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习题课7　机械能守恒定律的应用
1.（多选）如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两中心有孔的相同小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是（　　）
A.M球的机械能守恒
B.M球的机械能减小
C.M球和N球组成的系统的机械能守恒
D.绳的拉力对N球做负功
2.如图所示，有一条长为L＝2 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中。链条由静止释放后开始滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为（g取10 m/s2）（　　）
A.2.5 m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
3.如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中（　　）
A.圆环的机械能守恒
B.弹簧弹性势能变化了mgL
C.圆环下滑到最大距离时加速度为零
D.圆环的重力势能与弹簧的弹性势能之和先增大后减小
4.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放（A落地时，立即烧断细线），B上升的最大高度是（　　）
A. B.
C. D.2R
5.抛出的铅球在空中的运动轨迹如图所示，A、B为轨迹上等高的两点，铅球可视为质点，空气阻力不计。用v、E、Ek、P分别表示铅球的速率、机械能、动能和重力瞬时功率的大小，用t表示铅球在空中从A运动到B的时间，则下列图像中正确的是（　　）
6.如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道。小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，轨道2的半径是轨道1的1.8倍。小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过最高点A处时对轨道的压力为（　　）
A.2mg B.3mg
C.4mg D.5mg
7.有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看作质点，重力加速度为g。如图所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止。由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为（　　）
A.　　 B.　　 C.　　 D.
8.如图所示，mA＝2mB，不计摩擦阻力，A物体自H高处由静止开始下落，且B物体始终在水平台面上。若以地面为零势能面，当物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面高度是（　　）
A.　 B.H C.H　 D.
9.如图所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3，求：
（1）物体在A点时的速度大小；
（2）物体离开C点后还能上升的高度。
10.如图所示，ABC为光滑圆轨道，固定在竖直平面内，轨道半径为R，OA水平，OC竖直，最低点为B，最高点为C。在A点正上方某位置处有一质量为m的小球（可视为质点）由静止开始自由下落，刚好进入圆轨道内运动。不计空气阻力，已知重力加速度为g，若小球刚好能到达轨道的最高点C，求：
（1）小球经过最低点B时的速度大小vB；
（2）轨道最低点B处对小球的支持力N大小。
11.如图所示，A物体用板托着，离地高度h＝1.0 m，轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态。已知A物体质量M＝1.5 kg，B物体质量m＝1.0 kg，现将板抽走，A将拉动B上升，设A着地后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，g取10 m/s2。求：
（1）A着地时，B的速度大小；
（2）B物体在上升过程中离地面的最大高度。
习题课7　机械能守恒定律的应用
1.BC　因M球下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增大，但M球和N球组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误。
2.B　设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点所在水平面为参考平面，链条静止时的机械能E＝Ep＋Ek＝－×2mg×sin 30°－×2mg×＋0＝－mgL，链条全部滑出后，动能Ek'＝×2mv2，重力势能Ep'＝－2mg×，由机械能守恒定律可得E＝Ek'＋Ep'，即－mgL＝mv2－mgL，解得v＝m/s，故B正确，A、C、D错误。
3.B　下滑过程中，弹簧的弹力对圆环做功，则圆环机械能不守恒，故A错误；根据几何关系可知，圆环下滑的最大距离为L，根据系统的机械能守恒，弹簧弹性势能的增加量等于圆环重力势能的减少量，则弹簧的弹性势能变化了ΔEp＝mgh＝mgL，故B正确；当圆环加速度为零时，速度最大，继续向下运动，弹簧弹力增大，则圆环下滑到最大距离时合力不为零，加速度不为零，故C错误；根据题意可知，圆环的速度先增大后减小，则动能先增大后减小，根据系统的机械能守恒可知，圆环的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，故D错误。
4.B　设B的质量为m，则A的质量为3m，A球落地前，A、B组成的系统机械能守恒，
有：3mgR－mgR＝（3m＋m）v2
解得：v＝，
对B运用动能定理有：－mgh＝0－mv2
解得：h＝
则B上升的最大高度为：H＝h＋R＝，故选B。
5.D　铅球做斜上抛运动，机械能守恒，重力势能先增加后减小，故动能先减小后增加，速度先减小后增加，故A、B错误；以初始位置为零势能面，抛出时竖直方向速度为vy，铅球的机械能守恒，则Ek＝E－Ep＝E－mgh＝E－mg，故Ek-t图像为抛物线，故C错误；速度的水平分量不变，竖直分量先减小到零，后反向增加，故根据P＝Gvy＝mg｜v0sin θ－gt｜，重力的功率先均匀减小后均匀增加，故D正确。
6.C　设小球在A处时，轨道对小球的弹力为FN，小球恰好能通过轨道2的最高点B时，由重力提供向心力，即mg＝，小球在轨道1上经过最高点A处时，有FN＋mg＝，根据小球从A到B由机械能守恒定律，有m＝1.6mgR＋m，解得F＝4mg，由牛顿第三定律可知，小球在A点对轨道压力为4mg，故C正确。
