资源简介

5　机械能守恒定律
1.下列运动过程中，机械能守恒的是（　　）
A.跳伞运动员在空中匀速下落过程
B.不计空气阻力，抛出的在空中运动的标枪
C.不计空气阻力，随摩天轮做匀速圆周运动的小孩
D.一个处于压缩状态的弹簧把小球弹出去过程中，小球的机械能
2.（多选）神舟号载人飞船从发射至返回的过程中，以下哪些阶段返回舱的机械能是守恒的（　　）
A.飞船升空的阶段
B.只在地球引力作用下，返回舱沿椭圆轨道绕地球运行的阶段
C.在大气层外，只在地球引力作用下，返回舱飞向地球的阶段
D.临近地面时返回舱减速下降的阶段
3.根据最高人民法院的相关《意见》，“故意从高空抛弃物品，尚未造成严重后果，……可能判处三年以上十年以下有期徒刑……”。若图中被抛下的物体所受重力做功为50 J，则下列说法正确的是（　　）
A.物体重力势能增加了50 J
B.物体重力势能减少了50 J
C.物体机械能增加了50 J
D.物体机械能减少了50 J
4.（多选）教材中双锥体向“上”滚的迷你实验如图。在书脊上架两根筷子作为轨道，把双锥体放在较低一端的轨道上，你会发现双锥体会向“上”滚动。关于这一现象的分析正确的是（　　）
A.双锥体滚动过程中，重心逐渐上升
B.双锥体滚动过程中，重心逐渐下降
C.调整使两根筷子平行，实验也可能成功
D.将双锥体换成圆柱体，实验不可能成功
5.被称为“亚洲撑竿跳女王”的李玲比赛时的英姿如图所示，撑竿跳运动的过程大概可以分为助跑、起跳、下落三个阶段。已知李玲和撑竿总质量为m，某次比赛中，助跑结束时恰好达到最大速度v，起跳后重心上升高度h后成功越过横杆，落在缓冲海绵垫上，撑竿脱离运动员之后会出现弹跳现象，重力加速度为g，不计空气阻力，取地面为零势能面，则下列说法正确的是（　　）
A.助跑过程中，运动员所处高度不变，运动员和撑竿整体机械能守恒
B.从运动员离开地面到手脱离撑竿的过程中，撑竿的弹性势能不断增大
C.运动员在最高点的重力势能Ep＝mv2
D.越过横杆后，落到海绵垫上之前，运动员机械能守恒
6.如图所示，倾角为30°的斜面连接水平面，在水平面上安装半径为R的半圆竖直挡板，质量m的小球从斜面上高为处静止释放，到达水平面恰能贴着挡板内侧运动。不计小球体积，不计摩擦和机械能损失，则小球沿挡板运动时对挡板的作用力是（　　）
A.0.5mg　 B.mg
C.1.5mg　 D.2mg
7.如图所示，一质量为m的足球，以速度v由地面被踢起，当它到达离地面高度为h的B点处（取B点处所在水平面为参考平面）时，下列说法正确的是（重力加速度为g，不计空气阻力）（　　）
A.足球在B点处的重力势能为mgh
B.足球在B点处的动能为mgh
C.足球在B点处的机械能为mv2－mgh
D.足球在B点处的机械能为mv2
8.如图所示，假设运动员从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助其他器械，沿光滑的雪道到达跳台的B点时，速度为多少？当他落到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多少？（假设这一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦力和空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2）
9.如图所示，质量相同的两个小球，分别用长l和2l的细线悬挂在天花板上。分别拉起小球使线伸直呈水平状态，然后轻轻释放，当小球到达最低位置时（　　）
A.两球运动的线速度相等 B.两球的向心加速度相等
C.两球运动的角速度相等 D.细线对两球的拉力不相等
10.（多选）一个物体以一定的初速度竖直上抛，不计空气阻力，如图所示，表示物体的动能Ek随高度h变化的图像A、物体的重力势能Ep随速度v变化的图像B（图线形状为四分之一圆弧）、物体的机械能E随高度h变化的图像C、物体的动能Ek随速度v变化的图像D（图线形状为开口向上的抛物线的一部分），其中可能正确的是（　　）
11.如图所示，质量m＝70 kg的运动员以10 m/s的速度从高 h＝10 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B所在的水平面为参考平面，一切阻力可忽略不计。（取g＝10 m/s2）求运动员：
（1）在A点时的机械能；
（2）到达最低点B时的速度大小；
（3）相对于B点能到达的最大高度。
12.一个设计“过山车”的试验装置的原理示意图如图所示，斜面AB与竖直面内的圆形轨道在B点平滑连接，斜面AB和圆形轨道都是光滑的，圆形轨道半径为R，一个质量为m的小车（可视为质点）在A点由静止释放沿斜面滑下，小车恰能通过圆形轨道的最高点C。已知重力加速度为g。求：
（1）A点距水平面的高度h；
（2）运动到B点时小车对轨道压力的大小。
5　机械能守恒定律
1.B　运动员匀速下落过程中，动能不变，重力势能减小，机械能不守恒，故A错误；抛出的标枪，在不计空气阻力下，只受重力，满足机械能守恒的条件，故B正确；因为小孩在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，而重力势能随高度改变，机械能不守恒，故C错误；压缩的弹簧将小球弹出去的过程中，弹力做正功，小球的动能增加，故小球的机械能增加，所以小球的机械能不守恒，故D错误。
2.BC　飞船升空的阶段，推力做正功，机械能增加，故A错误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受重力作用，重力势能和动能之和保持不变，故B正确；返回舱在大气层外向着地球做无动力飞行阶段，只有重力做功，重力势能减小，动能增加，机械能守恒，故C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，克服空气阻力做功，机械能减小，故D错误。
3.B　重力做正功50 J，则重力势能减小50 J，故A错误，B正确；物体抛下过程，只有重力做功，机械能不变，故C、D错误。
