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章末综合检测（三）　万有引力定律
（满分：100分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）
1.下列说法不符合物理学史的是（　　）
A.牛顿对引力常量G进行了准确测定，并于1687年发表在《自然哲学的数学原理》中
B.英国物理学家卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量G的数值
C.牛顿做了月—地检验，证明了地面物体所受引力和天体间引力遵循相同的规律
D.开普勒行星运动定律是开普勒在第谷留下的观测记录的基础上整理和研究出来的
2.关于开普勒第三定律公式＝k，下列说法正确的是（　　）
A.公式只适用于绕太阳沿椭圆轨道运行的行星
B.公式适用于宇宙中所有围绕恒星运动的行星
C.式中的k值，对所有行星和卫星都相等
D.式中的T代表行星自转的周期
3.物体在地球表面所受的重力为G，则在距地面高度为地球半径的3倍时，所受地球引力为（　　）
A. B.
C. D.
4.人造地球卫星在离地面的高度等于地球半径R处运行，已知地面上的重力加速度为g，则此卫星做匀速圆周运动的速度大小v等于（　　）
A. B.
C. D.
5.如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点。已知A、B、C绕地心运动的周期相同，下列说法正确的是（　　）
A.相对于地心，卫星C的运行速率等于物体A的速率
B.相对于地心，卫星C的运行速率小于物体A的速率
C.卫星B在P点的运行加速度等于卫星C在该点的运行加速度
D.卫星B在P点的运行加速度大于卫星C在该点的运行加速度
6.地球上，在赤道上的一物体A和在台州的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动，如图，它们的线速度分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，重力加速度分别为gA、gB，则（　　）
A.vA＝vB，ωA＝ωB，gA＞gB B.vA＜vB，ωA＜ωB，gA＞gB
C.vA＞vB，ωA＞ωB，gA＜gB D.vA＞vB，ωA＝ωB，gA＜gB
7.2019年4月10日，全球多地同步公布了人类历史上第一张黑洞照片。黑洞是一种密度极大，引力极大的天体，以至于光都无法逃逸。史瓦西半径公式R＝是一种估算黑洞大小的方法，公式中引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，光速c＝3.0×108 m/s，天体的质量为m天。已知地球的质量约为6.0×1024 kg，假如它变成一个黑洞，则该黑洞的直径的数量级为（　　）
A.10－5 m B.10－2 m
C.105 m D.103 m
8.如图所示，宇宙飞船和空间站在同一轨道上运行，若飞船想与前面的空间站对接，飞船为了追上在轨道上运行的空间站，可采取的最好方法是（　　）
A.飞船加速直到追上空间站，完成对接
B.飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C.空间站直接减速等待空间站进而实现对接
D.无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分。每小题有多个选项符合题目要求。全部选对得4分，选对但不全的得2分，选错或不选得0分）
9.在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里，一宇航员手拿一只小球相对于太空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上，如图所示。下列说法正确的是（　　）
A.宇航员相对于地球的速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B.若宇航员相对于太空舱无初速度释放小球，小球将继续做匀速圆周运动
C.宇航员将不受地球的引力作用
D.宇航员对“地面”的压力等于零
10.如图所示，一颗卫星绕地球做椭圆运动，运动周期为T，图中虚线为卫星的运动轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A距离地球最近，C距离地球最远。B点和D点是弧线ABC和ADC的中点，下列说法正确的是（　　）
