。小球的角速度随半径的增大而减小，周期随半径的增大而增大，所以A球的角速度小于B球的角速度，A球的周期大于B球的周期，选项B正确，C错误。
9.CD　根据h＝gt2得：t＝＝ s＝0.4 s，则小球平抛运动的初速度v0＝＝ m/s＝5 m/s，故A错误；小球在圆轨道P点的角速度ω＝＝ rad/s＝5 rad/s，故B错误；小球在P点的向心加速度a＝＝ m/s2＝25 m/s2，故C正确；小球在BC段的时间t'＝＝0.3 s，则小球从B运动到D的时间为0.3 s＋0.4 s＝0.7 s，故D正确。
10. ≤ω≤
解析：当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即
F＋fmax＝mr ①
由于B静止，故有F＝mg ②
又fmax＝μN＝μmg ③
由①②③式可得ω1＝
当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为F－fmax＝mr ④
由②③④式可得ω2＝
故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤ω1，
即 ≤ω≤ 。
3 / 3第2课时　向心加速度及向心力公式的应用
核心素养目标 1.理解向心加速度的概念，掌握向心加速度的计算公式。 2.能从动力学的角度求解匀速圆周运动的有关物理量。
知识点　向心加速度
1.概念：根据牛顿第二定律可知，做匀速圆周运动的物体，在　　　　　的作用下，必然要产生一个　　　　加速度，它的方向与　　　　　的方向相同，总是指向　　　　。
2.大小：a＝　　　　或a＝　　　　。
3.单位：米每二次方秒（m/s2）。
4.注意：对于做匀速圆周运动的物体，其向心加速度就是它的加速度，所受到的向心力就是它受到的　　　　力；而对于做变速圆周运动的物体，它在某一时刻的向心加速度只是它的加速度的一个分量，它受到的向心力也只是它受到的合力中指向圆心方向的一个　　　　力。
【情景思辨】
　（1）匀速圆周运动加速度一定为零。（　　）
（2）匀速圆周运动加速度的方向总是指向圆心，总保持不变。（　　）
（3）匀速圆周运动是加速度不断变化的运动。（　　）
（4）匀速圆周运动是匀变速运动。（　　）
要点一　向心加速度的理解
【探究】
　如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动（漫画），小球绕细绳的另一端在水平面内做匀速圆周运动，思考以下问题：
（1）在匀速圆周运动过程中，地球、小球所受合外力指向什么方向？
（2）根据牛顿第二定律，推理地球、小球的加速度指向什么方向？
（3）向心加速度改变物体的速度大小吗？
【归纳】
1.物理意义
描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不能描述速度大小变化的快慢。
2.向心加速度的大小
a＝＝＝ω2r＝＝4π2n2r＝ωv
3.对向心加速度公式的理解
（1）公式a＝
该公式表明，对于匀速圆周运动，当线速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成反比；当半径一定时，向心加速度的大小与线速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及线速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的线速度相同的情景。
（2）公式a＝ω2r
该公式表明，对于匀速圆周运动，当角速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成正比；当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及角速度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的角速度相同的情景。
（3）向心加速度与半径的关系
根据上面的讨论知向心加速度与半径的关系与物体的运动特点有关。若线速度一定，a与r成反比；若角速度（或周期、转速）一定，a与r成正比。加速度与半径的关系如图甲、乙所示。
【典例1】　如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是（　　）
A.A、B两点具有相同的角速度
B.A、B两点具有相同的线速度
C.A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D.A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
方法技巧
向心加速度公式的应用技巧
（1）先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。
（2）在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。
（3）向心加速度公式a＝和a＝ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。
1.（多选）如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知（　　）
A.A物体运动的线速度大小不变 B.A物体运动的角速度大小不变
