资源简介

习题课2　圆周运动的两类模型及临界问题
1.游客乘坐过山车，在圆弧轨道上做匀速圆周运动，且在最低点处获得的向心加速度为10 m/s2，g取10 m/s2，那么运动到此位置时座椅对游客的作用力相当于游客重力的（　　）
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
2.某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做半径为R的匀速圆周运动，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大（设飞行员始终垂直于座椅的表面）（　　）
A.mg B.2mg C.mg＋ D.2
3.（多选）一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B.小球过最高点的最小速度是
C.若小球过最高点的速度v＞时，杆对球的作用力竖直向下
D.若小球过最高点的速度v＜时，速度v越小，杆对球的作用力越大
4.有一种大型游戏器械，它是一个圆筒形大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，此后有关游客的下列判断正确的是（　　）
A.游客受三个力，分别是重力、摩擦力、离心力
B.转速增大，游客受到的弹力必增大
C.转速增大，游客受到的摩擦力也增大
D.随着转速的增大，由离心现象可知，游客有沿壁向上滑动的趋势
5.有一种叫“旋转飞椅”的游乐项目（如图所示）。钢绳的一端系着座椅，另一端固定在水平转盘上。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内。将游客和座椅看作一个质点，不计钢绳的重力，以下分析正确的是（　　）
A.旋转过程中，游客和座椅受到重力、拉力和向心力
B.根据v＝ωr可知，坐在外侧的游客旋转的线速度更大
C.根据F＝mω2r可知，“飞椅”转动的角速度越大，旋转半径越小
D.若“飞椅”转动的角速度变大，钢绳上的拉力大小不变
6.（多选）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　）
A.A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B.B运动所需的向心力等于A运动所需的向心力
C.圆盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D.若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于圆盘与B间的动摩擦因数μB
7.一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起，如图所示。若将甲物体放在转轴的位置，甲、乙之间的轻绳刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，则圆盘旋转的角速度最大不得超过（两物体均可看作质点，重力加速度为g）（　　）
A. B.
C. D.
8.（多选）餐桌上的转盘示意图如图所示，两个相同的盘子甲、乙分别放置在转盘上随转盘一起转动时，下列说法正确的是（　　）
A.甲、乙两个盘子的线速度相同 B.甲、乙两个盘子的角速度相同
C.甲、乙两个盘子的加速度大小相等 D.当转盘转速逐渐加快，甲盘将先滑动
9.（多选）如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度ω＝的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A.小球运动到最高点C时与杆作用力为零
B.小球运动到最高点C时球对杆的作用力大小为mg
C.小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为2mg
D.小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为mg
10.（多选）如图所示，质量分别为2m和m的可视为质点的小物块A和B放在粗糙的水平转台上，其离转轴的距离均为r，小物块与圆盘间的动摩擦因数均为μ，忽略空气阻力的影响，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当转台开始旋转时，下列说法正确的是（　　）
A.若转速缓慢增加，小物块B最先相对转台滑动
B.在小物块均未相对转台滑动前，A和B的向心力大小相等
C.在小物块均未相对转台滑动前，A和B的向心加速度大小相等
D.A、B两个小物块即将相对转台滑动的最大角速度ω均等于
11.（多选）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，质量均为m，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与圆盘间的动摩擦因数μ相同，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是（　　）
A.此时细线张力为T＝3μmg B.此时圆盘的角速度为ω＝
C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外 D.若此时烧断细线，A仍相对盘静止，B将做离心运动
12.如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。（g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示）
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω'为多大？
13.如图所示，质量m＝1 kg的小球在长为L＝0.5 m的细绳作用下，恰能在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力Tmax＝42 N，转轴离地高度h＝5.5 m，不计阻力，g＝10 m/s2。
（1）小球经过最高点的速度是多少？
（2）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求此时小球的速度大小；
（3）细绳被拉断后小球运动的水平位移。
14.如图所示，装置可绕竖直轴O'O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长l＝1 m。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
（1）若装置匀速转动的角速度为ω1时，细线AB上的拉力为0，而细线AC与竖直方向的夹角仍为37°，求角速度ω1的大小；
（2）若装置匀速转动的角速度为ω2＝0.5ω1时，求此时两细线中拉力的大小。
15.（2024·四川资阳期末）如图所示，MN为水平地面，左侧为一座半圆形拱形桥，A点是拱形桥的最高点，BD是圆心角为90°圆弧轨道，DE是长度为R的斜面，EF是一段很细的45°圆弧管道，D、E分别与BD圆弧和EF管道相切。拱形桥、圆弧轨道、管道半径均为R。小车质量为m，整个运动过程中可视为质点且阻力可以忽略，重力加速度为g。
（1）小车在A点的速率为多大时，对拱形桥压力为零？
（2）当小车在A点以速率离开拱形桥后，恰好在B点无碰撞进入圆弧轨道，到最低点C（图中未画出）的速率为，则此时对轨道的压力为多大？
（3）当小车运动到F点的速率为时，此时小车对管道的压力为多少？
（4）在（2）的条件下，小车离开管道落地后，离A点的水平位移为多大？
习题课2　圆周运动的两类模型及临界问题
1.B　根据牛顿第二定律得N－mg＝ma，解得N＝mg＋ma＝2mg，B正确。
2.B　在最高点有F1＋mg＝m，解得F1＝m－mg；在最低点有F2－mg＝m，解得F2＝mg＋m。所以由牛顿第三定律可知，F2'－F1'＝F2－F1＝2mg，B正确。
3.ACD　当小球过最高点时速度v＝，重力恰好提供向心力，杆所受到的弹力等于零，故A正确；因为杆可以对小球提供向上的支持力，所以小球过最高点时最小速度为0，故B错误；若小球过最高点时速度v＞，重力比所需要的向心力小，杆对球的作用力竖直向下，故C正确；若小球过最高点的速度v＜时，杆对球的作用力竖直向上，此时有mg－F＝，v越小，杆对球的作用力F越大，故D正确。
4.B　游客受三个力，分别是重力、静摩擦力和弹力，选项A错误；弹力提供向心力，转速增大，所需要的向心力增大，则游客受到的弹力必增大，选项B正确；游客受到的静摩擦力与重力平衡，虽然转速增大，摩擦力不变，选项C错误；转速增大，弹力增大，但静摩擦力不变，游客没有向上滑动的趋势，选项D错误。
