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3　圆周运动的实例分析
4　圆周运动与人类文明（选学）
1. 如图所示，质量为m的汽车，以某一速度通过凸形路面的最高处时对路面的压力为F1，通凹形路面最低处时对路面的压力为F2，则（　　）
A.F1＝mg　　　　　 B.F1＜mg
C.F2＝mg D.F2＜mg
2.一辆运输西瓜的小汽车（可视为质点），以大小为v的速度经过一座半径为R的拱形桥。在桥的最高点，其中一个质量为m的西瓜A（位置如图所示）受到周围的西瓜对它的作用力的大小为（　　）
A.mg B.
C.mg－ D.mg＋
3.（多选）用细线悬吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向夹角为α，线长为L，如图所示，下列说法中正确的是（　　）
A.小球受重力、拉力、向心力 B.小球受重力、拉力
C.小球的向心力大小为mgtan α D.小球的向心力大小为
4.（多选）如图所示，质量不计的轻质弹性杆插入桌面上的小孔中，杆的另一端固定一质量为m的小球，今使小球在水平面内作半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，则下列说法正确的是（　　）
A.小球所受的合外力大小为mω2R
B.小球所受的合外力大小为m
C.小球对杆作用力的大小为m
D.小球对杆作用力的大小为 m
5.在如图所示的四种情形中，防止离心现象的是（　　）
A.在甲图中，火车转弯时，按规定速度通过 B.在乙图中，运动员将链球甩出
C.丙图是民间艺人在制作棉花糖 D.丁图是洗衣机甩干时内筒在高速旋转
6.某同学将一块形状为长方体的橡皮（可视为质点）放在一块乒乓球拍上，握住球拍，保证球拍水平，以一定的角速度ω在竖直面内做匀速圆周运动，运动过程中橡皮与球拍始终保持相对静止。如图所示，运动过程中橡皮经过4个位置，A为最高点，B、D为圆心等高点，C为最低点，运动半径为R，重力加速度为g，不考虑空气阻力，则（　　）
A.橡皮经过A、C位置均处于超重状态 B.若ω＜，橡皮不能通过最高点A
C.橡皮在B、D位置需要的向心力相同 D.若增大ω，B、C、D位置球拍对橡皮的作用力均增大
7.一辆质量m＝2 t的轿车，驶过半径R＝90 m的一段凸形桥面，g取10 m/s2，求：
（1）轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？
（2）在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大小是多少？
8.在玻璃管中放一个乒乓球后注满水，然后用软木塞封住管口，将此玻璃管固定在转盘上，管口置于转盘转轴处，处于静止状态。当转盘在水平面内转动时，如图所示，则乒乓球会（球直径比管直径略小）（　　）
A.向管底运动 B.向管口运动
C.保持不动 D.无法判断
9.如图所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g的小球，试管的开口端与水平轴O连接。试管底与O相距5 cm，试管在转轴带动下在竖直平面内做匀速圆周运动，g取10 m/s2，求：
（1）转轴的角速度达到多大时，试管底所受压力的最大值等于最小值的3倍；
（2）转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况。
3　圆周运动的实例分析
4　圆周运动与人类文明（选学）
1.B　汽车通过凸形路面的最高处时，有mg－F1＝m，则F1＝mg－m＜mg，A错误，B正确。汽车通过凹形路面的最低处时，有F2－mg＝m，则F2＝mg＋m＞mg，C、D错误。
2.C　西瓜和汽车一起做匀速圆周运动，竖直方向上的合力提供向心力，有mg－F＝m，解得F＝mg－，故选项C正确，A、B、D错误。
3.BC　向心力为效果力，受力分析时不分析该力，小球只受重力和拉力两个力，A错误，B正确；受力分析如图所示，
则向心力
F＝mg·tan α，C正确，D错误。
4.AD　小球所受合力提供匀速圆周运动的向心力，即F合＝mω2R，故A正确，B错误。小球受重力和轻杆对它的作用力F，根据力的合成有：F2－（mg）2＝，所以F＝m。故C错误，D正确。
5.A　火车转弯时，按规定速度通过是为了防止离心现象，故A正确；链球运动员通过快速旋转将链球甩出，是应用了离心现象，故B错误；制作“棉花糖”的过程中，糖熔化后被甩出，做离心运动，是应用了离心现象，故C错误；洗衣机脱水利用了水在高速旋转，水的附着力小于向心力时做离心运动，是应用了离心现象，故D错误。
6.D　橡皮做匀速圆周运动，合力提供向心力。橡皮在A位置时，向心加速度向下，处于失重状态，在C位置时，向心加速度向上，橡皮处于超重状态，A错误；橡皮在外力作用下做匀速圆周运动，在最高点时由重力和支持力的合力提供向心力，重力恰好提供向心力时，有mg＝mR，ω0＝，若转动的角速度ω＜ω0，橡皮与球拍不会分开，故ω＜时，橡皮能通过最高点，故B错误；橡皮在B、D位置，根据F＝mω2r，可知所需向心力大小相等，方向相反，C错误；橡皮在B、D位置，静摩擦力提供向心力，有f＝mω2r，在C位置有N－mg＝mω2r，角速度增大，在B、D位置的静摩擦力和在C位置的支持力均增大，D正确。
7.（1）1.78×104 N　（2）15 m/s
解析：（1）轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示：
合力F＝mg－N，由向心力公式得mg－N＝m
故桥面的支持力大小N＝mg－m＝（2 000×10－2 000×）N＝1.78×104 N
根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为1.78×104 N。
（2）对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力F'＝mg－N'＝0.5mg，而F'＝m，
所以此时轿车的速度大小
v'＝＝ m/s＝15 m/s。
8.B　转盘在水平面内转动时，玻璃管壁对水的摩擦力不足以提供水做圆周运动时所需要的向心力，所以水向管底运动，则乒乓球在水的作用下向管口运动，故选B。
9.（1）20 rad/s　（2）ω＜10 rad/s
解析：（1）当试管匀速转动时，小球在最高点对试管的压力最小，在最低点对试管的压力最大。
在最高点有F1＋mg＝mω2r，
在最低点有F2－mg＝mω2r，
当F2＝3F1时，
联立解得ω＝ ＝20 rad/s。
（2）小球随试管转到最高点时最容易脱离试管底，
在最高点，当mg＞mω2r时，小球会与试管底脱离接触，
可得ω＜＝10 rad/s。
2 / 23　圆周运动的实例分析 4　圆周运动与人类文明（选学）