C.B物体运动的角速度大小不变 D.B物体运动的角速度与半径成正比
2.（多选）长为 0.5 m 的轻杆，一端固定一个小球（可视为质点），另一端固定在转轴 O 上。 杆绕轴 O 在水平面内匀速转动，每个 0.1 s时间内转过的角度都是 30°。 计算时取π＝3，则小球（　　）
A.角速度是 300 rad/s B.线速度大小是 2.5 m/s
C.向心加速度大小是12.5 m/s2 D.始终处于平衡状态
3.（多选）如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r。A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑。向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是（　　）
A.＝　　　　 B.＝C.＝ D.＝
要点二　常见圆周运动向心力分析
　几种常见的匀速圆周运动实例
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度
或mgtan θ＝mω2lsin θ； a＝gtan θ
或mgtan θ＝mω2r； a＝gtan θ
或mgtan θ＝mω2r； a＝gtan θ
a＝ω2r
【典例2】　一小球在半径为R的光滑半球容器内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。（小球的半径远小于R）
尝试解答
1.质量为m的飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，如图所示，则空气对飞机的升力大小为（　　）
A.　　　　　　 B.m
C.mg D.m
2.如图所示，用同样材料做成的A、B、C三个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起绕竖直轴转动。已知三物体质量间的关系mA＝2mB＝3mC，转动半径之间的关系是rC＝rA＝2rB，那么以下说法中正确的是（　　）
A.物体A受到的摩擦力最大
B.物体B受到的摩擦力最大
C.物体C受到的摩擦力最大
D.物体A和物体C受到的摩擦力相等
要点回眸
1.关于向心加速度，下列说法正确的是（　　）
A.由a＝知，匀速圆周运动的向心加速度恒定
B.做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心
C.向心加速度越大，物体速率变化越快
D.匀速圆周运动不属于匀速运动
2.如图所示是中国古代玩具饮水鸟，它的神奇之处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口水。A、B是鸟上两点，则在摆动过程中（　　）
A.A、B两点的线速度大小相同
B.A、B两点的向心加速度大小相同
C.A、B两点的角速度大小相同
D.A、B两点的向心加速度方向相同
3.如图为一压路机的示意图，其大轮半径是小轮半径的1.5倍，A、B分别为大轮和小轮边缘上的点，在压路机前进时（　　）
A.A、B两点的转速之比nA∶nB＝1∶1
B.A、B两点的线速度之比vA∶vB＝3∶2
C.A、B两点的角速度之比ωA∶ωB＝3∶2
D.A、B两点的向心加速度之比aA∶aB＝2∶3
4.如图所示，质量为0.1 kg的小物体被长为0.2 m的细线拴住，围绕竖直轴在光滑的水平面上匀速圆周运动，周期为0.5 s。求：
（1）小物体线速度的大小；
（2）小物体向心加速度的大小；
（3）当细线的拉力是8 N时，小物体角速度的大小。
第2课时　向心加速度及向心力公式的应用
【基础知识·准落实】
知识点
1.向心力　向心　向心力　圆心　2.　ω2r　4.合　分
情景思辨
（1）×　（2）×　（3）√　（4）×
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：（1）时刻指向圆心。
（2） 时刻指向圆心。
（3）不改变。
【典例1】　A　A、B为球体上两点，因此A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝Rsin 60°，B运动的半径rB＝Rsin 30°，根据v＝ωr可知A、B两点的线速度大小之比为∶1，B错误；根据a＝ω2r可知A、B两点的向心加速度大小之比为∶1，D错误。
素养训练
1.AC　因为A为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由a＝可知，A物体运动的线速度大小不变，故A正确，B错误；而OB为过原点的直线，说明a与r成正比，由a＝ω2r可知，B物体运动的角速度大小不变，故C正确，D错误。
2.BC　角速度ω＝＝ rad/s＝5 rad/s，A错误；线速度v＝ωr＝2.5 m/s，B正确；向心加速度a＝ωv＝12.5 m/s2，C正确，小球具有加速度，所以不是平衡状态，D错误。
3.BD　A、B两点所在的轮属于皮带传动模式，则vA＝vB，根据a＝可知，＝＝，A错误，B正确；B、C两点所在的轮属于同轴传动模式，则ωB＝ωC，根据a＝ω2r知，＝＝，C错误，D正确。
要点二
【典例2】　v＝，T＝2π，θ（0＜θ＜）越大，v越大，T越小
