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习题课5　变力做功和机车启动的问题
1.质量为5 t的汽车，在水平路面上以加速度a＝2 m/s2启动，所受阻力大小恒为1.0×103 N，汽车启动后第1 s末发动机的瞬时功率是（　　）
A.2 kW B.22 kW
C.1.1 kW D.20 kW
2.静置于水平地面上质量为1 kg的物体，在水平拉力F＝4＋2x（式中F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m）作用下，沿水平方向移动了5 m。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，取重力加速度g＝10 m/s2，则在物体移动5 m的过程中拉力所做的功为（　　）
A.35 J B.45 J
C.55 J D.65 J
3.一物体所受的力F随位移l发生如图所示的变化，这一过程中，力F对物体所做的功为（　　）
A.7 J　 B.8 J
C.6 J D.－6 J
4.质量为m的汽车启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的阻力大小一定。当汽车速度为v时，汽车做匀速运动；当汽车速度为时，汽车的瞬时加速度大小为（　　）
A. B.
C. D.
5.（多选）如图所示，人以大小恒为10 N的拉力通过一根轻绳拉船，人收绳的速度恒为1 m/s，将船从A位置拉到B位置，A、B位置轻绳与水平方向的夹角分别为30°和60°，A、B间的水平距离为4 m，则（　　）
A.A位置船速大小为 m/s
B.B位置船速大小为2 m/s
C.船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功为20 J
D.船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功为40（－1）J
6.质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止向上开始运动。汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动，g取10 m/s2。求：
（1）汽车做匀加速运动的时间t1；
（2）汽车所能达到的最大速率。
7.（多选）一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的有用功率达到最大值P，之后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升为止，重物上升的高度为h，重力加速度为g，则整个过程中，下列说法正确的是（　　）
A.钢绳的最大拉力为 B.钢绳的最大拉力为
C.重物的最大速度v2＝ D.重物匀加速运动的加速度为－g
8.（多选）质量为2×103 kg、发动机的额定功率为80 kW的汽车在平直公路上行驶。若该汽车所受阻力大小恒为4×103 N，则下列判断中正确的有（　　）
A.汽车的最大速度是10 m/s
B.汽车以2 m/s2的加速度匀加速启动，启动后第2 s末发动机的实际功率是32 kW
C.汽车以2 m/s2的加速度匀加速启动，匀加速运动所能维持的时间为10 s
D.若汽车保持额定功率启动，则当其速度为5 m/s时，加速度为6 m/s2
9.一汽车在平直公路上行驶，从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小F阻恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是（　　）
10.一赛车在平直赛道上以恒定功率200 kW加速，受到的阻力不变，加速度a和速度v的倒数的关系如图所示，则赛车（　　）
A.做匀加速直线运动 B.质量为200 kg
C.所受阻力大小为2 000 N D.v'＝50 m/s时牵引力大小为2 000 N
11.一台起重机将静止在地面上质量m＝1×103 kg的货物匀加速竖直吊起，在2 s末货物的速度v＝4 m/s（取g＝10 m/s2，不计额外功）。若起重机的额定功率为60 kW，求：
（1）起重机在这2 s内的平均功率；
（2）货物匀加速运动的最长时间及运动过程中能达最大的速度。
习题课5　变力做功和机车启动的问题
1.B　根据牛顿第二定律得：F－F阻＝ma，则F＝F阻＋ma＝1 000 N＋5 000×2 N＝11 000 N，汽车第1 s末的速度大小为v＝at＝2×1 m/s＝2 m/s，所以汽车启动后第1 s末发动机的瞬时功率为：P＝Fv＝11 000×2 W＝22 000 W＝22 kW，故B正确。
2.B　水平拉力F＝4＋2x，则在物体移动5 m的过程中拉力的平均值为＝ N＝9 N，所以在这一过程中拉力所做的功W＝x＝9×5 J＝45 J，故选B。
3.C　力F对物体做的功等于l轴上方的正功（梯形面积）与l轴下方的负功（三角形面积）的代数和。S梯形＝×（4＋3）×2 J＝7 J，S三角形＝－×（5－4）×2 J＝－1 J，所以力F对物体做的功为W＝7 J－1 J＝6 J，故选C。
4.C　当汽车速度为v时，汽车做匀速运动，则F＝F阻
根据功率与速度的关系得P＝Fv，汽车受到的阻力大小为F阻＝F＝
当车速为时，根据功率与速度的关系得，P＝F1·，则F1＝，根据牛顿第二定律得F1－F阻＝ma，
解得汽车的瞬时加速度的大小为a＝，故选C。
5.BD　根据速度的合成与分解，可得A位置船速大小为vA＝＝ m/s，故A错误；同理可得B位置船速大小为vB＝＝2 m/s，故B正确；船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功W＝F＝10×J＝40（－1）J，故C错误，D正确。
