资源简介

3　预言未知星体　计算天体质量
1.土星最大的卫星叫“泰坦”（如图所示），每16天绕土星运行一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为（　　）
A.5×1017 kg B.5×1026 kg
C.7×1033 kg D.4×1036 kg
2.若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（　　）
A. B.
C. D.
3.一物体从一行星表面某高度处自由下落（不计阻力）。自开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图像如图所示，则根据题设条件可以计算出（　　）
A.行星表面重力加速度大小 B.行星的质量
C.行星的密度 D.物体受到行星引力的大小
4.如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　）
A.太阳对各小行星的引力相同
B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值均大于地球公转的线速度值
5.（多选）一行星绕恒星做圆周运动，由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A.恒星的质量为 B.行星的质量为
C.行星运动的轨道半径为 D.行星运动的加速度为
6.如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）
A.甲的向心加速度比乙的小 B.甲的运行周期比乙的小
C.甲的角速度比乙的大 D.甲的线速度比乙的大
7.（多选）若宇航员在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A.月球表面的重力加速度g月＝ B.月球的质量m月＝
C.月球的自转周期T＝ D.月球的平均密度ρ＝
8.（2024·江苏南京期中）火星绕太阳运转可看成是匀速圆周运动，设火星运动轨道的半径为r，火星绕太阳一周的时间为T，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A.火星的质量m火＝
B.火星的向心加速度a火＝
C.太阳的平均密度ρ太＝
D.太阳的质量m太＝
9.某同学从网上得到一些信息，如下表数据所示，则地球和月球的密度之比为（　　）
月球半径 R0
月球表面处的重力加速度 g0
地球和月球的半径之比 ＝4
地球表面和月球表面的重力加速度之比 ＝6
A. B.C.4 D.6
10.1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是（　　）
A.地球的质量m地＝
B.太阳的质量m太＝
C.月球的质量m月＝
D.由题中数据可求月球的密度
11.美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道，若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，已知引力常量为G，则下列关于土星质量m土和平均密度ρ的表达式正确的是（　　）
A.m土＝，ρ＝
B.m土＝，ρ＝
C.m土＝，ρ＝
D.m土＝，ρ＝
12.在地球表面让某小球做自由落体运动，小球经过时间t落地；若在某星球表面让同样的小球做自由落体运动，小球经过时间4t落在星球表面。已知小球落在地面时和落在星球表面时的速度大小相等，该星球的半径与地球半径之比为R'∶R＝1∶2，地球表面重力加速度为g，大气阻力不计。 求：
（1）该星球表面的重力加速度g'；
（2）该星球的质量与地球的质量之比m星∶m地。
3　预言未知星体　计算天体质量
1.B　由卫星受到的万有引力提供向心力，得＝mr，其中r＝1.2×106 km＝1.2×109 m，T＝16天＝16×24×3 600 s＝1 382 400 s，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，代入数据可得m土≈5×1026 kg，故B正确。
2.A　根据万有引力提供向心力有G＝m，又m星＝ρ·，解得T＝ ，故A正确，B、C、D错误。
3.A　物体离行星表面的高度为25 m，落地时间为2.5 s，根据h＝gt2得出重力加速度g， A正确；由于不知道行星的半径，所以不能求出行星的质量和密度，B、C错误；由于不知道物体的质量，所以不能求出物体受到行星的引力大小，D错误。
4.C　由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A错误；由G＝mr可得T＝ ，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B错误；由G＝ma可得a＝，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；由G＝m可得v＝ ，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值均小于地球公转的线速度值，选项D错误。
5.ACD　由＝＝mr，得m恒＝＝，A正确；无法计算行星的质量，B错误；由r＝＝＝，知C正确；由a＝ω2r＝ωv＝，知D正确。
6.A　根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有G＝ma＝mr＝mω2r＝m，可得a＝，T＝2π ，ω＝，v＝。由已知条件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω乙，v甲＜v乙，故A正确。
7.AB　根据平抛运动规律，有L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，选项A正确；由mg月＝G，解得m月＝，选项B正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球的平均密度ρ＝＝，选项D错误。