A.卫星在A点的速度最大
B.卫星在C点的加速度最大
C.卫星从A经D到C的运动时间为
D.卫星从B经A到D的运动时间为
11.宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，我们称之为双星系统。设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，转动周期为T，轨道半径分别为RA、RB且RA＜RB，引力常量G已知，则下列说法正确的是（　　）
A.星球A的向心力大于星球B的向心力
B.星球A的线速度一定大于星球B的线速度
C.星球A和星球B的质量之和为
D.双星的总质量不变，若双星之间的距离增大，其转动周期也变大
12.如图所示，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M（M远大于m1及m2），在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有（　　）
A.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D.从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
三、非选择题（本题共5小题，共60分）
13.（8分）预计我国将在2030年前后实现航天员登月计划，航天员登上月球后进行相关的科学探测与实验。已知月球的半径为R，宇航员在月球表面高为h处静止释放一小球，经过时间t落地。万有引力常量为G，求：
（1）月球的质量m月；
（2）月球的第一宇宙速度v。
14.（10分）2021年2月10日“天问一号”被火星捕获，通过调整进入环火轨道做匀速圆周运动，若“天问一号”在环火轨道上运动的线速度大小为v，周期为T，轨道离火星表面的高度为h，引力常量为G，忽略火星自转，求：
（1）火星的质量；
（2）火星表面的重力加速度。
15.（10分）假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，如图所示，“嫦娥三号”飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。
（1）飞船在A点点火前的速度大小为v1，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ在A点的速度大小为v2，试比较两速度的大小；
（2）求飞船在轨道Ⅲ跟轨道Ⅰ的线速度大小之比；
（3）求飞船在轨道Ⅰ绕月球运动一周所需的时间。
16.（14分）（2024·四川巴中期末）如图所示，当木星在绕日公转过程中运行到日、地连线延长线上时，会形成“木星冲日”现象。已知地球质量为m地，半径为R，公转半径为r，地表重力加速度为g，公转周期为1年。假设木星质量是300m地，半径是10R，公转半径是5r，不考虑木星和地球的自转，不计木星和地球间的引力，≈2.4，则求：
（1）木星地表的重力加速度为多大？
（2）木星冲日平均多少年出现一次？
17.（18分）双星系统的两个星球A、B相距为L，质量都是m，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。已知万有引力常量为G。
（1）求星球A、B组成的双星系统周期T0（理论值）；
（2）实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且＝k（k＜1），于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，星球A、B围绕C做匀速圆周运动，试求星球C的质量（结果用k和m表示）。
章末综合检测（三）　万有引力定律
1.A　英国物理学家卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量G的数值，故A不符合物理学史，B符合物理学史；牛顿做了月—地检验，证明了地面物体所受引力和天体间引力遵循相同的规律，故C符合物理学史；开普勒行星运动定律是开普勒在第谷留下的观测记录的基础上整理和研究出来的，故D符合物理学史。