核心 素养 目标 1.会分析汽车过拱形桥和凹形路面时对桥和路面的压力。 2.会分析“圆锥摆”模型—旋转秋千中的动力学问题。 3.了解火车车轮的特点，会分析火车转弯时向心力的来源。 4.知道什么是离心运动，知道离心运动的应用和危害。
知识点一　汽车通过拱形桥
1.受力分析：汽车受　　　　和桥面的　　　　。
2.支持力：根据　　　　＝m，得N＝mg－m。
3.对桥的压力：N'＝N＝　　　　　　。
4.结论：汽车对桥的压力N'小于汽车的重力mg，而且汽车通过最高点时速度越大，汽车对桥面的压力　　　　。
知识点二　旋转秋千
1.物理模型：“圆锥摆”模型——给小球一个初速度，使小球在　　　　内做匀速圆周运动，悬线转动形成一个　　　　面，这种装置叫作圆锥摆。
2.向心力来源：小球做匀速圆周运动的向心力是其所受的重力mg与悬线拉力T的　　　　提供的。
知识点三　火车转弯
1.物理模型：火车在水平面内做圆周运动。
2.向心力来源
（1）水平铁路弯道：火车在水平路基上转弯，　　　　侧车轮的轮缘将挤压　　　　轨，使外轨发生弹性形变而产生弹力。　　　　轨对轮缘的弹力就为火车转弯提供了向心力。
（2）倾斜铁路弯道：设计师总使弯道处的　　　　轨略高于　　　　轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力N的方向不再是　　　　直的，而是　　　　　　向弯道的内侧，它与重力G的合力为火车转弯提供了一部分向心力。
知识点四　离心运动
　做圆周运动时，由于合外力提供的向心力　　　　或　　　　，以致物体沿圆周运动的切线方向飞出或　　　　圆心的运动叫作离心运动。
【情景思辨】
　（1）汽车过拱形桥面时，可简化为竖直平面内的圆周运动。（　　）
（2）汽车在拱形桥面上行驶，速度较小时，对桥面的压力大于车重；速度较大时，对桥面的压力小于车重。（　　）
（3）“旋转秋千”在转动过程中，缆绳的拉力提供向心力。（　　）
（4）“旋转秋千”转动的越快，缆绳偏离竖直方向的夹角越小。（　　）
（5）火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小。（　　）
（6）火车转弯处的轨道内轨要高于外轨。（　　）
（7）离心运动是物体受到了离心力的作用。（　　）
（8）做圆周运动的物体只有突然失去向心力时才做离心运动。（　　）
要点一　拱形桥和凹形桥
【探究】
如图，一辆汽车正在通过拱形桥，思考以下问题：
（1）若汽车过拱形桥时，停在桥顶，对拱桥的压力多大？
（2）若汽车匀速通过桥顶时，对拱桥的压力又如何？
（3）汽车过拱形桥桥顶时，处于超重还是失重状态？
【归纳】
1.物理模型：竖直面内的圆周运动。
2.动力学分析：竖直方向的重力和支持力的合力提供向心力。
（1）拱形桥面：汽车驶至拱形桥面的顶部时，合力向下，加速度向下，处于失重状态，此时汽车对桥面的压力小于汽车的重力。
最高点由牛顿第二定律得mg－N＝m，即N＝mg－m，汽车的速度不同，所受支持力不同，可分为以下三种情形：
汽车的速度 汽车所受的支持力
v＝ N＝0
0≤v＜ 0＜N≤mg
v＞ 汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险
（2）凹形桥面：汽车驶至凹形桥面的底部时，合力向上，加速度向上，处于超重状态，此时车对桥面的压力大于汽车的重力。
最低点由牛顿第二定律得：N－G＝m。
所以汽车对桥面的压力：N'＝N＝G＋m。
结论：汽车对桥面的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥面的压力越大。
【典例1】　如图所示，是一座半径为40 m的圆弧形拱形桥。一质量为1.0×103 kg的汽车，行驶到拱形桥顶端时，汽车运动速度为10 m/s，则此时汽车运动的向心加速度为多大？向心力大小为多大？汽车对桥面的压力是多少？（g取10 m/s2）
尝试解答
方法技巧
拱形和凹形桥分析技巧
　　对于汽车过拱形桥和凹形桥问题，明确汽车的运动情况，抓住“竖直方向合力提供向心力”是解题的关键。具体的解题步骤如下：
（1）选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径；
（2）正确分析研究对象的受力情况，根据合力指向圆心，明确合力向上还是向下；
（3）根据牛顿运动定律列方程求解。
1.公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”。如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时（　　）
A.汽车对桥的压力等于汽车的重力
B.汽车对桥的压力小于桥对汽车的支持力
C.汽车所需的向心力就是地面对车的支持力
D.为了防止爆胎，车应低速驶过
2.如图，当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，恰好不受桥面支持力作用，则汽车通过桥顶的速度应为（　　）
A.15 m/s　　　　 B.20 m/s
C.25 m/s D.30 m/s
要点二　“圆锥摆”模型
【探究】
　如图，“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目，座椅在旋转圆盘的带动下旋转，思考以下问题：
（1）“旋转秋千”座椅做匀速圆周运动的圆心在哪里？
（2）座椅在旋转过程中受到哪些力作用？谁提供向心力？
（3）秋千旋转角速度越大，缆绳与竖直方向的夹角会怎样变化？
【归纳】
1.物理模型：水平面内的匀速圆周运动
2.动力学分析
（1）“旋转秋千”
可简化为：
竖直方向的重力和拉力的合力为其提供向心力
F合＝mgtan θ
r＝lsin θ
F合＝mω2r
联立解得：ω＝ cos θ＝。
结论：在绳长一定的情况下，角速度越大，则绳子与竖直中心轴的夹角也越大。
（2）车辆转弯
转弯速度：重力与地面支持力的合力恰好提供向心力时，由F＝mgtan θ＝
解得：v＝
结论：车辆如果需要提速，根据公式v＝可知应适当增大弯道的半径r或增大路面的倾斜角θ。
【典例2】　如图所示，已知绳长a＝0.2 m，水平杆长b＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动。
（1）要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度旋转？
（2）此时绳子对小球的拉力为多大？
尝试解答
【典例3】　火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损。为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，下列措施可行的是（　　）
A.适当减小内外轨的高度差 B.适当增加内外轨的高度差
C.适当减小弯道半径 D.适当增大内外轨间距
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图，飞机在无风条件下，以一定速率v在水平面内转弯。则机身倾角θ（机身与水平面的夹角）与转弯半径r的关系正确的是（　　）
