资源简介

4　势能
1.小铁球竖直上抛又回到抛出点的过程中，关于重力做功的说法正确的是（　　）
A.重力做负功
B.重力先做正功，再做负功
C.重力做正功
D.重力先做负功，再做正功
2.（多选）物体在运动过程中，克服重力做功100 J，则以下说法正确的是（　　）
A.物体的高度一定降低了
B.物体的高度一定升高了
C.物体的重力势能一定是100 J
D.物体的重力势能一定增加100 J
3.一小朋友在蹦床上玩耍的照片如图所示，在她从与蹦床接触到运动到最低点的过程中，关于此小朋友对蹦床作用力所做的功、蹦床弹性势能变化情况，下列说法正确的是（　　）
A.正功，增大 B.正功，减小
C.负功，增大 D.负功，减小
4.如图所示的几个运动过程中，物体的弹性势能增加的是（　　）
A.如图甲，撑竿跳高的运动员上升过程中，竿的弹性势能
B.如图乙，人拉长弹簧过程中，弹簧的弹性势能
C.如图丙，模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的弹性势能
D.如图丁，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能
5.如图所示，质量为m的足球在水平地面的位置1被踢出后落到水平地面的位置3，在空中达到的最高点位置2的高度为h，已知重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A.足球由1运动到2的过程中，重力做的功为mgh
B.足球由2运动到3的过程中，重力势能减少了mgh
C.足球由1运动到3的过程中，重力做的功为2mgh
D.因为没有选定参考平面，所以无法确定重力势能变化了多少
6.竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气阻力的大小恒定，则（　　）
A.上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功
B.上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功
C.上升过程中克服重力做功的平均功率小于下降过程中重力的平均功率
D.上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力的平均功率
7.如图所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个向下的速度让小球向下运动，O点正下方D处有一钉子，小球运动到B处时会以D为圆心做圆周运动，并经过C点，若已知OD＝l，则小球由A点运动到C点的过程中，重力势能减少了多少？重力做功为多少？
8.宇航员顺利返回地球后，又经过了两个星期左右的恢复锻炼，才逐渐适应地球的重力环境。如图所示，重物A质量为m，置于水平地面上。一根轻质弹簧，原长为L，劲度系数为k，下端与物体A相连接。宇航员恢复锻炼时将弹簧（初始为原长）上端点P缓慢地竖直提起一段高度使重物A离开地面。已知上端点P向上移动的高度为h，则这时重物具有的重力势能为（以地面为零势能面）（　　）
A.mg B.mg（L－h）
C.mg D.mg
9.如图所示，在光滑水平桌面上有一根轻质弹簧，将弹簧一端固定，另一端施以水平拉力使弹簧缓慢伸长。当弹簧伸长量为x时，外力对弹簧做功W1，当弹簧伸长量为2x时，外力对弹簧做功W2，弹簧始终处在弹性限度内，则（　　）
A.W2＝W1 B.W2＝2W1
C.W2＝3W1 D.W2＝4W1
10.如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中（　　）
A.重力做正功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变
B.重力做正功，弹簧弹力做正功，弹性势能增加
C.若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功
D.若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功
11.如图所示，吊车以的加速度将质量为m的物体匀减速地沿竖直方向提升高度h，则：（重力加速度为g，不计空气阻力）
（1）吊车钢索的拉力对物体做的功为多少？
（2）重力做的功为多少？
（3）物体的重力势能变化了多少？
12.在离地面80 m高处无初速度地释放一小球，小球质量为m＝200 g，不计空气阻力，g取10 m/s2，取释放点所在水平面为参考平面。求：
（1）在第2 s末小球的重力势能；
（2）在第3 s内重力的平均功率。
4　势能
1.D　当小铁球向上运动时，重力与运动方向相反，重力做负功；小铁球向下运动时，重力与运动方向相同，重力做正功，所以，重力先做负功，再做正功，故选D。
2.BD　克服重力做功，即重力做负功，重力势能增加，高度升高，克服重力做多少功，重力势能就增加多少，但重力势能是相对的，增加100 J的重力势能，并不代表现在的重力势能就是100 J，故B、D正确，A、C错误。
3.A　在此小朋友从与蹦床接触到运动到最低点的过程中，她对蹦床作用力向下，小朋友对蹦床作用力做正功。蹦床的形变量越来越大，则蹦床弹性势能增大，故A正确，B、C、D错误。
4.B　撑竿跳高的运动员上升过程中，竿的形变量减小，弹力做正功，所以弹性势能减小，故A错误；人拉长弹簧过程中，弹簧的形变量增大，弹力做负功，弹性势能增加，故B正确；模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的形变量减小，弹力做正功，所以弹性势能减小，故C错误；小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的形变量减小，弹力做正功，所以弹性势能减小，故D错误。
