资源简介

3　动能　动能定理
1.关于物体的动能，下列说法正确的是（　　）
A.质量相同的物体，速度大的动能一定大
B.动能相同的物体，质量相同时速度一定相同
C.质量不变的物体，速度变化，动能一定变化
D.动能不变的物体，一定处于平衡状态
2.（多选）改变汽车的质量和速度大小，都能使汽车的动能发生变化，则下列说法中正确的是（　　）
A.质量不变，速度增大到原来的2倍，动能增大为原来的2倍
B.速度不变，质量增大到原来的2倍，动能增大为原来的2倍
C.质量减半，速度增大到原来的4倍，动能增大为原来的2倍
D.速度减半，质量增大到原来的4倍，动能不变
3.如图所示，某同学用200 N的力将质量为0.44 kg的足球踢出。足球以10 m/s 的初速度沿水平草坪滚出60 m 后静止，则足球在水平草坪上滚动过程中克服阻力做的功是（　　）
A.4.4 J　　 B.22 J C.132 J D.12 000 J
4.如图所示，两个质量相同的物体a和b处于同一高度，a自由下落，b沿固定光滑斜面由静止开始下滑，不计空气阻力。两物体到达地面时，下列表述正确的是（　　）
A.a的速率大 B.b的速率大 C.动能相同 D.速度相同
5.两个物体A、B的质量之比mA∶mB＝2∶1，二者初动能相同，它们和水平桌面间的动摩擦因数相同，则二者在桌面上滑行到停止运动经过的距离之比为（　　）
A.xA∶xB＝2∶1 B.xA∶xB＝1∶2
C.xA∶xB＝4∶1 D.xA∶xB＝1∶4
6.如图所示，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度。木箱获得的动能一定（　　）
A.小于拉力所做的功 B.等于拉力所做的功
C.等于克服摩擦力所做的功 D.大于克服摩擦力所做的功
7.我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程。假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移x＝1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速度v＝80 m/s。已知飞机质量m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1 倍，重力加速度g＝10 m/s2。求飞机滑跑过程中牵引力的大小。
8.在篮球比赛中，某位运动员获得罚球机会，他站在罚球线处用力将篮球投出，篮球以约为1 m/s的速度撞击篮筐。已知篮球质量约为0.8 kg，篮筐离地高度约为3 m，忽略篮球受到的空气阻力，则该运动员罚球时对篮球做的功最接近（　　）
A.1 J　　　　　　　 B.10 J
C.25 J　　 D.50 J
9.如图所示，斜面高h，质量为m的物块，在沿固定斜面向上的恒力F作用下，能匀速沿斜面向上运动，已知重力加速度为g，若把此物块放在斜面顶端，在沿斜面向下同样大小的恒力F作用下物块由静止向下滑动，滑至底端时其动能为（　　）
A.mgh B.2mgh
C.2Fh D.Fh
10.如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面。设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做功是（　　）
A.mgh－mv2 B.mv2－mgh
C.－mgh D.－
11.将质量为m的物体，以初速度v0竖直向上抛出。已知抛出过程中阻力大小恒为重力大小的，重力加速度为g。求：
（1）物体上升的最大高度；
（2）物体落回抛出点时的速度大小。
12.如图所示，物体在距斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°，求物体能在水平面上滑行的距离。（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2）
3　动能　动能定理
1.A　根据Ek＝mv2知，质量相同的物体，速度大的动能一定大，故A正确；根据Ek＝mv2知，动能相同的物体，质量相同时速度大小一定相同，但方向可能不同，速度可能不同，故B错误；质量不变的物体，速度变化，可能只是速度的方向发生变化，所以动能不一定变化，故C错误；动能不变的物体，不一定处于平衡状态，如匀速圆周运动，故D错误。
2.BD　动能Ek ＝ mv2，质量m不变，速度v增大为原来的2倍时，动能Ek增大为原来的4倍，A错误；当速度不变，质量m增大为原来的2倍时，动能Ek也增大为原来的2倍，B正确；若质量减半，速度增大为原来的4倍，则动能增大为原来的8倍，C错误；速度v减半，质量增大为原来的4倍，则Ek' ＝ × 4m ＝ mv2＝Ek，即动能不变，D正确。
3.B　根据动能定理得－W＝0－mv2，则W＝mv2＝×0.44×102 J＝22 J，B正确。
4.C　根据动能定理有mgh＝mv2－0，高度相同，所以末动能相等，速度的大小相等，但方向不同。故选C。
5.B　物体滑行过程中只有摩擦力做功，根据动能定理，对A，有－μmAgxA＝0－Ek，对B，有－μmBgxB＝0－Ek，故＝＝，B正确，A、C、D错误。
6.A　由题意知，W拉－W克阻＝ΔEk，则W拉＞ΔEk，A正确，B错误；W克阻与ΔEk的大小关系不确定，C、D错误。
7.2.1×105 N
解析：飞机从开始运动至起飞的过程中，水平牵引力F和滑动摩擦力同时对其做功，由动能定理得
（F－0.1mg）x＝mv2，代入数据解得F＝2.1×105 N。
8.B　由题知篮球上升的高度大约为h＝1.2 m，对篮球运动的整个过程，由动能定理得W－mgh＝mv2－0得W＝mgh＋mv2＝0.8×10×1.2 J＋×0.8×12 J＝10.0 J，故B正确，A、C、D错误。