7.D　由运动的合成与分解可知滑块A和B在沿绳方向的速度大小相等，有vAsin 60°＝vcos 60°，解得vA＝v，将滑块A、B看成一个系统，系统的机械能守恒，设滑块B下滑的高度为h，有mgh＝m＋mv2，解得h＝，由几何关系可知绳子的长度为l＝2h＝，故选项D正确。
8.B　A、B组成的系统机械能守恒，设物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是h，A的速度为v，则有：mAgh＝mAv2，可得v2＝2gh，从开始到距地面的高度为h的过程中，减少的重力势能为：ΔEp＝mAg（H－h）＝2mBg（H－h），增加的动能为：ΔEk＝（mA＋mB）v2＝（3mB）2gh＝3mBgh，由ΔEp＝ΔEk得h＝H，故B正确。
9.（1）　（2）3.5R
解析：（1）物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点为零势能点。设物体在B处的速度为vB，则mg·3R＋m＝m，得v0＝。
（2）设从B点上升到最高点的高度为HB，由机械能守恒可得mgHB＝m，HB＝4.5R，所以离开C点后还能上升HC＝HB－R＝3.5R。
10.（1）　（2）6mg
解析：（1）小球刚好能到达轨道的最高点C，则有
mg＝m
从B到C由机械能守恒可得m＝m＋mg·2R
可解得小球经过最低点B时的速度为vB＝。
（2）根据受力分析可得N－mg＝m
可得轨道最低点B处对小球的支持力为N＝6mg。
11.（1）2 m/s　（2）1.2 m
解析：（1）在A下降B上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒，设地面的重力势能为0，由机械能守恒定律得
Mgh＝Mv2＋mv2＋mgh，
解得v＝ ，代入数据得v＝2 m/s。
（2）设A落地后，B继续上升的高度为h'，由机械能守恒定律得mv2＝mgh'，解得h'＝0.2 m，
则B离地面的最大高度H＝h＋h'＝1.2 m。
2 / 3习题课7　机械能守恒定律的应用
核心素养目标 1.学会利用守恒条件解决多物体组成的系统机械能守恒问题。 2.会利用机械能守恒定律解决非质点类物体的机械能守恒问题。
要点一　多物体组成的系统机械能守恒问题
1.当动能、势能仅在系统内相互转化或转移时，系统的机械能守恒。
2.机械能守恒定律表达式的选取技巧
（1）当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解。
（2）当研究对象为两个物体组成的系统时
①若两个物体的重力势能都在减小（或增加），动能都在增加（或减小），可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。
②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。
③从机械能的转化角度来看，系统中一个物体某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝E增来列式。
3.对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系。
【典例1】　如图所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，物块A和B均可视为质点，通过细绳连接并跨过定滑轮。开始时两物块都位于与地面距离为H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B竖直下落，B落地后不反弹。若物块A恰好能到达斜面的顶点，试求m1和m2的比值。（滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽略不计）
尝试解答
【典例2】　如图所示，质量都为m的A、B两金属环用细线相连后，分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上，细线长l＝0.4 m，今将细线拉直后使A和B从同一高度上由静止释放，求当运动到使细线与水平方向成30°角时，金属环A和B的速度大小。（g取10 m/s2）　
尝试解答
【典例3】　如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动。已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放。（重力加速度为g）
（1）在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
（2）在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
尝试解答
1.如图所示两滑块通过一细绳悬挂于轻质光滑滑轮下面。阻力不计，M1＝2 kg，M2＝1 kg，M1离地高度H＝0.5 m。M1与M2从静止开始释放，M1由静止下落0.3 m时的速度为（　　）
A. m/s　　　 　　 B.3 m/s
C.2 m/s D.1 m/s
2.（多选）内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定质量为m的小球甲，另一端固定质量为2m的小球乙。现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示，由静止释放后（　　）
A.下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B.下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C.甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D.杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点
要点二　非质点类物体的机械能守恒问题
1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2.物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
【典例4】　如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，不计滑轮大小，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其A端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？（重力加速度为g）