5.B　足球由1运动到2的过程中，足球高度上升，重力做负功，所以重力做的功为－mgh，选项A错误；足球由2运动到3的过程中，重力做正功，重力势能减少了mgh，选项B正确；足球由1运动到3的过程中，高度没有变化，所以重力做功为零，选项C错误；重力势能的变化量与参考平面无关，重力势能的大小才与参考平面有关，选项D错误。
6.B　重力做功的大小只与物体的初、末的位置有关，与物体的路径等无关，所以上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功，故A错误，B正确；物体在上升的过程中，受到的阻力向下，在下降的过程中受到的阻力向上，所以在上升时物体受到的合力大，加速度大，采用逆向思维，根据x＝at2知，物体上升时运动的时间短，根据P＝知，上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率，故C、D错误。
7.mgl　mgl
解析：从A点运动到C点，小球下落h＝l，
故重力做功WG＝mgh＝mgl，
重力势能的变化量ΔEp＝－WG＝－mgl，
所以小球的重力势能减少了mgl。
8.C　物块A刚离开地面时，弹簧弹力等于物块的重力，根据胡克定律得弹簧伸长的长度为x＝，上端点P向上移动的高度为h，则物块上升的高度为H＝h－x，以地面为参考平面，这时物块A具有的重力势能为Ep＝mgH＝mg，故C正确，A、B、D错误。
9.D　施以水平拉力，弹簧缓慢伸长过程中，拉力等于弹簧弹力，与弹簧的伸长量成正比F＝F弹＝kx，外力做功W＝x＝x＝kx2可知W∝x2，当伸长量变为原来的2倍时，外力做的功变为原来的4倍，即W2＝4W1，故A、B、C错误，D正确。
10.C　重物由A点摆向最低点B的运动中，重力做正功，弹簧伸长，弹力对重物做负功，弹簧弹性势能增加，A、B错误；若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，由于细绳不可伸长，细绳上弹力一直与重物速度方向垂直，弹力不做功，C正确；若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，由于细绳不可伸长，重物下落的高度变小，重力做功变小，细绳上弹力一直与重物速度方向垂直，弹力不做功，D错误。
11.（1）mgh　（2）－mgh　（3）增加了mgh
解析：（1）设吊车钢索对物体的拉力为F，物体的加速度a＝，方向竖直向下
由牛顿第二定律得mg－F＝ma，
故F＝mg－ma＝mg，方向竖直向上，
所以拉力做的功W＝Fh＝mgh。
（2）物体被提升高度为h，重力做的功WG＝－mgh。
（3）由于ΔEp＝－WG＝mgh，故物体的重力势能增加了mgh。
12.（1）－40 J　（2）50 W
解析：（1）小球做自由落体运动，2 s内下落的高度为
h2＝g＝×10×22 m＝20 m
以释放点所在水平面为参考平面，在第2 s末小球的重力势能为
Ep＝－mgh2＝－0.2×10×20 J＝－40 J。
（2）小球在3 s内下落的高度为h3＝g＝×10×32 m＝45 m
第3 s内重力做的功为W＝mg（h3－h2）＝0.2×10×（45－20）J＝50 J
第3 s内重力做功的平均功率为P＝＝ W＝50 W。
3 / 34　势能
核心 素养 目标 1.知道重力做功的特点以及重力势能的变化和重力做功的关系。 2.知道重力势能的相对性、系统性。 3.了解弹性势能的变化和弹力做功的关系。
知识点一　重力做功的特点
1.重力做功的表达式：W＝　　　　＝mgh1－mgh2。
2.重力做功的特点：重力对物体所做的功与运动物体的　　　　　　无关，仅由物体的　　　　和初、末两个位置的　　　　　决定。
知识点二　重力势能
1.重力势能
（1）定义：当物体处于高处时，由物体的位置决定的能量。
（2）定义式：Ep＝mgh。
（3）标矢性：重力势能是　　　　。
（4）单位：在国际单位制中的单位是　　　　，简称焦，符号为J。
（5）重力势能的相对性：先选定零势能面，物体的重力势能是相对零势能面而言的。
2.重力做功与重力势能变化的关系
（1）表达式：WG＝　　　　　　　　。
（2）两种情况：重力做正功，重力势能　　　；重力做　　　　，重力势能增加。
知识点三　弹性势能
1.弹性势能：物体由于发生　　　　　　而具有的能量。
（1）一个物体的　　　　越大，弹性势能越大。
（2）弹性势能的系统性：弹性势能是弹力装置与受弹力作用的物体组成的系统所共有的。
2.重力势能和弹性势能是　　　　的两种不同形式。
【情景思辨】
　如图所示，A点和B点到参考平面的高度都是h，现将质量为m的质点放在A处和放在B处（重力加速度为g）
（1）放在A处时，质点的重力势能为mgh。（　　）
（2）放在B处时，质点的重力势能为mgh。（　　）
（3）质点从A处运动到B处重力做功为2mgh。（　　）
（4）质点从A处运动到B处重力势能的改变量为0。（　　）
要点一　 重力做功的特点
【探究】
　如图所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中，思考并讨论以下问题：
（1）求出图甲情形中重力做的功；
（2）求出图乙情形中重力做的功；
（3）求出图丙情形中重力做的功；
（4）重力做功有什么特点？
【归纳】
1.重力做功只与重力和物体高度变化有关，与运动路径无关。
2.物体下降时重力做正功，WG＝mgh；物体上升时重力做负功，WG＝－mgh。
3.重力做功的特点可推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是：跟初、末位置有关，与具体路径无关，即恒力做的功等于力与在力的方向上的位移大小的乘积。
【典例1】　如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下，经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达处的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为（重力加速度为g）（　　）