9.B　物块匀速上滑时，根据动能定理得WF－mgh－Wf＝0，物块下滑时，根据动能定理得WF＋mgh－Wf＝Ek－0，联立两式解得Ek＝2mgh，选项B正确。
10.A　由A到C的过程运用动能定理可得：
－mgh＋W＝0－mv2，
所以W＝mgh－mv2，故A正确。
11.（1）　（2）v0
解析：（1）上升过程，由动能定理得：
－mgh－fh＝0－m
f＝mg
联立解得h＝。
（2）对物体上抛又落回抛出点的全过程，由动能定理得：
－2fh＝mv2－m
解得v＝v0。
12.3.5 m
解析：对物体在斜面上和水平面上分别受力分析如图所示
解法一　分过程列方程
设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段
N1＝mgcos 37°，故f1＝μN1＝μmgcos 37°
由动能定理得：
mgsin 37°·l1－μmgcos 37°·l1＝mv2－0
设物体在水平面上滑行的距离为l2，摩擦力f2＝μN2＝μmg
由动能定理得：－μmgl2＝0－mv2
联立以上各式可得l2＝3.5 m。
解法二　对全过程由动能定理列方程
mgl1sin 37°－μmgcos 37°·l1－μmgl2＝0
解得：l2＝3.5 m。
2 / 23　动能　动能定理
核心 素养 目标 1.知道动能的定义、公式、单位。 2.能够利用功的表达式、牛顿第二定律与运动学公式推导出动能定理。 3.理解动能定理，能用动能定理解决实际问题。
知识点一　动能
1.定义：物体由于运动而具有的能量。
2.表达式：Ek＝mv2。
3.单位：与　　　　的单位相同，国际单位为　　　　，符号为　　　　。
4.标矢性：动能是　　　　量，只有　　　　，没有方向。
知识点二　动能定理
1.内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中　　　　　　。
2.表达式：W＝m－m。如果物体受到几个力的共同作用，W即为　　　　　，它等于各个力做功的代数和。
3.动能定理既适用于恒力做功的情况，也适用于　　　　做功的情况；既适用于直线运动，也适用于　　　　运动。
知识点三　动能定理的实验证明
方案一　借用“探究a与F、m之间的关系”的实验装置进行实验。
1.原理：当小车质量比重物质量大很多时，可以把重物所受到的重力当成小车受到的牵引力，测出小车的位移和速度，确定拉力做的功和小车增加的动能之间的关系。
2.操作
（1）安装实验装置，使木板略微倾斜，平衡摩擦力；
（2）先接通打点计时器的电源，再由静止释放小车；
（3）选取点迹清晰的纸带，通过分析纸带上的点迹，计算出各计数点的瞬时速度；
（4）计算出小车在各计数点间运动的过程中拉力所做功以及动能的增加量，分析两者在误差允许范围内是否相等。
方案二　使用数据实时采集系统进行验证
1.原理：利用力传感器测量各个时刻小车受到的拉力，利用位移传感器和速度传感器测量小车的位移和对应的速度，通过计算机得出力F做的功和对应的动能变化。
2.操作
（1）在小车上固定一个无线力传感器以及位移传感器的发射器。
（2）在小车对面固定位移传感器的接收器，并连到计算机上用来测量多组小车的位置数据。
（3）由计算机计算出小车经过各点的瞬时速度的值，力传感器测量出各时刻小车受到的拉力。
（4）输入公式由计算机计算得出各段时间内拉力所做功，进而验证这个过程中动能定理是否成立。
【情景思辨】
如图所示，一辆汽车正在上坡路上加速行驶。
（1）汽车受重力、支持力、牵引力及路面的阻力作用。（　　）
（2）上坡过程中牵引力做正功，重力、阻力做负功，支持力不做功。（　　）
（3）由于汽车加速上坡，其动能增大。（　　）
（4）汽车动能的变化等于牵引力及路面的阻力两个力做功的代数和。（　　）
要点一　 动能和动能定理的理解
【探究】
　如图所示，光滑水平面上质量为m的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离l（l未知），速度由v1增加到v2。试推导力F对物体做的功与物体初、末速度的关系式。
【归纳】
1.动能概念的理解
（1）动能的表达式Ek＝mv2。
（2）动能是标量，没有负值。
（3）动能是状态量，与物体的运动状态相对应。
（4）动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度大小不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
2.动能与速度的关系
数值关系 Ek＝mv2，同一物体，速度v越大，动能Ek越大
瞬时关系 动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系
变化关系 动能是标量，速度是矢量。当动能发生变化时，物体的速度（大小）一定发生了变化，当速度发生变化时，可能仅是速度方向的变化，物体的动能可能不变
3.动能定理的理解
（1）在一个过程中合力对物体做的功或者各个力对物体做的总功等于物体在这个过程中动能的变化。
（2）动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。
①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。
②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。
【典例1】　（多选）一质量为0.3 kg的弹性小球，在光滑的水平面上以6 m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为（　　）
A.Δv＝0　　　　　　 B.Δv＝12 m/s
C.W＝0 D.W＝10.8 J
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.一物体的速度大小为v0时，其动能为Ek，当它的动能为2Ek时，其速度大小为（　　）