8.B　由题意可知火星绕太阳做匀速圆周运动，则有G＝m火r，解得m太＝，其中m太 ＝ ρ太V，V＝π，联立解得ρ太＝，故A、C、D错误；火星绕太阳做匀速圆周运动，则火星的向心加速度a火＝，故B正确。
9.B　在地球表面，物体的重力近似等于物体所受的万有引力，故mg＝G，解得m地＝，故地球的密度ρ＝＝＝，同理，月球的密度ρ0＝，故地球和月球的密度之比＝＝6×＝，故选B。
10.B　根据地球表面万有引力等于重力，有G＝mg，则m地＝，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝mL2，解得m太＝，故B正确；根据题中的物理量，无法求出月球的质量，故C错误；月球的质量无法求出，则无法求出月球的密度，故D错误。
11.D　由题意知“卡西尼”号探测器离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行的周期T＝，由万有引力提供向心力知G＝m（R＋h），联立解得m土＝，由ρ＝，又V＝πR3，联立得ρ＝，故D正确，A、B、C错误。
12.（1）g　（2）1∶16
解析：（1）在地球表面小球自由下落时，由自由落体运动规律，有v0＝gt
同理在星球表面自由下落，有v0＝g'·4t
联立两式解得g'＝g。
（2）在地球表面的物体，有mg＝G
在星球表面的物体，有mg'＝G
该星球的半径与地球半径之比R'∶R＝1∶2
代入数据解得m星∶m地＝1∶16。
2 / 33　预言未知星体　计算天体质量
核心素养目标 1.了解万有引力定律在发现未知天体、预言哈雷彗星回归等方面所起的作用。 2.掌握计算天体质量及密度的计算方法。
　　
知识点一　预言彗星回归、预言未知星体
1.预言哈雷彗星回归
　　　　根据牛顿的引力理论，对1682年出现的大彗星（后来被命名为哈雷彗星）的轨道进行了计算，并预言了它将于1758年再次出现。
2.海王星的发现
英国剑桥大学的学生　　　　　、法国年轻的天文爱好者　　　　　同时独立预言了在天王星轨道之外有一颗当时还未知的行星，并计算了这颗未知星体的质量、轨道和位置。　　　　于1846年9月23日夜间在预定的区域发现了这颗神秘的行星——海王星。
知识点二　计算天体的质量
方法一：g、R法。如果已知引力常量G、地球半径R和重力加速度g，我们可以认为地球表面的物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝G；
可得地球的质量：M＝　　　　。
方法二：T、r法。如果已知行星围绕太阳运动的轨道半径r和运行周期T，根据向心力公式：G＝mr，可得太阳质量mS＝　　　　。　
【情景思辨】
　如图所示的是木星和它周围运行的卫星，现要测量木星的质量。假设卫星绕木星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出木星的质量，请对下述情景作出判断。
（1）再已知卫星的线速度和角速度可以求出木星的质量。（　　）
（2）再已知卫星的质量和轨道半径可以求出木星的质量。（　　）
（3）再已知卫星的质量和角速度可以求出木星的质量。（　　）
（4）再已知卫星的运行周期和轨道半径可求出木星的质量。（　　）
要点一　天体质量和密度的计算
【探究】
1.卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”。
（1）他“称量”的依据是什么？
（2）若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求地球的质量。
2.如果知道地球绕太阳的公转周期T，地球与太阳中心间距r，引力常量G，能求出太阳的质量吗？
【归纳】
情景及求解思路 结果
天体质量的计算 已知所求星体的半径R及其表面的重力加速度g，则G＝mg m星＝
质量为m的行星绕所求星体做匀速圆周运动，万有引力提供行星所需的向心力，即G＝m＝mω2r＝mr （1）m星＝ （2）m星＝ （3）m星＝
天体密度的计算 ρ＝＝ （1）ρ＝（已知g、R） （2）ρ＝（已知v、r、R）　 （3）ρ＝（已知ω、r、R）　 r＝R时：ρ＝ （4）ρ＝（已知T、r、R）　 r＝R时：ρ＝
【典例1】　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G。
（1）求该天体的质量和密度；
（2）若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周运动的周期为T2，求该天体的质量和密度。
尝试解答
特别提醒
求解天体质量和密度时的常见错误
（1）根据轨道半径r和运行周期T，求得m中＝是中心天体的质量，而不是行星（或卫星）的质量。
（2）混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
（3）注意区分R、r、h的意义：一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，h指卫星距离星球表面的高度，三者关系为r＝R＋h。
1.2024年4月，我国发射的神舟十八号飞船与空间站成功对接，在万有引力的作用下一起绕地球运动，若空间站绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　）
A.空间站的质量和绕地半径
B.空间站的质量和绕地周期
C.空间站的绕地角速度和绕地周期
D.空间站的绕地线速度和绕地半径
2.我国成功地进行了“嫦娥五号”的发射和落月任务，进一步获取了月球的相关数据。该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是θ（弧度），引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球的密度是（　　）