6.（1）7 s　（2）8 m/s
解析：选汽车为研究对象，汽车上坡时受力分析如图所示。
（1）汽车开始以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动，因为牵引力不变，根据P＝Fv，随着速度的增大，汽车的功率增大。当汽车的输出功率达到额定功率时，汽车的功率不能再增大，匀加速运动阶段结束，此时有P＝Fv1，v1是匀加速运动的末速度，此过程的时间为t1，则
v1＝at1，又F－mgsin 30°－f＝ma
联立以上方程解得t1＝7 s。
（2）汽车的功率达到额定功率后，做加速度减小的加速运动，随着速度增大，牵引力减小。当牵引力等于阻力时，合外力为零时，速度达到最大值，此时有
F'－mgsin 30°－f＝0，P＝F'vm
由此解得vm＝8 m/s。
7.BCD　由F－mg＝ma和P＝Fv可知，重物匀加速上升过程中钢绳拉力大于重力且不变，达到最大功率P后，随着v增加，钢绳拉力F变小，当F＝mg时重物达到最大速度v2，故v2＝；最大拉力Fm＝mg＋ma＝，a＝－g，故A错误，B、C、D正确。
8.BD　当牵引力大小等于阻力大小时速度最大，根据P＝F阻vm得，汽车的最大速度vm＝＝ m/s＝20 m/s，故A错误；根据牛顿第二定律得F－F阻＝ma，解得F＝F阻＋ma＝4 000 N＋2 000×2 N＝8 000 N，第2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，第2 s末发动机的实际功率P1＝Fv＝8 000×4 W＝32 kW，故B正确；匀加速直线运动的末速度v1＝＝ m/s＝10 m/s，做匀加速直线运动的时间t'＝＝ s＝5 s，故C错误；当汽车速度为5 m/s时，牵引力F'＝＝ N＝16 000 N，根据牛顿第二定律得汽车的加速度a'＝＝ m/s2＝6 m/s2，故D正确。
9.A　在v-t图像中，图线的斜率代表汽车运动时的加速度。由牛顿第二定律可得，在0～t1时间内，－F阻＝ma，当速度v不变时，加速度a为零，在v-t图像中为一条水平线；当速度v变大时，加速度a变小，在v-t图像中为一条斜率逐渐减小的曲线，所以选项B、D错误。同理，在t1～t2时间内－F阻＝ma'，图像变化情况与0～t1时间内情况相似，由于汽车在运动过程中速度不会发生突变，选项A正确，C错误。
10.C　由题图可知，加速度变化，赛车不是做匀加速直线运动，故A错误；当赛车的速度最大时，加速度为零，由题图可知最大速度v＝100 m/s，此时有P＝F阻v，可得F阻＝2 000 N，故C正确；图线的反向延长线与纵轴的交点为a0＝－4 m/s2，根据牛顿第二定律有F－F阻＝ma，其中F＝，可得－F阻＝ma，则有a＝－，此时有F阻＝－ma0，可得m＝500 kg，故B错误；v'＝50 m/s时，F'＝＝ N＝4 000 N，故D错误。
11.（1）2.4×104 W　（2）2.5 s　6 m/s
解析：（1）依题意，由运动学公式可知货物的加速度为
a＝＝ m/s2＝2 m/s2
货物在2 s内上升的高度为h＝at2＝4 m
由牛顿第二定律可得F－mg＝ma
F＝1.2×104 N
起重机牵引力做功为W＝Fh＝4.8×104 J
起重机在这2 s内的平均输出功率P＝＝2.4×104 W。
（2）由功率公式可得匀加速直线运动的末速度v'＝＝ m/s＝5 m/s
货物匀加速运动的最长时间tm＝＝ s＝2.5 s
当起重机牵引力等于货物重力时货物速度最大，则有
vm＝＝ m/s＝6 m/s。
1 / 2习题课5　变力做功和机车启动的问题
核心素养目标 1.掌握变力做功的几种常用方法，并会求变力所做的功。 2.理解机车启动的两种方式，会分析生产生活中机车启动过程中物理量的变化。
要点一　 求变力做功的常用方法
1.用W＝Pt求功
当牵引力为变力，且发动机的功率一定时，由功率的定义式P＝，可得W＝Pt，求功。
2.用图像法求功
若已知F-x图像和P-t图像，则F-x图像中图线与x轴所围的面积及P-t图像中图线与t轴所围的面积表示功。如图甲所示，在位移x0内力F做的功W＝x0。在图乙中，0～t0时间内做功W＝·t0。
3.用平均力求功
若力F随位移x线性变化，则可以用一段位移内的平均力求功，如将劲度系数为k的弹簧由原长拉长x时，克服弹力做的功W＝x＝·x＝kx2。
4.用微元法求功
功的公式只能计算恒力做功，若一个力的大小不变，只改变方向时，可将运动过程分成很多小段，每一小段内F可看成恒力，求出每一小段内力F做的功，然后累加起来得到整个过程中变力所做的功。
例如物体在水平面上做曲线运动，所受摩擦力大小为μmg，路程为s，采用微元法求摩擦力做的功：
W1＝－μmgΔs1
W2＝－μmgΔs2
W3＝－μmgΔs3
……
W＝W1＋W2＋W3＋…＝－μmg（Δs1＋Δs2＋Δs3＋…）＝－μmgs。
【典例1】　在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为和R的两个半圆构成。如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同，则此过程中拉力所做的功为（　　）
A.0 B.FR C.πFR D.2πFR
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例2】　一物体在运动中受水平拉力F的作用，已知F随运动距离x的变化情况如图所示，则在0～8 m的运动过程中F做的功为（　　）
A.4 J B.6 J C.18 J D.22 J
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是（　　）