A.　　B.2v0 C.v0　　D.
2.下列关于运动物体所受合力做功和动能变化的关系正确的是（　　）
A.如果物体所受合力为0，则合力对物体做的功一定为0
B.如果合力对物体所做的功为0，则合力一定为0
C.物体在合力作用下做变速运动，动能一定发生变化
D.物体的动能不变，所受合力一定为0
要点二　动能定理的简单应用
　应用动能定理解题的一般步骤
（1）选取研究对象（通常是单个物体），明确它的运动过程。
（2）对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出各力做功的代数和。
（3）明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2。
（4）列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算。
【典例2】　如图所示，用与水平方向成37°的恒力F＝10 N将质量为m＝1 kg的物体由静止开始从A点拉到B点撤去力F，已知A、B间距L＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5。求撤去外力后物体还能滑行多远？
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为（　　）
A.－400 J B.－3 800 J
C.－50 000 J D.－4 200 J
2.质量m＝6.0×103 kg的客机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑行，当滑行距离l＝7.2×102 m时，达到起飞速度v＝60 m/s。求：
（1）起飞时飞机的动能多大；
（2）若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大；
（3）若滑行过程中受到的平均阻力大小为F＝3.0×103 N，牵引力与第（2）问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应为多大。
要点三　 动能定理的实验证明
【典例3】　验证动能定理的实验装置如图所示，较长的小车的前端固定有力传感器，能测出小车所受的拉力，小车上固定两个完全相同的遮光条A、B，小车放在安装有定滑轮和光电门的轨道D上，光电门可记录遮光条A、B通过它时的挡光时间。用不可伸长的细线将小车与质量为m的重物相连，轨道放在水平桌面上，细线与轨道平行（滑轮质量、摩擦不计）。
实验主要步骤如下：
①测量小车、传感器及遮光条的总质量M，遮光条的宽度d；
②按图正确连接器材；
③由静止释放小车，小车在细线拉动下运动，记录传感器的示数F及遮光条A、B 经过光电门的挡光时间tA、tB。
（1）实验前用垫块垫高轨道左端平衡摩擦力，若不挂重物，发现遮光条A、B 经过光电门的挡光时间tA＞tB，则应将垫块向　　　 　（选填“左”或“右”）移动。
（2）为验证动能定理还需要测量的物理量是：　　　　　　　。
A.两遮光条A、B间的距离L
B.重物的质量m
C.开始释放时遮光片A到光电门的距离s
（3）验证动能定理是否成立需要验证的表达式为　　　　　　（用所测物理量的符号表示）。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　如图所示，用质量为m的重物通过滑轮牵引小车，使它在长木板上运动，打点计时器在纸带上记录小车的运动情况。利用该装置可以完成“验证动能定理”的实验。
（1）打点计时器使用的电源是　　　　（填选项前的字母）。
A.直流电源
B.交流电源
（2）实验中，需要平衡摩擦力和其他阻力，正确操作方法是　　　　（填选项前的字母）。
A.把长木板右端垫高
B.改变小车的质量
在不挂重物且　　　　（填选项前的字母）的情况下，轻推一下小车，若小车拖着纸带做匀速运动，表明已经消除了摩擦力和其他阻力的影响。
A.打点计时器不打点
B.打点计时器打点
（3）接通电源，释放小车，打点计时器在纸带上打下一系列点，将打下的第一个点标为O。在纸带上依次取A、B、C……若干个计数点，已知相邻计数点间的时间间隔为T。测得A、B、C……各点到O点的距离分别为x1、x2、x3……，如图所示。
实验中，重物质量远小于小车质量，可认为小车所受的拉力大小为mg，从打O点到打B点的过程中，拉力对小车做的功W＝　　　　，打B点时小车的速度v＝　　　　，将拉力做的功与小车动能的变化相比较，即可验证动能定理。
要点回眸
1.下列关于动能的说法正确的是（　　）
A.两个物体中，速度大的动能也大
B.某物体的速度加倍，它的动能也加倍
C.做匀速圆周运动的物体动能保持不变
D.某物体的动能保持不变，则速度一定不变
2.2020年10月12日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将高分十三号卫星发射升空，卫星在发射阶段竖直向上匀加速通过两段相同高度的过程中，下列物理量相同的是（　　）
A.运动时间 B.平均速度
C.速度的变化量 D.动能的变化量
3.有一种地下铁道，车站的路轨建得高些，车辆进站时要上坡，出站时要下坡，如图所示。已知坡高为h，车辆的质量为m，重力加速度为g，车辆与路轨间的摩擦力为f，进站车辆到达坡下A处时的速度为v0，此时切断电动机的电源，车辆冲上坡顶到达站台B处的速度恰好为0。车辆从A运动到B的过程中克服摩擦力做的功是（　　）
A.fh B.mgh
C.mgh－m D.m－mgh
4.在距水平地面高12 m处，以12 m/s的水平速度抛出质量为0.5 kg的小球，其落地时速度大小为18 m/s，求小球在运动过程中克服阻力做的功。（g取10 m/s2）
5.如图所示，质量为m的物块从固定斜面顶端由静止滑下，已知斜面倾角为θ，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面高为h，重力加速度为g。
（1）物块在下滑过程中受哪些力的作用？各个力做的功分别为多少？
（2）物块的动能怎样变化？物块到达斜面底端时的速度为多大？
3　动能　动能定理
【基础知识·准落实】
知识点一