5.B　旋转过程中，游客和座椅受到重力、拉力作用，向心力是重力和拉力的合力，故A错误；根据v＝ωr可知，坐在外侧的游客的旋转半径较大，线速度更大，故B正确；“飞椅”转动的角速度越大，“飞椅”做圆周运动所需的向心力越大，向心力由重力与拉力的合力提供，则钢绳上的拉力变大，钢绳与竖直方向的夹角变大，旋转半径变大，故C、D错误。
6.BC　把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以摩擦力即物块所受合力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物块做匀速圆周运动，向心力F＝m，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以两者运动所需的向心力相等，故B正确；由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，圆盘对B的摩擦力等于2F，故C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，故D错误。
7.D　当乙物体以最大角速度转动时，设轻绳拉力为F，以甲物体为研究对象，有F＝μMg，以乙物体为研究对象，有F＋μmg＝mLω2，可得ω＝，D正确，A、B、C错误。
8.BD　在同一转盘上无相对运动，因此盘子甲、乙的角速度相等，则由v＝ωr可知，因半径不同，则线速度不同，故A错误，B正确；加速度大小为a＝ω2r，由于盘子甲、乙的角速度相等，盘子甲的转动半径大，所以盘子甲的加速度也大，故C错误；向心力F＝mω2r，则可知，甲的转动半径大，所需向心力也大，当所需向心力大于最大静摩擦力时，盘子会发生滑动，相同的盘子、相同的桌面，最大静摩擦力也相同，甲盘将先滑动，故D正确。
9.AD　小球运动到最高点C时有N＋mg＝mω2l，解得N＝0，A正确，B错误；小球运动到水平位置A时F向＝mω2l＝mg，杆对球的作用力大小为N'＝＝mg，C错误，D正确。
10.CD　对物块受力分析可知，两物块均由静摩擦力提供向心力，由F向＝mω2r可知，当摩擦力达最大静摩擦力时，ω最大，μmg＝mω2r，ω＝，可知其与物体的质量无关，只与物块的转动半径和动摩擦因数有关，故当ω达一定大小时，两物块一起相对转台滑动，A错误，D正确；根据向心力公式可知F向＝mω2r，两物块的质量不等，则向心力不相等，B错误；根据F向＝mω2r＝ma可得a＝ω2r，可知向心加速度与质量无关，C正确。
11.ABC　A和B随着圆盘转动时，合力提供向心力，则F＝mω2R，B的运动半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细线拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向沿半径指向圆心，A的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外，对物体A、B，根据牛顿第二定律分别得T－μmg＝mω2r，T＋μmg＝mω2·2r，解得T＝3μmg，ω＝，此时A的向心力大小为FA＝mω2r＝2μmg，B的向心力大小为FB＝mω2·2r＝4μmg，若此时烧断绳子，A、B的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力，则A、B均做离心运动，故A、B、C正确，D错误。
12.（1） rad/s　（2）2 rad/s
解析：（1）若小球刚好要离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力方向水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得
mgtan θ＝mlsin θ
解得ω0＝＝ rad/s。
（2）当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan α＝mω'2lsin α
解得ω'＝＝2 rad/s。
13.（1） m/s　（2）4 m/s　（3）4 m
解析：（1）依题意，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，在最高点，根据牛顿第二定律有mg＝m
代入数据可得小球经过最高点的速度大小为v＝＝ m/s。
（2）小球运动到最低点时细绳恰好被拉断，则绳的拉力大小恰好为Tmax＝42 N
设此时小球的速度大小为v1，小球在最低点时，由牛顿第二定律有Tmax－mg＝
解得v1＝4 m/s。
（3）细绳被拉断后小球做平抛运动，设运动时间为t，则对小球，在竖直方向上，有h－L＝gt2
代入数据求得t＝1 s
在水平方向上的位移为x＝v1t＝4 m。
14.（1） rad/s　（2）5.625 N　12.5 N
解析：（1）细线AB拉力为0，设AC线上拉力为FT，则
FTcos 37°＝mg
FTsin 37°＝mlsin 37°
解得ω1＝＝ rad/s。
（2）当ω2＝0.5ω1时，设细线AB、AC上拉力分别为FT1、FT2，则
FT2cos 37°＝mg
FT2sin 37°－FT1＝mlsin 37°
解得FT1＝5.625 N，FT2＝12.5 N。
15.（1）　（2）（7－）mg　（3）mg　
（4）（4＋2）R
解析：（1）根据题意，在A点对拱形桥压力为零时，由牛顿第二定律有：mg＝m
解得：vA＝。
（2）根据题意，在C点由牛顿第二定律有：FN－mg＝m
解得：FN＝（7－）mg
由牛顿第三定律可知，此时小车对轨道的压力大小为：FN'＝FN＝（7－）mg。
（3）根据题意，在F点时，由牛顿第二定律有：mg＋F1＝m
解得F1＝mg
由牛顿第三定律可知，此时小车对管道的压力大小为F1'＝F1＝mg。
（4）根据题意可知，小车从A点到B点做平抛运动，则竖直方向上有R＝gt2
水平方向上有x1＝v0t
联立解得小车从A点到B点的水平位移为x1＝2R
如图所示
由几何关系可得xBD＝R
xDO'＝＝R
由题意可知，小车从F点飞出之后做平抛运动，且与从A点飞出时的初速度和高度相同，则落地时水平位移x2＝x1＝2R
故小车离开管道落地后，离A点的水平位移为x＝x1＋xBD＋xDO'＋x2＝（4＋2）R。
4 / 4习题课2　圆周运动的两类模型及临界问题
核心 素养 目标 1.巩固圆周运动的基础知识，会分析向心力的来源。 2.领悟竖直平面内圆周运动的求解思路，掌握“轻绳”“轻杆”模型解法。 3.学会分析水平面内圆周运动的临界问题。
要点一　竖直平面内圆周运动的“轻绳”“轻杆”模型
1.轻绳和轻杆模型概述
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑（如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等），称为轻绳模型；二是有支撑（如球与杆连接，小球在弯管内运动等），称为轻杆模型。
2.两类模型对比
比较项目 轻绳模型 轻杆模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
动力学方程 mg＋T＝m mg±N＝m
临界特征 T＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即F向＝0，此时N＝mg
v＝的意义 物体能否过最高点的临界点 N表现为是拉力还是支持力的临界点
特别提醒
（1）绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能提供支持力，而杆可以提供支持力。
（2）对杆模型，在无法确定位于最高点时杆对物体提供的是支持力还是拉力的情况下，可用假设法列平衡方程，然后根据结果的正、负确定力的方向。
（3）解答竖直平面内的圆周运动问题时，首先要搞清楚是什么模型，再根据不同模型的临界条件分析受力，找到向心力的来源。
【典例1】　如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求：
（1）小球刚好通过最高点时的速度大小；
（2）小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小；
（3）若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值。
尝试解答
【典例2】　如图甲所示，长为R的轻杆一端固定一个小球，小球在竖直平面内绕轻杆的另一端O做圆周运动，小球到达最高点时受到杆的弹力F与速度平方v2的关系如图乙所示，则（　　）
A.小球到达最高点的速度不可能为0
B.当地的重力加速度大小为
C.v2＜b时，小球受到的弹力方向竖直向下
D.v2＝c时，小球受到的弹力方向竖直向下
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
规律方法