A.（－1）d B.（－1）d
C. D.d
2.（多选）如图所示，质量为m的物体静止在光滑的水平面上，物体在下列四种变化规律不同的合外力F作用下都通过相同的位移x0，下列说法正确的是（　　）
A.甲图和乙图合外力做功相等 B.丙图和丁图合外力做功相等
C.四个图合外力做功均相等 D.四个图中合外力做功最多的是丙图
要点二　机车的两种启动方式
　两种启动方式的比较
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和v-t图像
OA 段 过程分析 v↑→F＝↓→a＝↓ a＝（不变）→F不变→P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB 段 过程分析 F＝f、a＝0、f＝ v↑→F＝↓→a＝↓
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 F＝f→a＝0→以vm＝匀速运动
【典例3】　在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力大小恒定，且为车重力的0.1倍（g取10 m/s2），则：
（1）若汽车以不变的额定功率从静止启动，汽车的加速度如何变化？
（2）当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？
（3）汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少？
尝试解答
【典例4】　目前，上海有若干辆超级电容车试运行，运行中无需连接电缆，只需在乘客上车间隙充电30秒到1分钟，就能行驶3到5千米。现有一辆超级电容车，质量m＝2×103 kg，额定功率P＝60 kW，假设该超级电容车启动时与机动车启动模式相同，它在平直水平路面上行驶时，受到的阻力f是车重的0.1倍，g取10 m/s2；
（1）超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？
（2）若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程中牵引力为多大？能维持多长时间？
尝试解答
规律方法
机车启动问题中几个物理量的求法
　　分析机车启动问题，要抓住两个核心方程：牛顿第二定律方程F－f＝ma，联系着力和速度的方程P＝Fv，结合v-t图像进行分析。
（1）机车的最大速度vm的求法
机车最终匀速前进时速度最大，此时牵引力F大小等于阻力大小f，故vm＝＝。
（2）匀加速启动持续时间的求法
牵引力F＝ma＋f，匀加速的最后速度vm'＝，时间t＝。
（3）瞬时加速度的求法
根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。
1.（多选）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v-t图像如图所示，已知汽车的质量m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1倍，（g＝10 m/s2）则（　　）
A.汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N
B.汽车的额定功率为120 kW
C.汽车的最大速度为vm＝30 m/s
D.当汽车速度为20 m/s时，汽车加速度大小为2 m/s2
2.一列高速列车总质量m＝465 t，其额定功率P＝5 300 kW，在水平直轨道上行驶时，轨道对列车的阻力F阻是车重的0.018。列车以额定功率工作，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
（1）当行驶速度v＝10 m/s时，列车的牵引力和加速度的大小；
（2）列车在水平直轨道上行驶的最大速度的大小。
1.以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为（　　）
A.0 B.－Fh
C.－2Fh D.Fh
2.在机械化生产水平较低时，人们经常通过“拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用。如图所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F，方向与磨杆始终垂直，作用点到轴心O的距离为r，磨盘绕轴缓慢转动，则在转动一周的过程中推力F做的功为（　　）
A.0 B.2πrF
C.2Fr D.－2πrF
3.我国自主研发的第一艘平流层飞艇“圆梦”号试飞成功。若飞艇在平流层水平匀速飞行时，所受空气阻力与飞行速度成正比。若匀速飞行速度为v时，动力系统的输出功率为P，则匀速飞行速度为2v时，动力系统的输出功率是多少？
4.质量m＝2×103 kg的汽车，发动机额定功率为P＝80 kW，若汽车在平直公路上行驶时，所受阻力恒为F阻＝4×103 N，那么：
（1）汽车在公路上能达到的最大行驶速度vm是多少；
（2）若汽车以额定功率起动，当速度为5 m/s时，加速度a是多少。
习题课5　变力做功和机车启动的问题
【核心要点·快突破】
要点一
【典例1】　C　小球受到的拉力F在整个过程中大小不变，方向时刻变化，是变力。但是，如果把圆周分成无数微小的弧段，每一小段可近似看成直线，拉力F在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公式计算，然后将各段做功累加起来。设每一小段的长度分别为l1、l2、…、ln，拉力在每一段上做的功W1＝Fl1、W2＝Fl2、…、Wn＝Fln，拉力在整个过程中所做的功W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F（l1＋l2＋…＋ln）＝F＝πFR。
