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襄阳四中2025级高一上学期十月月考
数 学 试 题
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知命题，．则（ ）
A．p为真命题，， B．p为假命题，，
C．p为真命题，， D．p为假命题，，
4．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
5．函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（ ）
A． B．
C． D．
6．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，函数的图象大致形状是（ ）
A． B． C． D．
7．若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知函数，若，则
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是
D．若命题“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是或
A．存在实数，使得；
B．存在实数，当时，有成立；
C．对任意实数，当时，都有成立；
D．若，则实数的取值范围为.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12．函数的单调递增区间为 .
13．已知正数a，b满足，则的最小值为 ．
14．已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知集合，．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）设命题p：，命题q：，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
16．（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式．
（2）已知，求的解析式．
（3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式．
17．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式 (利润销售收入－成本)
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润.
18．已知函数的定义域为，对任意的，都有．当 时，．
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并证明你的结论；
（3）若，求不等式的解集.
19．若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“美好函数”．
（1）下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的美好函数，说明理由．
（2）已知函数，当时，函数G是在上的“美好函数”，求t的值；
（3）已知函数，若函数G是在（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求a的值．
《襄阳四中2025级高一上学期十月月考》
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D B B D A B B AC ABD ACD
1．B
由题意，，，所以.
故选：B.
2．D
选项A：若，当时，，故A错误；选项B：当时，满足，但，故B错误；选项C：若，则，故C错误。
3．B
方程，，，方程无解，故p为假命题，，，故选：B.
4．B
A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，这两个函数的定义域不相同；B选项，函数与的定义域均为，且，故B选项中的两个函数相等；C选项，函数的定义域为，函数的定义域为，这两个函数的定义域不相同；D选项，对于函数，有，解得或，即函数的定义域为，对于函数，有，解得，即函数的定义域为，这两个函数的定义域不相同，故选：B.
5．D
是定义域为的偶函数，可得，又因为在上单调递减，且，所以，所以.故选：D.
6．A
由，且函数的定义域为R，故为奇函数，排除B、C；当时，恒成立，排除D，故选A．
7．B
因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，
所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：B.
8．B
（1）当或时，，不等式为，
若不等式恒成立，必需 ,所以；
（2）当时，，不等式为即，（ⅰ）当时，不等式对任意恒成立，（ⅱ）当时，
不等式恒成立即恒成立，所以，解得，（ⅲ）当时，不等式恒成立即恒成立，所以，解得综上，实数的取值范围是
9．AC
对A，因为关于的不等式的解集为，则，故A正确；对B，由题得，解得，即为，解得，故B错误；对C，因为，则将代入不等式得，故C正确；对D，不等式即为，即，解得，故D错误.
故选：AC.
10．ABD
A：令，则，；B：函数的定义域为，则，则，则，函数的定义域为；C：当时，恒成立，所以C错误；D：由题意可知命题“，”是真命题，则，解得或，所以D正确.故选：ABD.
11．ACD
对于A，当时，，则，所以存在，使得，所以A正确；对于B，当时，，其图象开口向上，且对称轴的方程为，所以在上单调递增，则；当时，,其图象开口向下，且对称轴的方程为，所以在上单调递增，则，所以函数为单调递增函数，所以不存在，使得，所以B不正确；对于C，要证，即证，即证，由B项知，函数为单调递增函数，所以恒成立，所以C正确；对于D，令，则，可得，所以为奇函数，且为上的递增函数，由，可得，即，即，因为为上的递增函数，所以，解得，所以D正确 故选：ACD.
12．
由解得或，则函数的定义域为，令，其图像的对称轴方程为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则由复合函数的单调性可得，函数的单调递增区间为.故答案为：
13．
正实数a，b满足，又，则，当且仅当时取等号，
设则，代入整理可得，解得或，因，故，故当时，取得最小值为4，故答案为：.
14．/0.25
由题设，有，又，则，，则，故存在使成立，则，，令，故，所以，且，而，仅当，即等号成立，所以，仅当且时等号成立，故的最小值为.故答案为：
15．（1）由，可得，因为，，①当时，，解得，符合题意；②当时，则，解得，综上所述，．故实数a的取值范围为．
（2）由题意可得，是的充分不必要条件，故B是A的真子集，又，，则（等号不能同时取到），解得，故实数a的取值范围是．
16.（1）设，则，所以，解得或，即或；
（2）令，则，，即，所以；
（3）因为，所以，联立方程解得.
17．（1）当时，；当时，，故；
（2）当时，是对称轴为的二次函数，则在上单调递增，
故当时，万元；当时，万元，当且仅当时等号成立，故当时，万元；故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元.
18．
因为，都有，所以令，得，则
（2）在上单调递减，证明如下：不妨设，则，，令，
则，所以，即，所以在上单调递减；
（3）由，得，，所以，
由（2）知在上单调递减，所以，所以，所以，当时，不等式为，所以不等式的解集为；
当时，不等式为，所以不等式的解集为；当时，不等式为，
若时，则，所以不等式的解集为，若时，则，所以不等式的解集为，若时，则，所以不等式的解集为，综上所述：时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，时，不等式的解集为.
19．(1)① (2)或 (3)
（1）对于①在上单调递增当时，，当时，，
∴，符合题意； 对于②在上单调递增，当时，，当时，，
∴，不符合题意； 对于③在上单调递增，当时，，当时，，
∴，不符合题意；故①是在上的美好函数；
（2）为，对称轴为直线，在上单调递增，在上单调递减，当，，当时，，当时，.若，在上单调递增，则，解得（舍去）；若，在上单调递减，在上单调递增，则，解得（舍去），；若，在上单调递减，在上单调递增，则，解得，（舍去）；若，在上单调递减，则，解得（舍去）．综上所述，或；
（3）由（2）可知，二次函数对称轴为直线，又，
，则当时，在上单调递增当时取得最大值，时取得最小值，∴
，为整数，且，，即的值为5， 又∵，，．
答案第16页，共16页

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