A.r＝ B.r＝
C.r＝ D.r＝
2.公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，其半径为R，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有沿公路内外两侧滑动的趋势。重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　）
A.该弯道处路面外侧低于内侧
B.若该弯道处路面与水平面的夹角为θ，则有vc＝
C.当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
D.当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变大
要点三　离心运动
【探究】
　（1）现象1：游乐场中的“魔盘”游戏中，魔盘转速越来越大，人随圆盘一起转动。人受到的静摩擦力怎样变化？当达到最大静摩擦力后，继续加速转动，人将做什么运动？
（2）现象2：用细绳栓着一个小物体，使之在光滑的水平面内做圆周运动。突然松手，小球将做什么运动？它离圆心越来越近还是越来越远？
【归纳】
1.离心运动的理解
（1）离心运动的本质：离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象，它的本质是物体惯性的表现。
（2）离心运动的条件：做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者不足以满足提供做圆周运动的向心力。
（3）离心运动的判断：物体做圆周运动还是离心运动，由实际提供的向心力F与所需向心力的大小关系决定。
①若F＝mrω2，即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动。
②若F＜mrω2即“提供”小于“需要”，物体做半径变大的离心运动。
③若F＝0，物体沿切线飞出，逐渐远离圆心。
2.离心现象的应用与防止
（1）离心运动的应用
①洗衣机的脱水筒
当洗衣机的脱水筒的转速比较快时，水滴和衣服之间的附着力F＜mrω2，此时水滴和衣服之间没有足够的力提供向心力，水滴就离开附着的衣物做离心运动，起到了脱水的作用。
②制造水泥管道、离心式水泵、离心式真空泵、离心分离器等都是根据离心运动的原理工作的。
（2）离心运动的防止
①由于离心现象，车辆转弯时易出现交通事故，因此在弯道处，都要对车辆进行限速。
②高速旋转的砂轮或飞轮破裂，飞出的碎片会造成事故，所以对转动的物体要限定转速。
【典例4】　如图所示是摩托车比赛转弯时的情形。转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是（　　）
A.摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B.摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C.摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D.摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是（　　）
A.若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B.若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C.若拉力突然变大，小球沿轨迹Pb做离心运动
D.若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc运动
2.（多选）下列属于离心现象应用的是（　　）
A.离心沉淀器
B.标枪运动员掷出的标枪
C.转动伞柄可将雨伞上的水甩出
D.家用洗衣机的甩干筒用于干燥衣物
3.下列现象中属于防止离心现象带来危害的是（　　）
A.为使火车安全通过弯道，修建铁路时常把外轨道修得比内轨道高一些
B.汽车在过弯道时，阴雨天气容易冲出轨道
C.洗衣机脱水桶转动时可以将湿衣服上的水甩去
D.公共汽车急刹车时，乘客容易向前倾倒
要点回眸
　　
1. 如图所示，汽车在炎热的夏天沿不规整的曲面行驶，其中最容易发生爆胎的点是（汽车运动速率不变）（　　）
A.a点 B.b点
C.c点 D.d点
2. 铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则（　　）
A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C.这时铁轨对火车的支持力等于
D.这时铁轨对火车的支持力大于
3. （多选）如图所示，空中飞椅在水平面内做匀速圆周运动，飞椅和人的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，钢绳与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A.运动周期为
B.线速度大小为ωR
C.钢绳拉力的大小为mω2R
D.角速度ω与夹角θ的关系为gtan θ＝ω2R
4. （多选）如图所示，洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中正确的是（　　）
A.脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的
B.水会从筒中甩出是因为水滴受到的向心力很大
C.加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
D.靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好
3　圆周运动的实例分析
4　圆周运动与人类文明（选学）
【基础知识·准落实】
知识点一
1.重力　支持力　2.mg－N　3.mg－m　4.越小
知识点二
1.水平面　圆锥　2.合力
知识点三
2.（1）外　外　外　（2）外　内　竖　斜
知识点四
消失　不足　远离
情景思辨
（1）√　（2）×　（3）×　（4）×　（5）×　（6）×　（7）×　（8）×
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：（1）等于重力。
（2）汽车对拱桥的压力小于重力。
（3）汽车过拱形桥桥顶时，合力向下，所以支持力小于重力，汽车处于失重状态。
【典例1】　2.5 m/s2　2.5×103 N　7.5×103 N
解析：汽车的向心加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。　