3.功　焦耳　J　4.标　大小
知识点二
1.动能的变化　2.合力做的功　3.变力　曲线
情景思辨
（1）√　（2）√　（3）√　（4）×
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：W＝Fl＝F·＝F·＝m－m。
【典例1】　BC　由于碰撞前后小球速度大小相等、方向相反，所以Δv＝v－（－v0）＝12 m/s，根据动能定理得W＝ΔEk＝mv2－m＝0。
素养训练
1.C　设物体的质量为m，则其动能Ek＝m，当动能为2Ek时有，2Ek＝mv'2，解得v'＝v0，故C正确，A、B、D错误。
2.A　由功的定义可知，选项A正确；如果合力做的功为0，但合力不一定为0，例如物体的合力和运动方向垂直，合力不做功，选项B错误；物体做变速运动可能是速度方向变化而速度大小不变，所以做变速运动的物体，动能可能不变，选项C错误；物体动能不变，只能说合力不做功，但合力不一定为0，选项D错误。
要点二
【典例2】　2.4 m
解析：解法一　牛顿运动定律法
在A→B过程中，物体受力如图所示
其中：N＝mg－Fsin θ ①
Fcos θ－μN＝ma1 ②
设前进L＝2 m后的速度为v，则v2＝2a1L ③
撤去外力后，－μmg＝ma2 ④
设再前进的位移为x，则0－v2＝2a2x ⑤
联立①②③④⑤式得x＝2.4 m。
解法二　动能定理法
对全程利用动能定理，恒力F作用时，物体所受摩擦力
f＝μ（mg－Fsin 37° ）＝2 N
则FLcos 37°－fL－μmgx＝0
解得x＝2.4 m。
素养训练
1.B　下坡过程中运用动能定理得mgh＋Wf＝mv2－m，解得Wf＝－3 800 J，故选B。
2.（1）1.08×107 J　（2）1.5×104 N　（3）9.0×102 m
解析：（1）飞机起飞时的动能Ek＝mv2
代入数值得Ek＝1.08×107 J。
（2）设牵引力为F1，由动能定理得F1l＝Ek－0
代入数值得F1＝1.5×104 N。
（3）设滑行距离为l'，由动能定理得F1l'－Fl'＝Ek－0
整理得l'＝
代入数值解得l'＝9.0×102 m。
要点三
【典例3】　（1）左　（2）A　（3）FL＝Md2
解析：（1）实验前用垫块垫高轨道左端平衡摩擦力，若不挂重物，发现遮光条A、B 经过光电门的挡光时间tA＞tB，说明小车加速运动，则应将木板倾角减小，即垫块向左移动。
（2）为验证动能定理，需计算合外力的功W＝FL，F可以通过力传感器读出，L需测量，故需测出两遮光条A、B间的距离L，然后计算从A经过光电门到B经过光电门的过程中，合外力所做的功与动能变化量是否近似相等，重物质量以及开始释放时遮光片A到光电门的距离s，在验证动能定理过程中无需测量，故A正确，B、C错误。
（3）验证动能定理是否成立需要验证的表达式为FL＝Md2。
素养训练
　（1）B　（2）A　B　（3）mgx2　
解析：（1）打点计时器使用的是交流电，B正确。
（2）平衡摩擦力的方法是：把木板一端垫高，让小车滑下，当小车匀速运动时，重力的分力与滑动摩擦力等大反向，就意味着摩擦力抵消了，故选A；此时应当让打点计时器打点，因为打点计时器也会有摩擦力，故选B。
（3）由于近似认为拉力等于重力，所以根据W＝Fx可知，拉力做功为W＝mgx2
中间时刻的速度等于该段时间内的平均速度，所以B点的速度等于AC段的平均速度，即
v＝＝。
【教学效果·勤检测】
1.C　根据Ek＝mv2，可知两个物体中，速度大的动能不一定大，故A错误；某物体的速度加倍，它的动能变为原来的4倍，故B错误；做匀速圆周运动的物体速度的大小不变，则动能保持不变，故C正确；某物体的动能保持不变，则速度大小不变，方向不一定不变，则速度不一定不变，故D错误。
2.D　卫星在发射阶段竖直向上匀加速通过两段相同高度的过程中，x＝v0t＋at2且两段相同高度的初速度不同，所以匀加速运动通过相同高度的时间一定不相同，故A错误；因为卫星在做匀加速运动，所以其平均速度一定不相同，故B错误；根据A项，其运动时间不同，又因为Δv＝at，可知速度的变化量也不同，故C错误；因为物体在做匀加速运动，所以其受到的合力一定没有发生变化，根据W＝F合x可知合力做功相同，其动能变化量相同，故D正确。
3.D　对车辆由A到B的过程运用动能定理得－mgh－Wf＝0－m，解得Wf＝m－mgh，故D正确。
4.15 J
解析：对小球自抛出至落地过程，由动能定理得
mgh－W克阻＝m－m
则小球克服阻力做功为W克阻＝mgh－＝0.5×10×12 J－J＝15 J。
5.见解析
解析：（1）受重力、支持力、摩擦力；重力做功为WG＝mgh，支持力做功为WN＝0，摩擦力做功为Wf＝－μmgcos θ·＝－μmg。
（2）物块动能增大，由动能定理得WG＋WN＋Wf＝mv2－0，得物块到达斜面底端的速度
v＝。
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3　动能　动能定理
核心 素养 目标 1.知道动能的定义、公式、单位。
2.能够利用功的表达式、牛顿第二定律与运动学公式推导出动能定理。
3.理解动能定理，能用动能定理解决实际问题。
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
　　
知识点一　动能
1. 定义：物体由于运动而具有的能量。
2. 表达式：Ek＝mv2。
3. 单位：与 的单位相同，国际单位为 ，符号
为 。
4. 标矢性：动能是 量，只有 ，没有方向。
功　
焦耳　
J　
标　
大小　
知识点二　动能定理
1. 内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中
。
2. 表达式：W＝m－m。如果物体受到几个力的共同作用，W
即为 ，它等于各个力做功的代数和。
3. 动能定理既适用于恒力做功的情况，也适用于 做功的情
况；既适用于直线运动，也适用于 运动。
动
能的变化　
合力做的功　
变力　
曲线　
知识点三　动能定理的实验证明
方案一　借用“探究a与F、m之间的关系”的实验装置进行实验。
1. 原理：当小车质量比重物质量大很多时，可以把重物所受到的重力