解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面内（不在半球的球心），向心力F是重力mg和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图所示，有mgtan θ＝＝mRsin θ
可得v＝，T＝2π
可见，θ（0＜θ＜）越大（即小球所在平面越高），v越大，T越小。
素养训练
1.B　飞机受到竖直向下的重力和空气给的升力作用，两力的合力充当向心力，如图所示，
故有F升＝＝
m，故B正确，A、C、D错误。
2.A　由题意可知：A、B、C三个物体的角速度相同，设角速度为ω，都由静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律得三个物体受到的静摩擦力分别为：
fA＝mAω2rA，
fB＝mBω2rB＝mAω2·rA＝mAω2rA，
fC＝mCω2rC＝mAω2rA。
所以物体A受到的摩擦力最大，物体B受到的摩擦力最小，故A正确，B、C、D错误。
【教学效果·勤检测】
1.D　做匀速圆周运动的物体向心加速度的方向始终指向圆心，在不同的时刻方向是不同的，而大小不变，故A错误；只有做匀速圆周运动的物体，加速度才一定指向圆心，故B错误；向心加速度是描述线速度方向变化的快慢的物理量，故C错误；匀速圆周运动线速度的大小不变而方向时刻变化，而匀速运动是速度的大小和方向均不变的运动，两者是不同的运动，故D正确。
2.C　A、B在同一轴上转动，角速度相等，故C正确；由图可知A的转动半径大于B的转动半径，根据v＝rω可知A点的线速度大于B点的线速度，故A错误；根据a＝rω2可知A点的向心加速度大于B点的向心加速度，且方向不同，故B、D错误。
3.D　压路机前进时，其轮子边缘上的点参与两个分运动，即绕轴心的转动和随着车的运动；与地面接触点速度为零，故两个分运动的速度大小相等，故A、B两点圆周运动的线速度都等于汽车前进的速度，故A、B两点的线速度之比vA∶vB＝1∶1，根据v＝2πrn可知转速之比为2∶3，故A、B错误；A、B两点的线速度之比vA∶vB＝1∶1，根据公式v＝rω，线速度相等时，角速度与半径成反比，故A、B两点的角速度之比ωA∶ωB＝2∶3，故C错误；根据a＝vω可知A、B两点的向心加速度之比aA∶aB＝2∶3，故D正确。
4.（1）0.8π m/s　（2）3.2π2 m/s2　（3）20 rad/s
解析：（1）由T＝得v＝＝ m/s＝0.8π m/s。
（2）由a＝R得a＝×0.2 m/s2＝3.2π2 m/s2。
（3）由F＝mRω2得ω＝＝ rad/s＝20 rad/s。
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第2课时
向心加速度及向心力公式的应用
核心 素养 目标 1.理解向心加速度的概念，掌握向心加速度的计算公式。
2.能从动力学的角度求解匀速圆周运动的有关物理量。
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点　向心加速度
1. 概念：根据牛顿第二定律可知，做匀速圆周运动的物体，在
的作用下，必然要产生一个 加速度，它的方向与
的方向相同，总是指向 。

3. 单位：米每二次方秒（m/s2）。
向心
力　
向心　
向
心力　
圆心　
　
ω2r　
4. 注意：对于做匀速圆周运动的物体，其向心加速度就是它的加速
度，所受到的向心力就是它受到的 力；而对于做变速圆周运
动的物体，它在某一时刻的向心加速度只是它的加速度的一个分
量，它受到的向心力也只是它受到的合力中指向圆心方向的一
个 力。
合　
分　
【情景思辨】
（1）匀速圆周运动加速度一定为零。 （　×　）
（2）匀速圆周运动加速度的方向总是指向圆心，总保持不变。
（　×　）
（3）匀速圆周运动是加速度不断变化的运动。 （　√　）
（4）匀速圆周运动是匀变速运动。 （　×　）
×
×
√
×
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　向心加速度的理解
【探究】
　如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动（漫画），小球绕细绳的另
一端在水平面内做匀速圆周运动，思考以下问题：
（1）在匀速圆周运动过程中，地球、小球所受合外力指向什么方
向？
提示：时刻指向圆心。
（2）根据牛顿第二定律，推理地球、小球的加速度指向什么方向？
提示： 时刻指向圆心。
（3）向心加速度改变物体的速度大小吗？
提示：不改变。
【归纳】
1. 物理意义
描述匀速圆周运动线速度方向变化的快慢，不能描述速度大小变化
的快慢。
2. 向心加速度的大小
a＝＝＝ω2r＝＝4π2n2r＝ωv
3. 对向心加速度公式的理解
（1）公式a＝
该公式表明，对于匀速圆周运动，当线速度一定时，向心加
速度的大小与运动半径成反比；当半径一定时，向心加速度
的大小与线速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及线速
度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的线速度
相同的情景。
（2）公式a＝ω2r
该公式表明，对于匀速圆周运动，当角速度一定时，向心加
速度的大小与运动半径成正比；当半径一定时，向心加速度
的大小与角速度的平方成正比。该公式常用于分析涉及角速