2.B　开普勒第三定律适用于宇宙中所有围绕恒星运动的行星，也适用于围绕行星运动的卫星，A项错误，B项正确；公式＝k中的k值只与中心天体有关，对围绕同一中心天体运行的行星（或卫星）都相同，T代表行星（或卫星）公转的周期，C、D两项错误。
3.D　设地球的质量为m地，半径为R，万有引力常量为G'，根据万有引力等于重力可得G'＝G，在距地面高度为地球半径的3倍时，有G'＝F，联立解得F＝，故选D。
4.C　设卫星的质量为m，地球的质量为m地，根据万有引力提供向心力，有＝，r＝2R，在地球表面有一质量为m'的物体，根据万有引力等于重力得＝m'g，联立以上等式，得出卫星的线速度v＝。故C正确。
5.C　A、B、C绕地心运动的周期相同，根据v＝和C的半径大，可知C的运行速率比A大，A、B错误；在P点，加速度a＝，同一位置r相同，则加速度相等，C正确，D错误。
6.D　地球上的点除两极外，相同时间内绕各自圆心转过角度相同，所以角速度相同，ωA＝ωB；根据v＝ωr可知，角速度相同时，做圆周运动的半径越大，线速度越大，所以vA＞vB；地球上随纬度增加，重力加速度增大，赤道重力加速度最小，两极重力加速度最大，所以gA＜gB。A、B、C错误，D正确。
7.B　由题干可得R＝＝ m≈9×10－3 m，所以黑洞直径为d＝2R＝18×10－3 m＝1.8×10－2 m，故选B。
8.B　飞船做圆周运动的向心力是由地球对飞船的万有引力提供的，由牛顿第二定律有＝m，解得v＝。想要追上同轨道上运行的空间站，若飞船直接加速会导致飞船做离心运动，而使轨道半径增大，此时飞船在新轨道上运行的速度比空间站的速度小，不可能实现对接，同理，空间站直接减速也无法实现对接。若飞船先减速，此时G＞m，飞船将做向心运动使轨道半径减小，但速度增大了，当飞船运动到合适的位置后再加速，则其轨道半径增大，同时速度减小，当刚好运动到空间站所在位置时，飞船的速度也刚好等于空间站的速度，可完成对接。选项B正确。
9.BD　7.9 km/s是发射卫星的最小速度，是卫星环绕地球运行的最大速度，可见，所有环绕地球运转的卫星、飞船等，其运行速度均小于7.9 km/s，故A错误；若宇航员相对于太空舱无初速释放小球，由于惯性，小球仍具有原来的速度，所以地球对小球的万有引力正好提供它做匀速圆周运动需要的向心力，即G＝m'，其中m'为小球的质量，故小球不会落到“地面”上，而是沿原来的轨道继续做匀速圆周运动，故B正确；宇航员受地球的引力作用，此引力提供宇航员随空间站绕地球做圆周运动的向心力，否则宇航员将脱离圆周轨道，故C错误；因宇航员受的引力全部提供了向心力，宇航员不能对“地面”产生压力，处于完全失重状态，故D正确。
10.AC　卫星绕地球做椭圆运动，类似于行星绕太阳运转，根据开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，可知卫星与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以卫星在距离地球最近的A点速度最大，在距离地球最远的C点速度最小，卫星在B、D两点的速度大小相等，故A正确；在椭圆的各个点上都是引力产生加速度，有a＝，因A点的距离最小，则A点的加速度最大，故B错误；根据椭圆运动的对称性可知tADC＝tCBA＝，故C正确；椭圆上近地点A附近速度较大，远地点C附近速度最小，则tBAD＜，tDCB＞，故D错误。
11.CD　由双星运动规律可知，双星靠相互间的万有引力提供彼此做圆周运动所需的向心力，所以两个星球的向心力大小相等，故A错误；由双星运动规律可知，双星的角速度相等，根据v＝ωr可得，星球A的线速度一定小于星球B的线速度，故B错误；对于星球A有G＝mARAω2，对于星球B有G＝mBRBω2，ω＝，L＝RA＋RB，联立解得mA＋mB＝，故C正确；根据mA＋mB＝，若双星之间的距离增大，总质量不变，则其转动的周期变大，故D正确。
12.AD　万有引力提供向心力，则有G＝mr，解得T＝，所以＝＝＝，故B错误，A正确；设a、b间夹角为α，每隔时间t，a、b间夹角为α，则每隔时间t，a、b、c共线2次，根据几何关系有（ωa－ωb）t＝2π，所以t＝，故n＝＝＝＝－1＝7，则从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，故C错误，D正确。
13.（1）　（2）
解析：（1）在月球表面小球自由下落，则h＝g月t2
所以g月＝
根据月球表面物体的重力等于万有引力，有G＝mg月