竖直平面内圆周运动的求解思路
1.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是（g取10 m/s2）（　　）
A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
2.如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动。当小球运动到最高点时，瞬时速度大小为v＝，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是（　　）
A.mg的拉力 B.mg的压力 C.零 D.mg的压力
3.如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g。下列有关说法中正确的是（　　）
A.小球在圆心上方管道内运动时，对外壁一定有作用力
B.小球能够到达最高点时的最小速度为
C.小球到达最高点的速度是时，球受到的合力为零
D.若小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道外壁的作用力大小为3mg
要点二　水平面内圆周运动的临界问题
1.临界状态的确定
圆周运动常见的两种临界状态：
（1）与绳或杆的弹力有关，弹力恰好为0；
（2）与静摩擦力有关，静摩擦力达到最大值。
2.范围的求解
先针对临界状态根据圆周运动的知识求解临界值，再按题意要求指出物理量的合理取值范围。
3.两类情况分析
（1）不滑动
质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动（如图所示）时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值fm时，物体运动的速度也达到最大，即fm＝m，解得vm＝。
（2）绳子被拉断
质量为m的物体被长为l的轻绳拴着（如图所示），且绕绳的另一端O在水平面内做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大值Fm时，物体的速度最大，即Fm＝m，解得vm＝。这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度。
【典例3】　如图甲所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。
（1）当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好不发生相对滑动，求ω1的值；
（2）如图乙所示，将物块和转轴用水平细绳相连，当转盘的角速度ω2＝时，求细绳的拉力T2的大小；
（3）将物块和转轴用水平细绳相连，当转盘的角速度ω3＝ 时，求细绳的拉力T3的大小。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例4】　（多选）如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO'以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A.a绳一定受拉力作用
B.a绳所受拉力随角速度的增大而增大
C.当角速度ω＞ 时，b绳将出现弹力
D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三个物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是（　　）
A.A的向心加速度最大
B.B和C所受摩擦力大小相等
C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
2.如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。
（1）当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值；
（2）当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。
1.（多选）如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是（　　）
A.小球对圆环的压力大小等于mg
B.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
C.小球的线速度大小等于
D.小球的向心加速度大小等于g
2.如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面上，其质量为M，有一质量为m的小球以水平速度v0从圆轨道最低点A开始向左运动，小球沿圆轨道运动且始终不脱离圆轨道，在此过程中，铁块始终保持静止，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A.地面受到的压力始终大于Mg
B.小球在圆轨道左侧运动的过程中，地面受到的摩擦力可能向右
C.小球经过最低点A时地面受到的压力可能等于Mg＋mg
D.小球在圆轨道最高点C时，地面受到的压力可能为0
3.不可伸长的轻绳一端系有一小球，另一端固定在光滑的转轴O上，现给球一初速度，使球和轻绳一起绕轴在竖直面内转动，不计空气阻力。关于球过最高点时轻绳对小球的作用力，说法正确的是（　　）
A.可能是拉力，也可能是推力 B.一定是拉力
C.一定等于0 D.可能是拉力，也可能等于0
4.（多选）如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　）
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω＝是b开始滑动的临界角速度
D.当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
5.如图所示，竖直杆AB在A、B两点通过光滑铰链连接两等长轻杆AC和BC，AC和BC与竖直方向的夹角均为θ，轻杆长均为L，在C处固定一质量为m的小球，重力加速度为g，在装置绕竖直杆AB转动的角速度ω从0开始逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.当ω＝0时，AC杆和BC杆对球的作用力都表现为拉力
B.AC杆对球的作用力先增大后减小
C.一定时间后，AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定
D.当ω＝时，BC杆对球的作用力为0
习题课2　圆周运动的两类模型及临界问题
【核心要点·快突破】
要点一
【典例1】　（1）2 m/s　（2）15 N　（3）4 m/s
解析：（1）小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝m，解得v1＝＝2 m/s。　
（2）小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，则有T＋mg＝m，解得T＝15 N。
（3）分析可知小球通过最低点时绳张力最大，速度最大，在最低点由牛顿第二定律得T'－mg＝，将T'＝45 N代入解得v3＝4 m/s，即小球的速度的最大值为4 m/s。
【典例2】　D　因杆既能提供支持力，又能提供拉力，则杆球模型的最高点临界条件是v＝0，则有a＝mg即小球到达最高点的最小速度为0，故A错误；由F-v2图像可知，在0≤v2＜b时，以较小速度通过最高点，杆提供支持力，方向竖直向上，由牛顿第二定律有mg－F＝m，可得F＝mg－m，随着通过最高点速度增大，杆的支持力逐渐减小，而当v2＝b时，有F＝0，即mg＝m，解得g＝，故B、C均错误；由以上分析可知，在b＜v2时，以较大速度通过最高点，杆提供拉力，由牛顿第二定律有mg＋F＝m，可得F＝m－mg，大小随着速度增大而增大，而v2＝c＞b，则小球受到的弹力方向一定竖直向下，故D正确。
素养训练
1.B　“水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，此时整体的加速度为a＝g，所以水对桶底压力为零，且水恰好不流出，故A、D错误，B正确；“水流星”通过最高点时，仅受重力，重力恰好完全提供向心力，“水流星”处于完全失重状态，故C错误。
2.B　当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，此时mg＝m，解得v'＝，而＜，故杆对球的作用力是支持力，即mg－N＝m，解得N＝mg，由牛顿第三定律可知，球对杆的作用力是压力，B正确，A、C、D错误。