4.BD　双锥体滚动过程中，动能逐渐增加，则重力势能逐渐减小，则重心逐渐下降，选项A错误，B正确；调整使两根筷子平行，则双椎体若沿筷子滚动的话重力势能增加，则不可能向“上”滚动，即实验不可能成功，选项C错误；将双锥体换成圆柱体，则圆柱体若沿筷子滚动的话重力势能增加，机械能增加，这是不可能的，即实验不可能成功，选项D正确。
5.D　助跑加速时，运动员和撑竿的重力势能不变，但运动员和撑竿的总动能增大，则整体的机械能增加，故A错误；从运动员离开地面到手脱离撑竿的过程中，撑竿的形变量先增大再减小，则撑竿的弹性势能先增大再减小，故B错误；撑竿脱离运动员之后会出现弹跳现象，说明撑竿的弹性势能并没有全部转化为运动员的机械能，那么运动员在最高点的重力势能必然小于起跳前人和竿的总动能mv2，故C错误；运动员越过横杆后在空中下落过程中，只有重力做功，其机械能守恒，故D正确。
6.B　由机械能守恒定律知，mg＝mv2，又F＝m，解得F＝mg，选项B正确。
7.C　取重力势能在B处为零势能参考平面，所以在B点处重力势能为零；从A到B过程，由机械能守恒定律得mv2－mgh＝m，可得在B处的动能为EkB＝mv2－mgh；足球的机械能守恒，在B点处的机械能E机＝mv2－mgh，A、B、D错误，C正确。
8.4 m/s　2 m/s
解析：忽略摩擦力和空气阻力作用，且在这一过程中运动员没有做其他动作，则运动员由A点到B点和由B点到C点的过程中，机械能均守恒，
由mghA－mghB＝m，可得vB＝4 m/s
由mghBC＝m－m，可得vC＝2 m/s。
9.B　当小球到达最低位置时，根据机械能守恒有mgL＝mv2，解得v＝，知右边小球线速度大，故A错误；向心加速度a＝＝2g，与L无关，所以两球的向心加速度相等，故B正确；角速度ω＝＝，知两球的角速度不等，故C错误；根据牛顿第二定律有F－mg＝ma，解得F＝mg＋ma＝3mg，所以细绳对两球拉力大小相等，故D错误。
10.ACD　设物体的初速度为v0，物体的质量为m，由机械能守恒定律得m＝mgh＋mv2，所以物体的动能与高度h的关系为Ek＝m－mgh，图像A可能正确；物体的重力势能与速度v的关系为Ep＝m－mv2，则Ep-v图像为开口向下的抛物线（第一象限中的部分），图像B错误；由于竖直上抛运动过程中机械能守恒，所以E-h图像为一平行于h轴的直线，图像C可能正确；由Ek＝mv2知，Ek-v图像为一开口向上的抛物线（第一象限中的部分），所以图像D可能正确。
11.（1）10 500 J　（2）10 m/s　（3）15 m
解析：（1）运动员在A点时的机械能
E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝×70×102 J＋70×10×10 J＝10 500 J。
（2）运动员从A运动到B过程，根据机械能守恒定律得
E＝m，
解得vB＝＝ m/s＝10 m/s。
（3）运动员从A运动到斜坡上最高点过程，
由机械能守恒得E＝mgh'，
解得h'＝ m＝15 m。
12.（1）2.5R　（2）6mg
解析：（1）小车恰能通过最高点C，则有：mg＝
解得：vC＝
由A运动到C，根据机械能守恒定律得：
mgh＝mg·2R＋m
解得：h＝2.5R。
（2）由A运动到B，根据机械能守恒定律得：
mgh＝m
解得：vB＝
小车在B点，由牛顿第二定律得：N－mg＝
解得：N＝6mg
由牛顿第三定律可知，运动到B点时小车对轨道的压力大小为6mg。
2 / 35　机械能守恒定律
核心素养目标 1.知道什么是机械能，理解物体动能和势能的相互转化。 2.理解机械能守恒定律的内容和守恒条件。 3.会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题。 4.通过机械能守恒定律的学习，初步建立能量观念，体会守恒思想。体会利用机械能守恒定律解决问题的便利性。
知识点一　动能和势能的相互转化
1.机械能：动能和势能（包括　　　　　　和　　　　　　）统称为机械能。
2.动能和势能的相互转化
（1）动能与重力势能间的转化
只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。
（2）动能与弹性势能间的转化
只有弹力做功时，若弹力做正功，则弹性势能转化为动能；若弹力做负功，则动能转化为弹性势能。
知识点二　机械能守恒定律
1.内容：在只有　　　　或　　　　做功的系统内，　　　　与　　　　会发生互相转化，但总的机械能保持不变。
2.表达式：m＋mgh2＝m＋mgh1或Ek2＋Ep2＝　　　　　　。
3.应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和　　　　，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算。
知识点三　关于机械能转化与守恒的实验观察
1.只有　　　　做功是系统机械能守恒的必要条件。
2.当摩擦力和空气阻力做功不能忽略时，重力势能不能完全转化为动能，或动能不能完全转化为重力势能，即机械能不守恒。
【情景思辨】
　结合图中情景，判断下列说法的正误。（忽略空气阻力）
（1）如图甲所示，将箭搭在弦上，拉弓的整个过程，弓和箭组成的系统机械能守恒。（　　）
（2）如图乙所示，在动力作用下在轨道上缓慢上行的过山车机械能守恒。（　　）
（3）如图丙所示，蹦床比赛中，运动员（可视为质点）某次离开床垫在空中完成动作的过程，运动员机械能守恒。（　　）
（4）如图丁所示，滑草运动中，某段时间内人与滑板车一起匀速下滑，人与滑板车机械能守恒。（　　）
要点一　机械能守恒的判断
1.对机械能守恒条件的理解
（1）只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。
（2）只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。
（3）只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。