【典例2】　C　根据W＝Fx可知，力F做的功等于F-x图像的面积，x轴上方为正功，x轴下方为负功，总功为三部分的代数和，则W＝（2×2－2×1＋4×4）J＝18 J，故选C。
素养训练
1.B　在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题。由于力与深度成正比，可先求出平均力，再用功的计算公式求解。设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度d的关系满足F＝kd，由题意得，第一次做功W＝d＝d，第二次做功W＝d'＝d'，联立以上两式得d'＝－（＋1）d（舍去）或d'＝（－1）d，故B正确。
2.AD　F-x图像中，图线与x轴围成的面积表示力F所做的功，由题图可知，甲、乙所围的面积相等，丙所围的面积最大，丁所围的面积最小，故W丙＞W甲＝W乙＞W丁，选项A、D正确。
要点二
【典例3】　见解析
解析：（1）若汽车以不变的额定功率从静止启动，v变大，由P额＝Fv知，牵引力F减小，根据牛顿第二定律有F－f＝ma，可知汽车的加速度逐渐减小到零。
（2）F－f＝ma1，P额＝Fv1
联立解得：v1＝ m/s。
（3）当汽车速度达到最大时，a2＝0，F'＝f，P＝P额，故
vmax＝＝ m/s＝10 m/s。
【典例4】　（1）30 m/s　（2）3 000 N　40 s
解析：（1）当超级电容车速度达到最大时，超级电容车的牵引力与阻力平衡，即F＝f＝kmg＝2 000 N
根据P＝fvm
解得vm＝＝30 m/s。
（2）超级电容车做匀加速运动，由牛顿第二定律得
F1－f＝ma
解得F1＝3 000 N
设超级电容车刚达到额定功率时的速度为v1，P＝F1v1
解得v1＝＝20 m/s
设超级电容车匀加速运动的时间为t，则v1＝at
解得t＝＝40 s。
素养训练
1.BD　汽车在前5 s内做匀加速运动，加速度a＝3 m/s2，由牛顿第二定律F－f＝ma得F＝f＋ma＝（0.1×2×103×10＋2×103×3）N＝8×103 N，A错误；汽车在5 s末功率达到额定功率P＝Fv＝8×103×15 W＝120 kW，B正确；当牵引力等于阻力时，汽车达最大速度，则最大速度vm＝＝＝60 m/s，C错误；当汽车速度为20 m/s时，则F1＝＝＝6 000 N，F1－f＝ma1，解得a1＝2 m/s2，D正确。
2.（1）5.3×105 N　0.96 m/s2　（2）63.3 m/s
解析：（1）由题意可知F阻＝0.018mg，设列车以额定功率工作，当行驶速度v＝10 m/s时，牵引力为F1；行驶速度达到最大值时，牵引力为F2，由P＝F1v，得F1＝＝ N＝5.3×105 N，根据牛顿第二定律，有F1－F阻＝ma，解得a＝0.96 m/s2，列车的加速度方向与牵引力方向一致。
（2）当F2＝F阻时，列车行驶速度最大，此时P＝F阻vmax，得vmax＝＝63.3 m/s，列车的最大行驶速度方向与牵引力方向一致。
【教学效果·勤检测】
1.C　把运动的全过程分成两段，上升过程中空气阻力对小球做的功W1＝Fhcos 180°＝－Fh；下降过程中空气阻力对小球做的功W2＝Fhcos 180°＝－Fh，所以全过程中空气阻力对小球做的功为W＝W1＋W2＝－2Fh，故C正确。
2.B　由题可知，推磨杆的力的大小始终为F，方向与磨杆始终垂直，即其方向与瞬时速度方向相同，为圆周切线方向，根据微元法可知，推力对磨盘所做的功等于推力的大小与推力作用点沿圆周运动弧长的乘积，所以推力所做的功W＝FL＝2πrF，故选项B正确。
3.4P
解析：设当飞艇以速度v匀速飞行时，所受空气阻力为F阻，则P＝F阻v。由题意可知，当匀速飞行速度为2v时，所受空气阻力为2F阻，所以此时动力系统输出的功率P1＝2F阻·2v＝4P。
4.（1）20 m/s　（2）6 m/s2
解析：（1）当a＝0，即F＝F阻时，汽车速度达到vm，根据P＝Fvm＝F阻vm
代入数据可得vm＝20 m/s。
（2）当v＝5 m/s时，根据P＝Fv
代入数据可得F＝1.6×104 N
根据牛顿第二定律有F－F阻＝ma
代入数据可得a＝6 m/s2。
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习题课5　变力做功和机车启动的问题
核心
素养目标 1.掌握变力做功的几种常用方法，并会求变力所做的功。
2.理解机车启动的两种方式，会分析生产生活中机车启动过
程中物理量的变化。
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　 求变力做功的常用方法
1. 用W＝Pt求功
当牵引力为变力，且发动机的功率一定时，由功率的定义式P＝
，可得W＝Pt，求功。
2. 用图像法求功
若已知F-x图像和P-t图像，则F-x图像中图线与x轴所围的面积及P-t
图像中图线与t轴所围的面积表示功。如图甲所示，在位移x0内力F
做的功W＝x0。在图乙中，0～t0时间内做功W＝·t0。
3. 用平均力求功
若力F随位移x线性变化，则可以用一段位移内的平均力求功，如
将劲度系数为k的弹簧由原长拉长x时，克服弹力做的功W＝x＝
·x＝kx2。
4. 用微元法求功
功的公式只能计算恒力做功，若一个力的大小不变，只改变方
向时，可将运动过程分成很多小段，每一小段内F可看成恒力，
求出每一小段内力F做的功，然后累加起来得到整个过程中变力
所做的功。
例如物体在水平面上做曲线运动，所受摩擦力大小为μmg，路程为
s，采用微元法求摩擦力做的功：
W1＝－μmgΔs1
W2＝－μmgΔs2
W3＝－μmgΔs3
……