3.D　圆形管道内壁能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，此时对管道外壁没有作用力，故A、B错误；小球做曲线运动，受到的合力不为零，故C错误；小球在最高点时，设管道外壁对小球的弹力大小为F，方向竖直向下，由牛顿第二定律得mg＋F＝，解得F＝3mg＞0，方向竖直向下，根据牛顿第三定律知，小球对管道外壁的作用力大小为3mg，故D正确。
要点二
【典例3】　（1）　（2）0　（3）μmg
解析；（1）当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好不发生相对滑动，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mr
解得ω1＝。
（2）由于ω2＜ω1，物块受到的最大静摩擦力大于所需向心力，此时绳对物块没有拉力，故T2＝0。
（3）由于ω3＞ω1，物块受到的最大静摩擦力不足以提供所需的向心力，此时绳对物块有拉力，则μmg＋T3＝mr，可得此时绳子对物块拉力的大小为T3＝μmg。
【典例4】　AC　对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，解得Ta＝，为定值，A正确，B错误。当Tacos θ＝mω2l，即ω＝时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确。由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，D错误。
素养训练
1.C　因A、B、C三物体角速度相同，由a＝ω2r，知物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，fB＝mω2R，fC＝mω2·（2R），物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；物体恰好滑动时，kmg＝mω2r，ω＝，故滑动的临界角速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，故物体C先滑动，选项C正确，D错误。
2.（1）　（2）
解析：（1）当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mr，解得ω1＝。
（2）物块恰好离开转盘，则N＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，
mgtan θ＝mr
tan θ＝
联立解得ω2＝。
【教学效果·勤检测】
1.BCD　因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有mg＝m＝ma，即v＝，a＝g，选项B、C、D正确。
2.D　小球在圆轨道上半部分运动过程中，对铁块的作用力在竖直方向有向上的分力，此时地面受到的压力小于Mg，A错误；小球在圆轨道左侧运动的过程中，对轨道的作用力有向左的分力，轨道有向左运动的趋势，所以地面受到的摩擦力方向向左，B错误；经过最低点A时，小球的合力方向向上，加速度方向向上，小球处于超重状态，则小球对铁块的压力大于mg，则地面受到的压力大于Mg＋mg，C错误；当小球在最高点时有F＋mg＝m，若小球对铁块的压力竖直向上且等于Mg，即F＝Mg时，地面受到的压力为0，D正确。
3.D　球过最高点时轻绳对小球的作用力可能是拉力，不可能是推力；当满足mg＝m即v＝时，绳子的拉力为零；当v＞时，绳子的拉力不为零，故选D。
4.AC　小木块a、b做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R。当角速度增大时，静摩擦力增大，增大到最大静摩擦力时，开始发生相对滑动，对木块a：fa＝ml，当fa＝kmg时，kmg＝ml，可得ωa＝；对木块b：fb＝m·2l，当fb＝kmg时，kmg＝m·2l，可得ωb＝，所以b先达到最大静摩擦力，即b先开始滑动，选项A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa＜fb，选项B错误；ω＝＜ωa，a没有滑动，则fa＝mω2l＝kmg，选项D错误。
5.C　当ω＝0时，小球在水平方向受力平衡，因此AC杆对小球的作用力表现为拉力，BC杆对小球的作用力表现为支持力，且大小相等，A错误；当ω逐渐增大时，AC杆对小球的拉力逐渐增大，BC杆对小球的支持力逐渐减小，当BC杆的作用力为0时，有mgtan θ＝mω2Lsin θ，解得ω＝，当ω继续增大时，AC杆对小球的拉力继续增大，BC杆对小球的作用力变为拉力，且逐渐增大，B、D错误；一定时间后，AC杆和BC杆对球的作用力都变为拉力，拉力的竖直分力之差等于小球的重力，即FACcos θ－FBC cos θ＝mg，则FAC－FBC＝，因此AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定，C正确。
6 / 6(共82张PPT)
习题课2
圆周运动的两类模型及临界问题
核心 素养 目标 1.巩固圆周运动的基础知识，会分析向心力的来源。
2.领悟竖直平面内圆周运动的求解思路，掌握“轻绳”
“轻杆”模型解法。
3.学会分析水平面内圆周运动的临界问题。
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　竖直平面内圆周运动的“轻绳”“轻杆”模型
1. 轻绳和轻杆模型概述
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况
可分为两类：一是无支撑（如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”
等），称为轻绳模型；二是有支撑（如球与杆连接，小球在弯管内
运动等），称为轻杆模型。
2. 两类模型对比
比较项目 轻绳模型 轻杆模型
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，也可能等
于零 弹力可能向下，可能向上，
也可能等于零
受力示意图
比较项目 轻绳模型 轻杆模型
动力学方程
临界特征 v＝0，即F向＝0，此时N＝
mg
物体能否过最高点的临界点 N表现为是拉力还是支持力
的临界点
特别提醒
（1）绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能提
供支持力，而杆可以提供支持力。
（2）对杆模型，在无法确定位于最高点时杆对物体提供的是支持力
还是拉力的情况下，可用假设法列平衡方程，然后根据结果的
正、负确定力的方向。
（3）解答竖直平面内的圆周运动问题时，首先要搞清楚是什么模
型，再根据不同模型的临界条件分析受力，找到向心力的来源。
【典例1】　如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平
面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10
m/s2，求：
（1）小球刚好通过最高点时的速度大小；
答案：2 m/s　
解析：小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝m，解得v1＝＝2 m/s。　
（2）小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，
绳的拉力大小；
答案：15 N　
解析：小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力
的合力提供向心力，则有T＋mg＝m，解得T＝15 N。
（3）若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值。
答案：4 m/s
解析：分析可知小球通过最低点时绳张力最大，速度最大，
在最低点由牛顿第二定律得T'－mg＝，将T'＝45 N代入解得
v3＝4 m/s，即小球的速度的最大值为4 m/s。　
【典例2】　如图甲所示，长为R的轻杆一端固定一个小球，小球在竖
直平面内绕轻杆的另一端O做圆周运动，小球到达最高点时受到杆的
弹力F与速度平方v2的关系如图乙所示，则（　　）
A. 小球到达最高点的速度不可能为0
C. v2＜b时，小球受到的弹力方向竖直向下
D. v2＝c时，小球受到的弹力方向竖直向下
解析：因杆既能提供支持力，又能提供拉力，则杆球模型的最高点临
界条件是v＝0，则有a＝mg即小球到达最高点的最小速度为0，故A错
误；由F-v2图像可知，在0≤v2＜b时，以较小速度通过最高点，杆提
供支持力，方向竖直向上，由牛顿第二定律有mg－F＝m，可得F＝
mg－m，随着通过最高点速度增大，杆的支持力逐渐减小，而当v2