A. B.
C. D.
要点二　天体运动的规律
【探究】
　如图所示，太阳系中的行星绕太阳在不同轨道上运动，探究以下问题：
（1）将行星的运动近似看作匀速圆周运动，轨道半径最小的是哪颗行星？
（2）比较地球、金星和火星，哪个行星的周期最大？
（3）比较金星和木星，哪个行星的角速度大？
【归纳】
1.基本思路
行星绕恒星（或卫星绕行星）的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供。
2.常用关系
（1）基本关系：万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力，即
G＝m＝mrω2＝mr＝man
（2）黄金代换式：由在天体表面物体的重力等于万有引力，即mg＝G，可得Gm中＝gR2（即“Gm中”与“gR2”可以相互替代）
【典例2】　金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径r金＜r地＜r火，由此可以判定（　　）
A.a金＞a地＞a火　　　　 B.a火＞a地＞a金
C.v地＞v火＞v金 D.v火＞v地＞v金
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例3】　有的天文学家倾向于把太阳系较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
（1）它们与太阳间的万有引力之比；
（2）它们的公转周期之比。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
规律总结
　　天体运动的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系
＝
“高轨、低速、周期长”或“低轨、高速、周期短”
1.假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，则（　　）
A.地球公转的周期大于火星公转的周期
B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度
2.如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，它们距地面的高度分别是R和2R（R为地球半径）。下列说法中正确的是（　　）
A.a、b的线速度大小之比是∶1
B.a、b的周期之比是1∶2
C.a、b的角速度大小之比是3∶4
D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2
要点回眸
　　
1.（多选）下列说法正确的是（　　）
A.海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
B.天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
C.天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D.以上说法都不对
2.若月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球绕地球运动的轨道半径r、绕地球运动的周期T，引力常量为G，由此可以知道（　　）
A.月球的质量m＝
B.地球的质量m地＝
C.月球的平均密度ρ＝
D.地球的平均密度ρ'＝
3.我国发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是（　　）
A.周期
B.角速度
C.线速度
D.向心加速度
4.两颗行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为＝p，两行星的半径之比为＝q，则两颗卫星的周期之比为（　　）
A. B.q
C.p D.q
3　预言未知星体　计算天体质量
【基础知识·准落实】
知识点一
1.哈雷　2.亚当斯　勒维耶　伽勒
知识点二
　
情景思辨
（1）√　（2）×　（3）×　（4）√
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　
1.提示：（1）若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力。
（2）由mg＝G得，m地＝。
2.提示：由＝m地r知m太＝，可以求出太阳的质量。
【典例1】　（1）　
（2）　
解析：设卫星的质量为m，天体的质量为m中。
（1）卫星贴近天体表面运动时，有G＝mR，
则该天体的质量m中＝，
根据数学知识可知，天体的体积V＝πR3，
故该天体的密度ρ＝＝＝。
（2）卫星距天体表面的高度为h时，有
G＝m（R＋h），
则该天体的质量m中＝，
故该天体的密度ρ＝＝＝。
素养训练
1.D　根据空间站做圆周运动的向心力由地球的万引力提供，可得G＝m＝mω2r＝mr，可得m地＝＝＝，可知已知空间站的质量和绕地半径、已知空间站的质量和绕地周期以及已知空间站的角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知空间站的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。故D正确。
2.B　由题意可知，该卫星的线速度、角速度分别为v＝，ω＝，又因为v＝ωr，所以轨道半径为r＝＝。卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有G＝m，得月球的质量为m月＝＝，又因为月球的体积为V＝πR3，所以月球的密度ρ＝＝＝。
要点二