度的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且它们的角速度
相同的情景。
（3）向心加速度与半径的关系
根据上面的讨论知向心加速度与半径的关系与物体的运动特
点有关。若线速度一定，a与r成反比；若角速度（或周期、
转速）一定，a与r成正比。加速度与半径的关系如图甲、乙
所示。
【典例1】　如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B
为球体上两点，下列几种说法中正确的是（　　）
A. A、B两点具有相同的角速度
B. A、B两点具有相同的线速度
C. A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
D. A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
解析：A、B为球体上两点，因此A、B两点的角速度
与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A正确；如图所
示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运
动，因此A、B两点的向心加速度方向分别指向P、
Q，C错误；设球的半径为R，则A运动的半径rA＝
Rsin 60°，B运动的半径rB＝Rsin 30°，根据v＝ωr
可知A、B两点的线速度大小之比为∶1，B错误；根据a＝ω2r可知A、B两点的向心加速度大小之比为∶1，D错误。
方法技巧
向心加速度公式的应用技巧
（1）先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。
（2）在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相
同时，向心加速度与半径成正比。
（3）向心加速度公式a＝和a＝ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适
用于变速圆周运动。
1. （多选）如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随
半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分支，由图可知（　　）
A. A物体运动的线速度大小不变
B. A物体运动的角速度大小不变
C. B物体运动的角速度大小不变
D. B物体运动的角速度与半径成正比
解析： 　因为A为双曲线的一个分支，说明a与r成反比，由a＝
可知，A物体运动的线速度大小不变，故A正确，B错误；而OB
为过原点的直线，说明a与r成正比，由a＝ω2r可知，B物体运动的
角速度大小不变，故C正确，D错误。　
2. （多选）长为 0.5 m 的轻杆，一端固定一个小球（可视为质点），
另一端固定在转轴 O 上。 杆绕轴 O 在水平面内匀速转动，每个
0.1 s时间内转过的角度都是 30°。 计算时取π＝3，则小球
（　　）
A. 角速度是 300 rad/s
B. 线速度大小是 2.5 m/s
C. 向心加速度大小是12.5 m/s2
D. 始终处于平衡状态
解析： 　角速度ω＝＝ rad/s＝5 rad/s，A错误；线速度v＝ωr
＝2.5 m/s，B正确；向心加速度a＝ωv＝12.5 m/s2，C正确，小球
具有加速度，所以不是平衡状态，D错误。
3. （多选）如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转
动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r。A、B、C三点为
三个轮边缘上的点，皮带不打滑。向心加速度分别为a1、a2、a3，
则下列比例关系正确的是（　　）
解析： 　A、B两点所在的轮属于皮带传动模式，则vA＝vB，根
据a＝可知，＝＝，A错误，B正确；B、C两点所在的轮属于
同轴传动模式，则ωB＝ωC，根据a＝ω2r知，＝＝，C错误，D
正确。
要点二　常见圆周运动向心力分析
　几种常见的匀速圆周运动实例
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度
【典例2】　一小球在半径为R的光滑半球容器内做水平面内的匀速圆
周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）
与线速度v、周期T的关系。（小球的半径远小于R）
答案：v＝，T＝2π，θ越大，v越大，T越小
解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面内（不在半
球的球心），向心力F是重力mg和支持力N的合力，所以重力和支持
力的合力方向必然水平。如图所示，有mgtan θ＝＝mRsin θ
可得v＝，T＝2π
可见，θ越大（即小球所在平面越高），
v越大，T越小。
1. 质量为m的飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，如
图所示，则空气对飞机的升力大小为（　　）
C. mg
解析：　飞机受到竖直向下的重力和空气给的升力作用，两力的合力充当向心力，如图所示，故有F升＝＝m，故B正确，A、C、D错误。
2. 如图所示，用同样材料做成的A、B、C三个物体放在匀速转动的水