A.　　　　　　　　　 B.
C.mgh D.0
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　如图所示，某段滑雪雪道倾角θ＝30°，总质量m＝50 kg的滑雪运动员和雪橇从距底端高为h＝10 m处的雪道上由静止开始匀加速下滑，所受阻力为f＝150 N，g取10 m/s2，运动员从上向下滑到底端的过程中，重力所做的功为（　　）
A.4 500 J　 B.5 500 J
C.5 000 J　 D.6 000 J
要点二　重力势能
【探究】
如图所示，起重机把质量为m的楼板从水平地面上吊到高度为h的楼顶上。
（1）分别以地面、楼顶为参考平面，楼板在楼顶的重力势能等于多少？楼板从地面吊到楼顶的过程中，重力势能的变化是多少？
（2）从结果可以看出重力势能、重力势能的变化与参考平面有关吗？
【归纳】
1.重力势能与重力势能的变化量
（1）重力势能Ep＝mgh具有相对性，与参考平面的选取有关，其中h是相对参考平面的高度。当物体在参考平面下方h处，重力势能Ep＝－mgh。
（2）重力势能是标量，但有正负，正负表示重力势能的大小。
（3）重力势能的变化ΔEp与参考平面的选取无关，它的变化是绝对的。
2.重力做功与重力势能变化的关系
WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
（1）当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，重力势能的减少量等于重力所做的功。
（2）当物体由低处运动到高处时，重力做负功（物体克服重力做功），重力势能增加，重力势能的增加量等于物体克服重力所做的功。
【典例2】　如图所示，质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地高度为h。若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是（　　）
A.mgh，减少mg（H－h） B.mgh，增加mg（H＋h）
C.－mgh，增加mg（H－h） D.－mgh，减少mg（H＋h）
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【拓展训练】
　上例中，若选地面为参考平面，则小球落地时的重力势能是多少？整个过程重力势能的变化是多少？
1.下列说法正确的是（　　）
A.地面上的物体的重力势能一定为零
B.质量大的物体的重力势能一定大
C.不同的物体，离地面越高，其重力势能越大
D.离地面有一定高度的物体的重力势能可能为零
2.（多选）如图所示，同一质量为m物块分别沿三条不同的轨道由A点滑到同一水平面上，其中轨道1是粗糙的，轨道2、3是光滑的，A离地面的高度为H，则（　　）
A.沿轨道1下滑重力做功最多 B.沿轨道2下滑重力做功等于mgH
C.沿轨道3下滑重力势能改变量为mgH D.沿三条轨道下滑重力势能改变量都为－mgH
要点三　弹性势能
1.对弹性势能的理解
（1）系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性。
（2）弹簧弹性势能的影响因素
①弹簧的形变量x；②弹簧的劲度系数k。
（3）相对性：弹性势能的大小与选定的弹性势能为零的位置有关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的弹性势能为零。
2.弹性势能与弹力做功的关系：弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小。
3.弹性势能表达式的推导
根据胡克定律F＝kx，作出弹力F与弹簧形变量x关系的F-x图线，如图所示，根据W＝Fx知，图线与横轴所围的面积表示F所做的功，即W＝＝kx2，所以Ep＝kx2。
【典例3】　（多选）关于弹性势能，下列说法中正确的是（　　）
A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.（多选）关于弹性势能，下列说法正确的是（　　）
A.物体只要发生了形变就具有弹性势能 B.弹性势能是标量
C.当弹簧的弹力做正功时，弹性势能增加 D.弹性势能必须通过弹力做功改变
2.如图所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置（即重力和弹簧弹力大小相等的位置），今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功为W2，弹簧始终在弹性限度内，则这两次弹力做功的关系为（　　）
A.W1＜W2 B.W1＝2W2
C.W2＝2W1 D.W1＝W2
要点回眸
1.家住10楼的李同学某次停电时步行从一楼走楼梯回家，已知该同学质量为50 kg，每层楼的高度为3 m，取g＝10 m/s2，则该同学在这个过程中（　　）
A.重力做负功，楼梯的支持力做正功
B.重力做负功，楼梯的支持力不做功
C.重力势能增加1.5×105 J
D.重力势能增加1.35×105 J
2.（多选）关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是（　　）
A.弹簧的弹性势能与其被拉伸（或压缩）的长度有关
B.弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数有关
C.同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大
D.弹性势能的大小与使弹簧发生形变的物体有关
3.如图所示，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l，重力加速度大小为g，在此过程中，绳的重力势能增加（　　）
A.mgl B.mgl
C.mgl D.mgl
4.如图所示的蹦极运动是一种非常刺激的娱乐项目。为了研究蹦极运动过程，做以下简化：将游客视为质点，他的运动始终沿竖直方向。弹性绳的一端固定在O点，另一端和游客相连，游客从O点自由下落，至B点弹性绳自然伸直，经过合力为零的C点到达最低点D，然后弹起，整个过程中弹性绳始终在弹性限度内。游客从O→B→C→D的过程，下列说法正确的是（　　）
A.从O到B过程中，重力势能增大
B.从B到D过程中，游客做匀减速运动
C.从B到C过程中，弹性绳的弹性势能先增大后减小
D.从B到D过程中，游客的速度先增大后减小
4　势能
【基础知识·准落实】
知识点一
1.mgΔh　2.运动路径　质量　高度差