＝b时，有F＝0，即mg＝m，解得g＝，故B、C均错误；由以上分析可知，在b＜v2时，以较大速度通过最高点，杆提供拉力，由牛顿第二定律有mg＋F＝m，可得F＝m－mg，大小随着速度增大而增大，而v2＝c＞b，则小球受到的弹力方向一定竖直向下，故D正确。
规律方法
竖直平面内圆周运动的求解思路
1. 杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与
水的总质量为m＝0.5 kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为
圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最
高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是（g取10 m/s2）（　　）
A. “水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B. “水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部
受到的压力均为零
C. “水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D. “水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
解析：　“水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此
知绳的拉力恰好为零，此时整体的加速度为a＝g，所以水对桶底压
力为零，且水恰好不流出，故A、D错误，B正确；“水流星”通
过最高点时，仅受重力，重力恰好完全提供向心力，“水流星”处
于完全失重状态，故C错误。
2. 如图所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另
一端O做圆周运动。当小球运动到最高点时，瞬时速度大小为v＝
，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是（　　）
C. 零
解析：　当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，此时
mg＝m，解得v'＝，而＜，故杆对球的作用力是支
持力，即mg－N＝m，解得N＝mg，由牛顿第三定律可知，球对
杆的作用力是压力，B正确，A、C、D错误。
3. 如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放
置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g。下列有关说法
中正确的是（　　）
A. 小球在圆心上方管道内运动时，对外壁一定有作用力
解析：　圆形管道内壁能支撑小球，小球能够通过最高点时的最
小速度为0，此时对管道外壁没有作用力，故A、B错误；小球做曲
线运动，受到的合力不为零，故C错误；小球在最高点时，设管道
外壁对小球的弹力大小为F，方向竖直向下，由牛顿第二定律得mg
＋F＝，解得F＝3mg＞0，方向竖直向下，根据牛顿第三定律
知，小球对管道外壁的作用力大小为3mg，故D正确。
要点二　水平面内圆周运动的临界问题
1. 临界状态的确定
圆周运动常见的两种临界状态：
（1）与绳或杆的弹力有关，弹力恰好为0；
（2）与静摩擦力有关，静摩擦力达到最大值。
2. 范围的求解
先针对临界状态根据圆周运动的知识求解临界值，再按题意要求指
出物理量的合理取值范围。
3. 两类情况分析
（1）不滑动
质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动
（如图所示）时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最
大值fm时，物体运动的速度也达到最大，即fm＝m，解得
vm＝。
（2）绳子被拉断
质量为m的物体被长为l的轻绳拴着（如图所示），且绕绳的
另一端O在水平面内做匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最
大值Fm时，物体的速度最大，即Fm＝m，解得vm＝。
这就是物体在半径为l的圆周上运动的临界速度。
【典例3】　如图甲所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转
轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静
摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。
（1）当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好不发生相
对滑动，求ω1的值；
答案：　
解析：当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好不发生相对滑动，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静
摩擦力提供，则μmg＝mr
解得ω1＝。
（2）如图乙所示，将物块和转轴用水平细绳相连，当转盘的角速度
ω2＝时，求细绳的拉力T2的大小；
答案：0　
解析： 由于ω2＜ω1，物块受到的最大静摩擦力大于所需向心力，
此时绳对物块没有拉力，故T2＝0。
（3）将物块和转轴用水平细绳相连，当转盘的角速度ω3＝ 时，
求细绳的拉力T3的大小。
答案：μmg
解析：由于ω3＞ω1，物块受到的最大静摩擦力不足以提供所需的
向心力，此时绳对物块有拉力，则μmg＋T3＝mr，可得此时
绳子对物块拉力的大小为T3＝μmg。
【典例4】　（多选）如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于
一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO'以角速度ω匀速转动时，小
球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平
面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A. a绳一定受拉力作用
B. a绳所受拉力随角速度的增大而增大
D. 若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
解析：对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球
的重力，解得Ta＝，为定值，A正确，B错误。当Tacos θ＝mω2l，
即ω＝时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现
弹力，C正确。由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力
可能不变，D错误。
1. 如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘
面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三个物体的质量分别为
2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，
若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是（　　）
A. A的向心加速度最大
B. B和C所受摩擦力大小相等
C. 当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D. 当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
解析：　因A、B、C三物体角速度相同，由a＝ω2r，知物体C的
向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，fB＝mω2R，fC
＝mω2·（2R），物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B
错误；物体恰好滑动时，kmg＝mω2r，ω＝，故滑动的临界角
速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，故物体C先滑动，选
项C正确，D错误。
2. 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为
r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳
恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静
摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。
（1）当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1
的值；
答案： 　
解析：当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有
张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完
全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mr，解得ω1＝。
（2）当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。
答案：
解析： 物块恰好离开转盘，则N＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，mgtan θ＝mr
tan θ＝
联立解得ω2＝。
02
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
1. （多选）如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧
做圆周运动。圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最
高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是
（　　）
A. 小球对圆环的压力大小等于mg
B. 重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
D. 小球的向心加速度大小等于g
解析： 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有mg＝m＝ma，即v＝，a＝g，选项B、C、D正确。
2. 如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面上，其质量为M，有一质量为m的小球以水平速度v0从圆轨道最低点A开始向左运动，小球沿圆轨道运动且始终不脱离圆轨道，在此过程中，铁块始终保持静止，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A. 地面受到的压力始终大于Mg
B. 小球在圆轨道左侧运动的过程中，地面受到的
摩擦力可能向右
C. 小球经过最低点A时地面受到的压力可能等于Mg＋mg
D. 小球在圆轨道最高点C时，地面受到的压力可能为0
解析：小球在圆轨道上半部分运动过程中，对铁块的作用力在竖直方向有向上的分力，此时地面受到的压力小于Mg，A错误；小球在圆轨道左侧运动的过程中，对轨道的作用力有向左的分力，轨道有向左运动的趋势，所以地面受到的摩擦力方向向左，B错误；经过最低点A时，小球的合力方向向上，加速度方向向上，小球处于超重状态，则小球对铁块的压力大于mg，则地面受到的压力大于Mg＋mg，C错误；当小球在最高点时有F＋mg＝m，若小球对铁块的压力竖直向上且等于Mg，即F＝Mg时，地面受到的压力为0，D正确。
3. 不可伸长的轻绳一端系有一小球，另一端固定在光滑的转轴O上，
现给球一初速度，使球和轻绳一起绕轴在竖直面内转动，不计空气
阻力。关于球过最高点时轻绳对小球的作用力，说法正确的是
（　　）
A. 可能是拉力，也可能是推力
B. 一定是拉力
C. 一定等于0
D. 可能是拉力，也可能等于0
解析：　球过最高点时轻绳对小球的作用力可能是拉力，不可能
是推力；当满足mg＝m即v＝时，绳子的拉力为零；当v＞
时，绳子的拉力不为零，故选D。
4. （多选）如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）
放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l，木
块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小
为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转
动的角速度，下列说法正确的是（　　）
A. b一定比a先开始滑动
B. a、b所受的摩擦力始终相等
解析： 小木块a、b做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R。当角速度增大时，静摩擦力增大，增大到最大静摩擦力时，开始发生相对滑动，对木块a：fa＝ml，当fa＝kmg时，kmg＝ml，可得ωa＝；对木块b：fb＝m·2l，当fb＝kmg时，kmg＝m·2l，可得ωb＝，所以b先达到最大静摩擦力，即b先开始滑动，选项A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa＜fb，选项B错误；ω＝＜ωa，a没有滑动，则fa＝mω2l＝kmg，选项D错误。
5. 如图所示，竖直杆AB在A、B两点通过光滑铰链连接两等长轻杆AC
和BC，AC和BC与竖直方向的夹角均为θ，轻杆长均为L，在C处固
定一质量为m的小球，重力加速度为g，在装置绕竖直杆AB转动的
角速度ω从0开始逐渐增大的过程中，下列说法正确的是（　　）
A. 当ω＝0时，AC杆和BC杆对球的作用力都表现为拉力
B. AC杆对球的作用力先增大后减小
C. 一定时间后，AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定
解析：当ω＝0时，小球在水平方向受力平衡，因此AC杆对小球的作用力表现为拉力，BC杆对小球的作用力表现为支持力，且大小相等，A错误；当ω逐渐增大时，AC杆对小球的拉力逐渐增大，BC杆对小球的支持力逐渐减小，当BC杆的作用力为0时，有mgtan θ＝mω2Lsin θ，解得ω＝，当ω继续增大时，AC杆对小球的拉力继续增大，BC杆对小球的作用力变为拉力，且逐渐增大，B、D错误；一定时间后，AC杆和BC杆对球的作用力都变为拉力，拉力的竖直分力之差等于小球的重力，即FACcos θ－FBC cos θ＝mg，则FAC－FBC＝，因此AC杆与BC杆上的力的大小之差恒定，C正确。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 游客乘坐过山车，在圆弧轨道上做匀速圆周运动，且在最低点处获
得的向心加速度为10 m/s2，g取10 m/s2，那么运动到此位置时座椅
对游客的作用力相当于游客重力的（　　）
A. 1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
解析：　根据牛顿第二定律得N－mg＝ma，解得N＝mg＋ma＝
2mg，B正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v做半径为R的匀
速圆周运动，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大（设飞行员
始终垂直于座椅的表面）（　　）
解析：　在最高点有F1＋mg＝m，解得F1＝m－mg；在最低
点有F2－mg＝m，解得F2＝mg＋m。所以由牛顿第三定律可
知，F2'－F1'＝F2－F1＝2mg，B正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. （多选）一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使
小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，重力加速度为
g，则下列说法正确的是（　　）
A. 小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　当小球过最高点时速度v＝，重力恰好提供向心
力，杆所受到的弹力等于零，故A正确；因为杆可以对小球提供向
上的支持力，所以小球过最高点时最小速度为0，故B错误；若小
球过最高点时速度v＞，重力比所需要的向心力小，杆对球的
作用力竖直向下，故C正确；若小球过最高点的速度v＜时，
杆对球的作用力竖直向上，此时有mg－F＝，v越小，杆对球的
作用力F越大，故D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 有一种大型游戏器械，它是一个圆筒形大容器，筒壁竖直，游客进
入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动，转速加快到一定程度时，