平转台上随转台一起绕竖直轴转动。已知三物体质量间的关系mA
＝2mB＝3mC，转动半径之间的关系是rC＝rA＝2rB，那么以下说法
中正确的是（　　）
A. 物体A受到的摩擦力最大
B. 物体B受到的摩擦力最大
C. 物体C受到的摩擦力最大
D. 物体A和物体C受到的摩擦力相等
解析：　由题意可知：A、B、C三个物体的角速度相同，设角速
度为ω，都由静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律得三个物体
受到的静摩擦力分别为：fA＝mAω2rA，
fB＝mBω2rB＝mAω2·rA＝mAω2rA，
fC＝mCω2rC＝mAω2rA。
所以物体A受到的摩擦力最大，物体B受到的摩擦力最小，故A正
确，B、C、D错误。
要点回眸
03
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
1. 关于向心加速度，下列说法正确的是（　　）
B. 做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心
C. 向心加速度越大，物体速率变化越快
D. 匀速圆周运动不属于匀速运动
解析：　做匀速圆周运动的物体向心加速度的方向始终指向圆
心，在不同的时刻方向是不同的，而大小不变，故A错误；只有做
匀速圆周运动的物体，加速度才一定指向圆心，故B错误；向心加
速度是描述线速度方向变化的快慢的物理量，故C错误；匀速圆周
运动线速度的大小不变而方向时刻变化，而匀速运动是速度的大小
和方向均不变的运动，两者是不同的运动，故D正确。
2. 如图所示是中国古代玩具饮水鸟，它的神奇之处是，在鸟的面前放
上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，
鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口
水。A、B是鸟上两点，则在摆动过程中（　　）
A. A、B两点的线速度大小相同
B. A、B两点的向心加速度大小相同
C. A、B两点的角速度大小相同
D. A、B两点的向心加速度方向相同
解析：　A、B在同一轴上转动，角速度相等，故C正确；由图可
知A的转动半径大于B的转动半径，根据v＝rω可知A点的线速度大
于B点的线速度，故A错误；根据a＝rω2可知A点的向心加速度大于
B点的向心加速度，且方向不同，故B、D错误。
3. 如图为一压路机的示意图，其大轮半径是小轮半径的1.5倍，A、B
分别为大轮和小轮边缘上的点，在压路机前进时（　　）
A. A、B两点的转速之比nA∶nB＝1∶1
B. A、B两点的线速度之比vA∶vB＝3∶2
C. A、B两点的角速度之比ωA∶ωB＝3∶2
D. A、B两点的向心加速度之比aA∶aB＝2∶3
解析：　压路机前进时，其轮子边缘上的点参与两个分运动，即
绕轴心的转动和随着车的运动；与地面接触点速度为零，故两个分
运动的速度大小相等，故A、B两点圆周运动的线速度都等于汽车
前进的速度，故A、B两点的线速度之比vA∶vB＝1∶1，根据v＝
2πrn可知转速之比为2∶3，故A、B错误；A、B两点的线速度之比
vA∶vB＝1∶1，根据公式v＝rω，线速度相等时，角速度与半径成
反比，故A、B两点的角速度之比ωA∶ωB＝2∶3，故C错误；根据a
＝vω可知A、B两点的向心加速度之比aA∶aB＝2∶3，故D正确。
4. 如图所示，质量为0.1 kg的小物体被长为0.2 m的细线拴住，围绕
竖直轴在光滑的水平面上匀速圆周运动，周期为0.5 s。求：
（1）小物体线速度的大小；
答案：0.8π m/s　
解析：由T＝得v＝＝ m/s＝0.8π m/s。
（2）小物体向心加速度的大小；
答案：3.2π2 m/s2　
解析：由a＝R得a＝×0.2 m/s2＝3.2π2 m/s2。　
（3）当细线的拉力是8 N时，小物体角速度的大小。
答案：20 rad/s
解析：由F＝mRω2得ω＝＝ rad/s＝20 rad/s。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. （多选）关于向心加速度，以下说法中正确的是（　　）
A. 向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B. 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C. 物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D. 物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
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解析： 向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故A、B正确；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不一定始终指向圆心，故C错误；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，故D正确。