解得月球的质量 m月＝。
（2）在月球表面所需的最大运行速度即为第一宇宙速度，有G＝m
解得v＝＝。
14.（1）　（2）
解析：（1）设“天问一号”的圆周半径为r，则vT＝2πr
解得r＝
根据万有引力提供向心力，有G＝m
解得m火＝。
（2）设火星表面重力加速度为g火，则G＝mg火
R＝r－h
解得g火＝。
15.（1）v1＞v2　（2）2∶1　（3）16π
解析：（1）飞船在A点处由圆轨道进入椭圆轨道，做近心运动，故需要的向心力要小于万有引力，飞船在A点处点火时，是通过向行进方向喷火，即点火做减速运动，做近心运动进入椭圆轨道，所以点火瞬间速度是减小的，故v1＞v2。
（2）飞船在轨道Ⅲ、轨道Ⅰ都做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得G＝m
解得v＝
故飞船在轨道Ⅲ跟轨道Ⅰ的线速度大小之比为
＝＝＝。
（3）飞船在轨道Ⅰ绕月球运动，根据万有引力提供向心力得G＝mr1
解得T1＝2π
在月球表面，有G＝mg0，解得g0＝
故周期为T1＝2π＝2π＝16π。
16.（1）3g　（2）1.09年
解析：（1）行星对表面物体的万有引力等于物体在表面时受到的重力，有G＝mg
解得g＝
已知地球质量为m地，半径为R，而木星质量是300m地，半径是10R，则木星表面的重力加速度为g木＝g＝3g。
（2）根据开普勒第三定律有＝
可得T木＝5T地≈12年设从木星冲日到下次木星冲日的时间间隔为t，则－＝1
解得t＝年≈1.09年。
17.（1）2π　（2）m
解析：（1）两个星球A、B组成的双星系统周期相同，设A、B的轨道半径分别为r1、r2，两星球间的万有引力提供两星球做匀速圆周运动的向心力
对星球A：G＝mr1
对星球B：G＝mr2
且r1＋r2＝L
联立可得双星系统周期理论值T0＝2π。
（2）由于星球C的存在，星球A、B的向心力由两个力的合力提供，则
对星球A或B均有：
G＋G＝m·
又＝k
联立可得星球C的质量mC＝m。
3 / 4(共41张PPT)
章末综合检测（三）　万有引力定律
（满分：100分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出
的四个选项中只有一个选项符合题目要求）
1. 下列说法不符合物理学史的是（　　）
A. 牛顿对引力常量G进行了准确测定，并于1687年发表在《自然哲学
的数学原理》中
B. 英国物理学家卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的
测量，得出了引力常量G的数值
C. 牛顿做了月—地检验，证明了地面物体所受引力和天体间引力遵
循相同的规律
D. 开普勒行星运动定律是开普勒在第谷留下的观测记录的基础上整
理和研究出来的
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解析：　英国物理学家卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万
有引力的测量，得出了引力常量G的数值，故A不符合物理学史，
B符合物理学史；牛顿做了月—地检验，证明了地面物体所受引力
和天体间引力遵循相同的规律，故C符合物理学史；开普勒行星运
动定律是开普勒在第谷留下的观测记录的基础上整理和研究出来
的，故D符合物理学史。
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2. 关于开普勒第三定律公式＝k，下列说法正确的是（　　）
A. 公式只适用于绕太阳沿椭圆轨道运行的行星
B. 公式适用于宇宙中所有围绕恒星运动的行星
C. 式中的k值，对所有行星和卫星都相等
D. 式中的T代表行星自转的周期
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解析：　开普勒第三定律适用于宇宙中所有围绕恒星运动的行
星，也适用于围绕行星运动的卫星，A项错误，B项正确；公式
＝k中的k值只与中心天体有关，对围绕同一中心天体运行的行星
（或卫星）都相同，T代表行星（或卫星）公转的周期，C、D两项
错误。
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3. 物体在地球表面所受的重力为G，则在距地面高度为地球半径的3