汽车所需的向心力F＝ma＝1.0×103×2.5 N＝2.5×103 N。
在桥的最高点，汽车的向心力是由重力和桥的支持力提供，如图所示，
根据牛顿第二定律得mg－N＝ma，
则N＝mg－ma＝1.0×103×（10－2.5） N＝7.5×103 N，
根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力N'＝N＝7.5×103 N。
素养训练
1.D　在最低点，根据牛顿第二定律知：地面对车的支持力与车的重力的合力提供了向心力，设桥对车的支持力为N，有N－mg＝m，所以N＞mg，根据牛顿第三定律得：车对桥的压力等于桥对车的支持力，所以车对桥的压力大于重力，A、B、C错误；为了防止爆胎，应减小桥对车的支持力N，N＝m＋mg，所以应该减小速度，D正确。
2.B　根据牛顿第二定律得mg－N＝m，即mg－mg＝m，解得r＝＝40 m，当支持力为零时有mg＝m，解得v'＝＝20 m/s，故B正确，A、C、D错误。
要点二
知识精研
【探究】　提示：（1）圆心在中心轴上且与座椅处于同一高度。
（2）重力、缆绳的拉力；重力与缆绳的拉力的合力提供向心力。
（3）角速度越大，夹角越大。
【典例2】　（1）6.4 rad/s　（2）4.2 N
解析：以小球为研究对象，其圆周运动的圆心在竖直轴上。
半径r＝b＋asin 45°＝0.24 m
小球受重力和绳子的拉力F，以竖直方向和指向圆心方向建立直角坐标系，则有：
Fcos 45°－mg＝0 ①
Fsin 45°＝mω2r ②
由①②解得：ω＝6.4 rad/s，F＝4.2 N。
【典例3】　B　火车转弯时，为减小外轨所受压力，可以使外轨略高于内轨，使轨道形成斜面，如果速度合适，内外轨道均不受挤压，重力与轨道支持力的合力提供向心力，如题图所示，mgtan α＝m，若要提高火车速度同时减小外轨受损，可以适当增加内外轨的高度差，使α增大，或适当增大弯道半径，所以B正确，A、C、D错误。
素养训练
1.A　飞机受力如图所示：
飞机受重力和升力，升力垂直机身向上，合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mgtan θ＝m，
则r＝，故A正确。
2.B　路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向内侧，可以提供圆周运动的向心力，A错误；当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，可知此时汽车受到的重力与支持力的合力提供向心力，则mgtan θ＝所以vc＝，B正确；当路面结冰时，与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，则vc的值不变，故C、D错误。
要点三
知识精研
【探究】　提示：（1）人受到的静摩擦力逐渐增大；人将向圆盘边缘滑动，远离圆心。
（2）小球将沿切线方向做匀速直线运动；离圆心越来越远。
【典例4】　B　摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动，选项C、D错误。
素养训练
1.A　若拉力突然消失，小球由于惯性将沿着P点处的切线运动，A正确；若拉力突然变小，则小球将做离心运动，轨迹介于圆周运动和Pa轨迹之间，B、D错误；若拉力突然变大，小球不会做离心运动，C错误。
2.ACD　离心沉淀器的原理，属于离心现象，故A正确； 标枪运动员掷出的标枪做斜上抛运动，受到恒力的作用，所以投出的标枪的运动不属于离心现象，故B错误；通过旋转雨伞来甩干伞上的雨滴，当转动加快时雨滴所需要的向心力增加，当超过雨伞对雨滴的吸附力时，雨滴做离心运动，故C正确； 脱水桶高速转动时，需要的向心力的大小大于水和衣服之间的附着力时，水做离心运动被从衣服上甩掉，属于离心现象，故D正确。
3.A　在修筑铁路时，转弯处轨道的内轨要低于外轨，目的是由重力和支持力的合力提供向心力，弥补向心力不足，防止车速过大，火车做离心运动而发生侧翻，故A正确；阴雨天气汽车在过弯道时，需要的向心力要小于轮胎与地面的最大摩擦力，防止汽车冲出轨道，这是离心现象带来的危害，不是离心现象的防止，故B错误；洗衣机脱水桶高速旋转把附着在衣服上的水分，利用离心作用将水从衣服甩掉，是利用离心运动，故C错误；公共汽车急刹车时，乘客都向前倾倒是由于惯性，与离心现象无关，故D错误。
【教学效果·勤检测】
1.D　由牛顿第二定律及向心力公式可知，汽车在a、c两点，有N＝G－m＜G，即汽车在a、c两点不容易发生爆胎；同理可知，汽车在b、d两点，有N＝G＋m＞G，即汽车在b、d两点容易发生爆胎，又由题图知b点所在曲线半径大，即rb＞rd，又汽车在b、d两点的速率相等，故Nb＜Nd，所以在d点车胎受到的压力最大，即汽车在d点最容易发生爆胎。故D正确。
2.C　由牛顿第二定律F合＝m，解得F合＝mgtan θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示
Ncos θ＝mg，则N＝，内、外轨道对火车均无侧压力，故选项C正确，A、B、D错误。
3.BD　运动的周期T＝，A错误；根据线速度和角速度的关系可知v＝ωR，B正确；对飞椅和人受力分析，根据力的合成可知绳子的拉力T＝，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝mω2R，解得gtan θ＝ω2R，C错误，D正确。
4.ACD　F＝mω2R，ω增大会使向心力F增大，而水滴的附着力不能提供足够大的向心力，水滴就会被甩出去，增大角速度，会使更多水滴被甩出去，靠近中心的衣物，R比较小，角速度ω一样，所以向心力小，脱水效果差，选项A、C、D正确，B错误。
8 / 8(共80张PPT)
3　圆周运动的实例分析
4 圆周运动与人类文明（选学）
核心 素养 目标 1.会分析汽车过拱形桥和凹形路面时对桥和路面的压力。
2.会分析“圆锥摆”模型—旋转秋千中的动力学问题。
3.了解火车车轮的特点，会分析火车转弯时向心力的来源。
4.知道什么是离心运动，知道离心运动的应用和危害。
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一　汽车通过拱形桥
1. 受力分析：汽车受 和桥面的 。
2. 支持力：根据 ＝m，得N＝mg－m。
重力　
支持力　
mg－N　
3. 对桥的压力：N'＝N＝ 。
mg－m　
4. 结论：汽车对桥的压力N'小于汽车的重力mg，而且汽车通过最高
点时速度越大，汽车对桥面的压力 。
越小　
知识点二　旋转秋千
1. 物理模型：“圆锥摆”模型——给小球一个初速度，使小球在
内做匀速圆周运动，悬线转动形成一个 面，这种装
置叫作圆锥摆。
2. 向心力来源：小球做匀速圆周运动的向心力是其所受的重力mg与
悬线拉力T的 提供的。
水
平面　
圆锥　
合力　
知识点三　火车转弯