知识点二
1.（3）标量　（4）焦耳　2.（1）Ep1－Ep2　（2）减少　负功
知识点三
1.弹性形变　（1）形变量　2.势能
情景思辨
（1）√　（2）×　（3）√　（4）×
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：（1）图甲中WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
（2）图乙中WAB'＝mglcos θ＝mgΔh＝mgh1－mgh2，
WB'B＝0，故WAB＝mgΔh＝mgh1－mgh2
（3）图丙中把整个路径AB″分成许多很短的间隔，经过的路程分别为AA1，A1A2，…，由于每一段都很小，因而每一小段都可以近似地看成一段倾斜的直线，设每段小斜线的高度差分别为Δh1，Δh2，…，则物体通过每段小斜线时重力做的功分别为mgΔh1，mgΔh2，…，则WAB″＝mgΔh1＋mgΔh2＋…＝mg（Δh1＋Δh2＋…）＝mgΔh，WB″B＝0，故WAB＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
（4）物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
【典例1】　B　解法一　分段法
小球由A→B，重力做正功W1＝mgh
小球由B→C，重力做功为0，
小球由C→D，重力做负功W2＝－mg·
故小球由A→D全过程中重力做功
WG＝W1＋W2＝mg＝mgh，B正确。
解法二　全过程法
全过程的高度差为h1－h2＝h，故WG＝mgh，B正确。
素养训练
　C　根据题意可知，重力所做的功为W＝mgh＝5 000 J，故A、B、D错误，C正确。
要点二
知识精研
【探究】　提示：（1）楼板的重力势能分别为mgh、0，与参考平面有关；重力势能的变化均为mgh。
（2）重力势能与参考平面有关，重力势能的变化与参考平面无关。
【典例2】　D　以桌面为参考平面，落地时小球的重力势能为－mgh，初状态重力势能为mgH，即重力势能的变化ΔEp＝－mgh－mgH＝－mg（H＋h），所以重力势能减少了mg（H＋h），D正确。
拓展训练
　提示：落地时重力势能为0，重力势能的变化为减少mg（H＋h）。
素养训练
1.D　如果不选择地面为零势能面，地面上的物体的重力势能不等于零，A错误；如果物体位于零势面上，无论质量大与小，重力势能都等于零，B错误；质量相等的不同的物体，离地面越高，其重力势能越大，不同的物体，离地面越高，其重力势能不一定越大，C错误；如果选择物体所在的位置为零势面，该物体的重力势能等于零，所以离地面有一定高度的物体的重力势能可能为零，D正确。
2.BD　由图可知，沿三条轨道下滑重力做功均为WG＝mgH，则重力势能的改变量为ΔEp＝－WG＝－mgH，故B、D正确，A、C错误。
要点三
【典例3】　AB　发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫作弹性势能，所以，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变。物体发生了形变，若是非弹性形变，无弹力作用，则物体就不具有弹性势能。弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧的劲度系数有关。故选A、B。
素养训练
1.BD　只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能，选项A错误；弹性势能的变化总是与弹力做功相对应，当弹力做正功时，弹性势能减少，当弹力做负功时，弹性势能增加，选项C错误，D正确；弹性势能同其他形式的能量一样，都是标量，选项B正确。
2.D　弹力做功与路径无关，只与初、末位置有关，两次初、末位置相同，故W1＝W2，D正确。
【教学效果·勤检测】
1.B　上楼梯时，重力方向竖直向下，所以重力做负功，在此过程中，当李同学受到楼梯的支持力时，支持力的作用点并没有发生位移，故楼梯的支持力不做功，故A错误，B正确；上楼整个过程中，重力做的功为WG＝－mgh＝－50×10×27 J＝－1.35×104 J，根据功能关系，重力做负功，所以重力势能增加1.35×104 J，故C、D错误。
2.ABC　理解弹性势能时要明确研究对象是发生弹性形变的弹簧，而不是使之发生形变的物体，弹簧弹性势能的大小跟形变量有关，同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能也越大；弹簧的弹性势能还与劲度系数有关，当形变量相同时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大，故A、B、C正确，D错误。
3.A　由题意可知，PM段细绳的重力势能不变，MQ段细绳的重心升高了，则重力势能增加ΔEp＝mg·＝mgl，故选项A正确，B、C、D错误。
4.D　从O到B过程中，游客的高度降低，则重力势能减小，选项A错误；从B到D过程中，弹性绳的拉力先小于重力后大于重力，则游客先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动，故游客的速度先增大后减小，选项B错误，D正确；从B到C过程中，弹性绳的长度增加，形变量增大，则弹性势能增大，选项C错误。
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4　势能
核心 素养 目标 1.知道重力做功的特点以及重力势能的变化和重力做功的关系。
2.知道重力势能的相对性、系统性。
3.了解弹性势能的变化和弹力做功的关系。
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一　重力做功的特点
1. 重力做功的表达式：W＝ ＝mgh1－mgh2。
2. 重力做功的特点：重力对物体所做的功与运动物体的
无关，仅由物体的 和初、末两个位置的 决定。
mgΔh　
运动路径　
质量　
高度差　
知识点二　重力势能
1. 重力势能
（1）定义：当物体处于高处时，由物体的位置决定的能量。
（2）定义式：Ep＝mgh。
（3）标矢性：重力势能是 。
（4）单位：在国际单位制中的单位是 ，简称焦，符号
为J。
（5）重力势能的相对性：先选定零势能面，物体的重力势能是相
对零势能面而言的。
标量　
焦耳　
2. 重力做功与重力势能变化的关系
（1）表达式：WG＝ 。
（2）两种情况：重力做正功，重力势能 ；重力做
，重力势能增加。