W＝W1＋W2＋W3＋…＝－μmg（Δs1＋Δs2＋Δs3＋…）＝－μmgs。
【典例1】　在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为和R的两
个半圆构成。如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉
至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同，则此过程中拉力所
做的功为（　　）
A. 0 B. FR
D. 2πFR
解析：小球受到的拉力F在整个过程中大小不变，方向时刻变化，是
变力。但是，如果把圆周分成无数微小的弧段，每一小段可近似看成
直线，拉力F在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公
式计算，然后将各段做功累加起来。设每一小段的长度分别为l1、
l2、…、ln，拉力在每一段上做的功W1＝Fl1、W2＝Fl2、…、Wn＝
Fln，拉力在整个过程中所做的功W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F（l1＋l2
＋…＋ln）＝F＝πFR。
【典例2】　一物体在运动中受水平拉力F的作用，已知F随运动距离x的变化情况如图所示，则在0～8 m的运动过程中F做的功为（　　）
A. 4 J B. 6 J
C. 18 J D. 22 J
解析：根据W＝Fx可知，力F做的功等于F-x图像的面积，x轴上方为
正功，x轴下方为负功，总功为三部分的代数和，则W＝（2×2－2×1
＋4×4）J＝18 J，故选C。
1. 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度
成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时
对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是
（　　）
解析：　在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成
正比地增加，这属于变力做功问题。由于力与深度成正比，可先求
出平均力，再用功的计算公式求解。设木板对钉子的阻力F与钉进
木板的深度d的关系满足F＝kd，由题意得，第一次做功W＝d＝
d，第二次做功W＝d'＝d'，联立以上两式得d'＝
－（＋1）d（舍去）或d'＝（－1）d，故B正确。
2. （多选）如图所示，质量为m的物体静止在光滑的水平面上，物体
在下列四种变化规律不同的合外力F作用下都通过相同的位移x0，
下列说法正确的是（　　）
A. 甲图和乙图合外力做功相等
B. 丙图和丁图合外力做功相等
C. 四个图合外力做功均相等
D. 四个图中合外力做功最多的是丙图
解析： 　F-x图像中，图线与x轴围成的面积表示力F所做的功，由题图可知，甲、乙所围的面积相等，丙所围的面积最大，丁所围的面积最小，故W丙＞W甲＝W乙＞W丁，选项A、D正确。
要点二　机车的两种启动方式
　两种启动方式的比较
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和v-t图像
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
O
A 段 过程 分析
运动性质 加速度减小的加速直
线运动
A
B 段 过程分析
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段
【典例3】　在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为
10 t，设阻力大小恒定，且为车重力的0.1倍（g取10 m/s2），则：
（1）若汽车以不变的额定功率从静止启动，汽车的加速度如何变化？
解析： 若汽车以不变的额定功率从静止启动，v变大，由P
额＝Fv知，牵引力F减小，根据牛顿第二定律有F－f＝ma，可知
汽车的加速度逐渐减小到零。
答案：见解析
（2）当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？
解析： F－f＝ma1，P额＝Fv1
联立解得：v1＝ m/s。
（3）汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少？
解析： 当汽车速度达到最大时，a2＝0，F'＝f，P＝P
额，故vmax＝＝ m/s＝10 m/s。
【典例4】　目前，上海有若干辆超级电容车试运行，运行中无需连
接电缆，只需在乘客上车间隙充电30秒到1分钟，就能行驶3到5千
米。现有一辆超级电容车，质量m＝2×103 kg，额定功率P＝60 kW，
假设该超级电容车启动时与机动车启动模式相同，它在平直水平路面
上行驶时，受到的阻力f是车重的0.1倍，g取10 m/s2；
（1）超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？
答案：30 m/s　
解析：当超级电容车速度达到最大时，超级电容车的牵引
力与阻力平衡，即F＝f＝kmg＝2 000 N
根据P＝fvm
解得vm＝＝30 m/s。
（2）若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直
线运动，这一过程中牵引力为多大？能维持多长时间？
答案：3 000 N　40 s
解析：超级电容车做匀加速运动，由牛顿第二定律得F1－f＝ma
解得F1＝3 000 N
设超级电容车刚达到额定功率时的速度为v1，P＝F1v1
解得v1＝＝20 m/s
设超级电容车匀加速运动的时间为t，则v1＝at