当成小车受到的牵引力，测出小车的位移和速度，确定拉力做的功
和小车增加的动能之间的关系。
2. 操作
（1）安装实验装置，使木板略微倾斜，平衡摩擦力；
（2）先接通打点计时器的电源，再由静止释放小车；
（3）选取点迹清晰的纸带，通过分析纸带上的点迹，计算出各计
数点的瞬时速度；
（4）计算出小车在各计数点间运动的过程中拉力所做功以及动能
的增加量，分析两者在误差允许范围内是否相等。
方案二　使用数据实时采集系统进行验证
1. 原理：利用力传感器测量各个时刻小车受到的拉力，利用位移传感
器和速度传感器测量小车的位移和对应的速度，通过计算机得出力
F做的功和对应的动能变化。
2. 操作
（1）在小车上固定一个无线力传感器以及位移传感器的发射器。
（2）在小车对面固定位移传感器的接收器，并连到计算机上用来
测量多组小车的位置数据。
（3）由计算机计算出小车经过各点的瞬时速度的值，力传感器测
量出各时刻小车受到的拉力。
（4）输入公式由计算机计算得出各段时间内拉力所做功，进而验
证这个过程中动能定理是否成立。
【情景思辨】
　如图所示，一辆汽车正在上坡路上加速行驶。
（1）汽车受重力、支持力、牵引力及路面的
阻力作用。 （　√　）
（2）上坡过程中牵引力做正功，重力、阻力做负功，支持力不做
功。 （　√　）
（3）由于汽车加速上坡，其动能增大。 （　√　）
（4）汽车动能的变化等于牵引力及路面的阻力两个力做功的代数
和。 （　×　）
√
√
√
×
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　 动能和动能定理的理解
【探究】
　如图所示，光滑水平面上质量为m的物体在水平恒力F的作用下向
前运动了一段距离l（l未知），速度由v1增加到v2。试推导力F对物体
做的功与物体初、末速度的关系式。
提示：W＝Fl＝F·＝F·＝m－m。
【归纳】
1. 动能概念的理解
（1）动能的表达式Ek＝mv2。
（2）动能是标量，没有负值。
（3）动能是状态量，与物体的运动状态相对应。
（4）动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度大小不
同，动能也不同，一般以地面为参考系。
2. 动能与速度的关系
数值 关系
瞬时 关系 动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系
变化 关系 动能是标量，速度是矢量。当动能发生变化时，物体的速度（大小）一定发生了变化，当速度发生变化时，可能仅是速度方向的变化，物体的动能可能不变
3. 动能定理的理解
（1）在一个过程中合力对物体做的功或者各个力对物体做的总功
等于物体在这个过程中动能的变化。
（2）动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。
①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。
②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，
做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，
转化了多少由合力做的功来度量。
【典例1】　（多选）一质量为0.3 kg的弹性小球，在光滑的水平面上
以6 m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，速度大小
与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰
撞过程中墙对小球做功的大小W为（　　）
A. Δv＝0 B. Δv＝12 m/s
C. W＝0 D. W＝10.8 J
解析：由于碰撞前后小球速度大小相等、方向相反，所以Δv＝v－
（－v0）＝12 m/s，根据动能定理得W＝ΔEk＝mv2－m＝0。
1. 一物体的速度大小为v0时，其动能为Ek，当它的动能为2Ek时，其
速度大小为（　　）
B. 2v0
解析：　设物体的质量为m，则其动能Ek＝m，当动能为2Ek
时有，2Ek＝mv'2，解得v'＝v0，故C正确，A、B、D错误。
2. 下列关于运动物体所受合力做功和动能变化的关系正确的是
（　　）
A. 如果物体所受合力为0，则合力对物体做的功一定为0
B. 如果合力对物体所做的功为0，则合力一定为0
C. 物体在合力作用下做变速运动，动能一定发生变化
D. 物体的动能不变，所受合力一定为0
解析：　由功的定义可知，选项A正确；如果合力做的功为0，但
合力不一定为0，例如物体的合力和运动方向垂直，合力不做功，
选项B错误；物体做变速运动可能是速度方向变化而速度大小不
变，所以做变速运动的物体，动能可能不变，选项C错误；物体动
能不变，只能说合力不做功，但合力不一定为0，选项D错误。
要点二　动能定理的简单应用
　应用动能定理解题的一般步骤
（1）选取研究对象（通常是单个物体），明确它的运动过程。
（2）对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出各力做
功的代数和。
（3）明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2。
（4）列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求
解并验算。
【典例2】　如图所示，用与水平方向成37°的恒力F＝10 N将质量为
m＝1 kg 的物体由静止开始从A点拉到B点撤去力F，已知A、B间距L
＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5。求撤去外力后物体还能
滑行多远？
答案：2.4 m
解析：解法一　牛顿运动定律法
在A→B过程中，物体受力如图所示
其中：N＝mg－Fsin θ ①
Fcos θ－μN＝ma1 ②
设前进L＝2 m后的速度为v，则v2＝2a1L ③
撤去外力后，－μmg＝ma2 ④
设再前进的位移为x，则0－v2＝2a2x ⑤
联立①②③④⑤式得x＝2.4 m。
解法二　动能定理法