倍时，所受地球引力为（　　）
A. B. C. D.
解析：　设地球的质量为m地，半径为R，万有引力常量为G'，根
据万有引力等于重力可得G'＝G，在距地面高度为地球半径的
3倍时，有G'＝F，联立解得F＝，故选D。
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4. 人造地球卫星在离地面的高度等于地球半径R处运行，已知地面上
的重力加速度为g，则此卫星做匀速圆周运动的速度大小v等于
（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　设卫星的质量为m，地球的质量为m地，根据万有引力提
供向心力，有＝，r＝2R，在地球表面有一质量为m'的物
体，根据万有引力等于重力得＝m'g，联立以上等式，得出
卫星的线速度v＝。故C正确。
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5. 如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球椭圆轨道运
行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、
C两卫星轨道的交点。已知A、B、C绕地心运动的
周期相同，下列说法正确的是（　　）
A. 相对于地心，卫星C的运行速率等于物体A的速率
B. 相对于地心，卫星C的运行速率小于物体A的速率
C. 卫星B在P点的运行加速度等于卫星C在该点的运行加速度
D. 卫星B在P点的运行加速度大于卫星C在该点的运行加速度
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解析：　A、B、C绕地心运动的周期相同，根据v＝和C的半径
大，可知C的运行速率比A大，A、B错误；在P点，加速度a＝
，同一位置r相同，则加速度相等，C正确，D错误。　
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6. 地球上，在赤道上的一物体A和在台州的一物体B随地球自转而做
匀速圆周运动，如图，它们的线速度分别为vA、vB，角速度分别为
ωA、ωB，重力加速度分别为gA、gB，则（　　）
A. vA＝vB，ωA＝ωB，gA＞gB
B. vA＜vB，ωA＜ωB，gA＞gB
C. vA＞vB，ωA＞ωB，gA＜gB
D. vA＞vB，ωA＝ωB，gA＜gB
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解析：　地球上的点除两极外，相同时间内绕各自圆心转过角度
相同，所以角速度相同，ωA＝ωB；根据v＝ωr可知，角速度相同
时，做圆周运动的半径越大，线速度越大，所以vA＞vB；地球上随
纬度增加，重力加速度增大，赤道重力加速度最小，两极重力加速
度最大，所以gA＜gB。A、B、C错误，D正确。　
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7. 2019年4月10日，全球多地同步公布了人类历史上第一张黑洞照
片。黑洞是一种密度极大，引力极大的天体，以至于光都无法逃
逸。史瓦西半径公式R＝是一种估算黑洞大小的方法，公式中
引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，光速c＝3.0×108 m/s，天体的
质量为m天。已知地球的质量约为6.0×1024 kg，假如它变成一个黑
洞，则该黑洞的直径的数量级为（　　）
A. 10－5 m B. 10－2 m
C. 105 m D. 103 m
解析：由题干可得R＝＝ m≈9×10－3
m，所以黑洞直径为d＝2R＝18×10－3 m＝1.8×10－2 m，故选B。
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8. 如图所示，宇宙飞船和空间站在同一轨道上运行，若飞船想与前面
的空间站对接，飞船为了追上在轨道上运行的空间站，可采取的最
好方法是（　　）
A. 飞船加速直到追上空间站，完成对接
B. 飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速
追上空间站完成对接
C. 空间站直接减速等待空间站进而实现对接
D. 无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
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解析：　飞船做圆周运动的向心力是由地球对飞船的万有引力提
供的，由牛顿第二定律有＝m，解得v＝。想要追上
同轨道上运行的空间站，若飞船直接加速会导致飞船做离心运动，
而使轨道半径增大，此时飞船在新轨道上运行的速度比空间站的速
度小，不可能实现对接，同理，空间站直接减速也无法实现对接。若飞船先减速，此时G＞m，飞船将做向心运动使轨道半径减
小，但速度增大了，当飞船运动到合适的位置后再加速，则其轨道半
径增大，同时速度减小，当刚好运动到空间站所在位置时，飞船的速
度也刚好等于空间站的速度，可完成对接。选项B正确。
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二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分。每小题有多个选项符合题目要求。全部选对得4分，选对但不全的得2分，选错或不选得0分）
9. 在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里，一宇航员手拿一只小球相对于太空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上，如图所示。下列说法正确的是（　　）
A. 宇航员相对于地球的速度介于7.9 km/s与
11.2 km/s之间
B. 若宇航员相对于太空舱无初速度释放小球，
小球将继续做匀速圆周运动
C. 宇航员将不受地球的引力作用