突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，此后有关游客的下列判
断正确的是（　　）
A. 游客受三个力，分别是重力、摩擦力、离心力
B. 转速增大，游客受到的弹力必增大
C. 转速增大，游客受到的摩擦力也增大
D. 随着转速的增大，由离心现象可知，游客有沿壁向上滑动的趋势
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　游客受三个力，分别是重力、静摩擦力和弹力，选项A
错误；弹力提供向心力，转速增大，所需要的向心力增大，则游客
受到的弹力必增大，选项B正确；游客受到的静摩擦力与重力平
衡，虽然转速增大，摩擦力不变，选项C错误；转速增大，弹力增
大，但静摩擦力不变，游客没有向上滑动的趋势，选项D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 有一种叫“旋转飞椅”的游乐项目（如图所示）。钢绳的一端系着
座椅，另一端固定在水平转盘上。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转
动。当转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内。将游客和
座椅看作一个质点，不计钢绳的重力，以下分析正确的是（　　）
A. 旋转过程中，游客和座椅受到重力、拉力和
向心力
B. 根据v＝ωr可知，坐在外侧的游客旋转的线速度更大
C. 根据F＝mω2r可知，“飞椅”转动的角速度越大，旋转半径越小
D. 若“飞椅”转动的角速度变大，钢绳上的拉力大小不变
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　旋转过程中，游客和座椅受到重力、拉力作用，向心力
是重力和拉力的合力，故A错误；根据v＝ωr可知，坐在外侧的游
客的旋转半径较大，线速度更大，故B正确；“飞椅”转动的角速
度越大，“飞椅”做圆周运动所需的向心力越大，向心力由重力与
拉力的合力提供，则钢绳上的拉力变大，钢绳与竖直方向的夹角变
大，旋转半径变大，故C、D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. （多选）如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠
放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
（　　）
A. A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B. B运动所需的向心力等于A运动所需的向心力
C. 圆盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D. 若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于
圆盘与B间的动摩擦因数μB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作
用，所以摩擦力即物块所受合力，提供向心力，摩擦力方向指向圆
心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物块做匀速圆周运
动，向心力F＝m，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速
度、半径也相等，所以两者运动所需的向心力相等，故B正确；由
受力分析可知B对A的摩擦力等于F，圆盘对B的摩擦力等于2F，故
C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，
故D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体质量分别为M和m（M＞m），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为压力的μ倍，两物体用一根长为L（L＜R）的轻绳连在一起，如图所示。若将甲物体放在转轴的位置，甲、乙之间的轻绳刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘不发生相对滑动，则圆盘旋转的角速度最大不得超过（两物体均可看作质点，重力加速度为g）（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　当乙物体以最大角速度转动时，设轻绳拉力为F，以甲
物体为研究对象，有F＝μMg，以乙物体为研究对象，有F＋μmg＝
mLω2，可得ω＝，D正确，A、B、C错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. （多选）餐桌上的转盘示意图如图所示，两个相同的盘子甲、乙分
别放置在转盘上随转盘一起转动时，下列说法正确的是（　　）
A. 甲、乙两个盘子的线速度相同
B. 甲、乙两个盘子的角速度相同
C. 甲、乙两个盘子的加速度大小相等
D. 当转盘转速逐渐加快，甲盘将先滑动
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　在同一转盘上无相对运动，因此盘子甲、乙的角速度
相等，则由v＝ωr可知，因半径不同，则线速度不同，故A错误，B
正确；加速度大小为a＝ω2r，由于盘子甲、乙的角速度相等，盘子
甲的转动半径大，所以盘子甲的加速度也大，故C错误；向心力F
＝mω2r，则可知，甲的转动半径大，所需向心力也大，当所需向
心力大于最大静摩擦力时，盘子会发生滑动，相同的盘子、相同的
桌面，最大静摩擦力也相同，甲盘将先滑动，故D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. （多选）如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另
一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度ω
＝的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A. 小球运动到最高点C时与杆作用力为零
B. 小球运动到最高点C时球对杆的作用力大小为mg
C. 小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为2mg
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　小球运动到最高点C时有N＋mg＝mω2l，解得N＝
0，A正确，B错误；小球运动到水平位置A时F向＝mω2l＝mg，
杆对球的作用力大小为N'＝＝mg，C
错误，D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. （多选）如图所示，质量分别为2m和m的可视为质点的小物块A
和B放在粗糙的水平转台上，其离转轴的距离均为r，小物块与圆
盘间的动摩擦因数均为μ，忽略空气阻力的影响，设最大静摩擦力
等于滑动摩擦力，当转台开始旋转时，下列说法正确的是（　　）
A. 若转速缓慢增加，小物块B最先相对转台滑动
B. 在小物块均未相对转台滑动前，A和B的向心力
大小相等
C. 在小物块均未相对转台滑动前，A和B的向心加速度大小相等
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　对物块受力分析可知，两物块均由静摩擦力提供向心
力，由F向＝mω2r可知，当摩擦力达最大静摩擦力时，ω最大，
μmg＝mω2r，ω＝，可知其与物体的质量无关，只与物块的转
动半径和动摩擦因数有关，故当ω达一定大小时，两物块一起相
对转台滑动，A错误，D正确；根据向心力公式可知F向＝mω2r，
两物块的质量不等，则向心力不相等，B错误；根据F向＝mω2r＝
ma可得a＝ω2r，可知向心加速度与质量无关，C正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. （多选）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着
用水平细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两
侧，质量均为m，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与圆盘间的
动摩擦因数μ相同，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩
擦力。当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法
正确的是（　　）
A. 此时细线张力为T＝3μmg
C. 此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外
D. 若此时烧断细线，A仍相对盘静止，B将做离心运动
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：A和B随着圆盘转动时，合力提供向心力，则F＝mω2R，B的运动半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细线拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向沿半径指向圆心，A的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外，对物体A、B，根据牛顿第二定律分别得T－μmg＝mω2r，T＋μmg＝mω2·2r，解得T＝3μmg，ω＝，此时A的向心力大小为FA＝mω2r＝2μmg，B的向心力大小为FB＝mω2·2r＝4μmg，若此时烧断绳子，A、B的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力，则A、B均做离心运动，故A、B、C正确，D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg 的
小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖
直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周
运动的角速度为ω时，细线的张力为T。（g取10 m/s2，sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示）
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度
ω0至少为多大？
答案： rad/s　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 若小球刚好要离开锥面，则小球只受到
重力和细线的拉力，受力分析如图所示。小球做匀
速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力方向水
平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得
mgtan θ＝mlsin θ
解得ω0＝＝ rad/s。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，
则小球的角速度ω'为多大？
答案：2 rad/s
解析： 当细线与竖直方向成60°角时，
小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan α＝mω'2lsin α
解得ω'＝＝2 rad/s。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 如图所示，质量m＝1 kg的小球在长为L＝0.5 m的细绳作用下，
恰能在竖直平面内做圆周运动，细绳能承受的最大拉力Tmax＝42
N，转轴离地高度h＝5.5 m，不计阻力，g＝10 m/s2。
（1）小球经过最高点的速度是多少？
答案： m/s　
解析：依题意，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，
在最高点，根据牛顿第二定律有mg＝m
代入数据可得小球经过最高点的速度大小为v＝＝ m/s。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断，求此时小球的速度大小；
答案： 4 m/s　
解析： 小球运动到最低点时细绳恰好被拉断，
则绳的拉力大小恰好为Tmax＝42 N
设此时小球的速度大小为v1，小球在最低点时，由牛顿第二
定律有Tmax－mg＝
解得v1＝4 m/s。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3）细绳被拉断后小球运动的水平位移。
答案：4 m
解析： 细绳被拉断后小球做平抛运动，
设运动时间为t，则对
小球，在竖直方向上，有h－L＝gt2
代入数据求得t＝1 s
在水平方向上的位移为x＝v1t＝4 m。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 如图所示，装置可绕竖直轴O'O转动，可视为质点的小球A与两细
线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC
与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长l
＝1 m。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
（1）若装置匀速转动的角速度为ω1时，细线AB上的拉力为0，而细线AC与竖直方向的夹角仍为37°，求角速度ω1的大小；
答案： rad/s　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：细线AB拉力为0，设AC线上拉力为FT，则
FTcos 37°＝mg
FTsin 37°＝mlsin 37°
解得ω1＝＝ rad/s。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若装置匀速转动的角速度为ω2＝0.5ω1时，求此时两细线中拉力的大小。
答案：5.625 N　12.5 N
解析： 当ω2＝0.5ω1时，设细线AB、
AC上拉力分别为FT1、FT2，则FT2cos 37°＝mg
FT2sin 37°－FT1＝mlsin 37°
解得FT1＝5.625 N，FT2＝12.5 N。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. （2024·四川资阳期末）如图所示，MN为水平地面，左侧为一座
半圆形拱形桥，A点是拱形桥的最高点，BD是圆心角为90°圆弧
轨道，DE是长度为R的斜面，EF是一段很细的45°圆弧管道，
D、E分别与BD圆弧和EF管道相切。拱形桥、圆弧轨道、管道半
径均为R。小车质量为m，整个运动过程中可视为质点且阻力可以
忽略，重力加速度为g。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（1）小车在A点的速率为多大时，对拱形桥压力为零？
答案：　
解析：根据题意，在A点对拱形桥压力为零时，由牛
顿第二定律有：mg＝m
解得：vA＝。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）当小车在A点以速率离开拱形桥后，恰好在B点无碰撞
进入圆弧轨道，到最低点C（图中未画出）的速率为
，则此时对轨道的压力为多大？
答案：（7－）mg　
解析： 根据题意，在C点由牛顿第二定律有：FN－mg＝m
解得：FN＝（7－）mg
由牛顿第三定律可知，此时小车对轨道的压力大小为：FN'
＝FN＝（7－）mg。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3）当小车运动到F点的速率为时，此时小车对管道的压
力为多少？
答案：mg　
解析： 根据题意，在F点时，由牛顿第二定律有：mg＋F1＝m
解得F1＝mg
由牛顿第三定律可知，此时小车对管道的压力大小为F1'＝
F1＝mg。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（4）在（2）的条件下，小车离开管道落地后，离A点的水平位
移为多大？
答案： （4＋2）R
解析： 根据题意可知，小车从A点到B点做平抛运动，则竖直
方向上有R＝gt2
水平方向上有x1＝v0t
联立解得小车从A点到B点的水平位移为x1＝2R
如图所示
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
xDO'＝＝R
由题意可知，小车从F点飞出之后做平抛运动，且与从A点
飞出时的初速度和高度相同，则落地时水平位移x2＝x1＝2R
故小车离开管道落地后，离A点的水平位移为x＝x1＋xBD＋
xDO'＋x2＝（4＋2）R。
由几何关系可得xBD＝R
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢谢观看!

展开更多......

收起↑