对全程利用动能定理，恒力F作用时，物体所受摩擦力
f＝μ（mg－Fsin 37° ）＝2 N
则FLcos 37°－fL－μmgx＝0
解得x＝2.4 m。
1. 人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为
100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车
速为10 m/s，g取10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为（　　）
A. －400 J B. －3 800 J
C. －50 000 J D. －4 200 J
解析：　下坡过程中运用动能定理得mgh＋Wf＝mv2－m，解
得Wf＝－3 800 J，故选B。
2. 质量m＝6.0×103 kg的客机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑
行，当滑行距离l＝7.2×102 m时，达到起飞速度v＝60 m/s。求：
（1）起飞时飞机的动能多大；
答案： 1.08×107 J　
（2）若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为
多大；
答案： 1.5×104 N　
解析：飞机起飞时的动能Ek＝mv2
代入数值得Ek＝1.08×107 J。
解析： 设牵引力为F1，由动能定理得F1l＝Ek－0
代入数值得F1＝1.5×104 N。
（3）若滑行过程中受到的平均阻力大小为F＝3.0×103 N，牵引力
与第（2）问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机
的滑行距离应为多大。
答案： 9.0×102 m
解析： 设滑行距离为l'，由动能定理得
F1l'－Fl'＝Ek－0
整理得l'＝
代入数值解得l'＝9.0×102 m。
要点三　 动能定理的实验证明
【典例3】　验证动能定理的实验装置如图所示，较长的小车的前端
固定有力传感器，能测出小车所受的拉力，小车上固定两个完全相同
的遮光条A、B，小车放在安装有定滑轮和光电门的轨道D上，光电门
可记录遮光条A、B通过它时的挡光时间。用不可伸长的细线将小车与
质量为m的重物相连，轨道放在水平桌面上，
细线与轨道平行（滑轮质量、摩擦不计）。
实验主要步骤如下：
①测量小车、传感器及遮光条的总质量M，
遮光条的宽度d；
②按图正确连接器材；
③由静止释放小车，小车在细线拉动下运动，记录传感器的示数F及
遮光条A、B 经过光电门的挡光时间tA、tB。
（1）实验前用垫块垫高轨道左端平衡摩擦力，若不挂重物，发现遮
光条A、B 经过光电门的挡光时间tA＞tB，则应将垫块向
（选填“左”或“右”）移动。
解析： 实验前用垫块垫高轨
道左端平衡摩擦力，若不挂重物，
发现遮光条A、B 经过光电门的挡
光时间tA＞tB，说明小车加速运
动，则应将木板倾角减小，即垫块
向左移动。
左 　
（2）为验证动能定理还需要测量的物理量是： 。
A. 两遮光条A、B间的距离L
B. 重物的质量m
C. 开始释放时遮光片A到光电门的距离s
A　
解析：为验证动能定理，需计算合外力的功W＝FL，F可
以通过力传感器读出，L需测量，故需测出两遮光条A、B间的距离L，然后计算从A经过光电门到B经过光电门的过程中，合外力所做的功与动能变化量是否近似相等，重物质量以及开始释放时遮光片A到光电门的距离s，在验证动能定理过程中无需测量，故A正确，B、C错误。
（3）验证动能定理是否成立需要验证的表达式
为 （用所测物理量的符号表示）。
解析：验证动能定理是否成
立需要验证的表达式为FL＝
Md2。
FL＝Md2
　如图所示，用质量为m的重物通过滑轮牵引小车，使它在长木板上
运动，打点计时器在纸带上记录小车的运动情况。利用该装置可以完
成“验证动能定理”的实验。
（1）打点计时器使用的电源是
（填选项前的字母）。
A. 直流电源 B. 交流电源
解析：打点计时器使用的是交流电，B正确。
B　
（2）实验中，需要平衡摩擦力和其他阻力，正确操作方法是
（填选项前的字母）。
A. 把长木板右端垫高
B. 改变小车的质量
在不挂重物且 （填选项前的字母）的情况下，轻推一下小
车，若小车拖着纸带做匀速运动，表明已经消除了摩擦力和其
他阻力的影响。
A. 打点计时器不打点 B. 打点计时器打点
A　
B　
解析： 平衡摩擦力的方法是：把木板一端垫高，让小车滑
下，当小车匀速运动时，重力的分力与滑动摩擦力等大反向，
就意味着摩擦力抵消了，故选A；此时应当让打点计时器打点，
因为打点计时器也会有摩擦力，故选B。
（3）接通电源，释放小车，打点计时器在纸带上打下一系列点，将
打下的第一个点标为O。在纸带上依次取A、B、C……若干个计
数点，已知相邻计数点间的时间间隔为T。测得A、B、C……各
点到O点的距离分别为x1、x2、x3……，如图所示。
实验中，重物质量远小于小车质量，可认为小车所受的拉力大
小为mg，从打O点到打B点的过程中，拉力对小车做的功W
＝ ，打B点时小车的速度v＝ ，将拉力做的功
与小车动能的变化相比较，即可验证动能定理。
解析： 由于近似认为拉力等于重力，所以根据W＝Fx可
知，拉力做功为W＝mgx2
中间时刻的速度等于该段时间内的平均速度，所以B点的速度等
于AC段的平均速度，即v＝＝。
mgx2　
　
要点回眸
03
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
1. 下列关于动能的说法正确的是（　　）
A. 两个物体中，速度大的动能也大
B. 某物体的速度加倍，它的动能也加倍
C. 做匀速圆周运动的物体动能保持不变
D. 某物体的动能保持不变，则速度一定不变
解析：　根据Ek＝mv2，可知两个物体中，速度大的动能不一定
大，故A错误；某物体的速度加倍，它的动能变为原来的4倍，故B
错误；做匀速圆周运动的物体速度的大小不变，则动能保持不变，
故C正确；某物体的动能保持不变，则速度大小不变，方向不一定
不变，则速度不一定不变，故D错误。