1. 物理模型：火车在水平面内做圆周运动。
2. 向心力来源
（1）水平铁路弯道：火车在水平路基上转弯， 侧车轮的轮
缘将挤压 轨，使外轨发生弹性形变而产生弹
力。 轨对轮缘的弹力就为火车转弯提供了向心力。
（2）倾斜铁路弯道：设计师总使弯道处的 轨略高于
轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力N的方向不再是
直的，而是 向弯道的内侧，它与重力G的合力为火车
转弯提供了一部分向心力。
外　
外　
外　
外　
内　
竖　
斜　
知识点四　离心运动
做圆周运动时，由于合外力提供的向心力 或 ，以致物体沿圆周运动的切线方向飞出或 圆心的运动叫作离心运动。
消失　
不足　
远离　
【情景思辨】
（1）汽车过拱形桥面时，可简化为竖直平面内的圆周运动。
（　√　）
（2）汽车在拱形桥面上行驶，速度较小时，对桥面的压力大于车
重；速度较大时，对桥面的压力小于车重。 （　×　）
（3）“旋转秋千”在转动过程中，缆绳的拉力提供向心力。
（　×　）
（4）“旋转秋千”转动的越快，缆绳偏离竖直方向的夹角越小。
（　×　）
√
×
×
×
（5）火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小。
（　×　）
（6）火车转弯处的轨道内轨要高于外轨。 （　×　）
（7）离心运动是物体受到了离心力的作用。 （　×　）
（8）做圆周运动的物体只有突然失去向心力时才做离心运动。
（　×　）
×
×
×
×
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　拱形桥和凹形桥
【探究】
　如图，一辆汽车正在通过拱形桥，思考以下问题：
（1）若汽车过拱形桥时，停在桥顶，对拱桥的压力多大？
提示：等于重力。
（2）若汽车匀速通过桥顶时，对拱桥的压力又如何？
提示：汽车对拱桥的压力小于重力。
（3）汽车过拱形桥桥顶时，处于超重还是失重状态？
提示：汽车过拱形桥桥顶时，合力向下，所以支持力小于
重力，汽车处于失重状态。
【归纳】
1. 物理模型：竖直面内的圆周运动。
2. 动力学分析：竖直方向的重力和支持力的合力提供向心力 。
（1）拱形桥面：汽车驶至拱形桥面的顶部时，合力向下，加速
度向下，处于失重状态，此时汽车对桥面的压力小于汽车
的重力。
汽车的速度 汽车所受的支持力
N＝0
0＜N≤mg
汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险
最高点由牛顿第二定律得mg－N＝m，即N＝mg－m，汽
车的速度不同，所受支持力不同，可分为以下三种情形：
（2）凹形桥面：汽车驶至凹形桥面的底部时，合力向上，加速
度向上，处于超重状态，此时车对桥面的压力大于汽车的
重力。
最低点由牛顿第二定律得：N－G＝m。
所以汽车对桥面的压力：N'＝N＝G＋m。
结论：汽车对桥面的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越
大，对桥面的压力越大。
【典例1】　如图所示，是一座半径为40 m的圆弧形拱形桥。一质量
为1.0×103 kg的汽车，行驶到拱形桥顶端时，汽车运动速度为10
m/s，则此时汽车运动的向心加速度为多大？向心力大小为多大？汽
车对桥面的压力是多少？（g取10 m/s2）
答案：2.5 m/s2　2.5×103 N　7.5×103 N
解析：汽车的向心加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。　
汽车所需的向心力F＝ma＝1.0×103×2.5 N＝
2.5×103 N。
在桥的最高点，汽车的向心力是由重力和桥的支持力
提供，如图所示，
根据牛顿第二定律得mg－N＝ma，
则N＝mg－ma＝1.0×103×（10－2.5） N＝7.5×103 N，
根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力N'＝N＝7.5×103 N。
方法技巧
拱形和凹形桥分析技巧
　　对于汽车过拱形桥和凹形桥问题，明确汽车的运动情况，抓住
“竖直方向合力提供向心力”是解题的关键。具体的解题步骤如下：
（1）选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径；
（2）正确分析研究对象的受力情况，根据合力指向圆心，明确合力
向上还是向下；
（3）根据牛顿运动定律列方程求解。
1. 公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫
“过水路面”。如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时（　　）
A. 汽车对桥的压力等于汽车的重力
B. 汽车对桥的压力小于桥对汽车的支持力
C. 汽车所需的向心力就是地面对车的支持力
D. 为了防止爆胎，车应低速驶过
解析：　在最低点，根据牛顿第二定律知：地面对车的支持力与
车的重力的合力提供了向心力，设桥对车的支持力为N，有N－mg
＝m，所以N＞mg，根据牛顿第三定律得：车对桥的压力等于桥
对车的支持力，所以车对桥的压力大于重力，A、B、C错误；为
了防止爆胎，应减小桥对车的支持力N，N＝m＋mg，所以应该
减小速度，D正确。
2. 如图，当汽车通过拱桥顶点的速度为10 m/s时，车对桥顶的压力为
车重的，如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，恰好不受桥面支持
力作用，则汽车通过桥顶的速度应为（　　）
A. 15 m/s B. 20 m/s
C. 25 m/s D. 30 m/s
解析：　根据牛顿第二定律得mg－N＝m，即mg－mg＝m，
解得r＝＝40 m，当支持力为零时有mg＝m，解得v'＝＝
20 m/s，故B正确，A、C、D错误。
要点二　“圆锥摆”模型
【探究】
　如图，“旋转秋千”是游乐园里常见的游乐项目，座椅在旋转圆盘的带动下旋转，思考以下问题：
（1）“旋转秋千”座椅做匀速圆周运动的圆心在哪里？
提示：圆心在中心轴上且与座椅处于同一高度。
（2）座椅在旋转过程中受到哪些力作用？谁提供向心力？
提示： 重力、缆绳的拉力；重力与缆绳的拉力的合力提供
向心力。
（3）秋千旋转角速度越大，缆绳与竖直方向的夹角会怎样变化？
提示： 角速度越大，夹角越大。
【归纳】
1. 物理模型：水平面内的匀速圆周运动
2. 动力学分析
（1）“旋转秋千”
竖直方向的重力和拉力的合力为其提供向心力
F合＝mgtan θ
r＝lsin θ
F合＝mω2r
联立解得：ω＝ cos θ＝。
结论：在绳长一定的情况下，角速度越大，则绳子与竖直中
心轴的夹角也越大。
可简化为：
（2）车辆转弯
转弯速度：重力与地面支持力的合力恰好提供向心力时，由
F＝mgtan θ＝
解得：v＝