D. 宇航员对“地面”的压力等于零
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解析： 7.9 km/s是发射卫星的最小速度，是卫星环绕地球运行的最大速度，可见，所有环绕地球运转的卫星、飞船等，其运行速度均小于7.9 km/s，故A错误；若宇航员相对于太空舱无初速释放小球，由于惯性，小球仍具有原来的速度，所以地球对小球的万有引力正好提供它做匀速圆周运动需要的向心力，即G＝m'，其中m'为小球的质量，故小球不会落到“地面”上，而是沿原来的轨道继续做匀速圆周运动，故B正确；宇航员受地球的引力作用，此引力提供宇航员随空间站绕地球做圆周运动的向心力，否则宇航员将脱离圆周轨道，故C错误；因宇航员受的引力全部提供了向心力，宇航员不能对“地面”产生压力，处于完全失重状态，故D正确。
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10. 如图所示，一颗卫星绕地球做椭圆运动，运动周期为T，图中虚
线为卫星的运动轨迹，A、B、C、D是轨迹上的四个位置，其中A
距离地球最近，C距离地球最远。B点和D点是弧线ABC和ADC的
中点，下列说法正确的是（　　）
A. 卫星在A点的速度最大
B. 卫星在C点的加速度最大
C. 卫星从A经D到C的运动时间为
D. 卫星从B经A到D的运动时间为
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解析：卫星绕地球做椭圆运动，类似于行星绕太阳运转，根据开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，可知卫星与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以卫星在距离地球最近的A点速度最大，在距离地球最远的C点速度最小，卫星在B、D两点的速度大小相等，故A正确；在椭圆的各个点上都是引力产生加速度，有a＝，因A点的距离最小，则A点的加速度最大，故B错误；根据椭圆运动的对称性可知tADC＝tCBA＝，故C正确；椭圆上近地点A附近速度较大，远地点C附近速度最小，则tBAD＜，tDCB＞，故D错误。
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11. 宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作
用互相绕转，我们称之为双星系统。设某双星系统绕其连线上的
O点做匀速圆周运动，转动周期为T，轨道半径分别为RA、RB且RA
＜RB，引力常量G已知，则下列说法正确的是（　　）
A. 星球A的向心力大于星球B的向心力
B. 星球A的线速度一定大于星球B的线速度
C. 星球A和星球B的质量之和为
D. 双星的总质量不变，若双星之间的距离增大，其转动周期也变大
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解析：　由双星运动规律可知，双星靠相互间的万有引力提供
彼此做圆周运动所需的向心力，所以两个星球的向心力大小相
等，故A错误；由双星运动规律可知，双星的角速度相等，根据v
＝ωr可得，星球A的线速度一定小于星球B的线速度，故B错误；
对于星球A有G＝mARAω2，对于星球B有G＝mBRBω2，ω
＝，L＝RA＋RB，联立解得mA＋mB＝，故C正确；
根据mA＋mB＝，若双星之间的距离增大，总质量不
变，则其转动的周期变大，故D正确。
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12. 如图所示，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M（M远大于
m1及m2），在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针
方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列
说法中正确的有（　　）
A. a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B. a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C. 从图示位置开始，在b转动一周的过程中，
a、b、c共线12次
D. 从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
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解析：　万有引力提供向心力，则有G＝mr，解得T＝
，所以＝＝＝，故B错误，A正确；设a、b间夹
角为α，每隔时间t，a、b间夹角为α，则每隔时间t，a、b、c共线
2次，根据几何关系有（ωa－ωb）t＝2π，所以t＝，故n＝
＝＝＝－1＝7，则从图示位置开始，在b转
动一周的过程中，a、b、c共线14次，故C错误，D正确。
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三、非选择题（本题共5小题，共60分）
13. （8分）预计我国将在2030年前后实现航天员登月计划，航天员登
上月球后进行相关的科学探测与实验。已知月球的半径为R，宇
航员在月球表面高为h处静止释放一小球，经过时间t落地。万有
引力常量为G，求：
（1）月球的质量m月；
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解析：在月球表面小球自由下落，则h＝g月t2
所以g月＝
根据月球表面物体的重力等于万有引力，有
G＝mg月
解得月球的质量 m月＝。
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（2）月球的第一宇宙速度v。
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解析： 在月球表面所需的最大运行速度即为第一宇宙速度，