（4）除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零。
2.判断机械能守恒的方法
（1）做功分析法（常用于单个物体）
（2）能量分析法（常用于多个物体组成的系统）
（3）机械能的定义法
机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加。
【典例1】　如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（　　）
A.甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B.乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C.丙图中，不计任何阻力和滑轮质量时A加速下落、B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D.丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.（多选）在下列几个实例中，机械能守恒的是（　　）
A.雨滴接近地面时匀速下落
B.铅球在空中飞行（空气阻力不计）
C.物块沿光滑固定斜面向上滑动
D.运载火箭携带卫星飞离地球
2.光滑水平面上有A、B两木块，A、B之间用一轻弹簧拴接，A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态，若突然撤去力F，则下列说法中正确的是（　　）
A.木块A离开墙壁前，A、B组成的系统机械能守恒
B.木块A离开墙壁后，A、B组成的系统机械能守恒
C.木块A离开墙壁前，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒
D.木块A离开墙壁后，A、B及弹簧组成的系统机械能不守恒
要点二　机械能守恒定律的应用
1.机械能守恒定律的不同表达式
项目 表达式 物理意义 说明
从守恒的 角度看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能 必须先选零势能面
从转化 角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量 不必选零势能面　
从转移 角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
（1）根据题意选取研究对象。
（2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
（3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初状态和末状态的机械能。
（4）根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解。
【典例2】　如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入管道，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力的9倍。求：
（1）释放点距A的竖直高度；
（2）落点C与A的水平距离。
思路引导　根据机械能守恒定律、竖直平面内的圆周运动和平抛运动规律，综合分析求解。
尝试解答
1.质量为m的物体，以水平速度v0离开桌面，若以桌面为零势能面，不计空气阻力，则当它经过离地高度为h的A点时，所具有的机械能是（　　）
A.m＋mgh B.m－mgh
C.m＋mg（H－h） D.m
2.如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求：
（1）弹簧的最大弹性势能；
（2）木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。
要点回眸
1.如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动，在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是（　　）
2.如图所示，质量为m的苹果从距地面高度为H的树上由静止开始下落，树下有一深度为h的坑。若以地面为零势能参考平面，不计空气阻力，则苹果刚要落到坑底时的机械能为（　　）
A.－mgh B.mgH
C.mg（H＋h） D.mg（H－h）
3.如图所示的是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置的一部分，M是半径为R＝1.0 m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01 kg的小钢珠（可视为质点），假设某次发射的小钢珠沿轨道内侧恰好能经过M的上端点水平飞出，g取10 m/s2，弹簧枪的长度不计，则发射该小钢珠前，弹簧的弹性势能为（　　）
A.0.10 J B.0.15 J
C.0.20 J D.0.25 J
4.如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动（不计空气阻力）。
（1）求小球在B、A两点的动能之比；
（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
5　机械能守恒定律
【基础知识·准落实】
知识点一
1.重力势能　弹性势能
知识点二
1.重力　弹力　动能　势能　2.Ek1＋Ep1　3.末状态
知识点三
1.重力或弹力
情景思辨
（1）×　（2）×　（3）√　（4）×
【核心要点·快突破】
要点一
【典例1】　C　若不计空气阻力，题图甲中只有重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，选项A错误；题图乙中物体B除受重力外，还受A的弹力，A的弹力对B做负功，物体B机械能不守恒，但A、B组成的系统机械能守恒，选项B错误；题图丙中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能守恒，选项C正确；题图丁中小球的重力势能转化为小球的动能和橡皮条的弹性势能，小球的机械能不守恒，选项D错误。