结论：车辆如果需要提速，根据公式v＝可知应适当
增大弯道的半径r或增大路面的倾斜角θ。
【典例2】　如图所示，已知绳长a＝0.2 m，水平杆长b＝0.1 m，小
球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动。
（1）要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速
度旋转？
答案：6.4 rad/s　
（2）此时绳子对小球的拉力为多大？
答案：4.2 N
解析：以小球为研究对象，其圆周运动的圆心在竖直轴上。
半径r＝b＋asin 45°＝0.24 m
小球受重力和绳子的拉力F，以竖直方向和指向圆心方向建立直
角坐标系，则有：
Fcos 45°－mg＝0 ①
Fsin 45°＝mω2r ②
由①②解得：ω＝6.4 rad/s，F＝4.2 N。
【典例3】　火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车
速度提高会使外轨受损。为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，
下列措施可行的是（　　）
A. 适当减小内外轨的高度差
B. 适当增加内外轨的高度差
C. 适当减小弯道半径
D. 适当增大内外轨间距
解析：火车转弯时，为减小外轨所受压力，可以使外轨略高于内轨，
使轨道形成斜面，如果速度合适，内外轨道均不受挤压，重力与轨道
支持力的合力提供向心力，如题图所示，mgtan α＝m，若要提高火
车速度同时减小外轨受损，可以适当增加内外轨的高度差，使α增
大，或适当增大弯道半径，所以B正确，A、C、D错误。
1. 如图，飞机在无风条件下，以一定速率v在水平面内转弯。则机身
倾角θ（机身与水平面的夹角）与转弯半径r的关系正确的是
（　　）
解析：　飞机受力如图所示，飞机受重力和升
力，升力垂直机身向上，合力提供向心力，
根据牛顿第二定律得：mgtan θ＝m，
则r＝，故A正确。
2. 公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是
一圆弧，其半径为R，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有沿
公路内外两侧滑动的趋势。重力加速度为g，则下列判断正确的是
（　　）
A. 该弯道处路面外侧低于内侧
C. 当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
D. 当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变大
解析：　路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向内
侧，可以提供圆周运动的向心力，A错误；当汽车行驶的速率为vc
时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，可知此时汽车受到
的重力与支持力的合力提供向心力，则mgtan θ＝所以vc＝
，B正确；当路面结冰时，与未结冰时相比，由于支持力
和重力不变，则vc的值不变，故C、D错误。
要点三　离心运动
【探究】
（1）现象1：游乐场中的“魔盘”游戏中，魔盘转速越来越大，人随
圆盘一起转动。人受到的静摩擦力怎样变化？当达到最大静摩
擦力后，继续加速转动，人将做什么运动？
提示：人受到的静摩擦力逐渐增大；人将向圆盘边缘滑动，远离圆心。
（2）现象2：用细绳栓着一个小物体，使之在光滑的水平面内做圆周
运动。突然松手，小球将做什么运动？它离圆心越来越近还是
越来越远？
提示：小球将沿切线方向做匀速直线运动；离圆心越来越远。
【归纳】
1. 离心运动的理解
（1）离心运动的本质：离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理
现象，它的本质是物体惯性的表现。
（2）离心运动的条件：做圆周运动的物体，提供向心力的外力突
然消失或者不足以满足提供做圆周运动的向心力。
（3）离心运动的判断：物体做圆周运动还是离心运动，由实际提供的向心力F与所需向心力的大小关系决定。
①若F＝mrω2，即“提供”满足“需要”，物体做
圆周运动。
②若F＜mrω2即“提供”小于“需要”，物体做半
径变大的离心运动。
③若F＝0，物体沿切线飞出，逐渐远离圆心。
2. 离心现象的应用与防止
（1）离心运动的应用
①洗衣机的脱水筒
当洗衣机的脱水筒的转速比较快时，水滴和衣服之间的附
着力F＜mrω2，此时水滴和衣服之间没有足够的力提供向
心力，水滴就离开附着的衣物做离心运动，起到了脱水的
作用。
②制造水泥管道、离心式水泵、离心式真空泵、离心分离器
等都是根据离心运动的原理工作的。
（2）离心运动的防止
①由于离心现象，车辆转弯时易出现交通事故，因此在弯道
处，都要对车辆进行限速。
②高速旋转的砂轮或飞轮破裂，飞出的碎片会造成事故，所
以对转动的物体要限定转速。
【典例4】　如图所示是摩托车比赛转弯时的情形。转弯处路面常是
外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车
将发生滑动。关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是（　　）
A. 摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B. 摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C. 摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D. 摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
解析：摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心
力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作匀速圆周运动，所受的合
力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的
向心力，选项B正确；摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之
间做离心曲线运动，选项C、D错误。
1. 如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速
圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球
运动情况的说法中正确的是（　　）