Ep1－Ep2　
减少　
负
功　
知识点三　弹性势能
1. 弹性势能：物体由于发生 而具有的能量。
（1）一个物体的 越大，弹性势能越大。
（2）弹性势能的系统性：弹性势能是弹力装置与受弹力作用的物
体组成的系统所共有的。
2. 重力势能和弹性势能是 的两种不同形式。
弹性形变　
形变量　
势能　
【情景思辨】
　如图所示，A点和B点到参考平面的高度都是h，现将质量为m的质点放在A处和放在B处（重力加速度为g）
（1）放在A处时，质点的重力势能为mgh。（　√　）
（2）放在B处时，质点的重力势能为mgh。 （　×　）
（3）质点从A处运动到B处重力做功为2mgh。 （　√　）
（4）质点从A处运动到B处重力势能的改变量为0。 （　×　）
√
×
√
×
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　 重力做功的特点
【探究】
　如图所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中，思考并讨论以下问题：
（1）求出图甲情形中重力做的功；
提示： 图甲中WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
（2）求出图乙情形中重力做的功；
提示： 图乙中WAB'＝mglcos θ＝mgΔh＝mgh1－mgh2，
WB'B＝0，故WAB＝mgΔh＝mgh1－mgh2
（3）求出图丙情形中重力做的功；
提示：图丙中把整个路径AB″分成许多很短的间隔，经过的路程分别为AA1，A1A2，…，由于每一段都很小，因而每一小段都可以近似地看成一段倾斜的直线，设每段小斜线的高度差分别为Δh1，Δh2，…，则物体通过每段小斜线时重力做的功分别为mgΔh1，mgΔh2，…，则WAB″＝mgΔh1＋mgΔh2＋…＝mg（Δh1＋Δh2＋…）＝mgΔh，WB″B＝0，故WAB＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
（4）重力做功有什么特点？
提示：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
【归纳】
1. 重力做功只与重力和物体高度变化有关，与运动路径无关。
2. 物体下降时重力做正功，WG＝mgh；物体上升时重力做负功，WG
＝－mgh。
3. 重力做功的特点可推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是：跟
初、末位置有关，与具体路径无关，即恒力做的功等于力与在力的
方向上的位移大小的乘积。
【典例1】　如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚
下，经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达处的D点时，速
度为零，在这个过程中，重力做功为（重力加速度为g）（　　）
C. mgh D. 0
解析：解法一　分段法
小球由A→B，重力做正功W1＝mgh
小球由B→C，重力做功为0，
小球由C→D，重力做负功W2＝－mg·
故小球由A→D全过程中重力做功
WG＝W1＋W2＝mg＝mgh，B正确。
解法二　全过程法
全过程的高度差为h1－h2＝h，故WG＝mgh，B正确。
　如图所示，某段滑雪雪道倾角θ＝30°，总质量m＝50 kg的滑雪运
动员和雪橇从距底端高为h＝10 m处的雪道上由静止开始匀加速下
滑，所受阻力为f＝150 N，g取10 m/s2，运动员从上向下滑到底端的过
程中，重力所做的功为（　　）
A. 4 500 J B. 5 500 J
C. 5 000 J D. 6 000 J
解析：　根据题意可知，重力所做的功为W＝mgh＝5 000 J，故A、B、D错误，C正确。
要点二　重力势能
【探究】
　如图所示，起重机把质量为m的楼板从水平地面上吊到高度为h的楼顶上。
（1）分别以地面、楼顶为参考平面，楼板在楼顶的重力势能等于多
少？楼板从地面吊到楼顶的过程中，重力势能的变化是多少？
提示：楼板的重力势能分别为mgh、0，与参考平面有关；
重力势能的变化均为mgh。
（2）从结果可以看出重力势能、重力势能的变化与参考平面有关吗？
提示：重力势能与参考平面有关，重力势能的变化与参考平面无关。
【归纳】
1. 重力势能与重力势能的变化量
（1）重力势能Ep＝mgh具有相对性，与参考平面的选取有关，其
中h是相对参考平面的高度。当物体在参考平面下方h处，重
力势能Ep＝－mgh。
（2）重力势能是标量，但有正负，正负表示重力势能的大小。
（3）重力势能的变化ΔEp与参考平面的选取无关，它的变化是绝
对的。
2. 重力做功与重力势能变化的关系
WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
（1）当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，
重力势能的减少量等于重力所做的功。
（2）当物体由低处运动到高处时，重力做负功（物体克服重力做
功），重力势能增加，重力势能的增加量等于物体克服重力
所做的功。
【典例2】　如图所示，质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下
落，桌面离地高度为h。若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重
力势能及整个过程中重力势能的变化分别是（　　）
A. mgh，减少mg（H－h）
B. mgh，增加mg（H＋h）
C. －mgh，增加mg（H－h）
D. －mgh，减少mg（H＋h）
解析：以桌面为参考平面，落地时小球的重力势能为－mgh，初状态
重力势能为mgH，即重力势能的变化ΔEp＝－mgh－mgH＝－mg（H＋
h），所以重力势能减少了mg（H＋h），D正确。
【拓展训练】
　上例中，若选地面为参考平面，则小球落地时的重力势能是多少？
整个过程重力势能的变化是多少？
提示：落地时重力势能为0，重力势能的变化为减少mg（H＋h）。
1. 下列说法正确的是（　　）
A. 地面上的物体的重力势能一定为零
B. 质量大的物体的重力势能一定大
C. 不同的物体，离地面越高，其重力势能越大
D. 离地面有一定高度的物体的重力势能可能为零
解析：　如果不选择地面为零势能面，地面上的物体的重力势能
不等于零，A错误；如果物体位于零势面上，无论质量大与小，重
力势能都等于零，B错误；质量相等的不同的物体，离地面越高，