素养训练
1.BC　雨滴接近地面时匀速下落，空气阻力做负功，机械能减小，故A错误；空气阻力不计，铅球在空中运动的过程中，只受到重力的作用，所以它的机械能守恒，故B正确；物块沿光滑固定斜面向上滑动，只有重力做功，物块的机械能守恒，故C正确；运载火箭携带卫星飞离地球的过程中，燃料对火箭做正功，机械能增大，故D错误。
2.C　木块A离开墙壁前，弹簧的弹力对B做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，选项A错误，C正确；木块A离开墙壁后，弹簧的弹力对A、B都做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，选项B、D错误。
要点二
【典例2】　（1）3R　（2）（2－1）R
解析：（1）设小球到达B点的速度为v1，因为到达B点时管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，所以有9mg－mg＝m
又由机械能守恒定律得
mg（h＋R）＝m
联立解得h＝3R。
（2）设小球到达最高点的速度为v2，落点C与A的水平距离为x
由机械能守恒定律得
m＝m＋2mgR
由平抛运动规律得R＝gt2
R＋x＝v2t
由此可解得x＝（2－1）R。
素养训练
1.D　物体在运动的过程中只受重力作用，机械能守恒，则A点的机械能等于抛出点的机械能，抛出点的机械能E＝m，则A点的机械能等于m，故D正确，A、B、C错误。
2.（1）50 J　（2）32 J
解析：（1）对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有Epm＝m＝×4×52 J＝50 J。
（2）对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有
m＝m＋Ep1
则Ep1＝m－m＝32 J。
【教学效果·勤检测】
1.C　由A图可知，力F对物体做正功，机械能增加，不守恒，故A错误；由B图可知，力F做负功，机械能减小，故B错误；C图中物体斜面光滑，运动过程中只有重力做功，只有重力势能和动能的相互转化，机械能守恒，故C正确；D图中斜面粗糙，物体下滑中，摩擦力做负功，机械能减小，不守恒，故D错误。
2.B　以地面为重力势能的参考平面，苹果刚下落时的机械能为mgH，下落过程中苹果只受重力，机械能守恒，则知当苹果将要落到坑底时，其机械能等于刚下落时的机械能mgH，故选B。
3.B　设小钢珠在M轨道最高点的速度为v，在最高点，由题意可得mg＝m，从发射前到最高点，由机械能守恒定律有Ep＝mgR＋mv2＝0.15 J，选项B正确。
4.（1）5∶1　（2）见解析
解析：（1）设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg ①
设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg ②
由①②式得EkB∶EkA＝5∶1。 ③
（2）若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0 ④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律有
N＋mg＝m ⑤
由④⑤式得：vC应满足mg≤m ⑥
由机械能守恒定律得mg＝m ⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。
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5　机械能守恒定律
核
心
素
养
目
标 1.知道什么是机械能，理解物体动能和势能的相互转化。
2.理解机械能守恒定律的内容和守恒条件。
3.会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题。
4.通过机械能守恒定律的学习，初步建立能量观念，体会守恒思想。体会利用机械能守恒定律解决问题的便利性。
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一　动能和势能的相互转化
1. 机械能：动能和势能（包括 和 ）统称为
机械能。
2. 动能和势能的相互转化
重力势能　
弹性势能　
（1）动能与重力势能间的转化
只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能；
若重力做负功，则动能转化为重力势能。
（2）动能与弹性势能间的转化
只有弹力做功时，若弹力做正功，则弹性势能转化为动能；
若弹力做负功，则动能转化为弹性势能。
知识点二　机械能守恒定律
1. 内容：在只有 或 做功的系统内， 与
会发生互相转化，但总的机械能保持不变。
2. 表达式：m＋mgh2＝m＋mgh1或Ek2＋Ep2＝ 。
3. 应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和
，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算。
重力　
弹力　
动能　
势
能　
Ek1＋Ep1　
末状
态　
知识点三　关于机械能转化与守恒的实验观察
1. 只有 做功是系统机械能守恒的必要条件。
2. 当摩擦力和空气阻力做功不能忽略时，重力势能不能完全转化为动
能，或动能不能完全转化为重力势能，即机械能不守恒。
重力或弹力　
【情景思辨】
　结合图中情景，判断下列说法的正误。（忽略空气阻力）
（1）如图甲所示，将箭搭在弦上，拉弓的整个过程，弓和箭组成的
系统机械能守恒。 （　×　）
（2）如图乙所示，在动力作用下在轨道上缓慢上行的过山车机械能
守恒。 （　×　）
×
×