2. 2020年10月12日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火
箭，成功将高分十三号卫星发射升空，卫星在发射阶段竖直向上匀
加速通过两段相同高度的过程中，下列物理量相同的是（　　）
A. 运动时间 B. 平均速度
C. 速度的变化量 D. 动能的变化量
解析：　卫星在发射阶段竖直向上匀加速通过两段相同高度的过
程中，x＝v0t＋at2且两段相同高度的初速度不同，所以匀加速运动
通过相同高度的时间一定不相同，故A错误；因为卫星在做匀加速
运动，所以其平均速度一定不相同，故B错误；根据A项，其运动
时间不同，又因为Δv＝at，可知速度的变化量也不同，故C错误；
因为物体在做匀加速运动，所以其受到的合力一定没有发生变化，
根据W＝F合x可知合力做功相同，其动能变化量相同，故D正确。
3. 有一种地下铁道，车站的路轨建得高些，车辆进站时要上坡，出站
时要下坡，如图所示。已知坡高为h，车辆的质量为m，重力加速
度为g，车辆与路轨间的摩擦力为f，进站车辆到达坡下A处时的速
度为v0，此时切断电动机的电源，车辆冲上坡顶到达站台B处的速
度恰好为0。车辆从A运动到B的过程中克服摩擦力做的功是（　　）
A. fh B. mgh
解析：　对车辆由A到B的过程运用动能定理得－mgh－Wf＝0－
m，解得Wf＝m－mgh，故D正确。
4. 在距水平地面高12 m处，以12 m/s的水平速度抛出质量为0.5 kg的
小球，其落地时速度大小为18 m/s，求小球在运动过程中克服阻力
做的功。（g取10 m/s2）
答案：15 J
解析：对小球自抛出至落地过程，由动能定理得
mgh－W克阻＝m－m
则小球克服阻力做功为W克阻＝mgh－
＝0.5×10×12 J－（×0.5×182－×0.5×122）J＝15 J。
5. 如图所示，质量为m的物块从固定斜面顶端由静止滑下，已知斜面
倾角为θ，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面高为h，重力加
速度为g。
（1）物块在下滑过程中受哪些力的作用？
各个力做的功分别为多少？
解析：受重力、支持力、摩擦力；重力做功为WG＝mgh，支持力做功为WN＝0，摩擦力做功为Wf＝－μmgcos θ·＝－
μmg。
答案：见解析
（2）物块的动能怎样变化？物块到达斜面底端时的速度为多大？
解析：物块动能增大，由动能定理得
WG＋WN＋Wf＝mv2－0，得物块到达斜面底端的速度v＝。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 关于物体的动能，下列说法正确的是（　　）
A. 质量相同的物体，速度大的动能一定大
B. 动能相同的物体，质量相同时速度一定相同
C. 质量不变的物体，速度变化，动能一定变化
D. 动能不变的物体，一定处于平衡状态
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解析：　根据Ek＝mv2知，质量相同的物体，速度大的动能一定
大，故A正确；根据Ek＝mv2知，动能相同的物体，质量相同时速
度大小一定相同，但方向可能不同，速度可能不同，故B错误；质
量不变的物体，速度变化，可能只是速度的方向发生变化，所以动
能不一定变化，故C错误；动能不变的物体，不一定处于平衡状
态，如匀速圆周运动，故D错误。
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2. （多选）改变汽车的质量和速度大小，都能使汽车的动能发生变
化，则下列说法中正确的是（　　）
A. 质量不变，速度增大到原来的2倍，动能增大为原来的2倍
B. 速度不变，质量增大到原来的2倍，动能增大为原来的2倍
C. 质量减半，速度增大到原来的4倍，动能增大为原来的2倍
D. 速度减半，质量增大到原来的4倍，动能不变
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解析： 　动能Ek ＝ mv2，质量m不变，速度v增大为原来的2倍
时，动能Ek增大为原来的4倍，A错误；当速度不变，质量m增大为
原来的2倍时，动能Ek也增大为原来的2倍，B正确；若质量减半，
速度增大为原来的4倍，则动能增大为原来的8倍，C错误；速度v
减半，质量增大为原来的4倍，则Ek' ＝ × 4m ＝ mv2＝Ek，
即动能不变，D正确。
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3. 如图所示，某同学用200 N的力将质量为0.44 kg的足球踢出。足球
以10 m/s 的初速度沿水平草坪滚出60 m 后静止，则足球在水平草
坪上滚动过程中克服阻力做的功是（　　）
A. 4.4 J B. 22 J
C. 132 J D. 12 000 J
解析：根据动能定理得－W＝0－mv2，
则W＝mv2＝×0.44×102 J＝22 J，B正确。
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4. 如图所示，两个质量相同的物体a和b处于同一高度，a自由下落，b
沿固定光滑斜面由静止开始下滑，不计空气阻力。两物体到达地面
时，下列表述正确的是（　　）
A. a的速率大 B. b的速率大
C. 动能相同 D. 速度相同
解析：　根据动能定理有mgh＝mv2－0，高度相同，所以末动能
相等，速度的大小相等，但方向不同。故选C。
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5. 两个物体A、B的质量之比mA∶mB＝2∶1，二者初动能相同，它们
和水平桌面间的动摩擦因数相同，则二者在桌面上滑行到停止运动
经过的距离之比为（　　）
A. xA∶xB＝2∶1 B. xA∶xB＝1∶2
C. xA∶xB＝4∶1 D. xA∶xB＝1∶4
解析：　物体滑行过程中只有摩擦力做功，根据动能定理，对
A，有－μmAgxA＝0－Ek，对B，有－μmBgxB＝0－Ek，故＝＝
，B正确，A、C、D错误。