有G＝m
解得v＝＝。
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14. （10分）2021年2月10日“天问一号”被火星捕获，通过调整进入
环火轨道做匀速圆周运动，若“天问一号”在环火轨道上运动的
线速度大小为v，周期为T，轨道离火星表面的高度为h，引力常量
为G，忽略火星自转，求：
（1）火星的质量；
答案：　
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解析： 设“天问一号”的圆周半径为r，则
vT＝2πr
解得r＝
根据万有引力提供向心力，有G＝m
解得m火＝。
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（2）火星表面的重力加速度。
答案：
解析： 设火星表面重力加速度为g火，则
G＝mg火
R＝r－h
解得g火＝。
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15. （10分）假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，如图所
示，“嫦娥三号”飞船沿距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，
到达轨道的A点，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B
再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。
（1）飞船在A点点火前的速度大小为v1，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ在A点的速度大小为v2，试比较两速度的大小；
答案：v1＞v2　
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解析：飞船在A点处由圆轨道进入椭圆轨道，做近心运动，故需要的向心力要小于万有引力，飞船在A点处点火时，是通过向行进方向喷火，即点火做减速运动，做近心运动进入椭圆轨道，所以点火瞬间速度是减小的，故v1＞v2。
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（2）求飞船在轨道Ⅲ跟轨道Ⅰ的线速度大小之比；
答案：2∶1　
解析：飞船在轨道Ⅲ、轨道Ⅰ都做匀速圆周运动，
根据万有引力提供向心力得G＝m
解得v＝
故飞船在轨道Ⅲ跟轨道Ⅰ的线速度大小之比为＝＝＝。
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（3）求飞船在轨道Ⅰ绕月球运动一周所需的时间。
答案：16π
解析： 飞船在轨道Ⅰ绕月球运动，根据万有引力提供向心力得
G＝mr1
解得T1＝2π
在月球表面，有G＝mg0，解得g0＝
故周期为T1＝2π＝2π＝16π。
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16. （14分）（2024·四川巴中期末）如图所示，当木星在绕日公转过
程中运行到日、地连线延长线上时，会形成“木星冲日”现象。
已知地球质量为m地，半径为R，公转半径为r，地表重力加速度为
g，公转周期为1年。假设木星质量是300m地，半径是10R，公转半
径是5r，不考虑木星和地球的自转，不计
木星和地球间的引力，≈2.4，则求：
（1）木星地表的重力加速度为多大？
答案：3g　
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解析：行星对表面物体的万有引力等于物体在表面时
受到的重力，有G＝mg
解得g＝
已知地球质量为m地，半径为R，而木星质量是300m地，半径
是10R，则木星表面的重力加速度为g木＝g＝3g。
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（2）木星冲日平均多少年出现一次？
答案：1.09年
解析： 根据开普勒第三定律有＝
可得T木＝5T地≈12年
设从木星冲日到下次木星冲日的时间间隔为t，则－
＝1
解得t＝年≈1.09年。
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17. （18分）双星系统的两个星球A、B相距为L，质量都是m，它
们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。已知万有引力常
量为G。
（1）求星球A、B组成的双星系统周期T0（理论值）；
答案：2π　
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解析：两个星球A、B组成的双星系统周期相同，设
A、B的轨道半径分别为r1、r2，两星球间的万有引力提供两
星球做匀速圆周运动的向心力
对星球A：G＝mr1
对星球B：G＝mr2
且r1＋r2＝L
联立可得双星系统周期理论值T0＝2π。
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（2）实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期
理论值T0，且＝k（k＜1），于是有人猜测这可能是受到了
一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于双星A、B的连线
正中间，星球A、B围绕C做匀速圆周运动，试求星球C的质
量（结果用k和m表示）。
答案：m
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解析由于星球C的存在，星球A、B的向心力由两个力的合
力提供，则
对星球A或B均有：G＋G＝m·
又＝k
联立可得星球C的质量mC＝m。
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