A. 若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B. 若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C. 若拉力突然变大，小球沿轨迹Pb做离心运动
D. 若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc运动
解析：　若拉力突然消失，小球由于惯性将沿着P点处的切线运
动，A正确；若拉力突然变小，则小球将做离心运动，轨迹介于圆
周运动和Pa轨迹之间，B、D错误；若拉力突然变大，小球不会做
离心运动，C错误。　
2. （多选）下列属于离心现象应用的是（　　）
A. 离心沉淀器
B. 标枪运动员掷出的标枪
C. 转动伞柄可将雨伞上的水甩出
D. 家用洗衣机的甩干筒用于干燥衣物
解析： 离心沉淀器的原理，属于离心现象，故A正确； 标枪运动员掷出的标枪做斜上抛运动，受到恒力的作用，所以投出的标枪的运动不属于离心现象，故B错误；通过旋转雨伞来甩干伞上的雨滴，当转动加快时雨滴所需要的向心力增加，当超过雨伞对雨滴的吸附力时，雨滴做离心运动，故C正确； 脱水桶高速转动时，需要的向心力的大小大于水和衣服之间的附着力时，水做离心运动被从衣服上甩掉，属于离心现象，故D正确。
3. 下列现象中属于防止离心现象带来危害的是（　　）
A. 为使火车安全通过弯道，修建铁路时常把外轨道修得比内轨道高
一些
B. 汽车在过弯道时，阴雨天气容易冲出轨道
C. 洗衣机脱水桶转动时可以将湿衣服上的水甩去
D. 公共汽车急刹车时，乘客容易向前倾倒
解析：　在修筑铁路时，转弯处轨道的内轨要低于外轨，目的是
由重力和支持力的合力提供向心力，弥补向心力不足，防止车速过
大，火车做离心运动而发生侧翻，故A正确；阴雨天气汽车在过弯
道时，需要的向心力要小于轮胎与地面的最大摩擦力，防止汽车冲
出轨道，这是离心现象带来的危害，不是离心现象的防止，故B错
误；洗衣机脱水桶高速旋转把附着在衣服上的水分，利用离心作用
将水从衣服甩掉，是利用离心运动，故C错误；公共汽车急刹车
时，乘客都向前倾倒是由于惯性，与离心现象无关，故D错误。
要点回眸
03
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
1. 如图所示，汽车在炎热的夏天沿不规整的曲面行驶，其中最容易发
生爆胎的点是（汽车运动速率不变）（　　）
A. a点 B. b点
C. c点 D. d点
解析：　由牛顿第二定律及向心力公式可知，汽车在a、c两点，
有N＝G－m＜G，即汽车在a、c两点不容易发生爆胎；同理可
知，汽车在b、d两点，有N＝G＋m＞G，即汽车在b、d两点容易
发生爆胎，又由题图知b点所在曲线半径大，即rb＞rd，又汽车在
b、d两点的速率相等，故Nb＜Nd，所以在d点车胎受到的压力最
大，即汽车在d点最容易发生爆胎。故D正确。
2. 铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平
面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火
车转弯时速度等于，则（　　）
A. 内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B. 外轨对外侧车轮轮缘有挤压
解析：　由牛顿第二定律F合＝m，解得F合＝mgtan θ，此时火车
受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示
Ncos θ＝mg，则N＝，内、外轨道对火车均无侧压力，故选项C
正确，A、B、D错误。
3. （多选）如图所示，空中飞椅在水平面内做匀速圆周运动，飞椅和
人的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，钢绳与竖直方向的
夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是
（　　）
B. 线速度大小为ωR
C. 钢绳拉力的大小为mω2R
D. 角速度ω与夹角θ的关系为gtan θ＝ω2R
解析： 　运动的周期T＝，A错误；根据线速度和角速度的关系可知v＝ωR，B正确；对飞椅和人受力分析，根据力的合成可知绳子的拉力T＝，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝mω2R，解得gtan θ＝ω2R，C错误，D正确。　
4. （多选）如图所示，洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱
水，下列说法中正确的是（　　）
A. 脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的
B. 水会从筒中甩出是因为水滴受到的向心力很大
C. 加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
D. 靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好
解析： F＝mω2R，ω增大会使向心力F增大，而水滴的附着力不能提供足够大的向心力，水滴就会被甩出去，增大角速度，会使更多水滴被甩出去，靠近中心的衣物，R比较小，角速度ω一样，所以向心力小，脱水效果差，选项A、C、D正确，B错误。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 如图所示，质量为m的汽车，以某一速度通过凸形路面的最高处时
对路面的压力为F1，通凹形路面最低处时对路面的压力为F2，则
（　　）
A. F1＝mg B. F1＜mg
C. F2＝mg D. F2＜mg
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解析：　汽车通过凸形路面的最高处时，有mg－F1＝m，则F1
＝mg－m＜mg，A错误，B正确。汽车通过凹形路面的最低处
时，有F2－mg＝m，则F2＝mg＋m＞mg，C、D错误。
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2. 一辆运输西瓜的小汽车（可视为质点），以大小为v的速度经过一
座半径为R的拱形桥。在桥的最高点，其中一个质量为m的西瓜A
（位置如图所示）受到周围的西瓜对它的作用力的大小为（　　）
A. mg
解析：　西瓜和汽车一起做匀速圆周运动，竖直方向上的合力提
供向心力，有mg－F＝m，解得F＝mg－，故选项C正确，
A、B、D错误。
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3. （多选）用细线悬吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做