知识精研
【探究】　提示：（1）水星。
（2）根据G＝mr得T＝，故轨道半径越大，周期越大，即火星的周期最大。
（3）根据G＝mω2r得ω＝ ，故轨道半径越小，角速度越大，金星的角速度大。
【典例2】　A　行星绕太阳做匀速圆周运动时，根据牛顿第二定律和圆周运动知识，由G＝ma得向心加速度a＝，由G＝m得速度v＝ ，由于r金＜r地＜r火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，选项A正确。
【典例3】　（1）　（2）
解析：（1）设太阳质量为m太，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比＝＝。
（2）两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有G＝mr
所以，天体绕太阳运动的周期T＝2π
则两天体绕太阳的公转周期之比＝。
素养训练
1.D　根据G＝mr得公转周期T＝2π ，则地球公转的周期较小，故A错误；根据G＝得公转线速度v＝ ，则地球公转的线速度较大，故B错误；根据G＝ma得公转加速度a＝，则地球公转的加速度较大，故C错误；根据G＝mω2r得公转角速度ω＝ ，则地球公转的角速度较大，故D正确。
2.C　两卫星均做匀速圆周运动，则有F万＝F向。
由＝m得＝＝＝，故A错误；
由＝mr得＝＝，故B错误；
由＝mrω2得＝＝，故C正确；
由＝ma得＝＝，故D错误。
【教学效果·勤检测】
1.AC　海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道，然后由天文工作者在预言的位置附近观察到的，天王星是人们通过望远镜观察发现的；由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，引起了人们的思考，推测天王星轨道外面存在未知行星，进而发现了海王星。故A、C正确，B、D错误。
2.B　根据万有引力提供向心力，列出等式G＝m，可得地球的质量m地＝，只能求出中心天体的质量，故A错误，B正确；由于不清楚月球和地球的半径大小，所以无法求出它们的平均密度，故C、D错误。
3.A　“高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半径，即r五＜r四。由万有引力提供向心力得＝mr＝mrω2＝m＝ma。由于T＝ ∝，T五＜T四，故A正确。由于ω＝∝，ω五＞ω四，故B错误。由于v＝ ∝，v五＞v四，故C错误。由于a＝∝，a五＞a四，故D错误。
4.D　卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，则有G＝mR，得T＝，又＝p，＝q，解得＝q，故D正确，A、B、C错误。
5 / 5(共69张PPT)
3　预言未知星体　计算天体质量
核心
素养 目标 1.了解万有引力定律在发现未知天体、预言哈雷彗星回归等方面所起的作用。
2.掌握计算天体质量及密度的计算方法。
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一　预言彗星回归、预言未知星体
1. 预言哈雷彗星回归
根据牛顿的引力理论，对1682年出现的大彗星（后来
被命名为哈雷彗星）的轨道进行了计算，并预言了它将于1758
年再次出现。
哈雷　
2. 海王星的发现
英国剑桥大学的学生 、法国年轻的天文爱好者
同时独立预言了在天王星轨道之外有一颗当时还未知的行星，
并计算了这颗未知星体的质量、轨道和位置。 于1846年9
月23日夜间在预定的区域发现了这颗神秘的行星——海王星。
亚当斯　
勒维
耶　
伽勒　
知识点二　计算天体的质量
方法一：g、R法。如果已知引力常量G、地球半径R和重力加速度g，
我们可以认为地球表面的物体受到的重力等于地球对物体的万有引
力，即mg＝G；
可得地球的质量：M＝ 。
方法二：T、r法。如果已知行星围绕太阳运动的轨道半径r和运行周
期T，根据向心力公式：G＝mr，可得太阳质量mS
＝ 。
　
　
【情景思辨】
　如图所示的是木星和它周围运行的卫星，现要测量木星的质量。假设卫星绕木星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出木星的质量，请对下述情景作出判断。
（1）再已知卫星的线速度和角速度可以求出木星的质量。（　√　）
√
（2）再已知卫星的质量和轨道半径可以求出木星的质量。（　×　）
（3）再已知卫星的质量和角速度可以求出木星的质量。 （　×　）
（4）再已知卫星的运行周期和轨道半径可求出木星的质量。（　√　）
×
×
√
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　天体质量和密度的计算
【探究】
1. 卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量
地球质量的人”。
（1）他“称量”的依据是什么？
提示：若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到
的重力等于地球对物体的万有引力。
（2）若已知地球表面重力加速度g，地球半径R，引力常量G，求
地球的质量。
提示： 由mg＝G得，m地＝。
2. 如果知道地球绕太阳的公转周期T，地球与太阳中心间距r，引力常
量G，能求出太阳的质量吗？
提示：由＝m地r知m太＝，可以求出太阳的质量。
【归纳】
情景及求解思路 结果
天体
质量
的计
算 已知所求星体的半径R及其表面的重力
加速度g，则G＝mg m星＝
质量为m的行星绕所求星体做匀速圆周
运动，万有引力提供行星所需的向心
力，即G＝m＝mω2r＝mr （1）m星＝