解得t＝＝40 s。
规律方法
机车启动问题中几个物理量的求法
　　分析机车启动问题，要抓住两个核心方程：牛顿第二定律方程F
－f＝ma，联系着力和速度的方程P＝Fv，结合v-t图像进行分析。
（1）机车的最大速度vm的求法
机车最终匀速前进时速度最大，此时牵引力F大小等于阻力大小
f，故vm＝＝。
（2）匀加速启动持续时间的求法
牵引力F＝ma＋f，匀加速的最后速度vm'＝，时间t＝。
（3）瞬时加速度的求法
根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。
1. （多选）一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加
速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v-t
图像如图所示，已知汽车的质量m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻
力为车重的0.1倍，（g＝10 m/s2）则（　　）
A. 汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N
B. 汽车的额定功率为120 kW
C. 汽车的最大速度为vm＝30 m/s
D. 当汽车速度为20 m/s时，汽车加速度大小为2 m/s2
解析： 　汽车在前5 s内做匀加速运动，加速度a＝3 m/s2，由牛
顿第二定律F－f＝ma得F＝f＋ma＝（0.1×2×103×10＋
2×103×3）N＝8×103 N，A错误；汽车在5 s末功率达到额定功率
P＝Fv＝8×103×15 W＝120 kW，B正确；当牵引力等于阻力时，
汽车达最大速度，则最大速度vm＝＝＝60 m/s，C错误；当
汽车速度为20 m/s时，则F1＝＝＝6 000 N，F1－f＝ma1，解得a1＝2 m/s2，D正确。
2. 一列高速列车总质量m＝465 t，其额定功率P＝5 300 kW，在水平
直轨道上行驶时，轨道对列车的阻力F阻是车重的0.018。列车以额
定功率工作，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
（1）当行驶速度v＝10 m/s时，列车的牵引力和加速度的大小；
答案： 5.3×105 N　0.96 m/s2　
解析： 由题意可知F阻＝0.018mg，设列车以额定功率工
作，当行驶速度v＝10 m/s时，牵引力为F1；行驶速度达到最
大值时，牵引力为F2，由P＝F1v，得F1＝＝ N＝
5.3×105 N，根据牛顿第二定律，有F1－F阻＝ma，解得a＝
0.96 m/s2，列车的加速度方向与牵引力方向一致。
（2）列车在水平直轨道上行驶的最大速度的大小。
答案： 63.3 m/s
解析：当F2＝F阻时，列车行驶速度最大，此时P＝F阻
vmax，得vmax＝＝63.3 m/s，列车的最大行驶速度方向与牵
引力方向一致。
02
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
1. 以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为
h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出到落回到抛出点的过程中，
空气阻力对小球做的功为（　　）
A. 0 B. －Fh
C. －2Fh D. Fh
解析：　把运动的全过程分成两段，上升过程中空气阻力对小球
做的功W1＝Fhcos 180°＝－Fh；下降过程中空气阻力对小球做的
功W2＝Fhcos 180°＝－Fh，所以全过程中空气阻力对小球做的功
为W＝W1＋W2＝－2Fh，故C正确。
2. 在机械化生产水平较低时，人们经常通过“拉磨”的方式把粮食颗
粒加工成粗面来食用。如图所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大
小始终为F，方向与磨杆始终垂直，作用点到轴心O的距离为r，磨
盘绕轴缓慢转动，则在转动一周的过程中推力F做的功为（　　）
A. 0 B. 2πrF
C. 2Fr D. －2πrF
解析：　由题可知，推磨杆的力的大小始终为F，方向与磨杆
始终垂直，即其方向与瞬时速度方向相同，为圆周切线方向，
根据微元法可知，推力对磨盘所做的功等于推力的大小与推力
作用点沿圆周运动弧长的乘积，所以推力所做的功W＝FL＝
2πrF，故选项B正确。
3. 我国自主研发的第一艘平流层飞艇“圆梦”号试飞成功。若飞艇在
平流层水平匀速飞行时，所受空气阻力与飞行速度成正比。若匀速
飞行速度为v时，动力系统的输出功率为P，则匀速飞行速度为2v
时，动力系统的输出功率是多少？
答案：4P
解析：设当飞艇以速度v匀速飞行时，所受空气阻力为F阻，则P＝F
阻v。由题意可知，当匀速飞行速度为2v时，所受空气阻力为2F阻，
所以此时动力系统输出的功率P1＝2F阻·2v＝4P。
4. 质量m＝2×103 kg的汽车，发动机额定功率为P＝80 kW，若汽车
在平直公路上行驶时，所受阻力恒为F阻＝4×103 N，那么：
（1）汽车在公路上能达到的最大行驶速度vm是多少；
答案： 20 m/s　
解析： 当a＝0，即F＝F阻时，汽车速度达到vm，根据P
＝Fvm＝F阻vm
代入数据可得vm＝20 m/s。
解析：当v＝5 m/s时，根据P＝Fv
代入数据可得F＝1.6×104 N
根据牛顿第二定律有F－F阻＝ma
代入数据可得a＝6 m/s2。
（2）若汽车以额定功率起动，当速度为5 m/s时，加速度a是多少。
答案： 6 m/s2