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2. 如图所示，半球形的碗固定在水平地面上，一个小铁块从碗口处下
滑到碗底处。由于摩擦力的作用，小铁块的速率保持不变。上述过
程中，小铁块的（　　）
A. 加速度为零
B. 加速度恒定不变
C. 加速度的大小不变，方向始终沿圆周的切线方向
D. 加速度的大小不变，方向始终指向圆心
解析：　小铁块速率不变，做匀速圆周运动，所以小铁块加速度
的大小不变，方向时刻指向圆心，D正确。
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3. 转笔深受广大中学生的喜爱，如图所示，假设某转笔高手能让笔绕
其上的某一点O做匀速圆周运动，下列有关转笔中涉及到的物理知
识的叙述，正确的是（　　）
A. 笔杆上各点线速度大小相同
B. 笔杆上各点周期相同
C. 笔杆上的点离O点越远，角速度越小
D. 笔杆上的点离O点越远，向心加速度越小
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解析：　笔绕其上的某一点O做匀速圆周运动，所以笔杆上各点
周期相同，角速度相同，故C错误，B正确； 由v＝ωr知角速度相
同时，线速度与半径成正比，笔杆上各点线速度大小不相同，故A
错误； 由a＝ω2r知角速度相同时，向心加速度与半径成正比，笔
杆上的点离O点越远，向心加速度越大，故D错误。
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4. （多选）如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳
连接，当该装置绕竖直轴OO'匀速转动时，两球在杆上恰好不发生
滑动。若两球质量之比mA∶mB＝2∶1，那么关于A、B两球的描述
正确的是（　　）
A. 运动半径之比为1∶2
B. 加速度大小之比为1∶2
C. 线速度大小之比为1∶2
D. 向心力大小之比为1∶2
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解析：两球所受的向心力都由细绳拉力提供，大小相等；两球都随杆一起转动，角速度相等。设两球的运动半径分别为rA、rB，转动角速度为ω，由mAω2rA＝mBω2rB，得rA∶rB＝mB∶mA＝1∶2，所以＝＝，＝＝。故A、B、C正确，D错误。
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5. （多选）如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测质量为m的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，运动员转动的周期T＝2 s，重力加速度为g，估算可知该女运动员（　　）
B. 受到的拉力为2mg
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解析： 　设女运动员受到的拉力为F，分析女运动员受力情况可
知，Fsin 30°＝mg，Fcos 30°＝mr，解得F＝2mg，r＝，故
B、C正确。
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6. 在光滑水平转台上开有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端拴
一质量为0.1 kg的物体A，另一端连接质量为1 kg的物体B，如图所
示，已知O与A物体间的距离为25 cm，开始时B物体与水平地面接
触，设转台旋转过程中小物体A始终随它一起运动。（g取10
m/s2）问：要使物体B开始脱离地面，则
转台旋转的角速度至少为多大？
答案：20 rad/s
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解析：当物体开始脱离地面时，B对地面的压力为0，此时绳子的
拉力为T＝mBg＝10 N，
又因为T'＝mAω2r，T＝T'
解得物体A此时的角速度至少为ω＝20 rad/s。
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7. （多选）磁带录音机的磁带盒的示意图如图所示，A、B为缠绕磁
带的两个轮子边缘上的点，两轮的半径均为r，在放音结束时，磁
带全部绕到了B点所在的轮上，磁带的外缘半径R＝4r，C为磁带外
缘上的一点。现在进行倒带，则此时（　　）
A. A、B、C 三点的周期之比为 4∶1∶4
B. A、B、C 三点的角速度之比为 1∶4∶4
C. A、B、C 三点的线速度之比为 4∶1∶4
D. A、B、C 三点的向心加速度之比为16∶1∶4
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解析： 　靠传送带传动轮子边缘上的点线速度大小相等，故A、
C两点的线速度大小相等，即vA∶vC＝1∶1，B与C的角速度相等，
由v＝ωr可知vB∶vC＝1∶4所以A、B、C三点的线速度之比
4∶1∶4，故C正确；根据v＝rω，知ωA∶ωC＝4∶1，B与C属于同
轴转动，A、B、C三点的角速度之比4∶1∶1，故B错误；根据周
期与角速度的关系T＝得A、B、C三点的周期之比1∶4∶4，故A
错误；由于a＝ωv，所以aA∶aB∶aC＝ωAvA∶ωBvB∶ωCvC＝