（3）如图丙所示，蹦床比赛中，运动员（可视为质点）某次离开床
垫在空中完成动作的过程，运动员机械能守恒。 （　√　）
（4）如图丁所示，滑草运动中，某段时间内人与滑板车一起匀速下
滑，人与滑板车机械能守恒。 （　×　）
√
×
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一　机械能守恒的判断
1. 对机械能守恒条件的理解
（1）只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。
（2）只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。
（3）只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力
势能的相互转化。
（4）除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和
始终为零。
2. 判断机械能守恒的方法
（1）做功分析法（常用于单个物体）
（3）机械能的定义法
机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能
变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加。
（2）能量分析法（常用于多个物体组成的系统）
【典例1】　如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（　　）
A. 甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B. 乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械
能守恒
C. 丙图中，不计任何阻力和滑轮质量时A加速下落、B加速上升过程
中，A、B系统机械能守恒
D. 丁图中，系在橡皮条一端的小球向下摆动时，小球的机械能守恒
解析：若不计空气阻力，题图甲中只有重力和弹力做功，物体A和弹
簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，选项A错误；题
图乙中物体B除受重力外，还受A的弹力，A的弹力对B做负功，物体B
机械能不守恒，但A、B组成的系统机械能守恒，选项B错误；题图丙
中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能
守恒，选项C正确；题图丁中小球的重力势能转化为小球的动能和橡
皮条的弹性势能，小球的机械能不守恒，选项D错误。
1. （多选）在下列几个实例中，机械能守恒的是（　　）
A. 雨滴接近地面时匀速下落
B. 铅球在空中飞行（空气阻力不计）
C. 物块沿光滑固定斜面向上滑动
D. 运载火箭携带卫星飞离地球
解析： 　雨滴接近地面时匀速下落，空气阻力做负功，机械能
减小，故A错误；空气阻力不计，铅球在空中运动的过程中，只受
到重力的作用，所以它的机械能守恒，故B正确；物块沿光滑固定
斜面向上滑动，只有重力做功，物块的机械能守恒，故C正确；运
载火箭携带卫星飞离地球的过程中，燃料对火箭做正功，机械能增
大，故D错误。
2. 光滑水平面上有A、B两木块，A、B之间用一轻弹簧拴接，A靠在
墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状
态，若突然撤去力F，则下列说法中正确的是（　　）
A. 木块A离开墙壁前，A、B组成的系统机械能守恒
B. 木块A离开墙壁后，A、B组成的系统机械能守恒
C. 木块A离开墙壁前，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒
D. 木块A离开墙壁后，A、B及弹簧组成的系统机械能不守恒
解析：　木块A离开墙壁前，弹簧的弹力对B做功，则A、B组成
的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，
选项A错误，C正确；木块A离开墙壁后，弹簧的弹力对A、B都做
功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系
统机械能守恒，选项B、D错误。
要点二　机械能守恒定律的应用
1. 机械能守恒定律的不同表达式
项目 表达式 物理意义 说明
从守恒的角度看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状
态的机械能 必须先选
零势能面
从转化 角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于
势能的减少量 不必选零
势能面　
从转移 角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，
A增加的机械能等于B减少
的机械能
2. 应用机械能守恒定律解题的一般步骤
（1）根据题意选取研究对象。
（2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力
情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。
（3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初状态和
末状态的机械能。
（4）根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解。
【典例2】　如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道半径略大于小
球半径，管道中心到圆心距离为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，
B点在O的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点进