（2）m星＝
（3）m星＝
情景及求解思路 结果
天
体
密
度
的
计
算 ρ＝＝ （1）ρ＝（已知g、R）
（2）ρ＝（已知v、r、R）　
（3）ρ＝（已知ω、r、R）　
r＝R时：ρ＝
（4）ρ＝（已知T、r、R）　
r＝R时：ρ＝
【典例1】　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它
贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知引力常量为G。
（1）求该天体的质量和密度；
答案：　　
解析：设卫星的质量为m，天体的质量为m中。
（1）卫星贴近天体表面运动时，有G＝mR，
则该天体的质量m中＝，
根据数学知识可知，天体的体积V＝πR3，
故该天体的密度ρ＝＝＝。
（2）若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该高度做圆周
运动的周期为T2，求该天体的质量和密度。
答案：　
解析： 卫星距天体表面的高度为h时，有
G＝m（R＋h），则该天体的质量m中＝，
故该天体的密度ρ＝＝＝。
特别提醒
求解天体质量和密度时的常见错误
（1）根据轨道半径r和运行周期T，求得m中＝是中心天体的质
量，而不是行星（或卫星）的质量。
（2）混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应
一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，
轨道半径用r表示，只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如
近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
（3）注意区分R、r、h的意义：一般情况下，R指中心天体的半径，r
指行星或卫星的轨道半径，h指卫星距离星球表面的高度，三者
关系为r＝R＋h。
1. 2024年4月，我国发射的神舟十八号飞船与空间站成功对接，在万
有引力的作用下一起绕地球运动，若空间站绕地球的运行可视为匀
速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是
（　　）
A. 空间站的质量和绕地半径
B. 空间站的质量和绕地周期
C. 空间站的绕地角速度和绕地周期
D. 空间站的绕地线速度和绕地半径
解析：　根据空间站做圆周运动的向心力由地球的万有引力提
供，可得G＝m＝mω2r＝mr，可得m地＝＝＝
，可知已知空间站的质量和绕地半径、已知空间站的质量和
绕地周期以及已知空间站的角速度和绕地周期，都不能求解地球的
质量；若已知空间站的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。
故D正确。
2. 我国成功地进行了“嫦娥五号”的发射和落月任务，进一步获取了
月球的相关数据。该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经
过时间t，卫星运动的路程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是
θ（弧度），引力常量为G，月球半径为R，则可推知月球的密度是
（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由题意可知，该卫星的线速度、角速度分别为v＝，ω
＝，又因为v＝ωr，所以轨道半径为r＝＝。卫星绕月球做匀速
圆周运动，根据万有引力提供向心力，有G＝m，得月球的
质量为m月＝＝，又因为月球的体积为V＝πR3，所以月球的
密度ρ＝＝＝。
要点二　天体运动的规律
【探究】
　如图所示，太阳系中的行星绕太阳在不同轨道上运动，探究以下问题：
（1）将行星的运动近似看作匀速圆周运动，轨道半径最小的是哪颗行星？
提示：水星。
（2）比较地球、金星和火星，哪个行星的周期最大？
提示：根据G＝mr得T＝，故轨道半径越
大，周期越大，即火星的周期最大。
（3）比较金星和木星，哪个行星的角速度大？
提示：根据G＝mω2r得ω＝ ，故轨道半径越
小，角速度越大，金星的角速度大。
【归纳】
1. 基本思路
行星绕恒星（或卫星绕行星）的运动可看作匀速圆周运动，所需向
心力由中心天体对它的万有引力提供。
2. 常用关系
（1）基本关系：万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力，
即G＝m＝mrω2＝mr＝man
（2）黄金代换式：由在天体表面物体的重力等于万有引力，即mg
＝G，可得Gm中＝gR2（即“Gm中”与“gR2”可以相互
替代）
【典例2】　金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运
动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的
速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径r金＜r地＜r火，由此可
以判定（　　）
A. a金＞a地＞a火 B. a火＞a地＞a金
C. v地＞v火＞v金 D. v火＞v地＞v金
解析：行星绕太阳做匀速圆周运动时，根据牛顿第二定律和圆周运动
知识，由G＝ma得向心加速度a＝，由G＝m得速度v＝
，由于r金＜r地＜r火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，选项A
正确。
【典例3】　有的天文学家倾向于把太阳系较小的天体叫作“矮行