其重力势能越大，不同的物体，离地面越高，其重力势能不一定越
大，C错误；如果选择物体所在的位置为零势面，该物体的重力势
能等于零，所以离地面有一定高度的物体的重力势能可能为零，D
正确。
2. （多选）如图所示，同一质量为m物块分别沿三条不同的轨道由A
点滑到同一水平面上，其中轨道1是粗糙的，轨道2、3是光滑的，
A离地面的高度为H，则（　　）
A. 沿轨道1下滑重力做功最多
B. 沿轨道2下滑重力做功等于mgH
C. 沿轨道3下滑重力势能改变量为mgH
D. 沿三条轨道下滑重力势能改变量都为－mgH
解析：由图可知，沿三条轨道下滑重力做功均为WG＝mgH，则重力势能的改变量为ΔEp＝－WG＝－mgH，故B、D正确，A、C错误。
要点三　弹性势能
1. 对弹性势能的理解
（1）系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对
位置改变而具有的能量，因此弹性势能具有系统性。
（2）弹簧弹性势能的影响因素
①弹簧的形变量x；②弹簧的劲度系数k。
（3）相对性：弹性势能的大小与选定的弹性势能为零的位置有
关，对于弹簧，一般规定弹簧处于原长时的弹性势能为零。
2. 弹性势能与弹力做功的关系：弹性势能的变化只与弹力做功有关，
弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小。
3. 弹性势能表达式的推导
根据胡克定律F＝kx，作出弹力F与弹簧形变量x关系的F-x图线，如图所示，根据W＝Fx知，图线与横轴所围的面积表示F所做的功，
即W＝＝kx2，所以Ep＝kx2。
【典例3】　（多选）关于弹性势能，下列说法中正确的是（　　）
A. 任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B. 任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C. 物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D. 弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
解析：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势
能，叫作弹性势能，所以，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势
能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变。物体发生了形
变，若是非弹性形变，无弹力作用，则物体就不具有弹性势能。弹簧
的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧的劲度
系数有关。故选A、B。
1. （多选）关于弹性势能，下列说法正确的是（　　）
A. 物体只要发生了形变就具有弹性势能
B. 弹性势能是标量
C. 当弹簧的弹力做正功时，弹性势能增加
D. 弹性势能必须通过弹力做功改变
解析： 　只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能，选项A错
误；弹性势能的变化总是与弹力做功相对应，当弹力做正功时，弹
性势能减少，当弹力做负功时，弹性势能增加，选项C错误，D正
确；弹性势能同其他形式的能量一样，都是标量，选项B正确。
2. 如图所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置（即重力和弹
簧弹力大小相等的位置），今用手向下拉重物，第一次把它直接拉
到A点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹
力做功为W2，弹簧始终在弹性限度内，则这两次
弹力做功的关系为（　　）
A. W1＜W2 B. W1＝2W2
C. W2＝2W1 D. W1＝W2
解析：弹力做功与路径无关，只与初、末位置有关，两次初、末位置相同，故W1＝W2，D正确。
要点回眸
03
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
1. 家住10楼的李同学某次停电时步行从一楼走楼梯回家，已知该同学
质量为50 kg，每层楼的高度为3 m，取g＝10 m/s2，则该同学在这
个过程中（　　）
A. 重力做负功，楼梯的支持力做正功
B. 重力做负功，楼梯的支持力不做功
C. 重力势能增加1.5×105 J
D. 重力势能增加1.35×105 J
解析：　上楼梯时，重力方向竖直向下，所以重力做负功，在此
过程中，当李同学受到楼梯的支持力时，支持力的作用点并没有发
生位移，故楼梯的支持力不做功，故A错误，B正确；上楼整个过
程中，重力做的功为WG＝－mgh＝－50×10×27 J＝－1.35×104
J，根据功能关系，重力做负功，所以重力势能增加1.35×104 J，
故C、D错误。
2. （多选）关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是（　　）
A. 弹簧的弹性势能与其被拉伸（或压缩）的长度有关
B. 弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数有关
C. 同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大
D. 弹性势能的大小与使弹簧发生形变的物体有关
解析： 理解弹性势能时要明确研究对象是发生弹性形变的弹簧，而不是使之发生形变的物体，弹簧弹性势能的大小跟形变量有关，同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能也越大；弹簧的弹性势能还与劲度系数有关，当形变量相同时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大，故A、B、C正确，D错误。
3. 如图所示，一质量为m、长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用
外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相
距l，重力加速度大小为g，在此过程中，绳的重力势能
增加（　　）
解析：　由题意可知，PM段细绳的重力势能不变，MQ段细绳的
