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同济大学附属七一中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．集合{x|5＜x＜9，x∈N}，用列举法可表示为　 ．
2．已知 且α是第二象限角，则
3．已知“x≥3”是“x≥a”的充分非必要条件，则实数a的取值范围　 　 ．
4．当x＞0时，x＋的最小值为　 ．
5．函数的定义域为　 ．
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c；若b＝6，a＝2c，B，则△ABC的面积为　 ．
7．已知偶函数f（x）部分图象如图所示，且f（3）＝0，则不等式xf（x）＜0的解集为 　 　 ．
8．如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，
则此圆锥的体积为 .
9．已知函数+，则
若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是 .
已知函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是 .
12．已知函数（且）的图像恒过定点，且点在直线上，
则的最小值为 ．
二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）
13．若关于x的二次不等式恒成立，则一定有　　
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
14．下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
15．已知．在内的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．设函数，现有如下命题，①若方程有四个不同的实根、、、，
则的取值范围是；②方程的不同实根的个数只能是1，2，3，8.
下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17．（本题满分14分）
在直三棱柱中,若E为AC中点，求：
（1）直三棱柱 表面积和体积；（2）直线与平面所成角大小.
18．（本题满分14分）
已知向量
（1）设 且 求θ的值；
（2）在△ABC中, 且C的面积为 求 的值.
某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以
近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本；（2）若每吨产品的平均出厂价为
24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润 并求最大利润.
20．已知函数为R上的奇函数．
（1）求b的值，并用定义证明函数f（x）的单调性；（2）求不等式的解集；（3）设g（x）＝lnx+mx2，若对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[0，2]，使得g（x1）＝f（x2）成立，求实数m的取值范围．
21．已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有．
（1）若，，求实数a的取值范围；（2）证明：方程至多只有一个实根；
（3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有.
同济大学附属七一中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分 ）
1．{6，7，8} 2． 3. 4．6 5． 6. 6 7. （﹣∞，﹣3）∪（0，3）
8． 9. 10．（﹣∞，0）∪（0，3） 11． 12.8
6.【详解】因为b＝6，a＝2c，B，所以由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得62＝（2c）2+c2﹣2×（2c）×c3c2，
解得c2＝12，可得c＝2，a＝4，则△ABC的面积SacsinB46．
7.【详解】根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象，
由xf（x）＜0，当x＞0时，f（x）＜0，结合图象可得0＜x＜3；
当x＜0时，f（x）＞0，可得x＜﹣3，
所以xf（x）＜0的解为{x|x＜﹣3或0＜x＜3}．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
8.【详解】设圆锥的母线长为l，所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：，
所以l＝3，所以圆锥的高．故圆锥的体积为：；故答案为：．
10.【详解】∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+1恰好有三个单调区间，∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1＝0有两个不相等的零点，
则只需满足：，解得a＜3且a≠0．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，3）．
二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. B 14.B 15. D 16. C
13．B【详解】由题意关于x的二次不等式恒成立，得：，即，故选B．
14．B【详解】解：对于A选项，函数为奇函数，在定义域上无单调性，故错误；对于B选项，
函数为奇函数，当时，为减函数，故函数在定义域内为减函数，故B正确；
对于C，由于函数均为增函数，故在定义域内为单调递增函数，故C错误；
对于D选项，函数为非奇非偶函数，故错误；故选：B.
D【详解】因为，所以，又因为的值域为，结合余弦函数图象
（如下图）：可知，
所以解得，故选：D.
16．C【详解】当时，，图象为抛物线的一部分，抛物线开口向下，对称轴为，顶点为，过和；当时，，图象过，如图所示.
对于①，当方程有四个不同的实根、、、时，
不妨假设，则，
，
且，，所以，所以，
因此 ，，
所以，故①为真命题；对于②，方程等价于且，所以或，当时，，由的图象得有2个不同实根，
有4个不同实根，故原方程有6个不同实根；当时，，由的图象得
有3个不同实根，故原方程有3个不同实根；当时，，由的图象得有4个不同实根，有2个不同实根，故原方程有6个不同实根；当时，，由的图象得
有1个实根，故原方程有1个实根；当且时，且，由的图象得
有1个实根，有1个实根，故原方程有2个不同实根；综上所述，方程的不同实根的个数可能是1，2，3，6；故②为假命题；故选：C
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17.（1）3+，；（2）arcsin.
18.（1）或 ；（2） .
19．（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【分析】（1）列出式子，通过基本不等式即可求得；（2）将式子化简后，通过二次函数的角度求得最大值.
【详解】（1），∴，当且仅当时，
即取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；
（2），又，
∴当时，；答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
20．（1）因为f（x）为奇函数，所以，
解得b＝﹣2，所以，下面用定义法证明单调性： x1，x2∈R，且x1＜x2，
则，因为x1＜x2，所以，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在R上单调递增；
（2）由（1）知f（x）在R上单调递增，且为奇函数，故不等式
，即，整理得，即，解得，故不等式解集为；
因为f（x）在R上单调递增，所以在区间[0，2]上，，f（x）min＝f（0）＝0，
故，当m＜0时，g（1）＝ln1+m＜0，不存在符合题意的x2；
当m≥0时，g（x）＝lnx+mx2在区间[1，e]上为增函数，要使对任意的x1∈[1，e]，总存在x2∈[0，2]，
使得g（x1）＝f（x2）成立，则需，即，解得，即．
21．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据题意，将问题转化成恒成立问题，即在上恒成立，再利用函数的单调性即可求出结果；（2）构造函数，由题易知在定义域上严格单调，从而得到证明；
（4）利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，
得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论.
【详解】（1）因为，，所以，由题意知，在上恒成立，
即在上恒成立，所以，即在上恒成立，
令，易知，在上，函数和均单调递增，所以；
（2）令，故，所以函数是严格减函数，故至多只有一个实根；
（3）设的最大值为，最小值为，在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，设，，
因为函数是周期为2，取一个周期，且，则有，
若，则成立；若，设，即，
故，且，则，
所以成立，
综上，对任意实数，都成立，所以原式得证．

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