尝试解答
如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为（　　）
A. B.
C. D.
1.如图所示，一个质量为m，均匀的细链条长为L，置于光滑水平桌面上，用手按住一端，使长部分垂在桌面下，（桌面高度大于链条长度），现将链条由静止释放，则链条上端刚离开桌面时的动能为（　　）
A.0 B.mgL
C.mgL D.mgL
2.（多选）如图所示，通过质量不计的定滑轮悬挂两个质量分别为m1、m2的物体（m1＞m2），不计绳子质量、绳子与滑轮间的摩擦，由静止释放，在m1向下运动一段距离的过程中，下列说法中正确的是（　　）
A.m1和地球组成的系统机械能守恒
B.m1、m2和地球组成的系统机械能守恒
C.m1机械能的减少量等于m2机械能的增加量
D.m1减少的重力势能小于m2增加的动能
3.如图所示，质量为m和3m的小球A和B，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为h（h＜L）。A球无初速从桌边滑下，落在沙地上静止不动，则B球离开桌面的速度为（　　）
A. 　　　　　　　　 B.
C. D.
4.如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放摆下。求当杆转到
竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功。
习题课7　机械能守恒定律的应用
【核心要点·快突破】
要点一
【典例1】　
解析：设B刚下落到地面时速度为v，由B落地前，A、B组成的系统机械能守恒得：
m2g·－m1g·sin 30°＝（m1＋m2）v2 ①
B落地后，A以速度v上滑到斜面顶点过程中机械能守恒，则：
m1v2＝m1g·sin 30°， ②
由①②得＝。
【典例2】　 m/s　1 m/s
解析：
A释放后，在A、B运动过程中，因为A、B组成的系统的机械能与其他形式的能量之间没有相互转化，两环机械能之和保持不变。设当两环运动到使细线与水平方向成30°角时，A和B的速度分别为vA、vB，将vA、vB分别沿细线方向和垂直细线方向分解，如图所示。
分析可知，它们在沿细线方向上的分速度v1和v3大小相等，所以有vAsin θ＝vBcos θ ①
在这一过程中A下降的高度为lsin θ，因两环组成的系统机械能守恒，则有
mglsin θ＝m＋m ②
由①②代入数值解得vA＝ m/s，vB＝1 m/s。
【典例3】　（1）　　（2）－mgl
解析：（1）小球A和B及杆组成的系统机械能守恒。设转到竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB，杆旋转的角速度为ω，有mg·2l－mgl＝m＋m
vA＝2lω，vB＝lω
联立解得vB＝，vA＝。
（2）对A球，由动能定理得mg·2l＋W＝m
解得W＝－mgl。
素养训练
1.A　对系统运用机械能守恒定律得，（M1－M2）gh＝（M1＋M2）v2，代入数据解得v＝ m/s，故A正确，B、C、D错误。
2.AD　环形凹槽光滑，甲、乙组成的系统在运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，下滑过程中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能，甲、乙系统减少的重力势能等于系统增加的动能；甲减少的重力势能等于乙增加的重力势能与甲、乙增加的动能之和；由于乙的质量较大，系统的重心偏向乙一端，由机械能守恒知，甲不可能滑到凹槽的最低点，杆从右向左滑回时乙一定会回到凹槽的最低点。故A、D正确。
要点二
【典例4】　
解析：方法一　取整个铁链为研究对象
设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量为：
ΔEp＝mg·L
由机械能守恒得：mv2＝mg·L，则v＝。
方法二　将铁链看成两段
铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB'部分移到AA'位置。
重力势能减少量为ΔEp＝mg·
由机械能守恒得：mv2＝mg·
则v＝。
素养训练
　A　设液体总质量为m，当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据机械能守恒定律有mg·h＝mv2，解得v＝ ，A正确。
【教学效果·勤检测】
1.D　取桌面下为零势能面，根据机械能守恒定律得Ek＝·＋·＝mgL，故选D。
2.BC　单独对m1来说，绳子的拉力属于外力，有外力做功，所以m1和地球组成的系统机械能不守恒，A错误；将m1、m2看作一个整体，绳子拉力属于内力，只有重力做功，所以m1、m2和地球组成的系统机械能守恒，B正确；由于m1、m2和地球组成的系统机械能守恒，所以m1机械能的减少量等于m2机械能的增加量，C正确，D错误。
3.A　A球落地之前，对于A、B组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，则有mgh＝（m＋3m）v2，解得v＝ 。A球落地后，B球做匀速直线运动，故B球离开桌面时的速度仍为 ，选项A正确。
4.－0.2mgL　0.2mgL
解析：设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，只有重力势能和动能相互转化，故系统机械能守恒。此过程重力势能转化为动能，则
mgL＋mg·＝m＋m
又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，
故vB＝2vA
由以上二式得vA＝，vB＝。
根据动能定理，可解出杆对A、B做的功：
对A有WA＋mg·＝m－0，
所以WA＝－0.2mgL；
对B有WB＋mgL＝m－0，所以WB＝0.2mgL。
4 / 4(共55张PPT)
习题课7　机械能守恒定律的应用
核心
素养目标 1.学会利用守恒条件解决多物体组成的系统机械能守恒问题。
2.会利用机械能守恒定律解决非质点类物体的机械能守恒问题。
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　多物体组成的系统机械能守恒问题
1. 当动能、势能仅在系统内相互转化或转移时，系统的机械能守恒。