入管道，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力的9
倍。求：
（1）释放点距A的竖直高度；
（2）落点C与A的水平距离。
思路引导　根据机械能守恒定律、竖直平面内的圆周运动和平抛运动
规律，综合分析求解。
答案：（1）3R　（2）（2－1）R
解析：（1）设小球到达B点的速度为v1，因为到达B点时管壁对小球
的弹力大小为小球重力大小的9倍，所以有9mg－mg＝m
又由机械能守恒定律得
mg（h＋R）＝m
联立解得h＝3R。
（2）设小球到达最高点的速度为v2，落点C与A的水平距离为x
由机械能守恒定律得
m＝m＋2mgR
由平抛运动规律得R＝gt2
R＋x＝v2t
由此可解得x＝（2－1）R。
1. 质量为m的物体，以水平速度v0离开桌面，若以桌面为零势能面，
不计空气阻力，则当它经过离地高度为h的A点时，所具有的机械
能是（　　）
A. m＋mgh B. m－mgh
C. m＋mg（H－h） D. m
解析：　物体在运动的过程中只受重力作用，机械能守恒，则A
点的机械能等于抛出点的机械能，抛出点的机械能E＝m，则A
点的机械能等于m，故D正确，A、B、C错误。
2. 如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量
为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹
簧，求：
（1）弹簧的最大弹性势能；
答案： 50 J　
解析：对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有
Epm＝m＝×4×52 J＝50 J。
解析： 对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有
m＝m＋Ep1
则Ep1＝m－m＝32 J。
（2）木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能。
答案： 32 J
要点回眸
03
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
1. 如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其
中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、
B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中
的木块向下运动，图C中的木块向上运动，在这四个图所示的运动
过程中机械能守恒的是（　　）
解析：　由A图可知，力F对物体做正功，机械能增加，不守恒，
故A错误；由B图可知，力F做负功，机械能减小，故B错误；C图
中物体斜面光滑，运动过程中只有重力做功，只有重力势能和动能
的相互转化，机械能守恒，故C正确；D图中斜面粗糙，物体下滑
中，摩擦力做负功，机械能减小，不守恒，故D错误。
2. 如图所示，质量为m的苹果从距地面高度为H的树上由静止开始下
落，树下有一深度为h的坑。若以地面为零势能参考平面，不计空
气阻力，则苹果刚要落到坑底时的
机械能为（　　）
A. －mgh B. mgH
C. mg（H＋h） D. mg（H－h）
解析：　以地面为重力势能的参考平面，苹果刚下落时的机械能
为mgH，下落过程中苹果只受重力，机械能守恒，则知当苹果将要
落到坑底时，其机械能等于刚下落时的机械能mgH，故选B。
3. 如图所示的是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置的一部分，
M是半径为R＝1.0 m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨
道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，
可发射速度不同的质量m＝0.01 kg的小钢珠（可视为质点），假设
某次发射的小钢珠沿轨道内侧恰好能经过M的上端点水平飞出，g
取10 m/s2，弹簧枪的长度不计，则发射该小钢珠前，
弹簧的弹性势能为（　　）
A. 0.10 J B. 0.15 J
C. 0.20 J D. 0.25 J
解析：　设小钢珠在M轨道最高点的速度为v，在最高点，由题意
可得mg＝m，从发射前到最高点，由机械能守恒定律有Ep＝mgR
＋mv2＝0.15 J，选项B正确。
4. 如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定
轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为
。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿
圆弧轨道运动（不计空气阻力）。
（1）求小球在B、A两点的动能之比；
答案：5∶1　
解析： 设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由
机械能守恒定律得EkA＝mg ①
设小球在B点的动能为EkB，同理有
EkB＝mg ②
由①②式得EkB∶EkA＝5∶1。 ③
（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
答案：见解析
解析： 若小球能沿轨道运动到C点，
则小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0 ④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律有
N＋mg＝m ⑤
由④⑤式得：vC应满足mg≤m ⑥
由机械能守恒定律得mg＝m ⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 下列运动过程中，机械能守恒的是（　　）
A. 跳伞运动员在空中匀速下落过程