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 质量为5 t的汽车，在水平路面上以加速度a＝2 m/s2启动，所受阻
力大小恒为1.0×103 N，汽车启动后第1 s末发动机的瞬时功率是
（　　）
A. 2 kW B. 22 kW
解析：　根据牛顿第二定律得：F－F阻＝ma，则F＝F阻＋ma＝1
000 N＋5 000×2 N＝11 000 N，汽车第1 s末的速度大小为v＝at＝
2×1 m/s＝2 m/s，所以汽车启动后第1 s末发动机的瞬时功率为：P
＝Fv＝11 000×2 W＝22 000 W＝22 kW，故B正确。
C. 1.1 kW D. 20 kW
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2. 静置于水平地面上质量为1 kg的物体，在水平拉力F＝4＋2x（式中
F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m）
作用下，沿水平方向移动了5 m。已知物体与地面间的动摩擦因数
为0.2，取重力加速度g＝10 m/s2，则在物体移动5 m的过程中拉力
所做的功为（　　）
A. 35 J B. 45 J C. 55 J D. 65 J
解析：　水平拉力F＝4＋2x，则在物体移动5 m的过程中拉力的
平均值为＝ N＝9 N，所以在这一过程中拉力所做的
功W＝x＝9×5 J＝45 J，故选B。
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3. 一物体所受的力F随位移l发生如图所示的变化，这一过程中，力F
对物体所做的功为（　　）
A. 7 J B. 8 J
C. 6 J D. －6 J
解析：　力F对物体做的功等于l轴上方的正功（梯形面积）与l轴
下方的负功（三角形面积）的代数和。S梯形＝×（4＋3）×2 J＝7
J，S三角形＝－×（5－4）×2 J＝－1 J，所以力F对物体做的功为W
＝7 J－1 J＝6 J，故选C。
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4. 质量为m的汽车启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为
P，且行驶过程中受到的阻力大小一定。当汽车速度为v时，汽车
做匀速运动；当汽车速度为时，汽车的瞬时加速度大小为
（　　）
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解析：C　当汽车速度为v时，汽车做匀速运动，则F＝F阻
根据功率与速度的关系得P＝Fv，汽车受到的阻力大小为F阻＝F＝
当车速为时，根据功率与速度的关系得，P＝F1·，则F1＝，根
据牛顿第二定律得F1－F阻＝ma，
解得汽车的瞬时加速度的大小为a＝，故选C。
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5. （多选）如图所示，人以大小恒为10 N的拉力通过一根轻绳拉船，
人收绳的速度恒为1 m/s，将船从A位置拉到B位置，A、B位置轻绳
与水平方向的夹角分别为30°和60°，A、B间的水平距离为4 m，
则（　　）
B. B位置船速大小为2 m/s
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解析： 　根据速度的合成与分解，可得A位置船速大小为vA＝
＝ m/s，故A错误；同理可得B位置船速大小为vB＝
＝2 m/s，故B正确；船从A运动到B的过程中，人的拉力做
的功W＝F＝10×J＝40（－1）
J，故C错误，D正确。
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6. 质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止向上开始
运动。汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发
动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做
匀加速运动，g取10 m/s2。求：
（1）汽车做匀加速运动的时间t1；
答案： 7 s　
解析：选汽车为研究对象，汽车上坡时受力分析如图所示。
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（1）汽车开始以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动，因为牵引
力不变，根据P＝Fv，随着速度的增大，汽车的功率增大。
当汽车的输出功率达到额定功率时，汽车的功率不能再增
大，匀加速运动阶段结束，此时有P＝Fv1，v1是匀加速运动
的末速度，此过程的时间为t1，则
v1＝at1，又F－mgsin 30°－f＝ma
联立以上方程解得t1＝7 s。
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（2）汽车所能达到的最大速率。
答案： 8 m/s
解析：汽车的功率达到额定功率后，做加速度减小的加速运
动，随着速度增大，牵引力减小。当牵引力等于阻力时，合
外力为零时，速度达到最大值，此时有
F'－mgsin 30°－f＝0，P＝F'vm
由此解得vm＝8 m/s。
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7. （多选）一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，
当重物的速度为v1时，起重机的有用功率达到最大值P，之后起重