星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之
一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的
轨道半径分别是r1和r2，求：
（1）它们与太阳间的万有引力之比；
答案：　
解析：设太阳质量为m太，由万有引力定律得，两天体与
太阳间的万有引力之比＝＝。
（2）它们的公转周期之比。
答案：
解析： 两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有
引力提供，则有G＝mr
所以，天体绕太阳运动的周期T＝2π
则两天体绕太阳的公转周期之比＝。
规律总结
　　天体运动的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系
＝ “高轨、低速、周期
长”或“低轨、高速、周期短”
1. 假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离
小于火星到太阳的距离，则（　　）
A. 地球公转的周期大于火星公转的周期
B. 地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C. 地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D. 地球公转的角速度大于火星公转的角速度
解析：　根据G＝mr得公转周期T＝2π ，则地球
公转的周期较小，故A错误；根
据G＝得公转线速度v＝ ，则地球公转的线速度较
大，故B错误；根据G＝ma得公转加速度a＝，则地球公
转的加速度较大，故C错误；根据G＝mω2r得公转角速度ω＝
，则地球公转的角速度较大，故D正确。
2. 如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，它
们距地面的高度分别是R和2R（R为地球半径）。下列说法中正确
的是（　　）
A. a、b的线速度大小之比是∶1
B. a、b的周期之比是1∶2
C. a、b的角速度大小之比是3∶4
D. a、b的向心加速度大小之比是9∶2
解析：　两卫星均做匀速圆周运动，则有F万＝F向。
由＝m得＝＝＝，故A错误；
由＝mr得＝＝，故B错误；
由＝mrω2得＝＝，故C正确；
由＝ma得＝＝，故D错误。
要点回眸
03
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
1. （多选）下列说法正确的是（　　）
A. 海王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
B. 天王星是人们依据万有引力定律计算出其运行轨道而发现的
C. 天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原
因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D. 以上说法都不对
解析： 　海王星是人们根据万有引力定律计算出其轨道，然后
由天文工作者在预言的位置附近观察到的，天王星是人们通过望远
镜观察发现的；由于天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算
出来的轨道，引起了人们的思考，推测天王星轨道外面存在未知行
星，进而发现了海王星。故A、C正确，B、D错误。
2. 若月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球绕地
球运动的轨道半径r、绕地球运动的周期T，引力常量为G，由此可
以知道（　　）
A. 月球的质量m＝
B. 地球的质量m地＝
C. 月球的平均密度ρ＝
D. 地球的平均密度ρ'＝
解析：　根据万有引力提供向心力，列出等式G＝m，可
得地球的质量m地＝，只能求出中心天体的质量，故A错误，B
正确；由于不清楚月球和地球的半径大小，所以无法求出它们的平
均密度，故C、D错误。
3. 我国发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高
分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与
“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是（　　）
A. 周期 B. 角速度
C. 线速度 D. 向心加速度
解析：　“高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半
径，即r五＜r四。由万有引力提供向心力得＝mr＝mrω2＝
m＝ma。由于T＝ ∝，T五＜T四，故A正确。由于ω＝
∝，ω五＞ω四，故B错误。由于v＝ ∝，v五＞v
四，故C错误。由于a＝∝，a五＞a四，故D错误。
4. 两颗行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星轨道接近各自行星的表
面，如果两行星的质量之比为＝p，两行星的半径之比为＝
q，则两颗卫星的周期之比为（　　）
A. B. q
C. p D. q
解析：　卫星做匀速圆周运动时，万有引力提供卫星做匀速圆周
运动的向心力，则有G＝mR，得T＝，又＝p，
＝q，解得＝q，故D正确，A、B、C错误。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 土星最大的卫星叫“泰坦”（如图所示），每16天绕土星运行一
周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝
6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为
（　　）
A. 5×1017 kg B. 5×1026 kg
C. 7×1033 kg D. 4×1036 kg
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：　由卫星受到的万有引力提供向心力，得＝mr，
其中r＝1.2×106 km＝1.2×109 m，T＝16天＝16×24×3 600 s＝1
382 400 s，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，代入数据可得m土
≈5×1026 kg，故B正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附
近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（　　）
A. B. C. D.
解析：　根据万有引力提供向心力有G＝m，又m星＝
ρ·，解得T＝ ，故A正确，B、C、D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 一物体从一行星表面某高度处自由下落（不计阻力）。自开始下落
计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图像如图所示，则
根据题设条件可以计算出（　　）
A. 行星表面重力加速度大小
B. 行星的质量
C. 行星的密度
D. 物体受到行星引力的大小
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：　物体离行星表面的高度为25 m，落地时间为2.5 s，根据
h＝gt2得出重力加速度g， A正确；由于不知道行星的半径，所以
不能求出行星的质量和密度，B、C错误；由于不知道物体的质
量，所以不能求出物体受到行星的引力大小，D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小
行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确
的是（　　）
A. 太阳对各小行星的引力相同
B. 各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C. 小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速
度值
D. 小行星带内各小行星圆周运动的线速度值均大于地球公转的线速
度值
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：由于各小行星的质量和轨道半径不同，根据万有引力定律可知太阳对各小行星的引力不同，选项A错误；由G＝mr可得T＝ ，又小行星的轨道半径大于地球的轨道半径，可知各小行星绕太阳运动的周期均大于一年，选项B错误；由G＝ma可得a＝，可知小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值，选项C正确；由G＝m可得v＝ ，可知小行星带内各小行星做圆周运动的线速度值均小于地球公转的线速度值，选项D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. （多选）一行星绕恒星做圆周运动，由天文观测可得，其运行周期
为T，速度为v，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A. 恒星的质量为
B. 行星的质量为
C. 行星运动的轨道半径为
D. 行星运动的加速度为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　由＝＝mr，得m恒＝＝，A正确；
无法计算行星的质量，B错误；由r＝＝＝，知C正确；
由a＝ω2r＝ωv＝，知D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. 如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和
2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）
A. 甲的向心加速度比乙的小
B. 甲的运行周期比乙的小
C. 甲的角速度比乙的大
D. 甲的线速度比乙的大
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：　根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有
G＝ma＝mr＝mω2r＝m，可得a＝，T＝2π ，ω
＝，v＝。由已知条件可得a甲＜a乙，T甲＞T乙，ω甲＜ω
乙，v甲＜v乙，故A正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. （多选）若宇航员在距月球表面高h处以初速度v0水平抛出一个小
球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量
为G，则下列说法正确的是（　　）
A. 月球表面的重力加速度g月＝
B. 月球的质量m月＝
C. 月球的自转周期T＝
D. 月球的平均密度ρ＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　根据平抛运动规律，有L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月