（4×4）∶（1×1）∶（1×4）＝16∶1∶4；故D正确。
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8. （多选）如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，
圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在
如图所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
（　　）
A. 球A的线速度必定大于球B的线速度
B. 球A的角速度必定小于球B的角速度
C. 球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D. 球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
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解析：两球均贴着圆锥筒的内壁在水平面内做匀速
圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它们的支持力
N的作用，其合力必定在水平面内时刻指向圆心，
如图所示，可知，筒壁对球的支持力N＝，
故A、B两球对筒壁的压力大小相等，选项D错误。由球所受合力提供其做匀速圆周运动的向心力，得＝m＝mω2r＝m，小球的线速度v＝，角速度ω＝，周期T＝2π。
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由此可见，小球的线速度随轨道半径的增大而增大，所
以A球的线速度必定大于B球的线速度，选项A正确。小
球的角速度随半径的增大而减小，周期随半径的增大而
增大，所以A球的角速度小于B球的角速度，A球的周期
大于B球的周期，选项B正确，C错误。
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9. （多选）如图，内壁光滑的细圆管一端弯成半圆形APB，与光滑的
直轨道 BC连接，水平放置在桌面上并固定。半圆形APB半径R＝
1.0 m，BC长L＝1.5 m，桌子高度h＝0.8 m，质量m＝1.0 kg的小
球以一定的水平初速度从A点沿过A点的切线射入管内，从C点离开
管道后水平飞出，落地点D离点C的水平距离s＝2 m，不计空气阻
力，g取10 m/s2。则以下分析正确的是（　　）
A. 小球做平抛运动的初速度为10 m/s
B. 小球在圆轨道P点的角速度为10 rad/s
C. 小球在P点的向心加速度为25 m/s2
D. 小球从B运动到D的时间为0.7 s
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解析： 　根据h＝gt2得：t＝＝ s＝0.4 s，则小球平抛
运动的初速度v0＝＝ m/s＝5 m/s，故A错误；小球在圆轨道P点
的角速度ω＝＝ rad/s＝5 rad/s，故B错误；小球在P点的向
心加速度a＝＝ m/s2＝25 m/s2，故C正确；小球在BC段的时间t'
＝＝0.3 s，则小球从B运动到D的时间为0.3 s＋0.4 s＝0.7 s，故
D正确。
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10. 如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m
的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与
物体B相连，物体B的质量也为m。若物体A与转盘间的动摩擦因
数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则转盘转动的角速度ω在
什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？
答案： ≤ω≤
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解析：当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静
摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的
拉力与最大静摩擦力的合力，即
F＋fmax＝mr ①
由于B静止，故有F＝mg ②
又fmax＝μN＝μmg ③
由①②③式可得ω1＝
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当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，
方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为
F－fmax＝mr ④
由②③④式可得ω2＝
故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为
ω2≤ω≤ω1，
即 ≤ω≤ 。
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