重心升高了，则重力势能增加ΔEp＝mg·＝mgl，故选项A正确，
B、C、D错误。
4. 如图所示的蹦极运动是一种非常刺激的娱乐项目。为了研究蹦极运
动过程，做以下简化：将游客视为质点，他的运动始终沿竖直方向。弹性绳的一端固定在O点，另一端和游客相连，游客从O点自由下落，至B点弹性绳自然伸直，经过合力为零的C点到达最低点D，然后弹起，整个过程中弹性绳始终在弹性限度内。
游客从O→B→C→D的过程，下列说法正
确的是（　　）
A. 从O到B过程中，重力势能增大
B. 从B到D过程中，游客做匀减速运动
C. 从B到C过程中，弹性绳的弹性势能先增大后减小
D. 从B到D过程中，游客的速度先增大后减小
解析：　从O到B过程中，游客的高度降低，则重力势能减小，
选项A错误；从B到D过程中，弹性绳的拉力先小于重力后大于重
力，则游客先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运
动，故游客的速度先增大后减小，选项B错误，D正确；从B到C过
程中，弹性绳的长度增加，形变量增大，则弹性势能增大，选项C
错误。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 小铁球竖直上抛又回到抛出点的过程中，关于重力做功的说法正确
的是（　　）
A. 重力做负功 B. 重力先做正功，再做负功
C. 重力做正功 D. 重力先做负功，再做正功
解析：　当小铁球向上运动时，重力与运动方向相反，重力做负
功；小铁球向下运动时，重力与运动方向相同，重力做正功，所
以，重力先做负功，再做正功，故选D。
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2. （多选）物体在运动过程中，克服重力做功100 J，则以下说法正
确的是（　　）
A. 物体的高度一定降低了
B. 物体的高度一定升高了
C. 物体的重力势能一定是100 J
D. 物体的重力势能一定增加100 J
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解析： 　克服重力做功，即重力做负功，重力势能增加，高度
升高，克服重力做多少功，重力势能就增加多少，但重力势能是相
对的，增加100 J的重力势能，并不代表现在的重力势能就是100
J，故B、D正确，A、C错误。
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3. 一小朋友在蹦床上玩耍的照片如图所示，在她从与蹦床接触到运动
到最低点的过程中，关于此小朋友对蹦床作用力所做的功、蹦床弹
性势能变化情况，下列说法正确的是
（　　）
A. 正功，增大 B. 正功，减小
C. 负功，增大 D. 负功，减小
解析：　在此小朋友从与蹦床接触到运动到最低点的过程中，她
对蹦床作用力向下，小朋友对蹦床作用力做正功。蹦床的形变量越
来越大，则蹦床弹性势能增大，故A正确，B、C、D错误。
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4. 如图所示的几个运动过程中，物体的弹性势能增加的是（　　）
A. 如图甲，撑竿跳高的运动员上升过程中，竿的弹性势能
B. 如图乙，人拉长弹簧过程中，弹簧的弹性势能
C. 如图丙，模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的弹性
势能
D. 如图丁，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能
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解析：　撑竿跳高的运动员上升过程中，竿的形变量减小，弹力
做正功，所以弹性势能减小，故A错误；人拉长弹簧过程中，弹簧
的形变量增大，弹力做负功，弹性势能增加，故B正确；模型飞机
用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的形变量减小，弹力做正功，
所以弹性势能减小，故C错误；小球被弹簧向上弹起的过程中，弹
簧的形变量减小，弹力做正功，所以弹性势能减小，故D错误。
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5. 如图所示，质量为m的足球在水平地面的位置1被踢出后落到水平
地面的位置3，在空中达到的最高点位置2的高度为h，已知重力加
速度为g。下列说法正确的是（　　）
A. 足球由1运动到2的过程中，重力做的功为mgh
B. 足球由2运动到3的过程中，重力势能减少了mgh
C. 足球由1运动到3的过程中，重力做的功为2mgh
D. 因为没有选定参考平面，所以无法确定重力势能变化了多少
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解析：　足球由1运动到2的过程中，足球高度上升，重力做负
功，所以重力做的功为－mgh，选项A错误；足球由2运动到3的过
程中，重力做正功，重力势能减少了mgh，选项B正确；足球由1运
动到3的过程中，高度没有变化，所以重力做功为零，选项C错
误；重力势能的变化量与参考平面无关，重力势能的大小才与参考
平面有关，选项D错误。
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6. 竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气阻力的大小恒定，则
（　　）
A. 上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功
B. 上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功
C. 上升过程中克服重力做功的平均功率小于下降过程中重力的平均
功率
D. 上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力的平均
功率
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解析：　重力做功的大小只与物体的初、末的位置有关，与物体
的路径等无关，所以上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重
力做的功，故A错误，B正确；物体在上升的过程中，受到的阻力
向下，在下降的过程中受到的阻力向上，所以在上升时物体受到的