B. 不计空气阻力，抛出的在空中运动的标枪
C. 不计空气阻力，随摩天轮做匀速圆周运动的小孩
D. 一个处于压缩状态的弹簧把小球弹出去过程中，小球的机械能
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解析：　运动员匀速下落过程中，动能不变，重力势能减小，机
械能不守恒，故A错误；抛出的标枪，在不计空气阻力下，只受重
力，满足机械能守恒的条件，故B正确；因为小孩在竖直平面内做
匀速圆周运动，动能不变，而重力势能随高度改变，机械能不守
恒，故C错误；压缩的弹簧将小球弹出去的过程中，弹力做正功，
小球的动能增加，故小球的机械能增加，所以小球的机械能不守
恒，故D错误。
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2. （多选）神舟号载人飞船从发射至返回的过程中，以下哪些阶段返
回舱的机械能是守恒的（　　）
A. 飞船升空的阶段
B. 只在地球引力作用下，返回舱沿椭圆轨道绕地球运行的阶段
C. 在大气层外，只在地球引力作用下，返回舱飞向地球的阶段
D. 临近地面时返回舱减速下降的阶段
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解析： 　飞船升空的阶段，推力做正功，机械能增加，故A错
误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只受重力作用，重力势
能和动能之和保持不变，故B正确；返回舱在大气层外向着地球做
无动力飞行阶段，只有重力做功，重力势能减小，动能增加，机械
能守恒，故C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，克服空气
阻力做功，机械能减小，故D错误。
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3. 根据最高人民法院的相关《意见》，“故意从高空抛弃物品，尚未
造成严重后果，……可能判处三年以上十年以下有期徒刑……”。
若图中被抛下的物体所受重力做功为50 J，则下列说法正确的是
（　　）
A. 物体重力势能增加了50 J
B. 物体重力势能减少了50 J
C. 物体机械能增加了50 J
D. 物体机械能减少了50 J
解析：　重力做正功50 J，则重力势能减小50 J，故A错误，B正
确；物体抛下过程，只有重力做功，机械能不变，故C、D错误。
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4. （多选）教材中双锥体向“上”滚的迷你实验如图。在书脊上架两
根筷子作为轨道，把双锥体放在较低一端的轨道上，你会发现双锥
体会向“上”滚动。关于这一现象的分析正确的是（　　）
A. 双锥体滚动过程中，重心逐渐上升
B. 双锥体滚动过程中，重心逐渐下降
C. 调整使两根筷子平行，实验也可能成功
D. 将双锥体换成圆柱体，实验不可能成功
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解析： 　双锥体滚动过程中，动能逐渐增加，则重力势能逐渐
减小，则重心逐渐下降，选项A错误，B正确；调整使两根筷子平
行，则双椎体若沿筷子滚动的话重力势能增加，则不可能向“上”
滚动，即实验不可能成功，选项C错误；将双锥体换成圆柱体，则
圆柱体若沿筷子滚动的话重力势能增加，机械能增加，这是不可能
的，即实验不可能成功，选项D正确。
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5. 被称为“亚洲撑竿跳女王”的李玲比赛时的英姿如图所示，撑竿跳
运动的过程大概可以分为助跑、起跳、下落三个阶段。已知李玲和
撑竿总质量为m，某次比赛中，助跑结束时恰好达到最大速度v，
起跳后重心上升高度h后成功越过横杆，落在缓冲海绵垫上，撑竿
脱离运动员之后会出现弹跳现象，重力加速度为g，不计空气阻
力，取地面为零势能面，则下列说法正确的是（　　）
A. 助跑过程中，运动员所处高度不变，运动员
和撑竿整体机械能守恒
B. 从运动员离开地面到手脱离撑竿的过程中，
撑竿的弹性势能不断增大
C. 运动员在最高点的重力势能Ep＝mv2
D. 越过横杆后，落到海绵垫上之前，运动员机械能守恒
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解析：　助跑加速时，运动员和撑竿的重力势能不变，但运动员
和撑竿的总动能增大，则整体的机械能增加，故A错误；从运动员
离开地面到手脱离撑竿的过程中，撑竿的形变量先增大再减小，则
撑竿的弹性势能先增大再减小，故B错误；撑竿脱离运动员之后会
出现弹跳现象，说明撑竿的弹性势能并没有全部转化为运动员的机
械能，那么运动员在最高点的重力势能必然小于起跳前人和竿的总
动能mv2，故C错误；运动员越过横杆后在空中下落过程中，只有
重力做功，其机械能守恒，故D正确。
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6. 如图所示，倾角为30°的斜面连接水平面，在水平面上安装半径为
R的半圆竖直挡板，质量m的小球从斜面上高为处静止释放，到达
水平面恰能贴着挡板内侧运动。不计小球体积，不计摩擦和机械能
损失，则小球沿挡板运动时对挡板
的作用力是（　　）
A. 0.5mg B. mg
C. 1.5mg D. 2mg
解析：　由机械能守恒定律知，mg＝mv2，又F＝m，解得F
＝mg，选项B正确。
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7. 如图所示，一质量为m的足球，以速度v由地面被踢起，当它到达
离地面高度为h的B点处（取B点处所在水平面为参考平面）时，下
列说法正确的是（重力加速度为g，不计空气阻力）（　　）
A. 足球在B点处的重力势能为mgh
B. 足球在B点处的动能为mgh
C. 足球在B点处的机械能为mv2－mgh