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6. 如图所示，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路
面运动至具有某一速度。木箱获得的动能一定（　　）
A. 小于拉力所做的功
B. 等于拉力所做的功
C. 等于克服摩擦力所做的功
D. 大于克服摩擦力所做的功
解析：　由题意知，W拉－W克阻＝ΔEk，则W拉＞ΔEk，A正确，B
错误；W克阻与ΔEk的大小关系不确定，C、D错误。
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7. 我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机
C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程。假设飞机在水
平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移x＝
1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速度v＝80 m/s。已知飞机质量
m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1 倍，重力加
速度g＝10 m/s2。求飞机滑跑过程中牵引力的大小。
答案：2.1×105 N
解析：飞机从开始运动至起飞的过程中，水平牵引力F和滑动摩擦力同时对其做功，由动能定理得（F－0.1mg）x＝mv2，代入数据解得F＝2.1×105 N。
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8. 在篮球比赛中，某位运动员获得罚球机会，他站在罚球线处用力将
篮球投出，篮球以约为1 m/s的速度撞击篮筐。已知篮球质量约为
0.8 kg，篮筐离地高度约为3 m，忽略篮球受到的空气阻力，则该
运动员罚球时对篮球做的功最接近（　　）
A. 1 J B. 10 J
C. 25 J D. 50 J
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解析：　由题知篮球上升的高度大约为h＝1.2 m，对篮球运
动的整个过程，由动能定理得W－mgh＝mv2－0得W＝mgh＋
mv2＝0.8×10×1.2 J＋×0.8×12 J＝10.0 J，故B正确，
A、C、D错误。
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9.如图所示，斜面高h，质量为m的物块，在沿固定斜面向上的恒力F作
用下，能匀速沿斜面向上运动，已知重力加速度为g，若把此物块放
在斜面顶端，在沿斜面向下同样大小的恒力F作用下物块由静止向下
滑动，滑至底端时其动能为（　　）
A. mgh B. 2mgh
C. 2Fh D. Fh
解析：B　物块匀速上滑时，根据动能定理得WF－mgh－Wf＝0，物块
下滑时，根据动能定理得WF＋mgh－Wf＝Ek－0，联立两式解得Ek＝
2mgh，选项B正确。
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10. 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲
上固定在地面上的斜面。设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩
弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中
弹簧弹力做功是（　　）
C. －mgh
解析：由A到C的过程运用动能定理可得：－mgh＋W＝0－mv2，
所以W＝mgh－mv2，故A正确。
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11. 将质量为m的物体，以初速度v0竖直向上抛出。已知抛出过程中阻
力大小恒为重力大小的，重力加速度为g。求：
（1）物体上升的最大高度；
答案： 　
解析： 上升过程，由动能定理得：
－mgh－fh＝0－m，f＝mg
联立解得h＝。
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（2）物体落回抛出点时的速度大小。
答案： v0
解析： 对物体上抛又落回抛出点的全过程，由动能定理得：
－2fh＝mv2－m
解得v＝v0。
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12. 如图所示，物体在距斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与
斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数
均为0.4，斜面倾角为37°，求物体能在水平面上滑行的距离。
（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力
加速度g取10 m/s2）
答案：3.5 m
解析：对物体在斜面上和水平面上分
别受力分析如图所示
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解法一　分过程列方程
设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段
N1＝mgcos 37°，故f1＝μN1＝μmgcos 37°
由动能定理得：mgsin 37°·l1－μmgcos 37°·l1＝mv2－0
设物体在水平面上滑行的距离为l2，摩擦力f2＝μN2＝μmg
由动能定理得：－μmgl2＝0－mv2
联立以上各式可得l2＝3.5 m。
解法二　对全过程由动能定理列方程
mgl1sin 37°－μmgcos 37°·l1－μmgl2＝0
解得：l2＝3.5 m。
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