合力大，加速度大，采用逆向思维，根据x＝at2知，物体上升时运
动的时间短，根据P＝知，上升过程中克服重力做功的平均功率
大于下降过程中重力的平均功率，故C、D错误。
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7. 如图所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉
直成水平状态，并给小球一个向下的速度让小球向下运动，O点正
下方D处有一钉子，小球运动到B处时会以D为圆心做圆周运动，
并经过C点，若已知OD＝l，则小球由A点运动到C点的过程中，
重力势能减少了多少？
重力做功为多少？
答案：mgl　mgl
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解析：从A点运动到C点，小球下落h＝l，
故重力做功WG＝mgh＝mgl，
重力势能的变化量ΔEp＝－WG＝－mgl，
所以小球的重力势能减少了mgl。
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8. 宇航员顺利返回地球后，又经过了两个星期左右的恢复锻炼，才逐
渐适应地球的重力环境。如图所示，重物A质量为m，置于水平地
面上。一根轻质弹簧，原长为L，劲度系数为k，下端与物体A相连
接。宇航员恢复锻炼时将弹簧（初始为原长）上端点P缓慢地竖直
提起一段高度使重物A离开地面。已知上端点P向上移动的高度为
h，则这时重物具有的重力势能为（以地面为零势能
面）（　　）
B. mg（L－h）
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解析：　物块A刚离开地面时，弹簧弹力等于物块的重力，根
据胡克定律得弹簧伸长的长度为x＝，上端点P向上移动的高
度为h，则物块上升的高度为H＝h－x，以地面为参考平面，这
时物块A具有的重力势能为Ep＝mgH＝mg，故C正确，
A、B、D错误。
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9. 如图所示，在光滑水平桌面上有一根轻质弹簧，将弹簧一端固定，
另一端施以水平拉力使弹簧缓慢伸长。当弹簧伸长量为x时，外力
对弹簧做功W1，当弹簧伸长量为2x时，外力对弹簧做功W2，弹簧
始终处在弹性限度内，则（　　）
A. W2＝W1 B. W2＝2W1
C. W2＝3W1 D. W2＝4W1
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解析：　施以水平拉力，弹簧缓慢伸长过程中，拉力等于弹簧弹
力，与弹簧的伸长量成正比F＝F弹＝kx，外力做功W＝x＝x
＝kx2可知W∝x2，当伸长量变为原来的2倍时，外力做的功变为原
来的4倍，即W2＝4W1，故A、B、C错误，D正确。
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10. 如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中（　　）
A. 重力做正功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变
B. 重力做正功，弹簧弹力做正功，弹性势能增加
C. 若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功
D. 若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功
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解析：　重物由A点摆向最低点B的运动中，重力做正功，弹簧
伸长，弹力对重物做负功，弹簧弹性势能增加，A、B错误；若用
与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，由于细绳不可
伸长，细绳上弹力一直与重物速度方向垂直，弹力不做功，C正
确；若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，由于细绳不可伸
长，重物下落的高度变小，重力做功变小，细绳上弹力一直与重
物速度方向垂直，弹力不做功，D错误。
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11. 如图所示，吊车以的加速度将质量为m的物体匀减速地沿竖直方
向提升高度h，则：（重力加速度为g，不计空气阻力）
（1）吊车钢索的拉力对物体做的功为多少？
答案： mgh　
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解析：设吊车钢索对物体的拉力为F，物体的加速度a
＝，方向竖直向下
由牛顿第二定律得mg－F＝ma，
故F＝mg－ma＝mg，方向竖直向上，
所以拉力做的功W＝Fh＝mgh。
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（2）重力做的功为多少？
答案： －mgh　
解析： 物体被提升高度为h，重力做的功WG＝－mgh。
（3）物体的重力势能变化了多少？
答案： 增加了mgh
解析： 由于ΔEp＝－WG＝mgh，故物体的重力势能增加了mgh。
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12. 在离地面80 m高处无初速度地释放一小球，小球质量为m＝200
g，不计空气阻力，g取10 m/s2，取释放点所在水平面为参考平
面。求：
（1）在第2 s末小球的重力势能；
答案： －40 J　
解析：小球做自由落体运动，2 s内下落的高度为
h2＝g＝×10×22 m＝20 m
以释放点所在水平面为参考平面，在第2 s末小球的重力势
能为Ep＝－mgh2＝－0.2×10×20 J＝－40 J。
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（2）在第3 s内重力的平均功率。
答案： 50 W
解析： 小球在3 s内下落的高度为h3＝g＝×10×32 m
＝45 m
第3 s内重力做的功为W＝mg（h3－h2）＝0.2×10×（45
－20）J＝50 J
第3 s内重力做功的平均功率为P＝＝ W＝50 W。
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