匀速圆周运动，细线与竖直方向夹角为α，线长为L，如图所示，
下列说法中正确的是（　　）
A. 小球受重力、拉力、向心力
B. 小球受重力、拉力
C. 小球的向心力大小为mgtan α
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解析：向心力为效果力，受力分析时不分析该力，小球只受重力和拉力两个力，A错误，B正确；受力分析如图所示，则向心力F＝mg·tan α，C正确，D错误。
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4. （多选）如图所示，质量不计的轻质弹性杆插入桌面上的小孔中，
杆的另一端固定一质量为m的小球，今使小球在水平面内作半径为
R的匀速圆周运动，角速度为ω，则下列说法正确的是（　　）
A. 小球所受的合外力大小为mω2R
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解析： 小球所受合力提供匀速圆周运动的向心力，即F合＝
mω2R，故A正确，B错误。小球受重力和轻杆对它的作用力F，根
据力的合成有：F2－（mg）2＝，所以F＝m。故C
错误，D正确。
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5. 在如图所示的四种情形中，防止离心现象的是（　　）
A. 在甲图中，火车转弯时，按规定速度通过
B. 在乙图中，运动员将链球甩出
C. 丙图是民间艺人在制作棉花糖
D. 丁图是洗衣机甩干时内筒在高速旋转
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解析：　火车转弯时，按规定速度通过是为了防止离心现象，故
A正确；链球运动员通过快速旋转将链球甩出，是应用了离心现
象，故B错误；制作“棉花糖”的过程中，糖熔化后被甩出，做离
心运动，是应用了离心现象，故C错误；洗衣机脱水利用了水在高
速旋转，水的附着力小于向心力时做离心运动，是应用了离心现
象，故D错误。
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6. 某同学将一块形状为长方体的橡皮（可视为质点）放在一块乒乓球
拍上，握住球拍，保证球拍水平，以一定的角速度ω在竖直面内做
匀速圆周运动，运动过程中橡皮与球拍始终保持相对静止。如图所
示，运动过程中橡皮经过4个位置，A为最高点，B、D为圆心等高
点，C为最低点，运动半径为R，重力加速度为g，不考虑空气阻
力，则（　　）
A. 橡皮经过A、C位置均处于超重状态
C. 橡皮在B、D位置需要的向心力相同
D. 若增大ω，B、C、D位置球拍对橡皮的作用力均增大
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解析：　橡皮做匀速圆周运动，合力提供向心力。橡皮在A位置
时，向心加速度向下，处于失重状态，在C位置时，向心加速度向
上，橡皮处于超重状态，A错误；橡皮在外力作用下做匀速圆周运
动，在最高点时由重力和支持力的合力提供向心力，重力恰好提供
向心力时，有mg＝mR，ω0＝，若转动的角速度ω＜ω0，橡
皮与球拍不会分开，故ω＜时，橡皮能通过最高点，故B错误；
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橡皮在B、D位置，根据F＝mω2r，可知所需向心力大小相等，方向相
反，C错误；橡皮在B、D位置，静摩擦力提供向心力，有f＝mω2r，
在C位置有N－mg＝mω2r，角速度增大，在B、D位置的静摩擦力和在
C位置的支持力均增大，D正确。
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7. 一辆质量m＝2 t的轿车，驶过半径R＝90 m的一段凸形桥面，g取10
m/s2，求：
（1）轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是
多大？
答案： 1.78×104 N　
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解析：轿车通过凸形桥面最高点时，
受力分析如图所示：
合力F＝mg－N，由向心力公式得
mg－N＝m
故桥面的支持力大小N＝mg－m＝（2 000×10－2 000×）N＝1.78×104 N
根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为1.78×104 N。
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（2）在最高点对桥面的压力等于轿车重力的一半时，车的速度大
小是多少？
答案： 15 m/s
解析： 对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力F'＝mg－
N'＝0.5mg，而F'＝m，
所以此时轿车的速度大小
v'＝＝ m/s＝15 m/s。
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8. 在玻璃管中放一个乒乓球后注满水，然后用软木塞封住管口，将此
玻璃管固定在转盘上，管口置于转盘转轴处，处于静止状态。当转
盘在水平面内转动时，如图所示，则乒乓球会
（球直径比管直径略小）（　　）
A. 向管底运动 B. 向管口运动
C. 保持不动 D. 无法判断
解析：　转盘在水平面内转动时，玻璃管壁对水的摩擦力不足以
提供水做圆周运动时所需要的向心力，所以水向管底运动，则乒乓
球在水的作用下向管口运动，故选B。
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9. 如图所示，在内壁光滑的平底试管内放一个质量为1 g的小球，试
管的开口端与水平轴O连接。试管底与O相距5 cm，试管在转轴带
动下在竖直平面内做匀速圆周运动，g取10 m/s2，求：
（1）转轴的角速度达到多大时，试管底所受压力
的最大值等于最小值的3倍；
答案： 20 rad/s　
解析： 当试管匀速转动时，小球在最高点对试管
的压力最小，在最低点对试管的压力最大。
在最高点有F1＋mg＝mω2r，在最低点有F2－mg＝mω2r，
当F2＝3F1时，联立解得ω＝ ＝20 rad/s。
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（2）转轴的角速度满足什么条件时，会出现小球与试管底脱离接触的情况。
答案：ω＜10 rad/s
解析： 小球随试管转到最高点时最容易脱离试管底，
在最高点，当mg＞mω2r时，小球会与试管底脱离接触，
可得ω＜＝10 rad/s。
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