D. 足球在B点处的机械能为mv2
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解析：　取重力势能在B处为零势能参考平面，所以在B点处重力
势能为零；从A到B过程，由机械能守恒定律得mv2－mgh＝
m，可得在B处的动能为EkB＝mv2－mgh；足球的机械能守
恒，在B点处的机械能E机＝mv2－mgh，A、B、D错误，C正确。
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8. 如图所示，假设运动员从雪道的最高点A由静止开始滑下，不借助
其他器械，沿光滑的雪道到达跳台的B点时，速度为多少？当他落
到离B点竖直高度为10 m的雪地C点时，速度又是多少？（假设这
一过程中运动员没有做其他动作，忽略摩擦力和空气阻力，取重力
加速度g＝10 m/s2）
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答案：4 m/s　2 m/s
解析：忽略摩擦力和空气阻力作用，且在这一过程中运动员没有做
其他动作，则运动员由A点到B点和由B点到C点的过程中，机械能
均守恒，
由mghA－mghB＝m，可得vB＝4 m/s
由mghBC＝m－m，可得vC＝2 m/s。
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9. 如图所示，质量相同的两个小球，分别用长l和2l的细线悬挂在天
花板上。分别拉起小球使线伸直呈水平状态，然后轻轻释放，当小
球到达最低位置时（　　）
A. 两球运动的线速度相等
B. 两球的向心加速度相等
C. 两球运动的角速度相等
D. 细线对两球的拉力不相等
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解析：　当小球到达最低位置时，根据机械能守恒有mgL＝
mv2，解得v＝，知右边小球线速度大，故A错误；向心加速
度a＝＝2g，与L无关，所以两球的向心加速度相等，故B正确；
角速度ω＝＝，知两球的角速度不等，故C错误；根据牛顿第
二定律有F－mg＝ma，解得F＝mg＋ma＝3mg，所以细绳对两球拉
力大小相等，故D错误。
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10. （多选）一个物体以一定的初速度竖直上抛，不计空气阻力，如图所示，表示物体的动能Ek随高度h变化的图像A、物体的重力势能Ep随速度v变化的图像B（图线形状为四分之一圆弧）、物体的机械能E随高度h变化的图像C、物体的动能Ek随速度v变化的图像D（图线形状为开口向上的抛物线的一部分），其中可能正确的是（　　）
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解析：设物体的初速度为v0，物体的质量为m，由机械能守恒定律得m＝mgh＋mv2，所以物体的动能与高度h的关系为Ek＝m－mgh，图像A可能正确；物体的重力势能与速度v的关系为Ep＝m－mv2，则Ep-v图像为开口向下的抛物线（第一象限中的部分），图像B错误；由于竖直上抛运动过程中机械能守恒，所以E-h图像为一平行于h轴的直线，图像C可能正确；由Ek＝mv2知，Ek-v图像为一开口向上的抛物线（第一象限中的部分），所以图像D可能正确。
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11. 如图所示，质量m＝70 kg的运动员以10 m/s的速度从高 h＝10 m的
滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B所在的水平面为参考平
面，一切阻力可忽略不计。（取g＝10 m/s2）求运动员：
（1）在A点时的机械能；
答案： 10 500 J　
解析：运动员在A点时的机械能
E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgh＝×70×102 J＋70×10×10 J
＝10 500 J。
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（2）到达最低点B时的速度大小；
答案：10 m/s　
解析： 运动员从A运动到B过程，根据机械能守恒定律得
E＝m，
解得vB＝＝ m/s＝10 m/s。
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（3）相对于B点能到达的最大高度。
答案： 15 m
解析：运动员从A运动到斜坡上最高点过程，
由机械能守恒得E＝mgh'，
解得h'＝ m＝15 m。
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12. 一个设计“过山车”的试验装置的原理示意图如图所示，斜面AB
与竖直面内的圆形轨道在B点平滑连接，斜面AB和圆形轨道都是
光滑的，圆形轨道半径为R，一个质量为m的小车（可视为质点）
在A点由静止释放沿斜面滑下，小车恰能通过圆形轨道的最高点
C。已知重力加速度为g。求：
（1）A点距水平面的高度h；
答案： 2.5R　
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解析： 小车恰能通过最高点C，则有：
mg＝
解得：vC＝
由A运动到C，根据机械能守恒定律得：
mgh＝mg·2R＋m
解得：h＝2.5R。
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（2）运动到B点时小车对轨道压力的大小。
答案：6mg
解析： 由A运动到B，根据机械能守恒定律得：
mgh＝m
解得：vB＝
小车在B点，由牛顿第二定律得：N－mg＝
解得：N＝6mg
由牛顿第三定律可知，运动到B点时小车对轨道的压力大小为6mg。
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