机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升为
止，重物上升的高度为h，重力加速度为g，则整个过程中，下列说
法正确的是（　　）
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解析： 　由F－mg＝ma和P＝Fv可知，重物匀加速上升过程中
钢绳拉力大于重力且不变，达到最大功率P后，随着v增加，钢绳
拉力F变小，当F＝mg时重物达到最大速度v2，故v2＝；最大拉
力Fm＝mg＋ma＝，a＝－g，故A错误，B、C、D正确。
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8. （多选）质量为2×103 kg、发动机的额定功率为80 kW的汽车在平
直公路上行驶。若该汽车所受阻力大小恒为4×103 N，则下列判断
中正确的有（　　）
A. 汽车的最大速度是10 m/s
B. 汽车以2 m/s2的加速度匀加速启动，启动后第2 s末发动机的实际功
率是32 kW
C. 汽车以2 m/s2的加速度匀加速启动，匀加速运动所能维持的时间为
10 s
D. 若汽车保持额定功率启动，则当其速度为5 m/s时，加速度为6 m/s2
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解析： 当牵引力大小等于阻力大小时速度最大，根据P＝F阻vm得，汽车的最大速度vm＝＝ m/s＝20 m/s，故A错误；根据牛顿第二定律得F－F阻＝ma，解得F＝F阻＋ma＝4 000 N＋2 000×2 N＝8 000 N，第2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，第2 s末发动机的实际功率P1＝Fv＝8 000×4 W＝32 kW，故B正确；匀加速直线运动的末速度v1＝＝ m/s＝10 m/s，做匀加速直线运动的时间t'＝＝ s＝5 s，故C错误；当汽车速度为5 m/s时，牵引力F'＝＝ N＝16 000 N，根据牛顿第二定律得汽车的加速度a'＝＝ m/s2＝6 m/s2，故D正确。
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9. 一汽车在平直公路上行驶，从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小F阻恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是（　　）
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解析：　在v-t图像中，图线的斜率代表汽车运动时的加速度。由
牛顿第二定律可得，在0～t1时间内，－F阻＝ma，当速度v不变
时，加速度a为零，在v-t图像中为一条水平线；当速度v变大时，加
速度a变小，在v-t图像中为一条斜率逐渐减小的曲线，所以选项
B、D错误。同理，在t1～t2时间内－F阻＝ma'，图像变化情况与
0～t1时间内情况相似，由于汽车在运动过程中速度不会发生突
变，选项A正确，C错误。
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10. 一赛车在平直赛道上以恒定功率200 kW加速，受到的阻力不变，
加速度a和速度v的倒数的关系如图所示，则赛车（　　）
A. 做匀加速直线运动
B. 质量为200 kg
C. 所受阻力大小为2 000 N
D. v'＝50 m/s时牵引力大小为2 000 N
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解析：　由题图可知，加速度变化，赛车不是做匀加速直线运
动，故A错误；当赛车的速度最大时，加速度为零，由题图可知
最大速度v＝100 m/s，此时有P＝F阻v，可得F阻＝2 000 N，故C正
确；图线的反向延长线与纵轴的交点为a0＝－4 m/s2，根据牛顿第
二定律有F－F阻＝ma，其中F＝，可得－F阻＝ma，则有a＝
－，此时有F阻＝－ma0，可得m＝500 kg，故B错误；v'＝50 m/s
时，F'＝＝ N＝4 000 N，故D错误。
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11. 一台起重机将静止在地面上质量m＝1×103 kg的货物匀加速竖直
吊起，在2 s末货物的速度v＝4 m/s（取g＝10 m/s2，不计额外
功）。若起重机的额定功率为60 kW，求：
（1）起重机在这2 s内的平均功率；
答案： 2.4×104 W　
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解析： 依题意，由运动学公式可知货物的加速度为
a＝＝ m/s2＝2 m/s2
货物在2 s内上升的高度为h＝at2＝4 m
由牛顿第二定律可得F－mg＝ma
F＝1.2×104 N
起重机牵引力做功为W＝Fh＝4.8×104 J
起重机在这2 s内的平均输出功率P＝＝2.4×104 W。
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（2）货物匀加速运动的最长时间及运动过程中能达最大的速度。
答案：2.5 s　6 m/s
解析： 由功率公式可得匀加速直线运动的末速度v'＝＝
m/s＝5 m/s
货物匀加速运动的最长时间tm＝＝ s＝2.5 s
当起重机牵引力等于货物重力时货物速度最大，则有
vm＝＝ m/s＝6 m/s。
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