＝，选项A正确；由mg月＝G，解得m月＝，选项B
正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C错误；月球
的平均密度ρ＝＝，选项D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. （2024·江苏南京期中）火星绕太阳运转可看成是匀速圆周运动，
设火星运动轨道的半径为r，火星绕太阳一周的时间为T，万有引力
常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A. 火星的质量m火＝
B. 火星的向心加速度a火＝
C. 太阳的平均密度ρ太＝
D. 太阳的质量m太＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：　由题意可知火星绕太阳做匀速圆周运动，则有G
＝m火r，解得m太＝，其中m太 ＝ ρ太V，V＝π，联立解
得ρ太＝，故A、C、D错误；火星绕太阳做匀速圆周运动，
则火星的向心加速度a火＝，故B正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 某同学从网上得到一些信息，如下表数据所示，则地球和月球的密
度之比为（　　）
月球半径 R0
月球表面处的重力加速度 g0
地球和月球的半径之比 ＝4
地球表面和月球表面的重力加速度之比 ＝6
A. B.
C. 4 D. 6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：　在地球表面，物体的重力近似等于物体所受的万有引
力，故mg＝G，解得m地＝，故地球的密度ρ＝＝＝
，同理，月球的密度ρ0＝，故地球和月球的密度之比＝
＝6×＝，故选B。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. 1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被
人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球
表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间
为T1（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转周期），地
球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为
L2。下列说法正确的是（　　）
A. 地球的质量m地＝ B. 太阳的质量m太＝
C. 月球的质量m月＝ D. 由题中数据可求月球的密度
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：　根据地球表面万有引力等于重力，有G＝mg，则m
地＝，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝
mL2，解得m太＝，故B正确；根据题中的物理量，无法
求出月球的质量，故C错误；月球的质量无法求出，则无法求出
月球的密度，故D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. 美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕
土星飞行的轨道，若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空
离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n周飞行时间为t，
已知引力常量为G，则下列关于土星质量m土和平均密度ρ的表达
式正确的是（　　）
A. m土＝，ρ＝
B. m土＝，ρ＝
C. m土＝，ρ＝
D. m土＝，ρ＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：　由题意知“卡西尼”号探测器离土星表面高h的圆形轨
道上绕土星飞行的周期T＝，由万有引力提供向心力知
G＝m（R＋h），联立解得m土＝，由
ρ＝，又V＝πR3，联立得ρ＝，故D正确，A、
B、C错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. 在地球表面让某小球做自由落体运动，小球经过时间t落地；若在
某星球表面让同样的小球做自由落体运动，小球经过时间4t落在
星球表面。已知小球落在地面时和落在星球表面时的速度大小相
等，该星球的半径与地球半径之比为R'∶R＝1∶2，地球表面重力
加速度为g，大气阻力不计。 求：
（1）该星球表面的重力加速度g'；
答案：g　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 在地球表面小球自由下落时，由自由落体运动
规律，有v0＝gt
同理在星球表面自由下落，有v0＝g'·4t
联立两式解得g'＝g。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2）该星球的质量与地球的质量之比m星∶m地。
答案： 1∶16
解析： 在地球表面的物体，有mg＝G
在星球表面的物体，有mg'＝G
该星球的半径与地球半径之比R'∶R＝1∶2
代入数据解得m星∶m地＝1∶16。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
谢谢观看!

展开更多......

收起↑