2. 机械能守恒定律表达式的选取技巧
（1）当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1
＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解。
①若两个物体的重力势能都在减小（或增加），动能都在增
加（或减小），可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。
②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑
用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。
③从机械能的转化角度来看，系统中一个物体某一类型机械
能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝
E增来列式。
（2）当研究对象为两个物体组成的系统时
3. 对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物
体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系。
【典例1】　如图所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高
为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，物块
A和B均可视为质点，通过细绳连接并跨过定滑轮。开始时两物块都位
于与地面距离为H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上
滑，B竖直下落，B落地后不反弹。若物块A恰好能到达斜面的顶点，
试求m1和m2的比值。（滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽
略不计）
答案：
解析：设B刚下落到地面时速度为v，由B落地前，A、B组成的系统机
械能守恒得：
m2g·－m1g·sin 30°＝（m1＋m2）v2 ①
B落地后，A以速度v上滑到斜面顶点过程中机械能守恒，则：
m1v2＝m1g·sin 30°， ②
由①②得＝。
【典例2】　如图所示，质量都为m的A、B两金属环用细线相连后，
分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上，细线长l＝
0.4 m，今将细线拉直后使A和B从同一高度上由静止释放，求当运动
到使细线与水平方向成30°角时，金属环A和B的速度大小。（g取10
m/s2）　
答案： m/s　1 m/s
解析：A释放后，在A、B运动过程中，因为A、B组
成的系统的机械能与其他形式的能量之间没有相互
转化，两环机械能之和保持不变。设当两环运动到
使细线与水平方向成30°角时，A和B的速度分别为
vA、vB，将vA、vB分别沿细线方向和垂直细线方向
分解，如图所示。
分析可知，它们在沿细线方向上的分速度v1和
v3大小相等，所以有vAsin θ＝vBcos θ ①
在这一过程中A下降的高度为lsin θ，因两环组成的系统机械能守恒，
则有
mglsin θ＝m＋m ②
由①②代入数值解得vA＝ m/s，vB＝1 m/s。
【典例3】　如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m
的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动。已知OA＝
2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放。（重力加速度为g）
（1）在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
答案：　　
解析： 小球A和B及杆组成的系统机械能守恒。设转到竖直
位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB，杆旋转的角速度为ω，有
mg·2l－mgl＝m＋m
vA＝2lω，vB＝lω
联立解得vB＝，vA＝。
（2）在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
答案：－mgl
解析： 对A球，由动能定理得mg·2l＋W＝m
解得W＝－mgl。
1. 如图所示两滑块通过一细绳悬挂于轻质光滑滑轮下面。阻力不计，M1＝2 kg，M2＝1 kg，M1离地高度H＝0.5 m。M1与M2从静止开始释放，M1由静止下落0.3 m时的速度为（　　）
B. 3 m/s
C. 2 m/s D. 1 m/s
解析：　对系统运用机械能守恒定律得，（M1－M2）gh＝（M1
＋M2）v2，代入数据解得v＝ m/s，故A正确，B、C、D错误。
2. （多选）内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根
长度为R的轻杆，一端固定质量为m的小球甲，另
一端固定质量为2m的小球乙。现将两小球放入凹槽
内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示，由静止
释放后（　　）
A. 下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B. 下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C. 甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D. 杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点
解析： 　环形凹槽光滑，甲、乙组成的系统在运动过程中只有
重力做功，故系统机械能守恒，下滑过程中甲减少的机械能总是等
于乙增加的机械能，甲、乙系统减少的重力势能等于系统增加的动
能；甲减少的重力势能等于乙增加的重力势能与甲、乙增加的动能
之和；由于乙的质量较大，系统的重心偏向乙一端，由机械能守恒
知，甲不可能滑到凹槽的最低点，杆从右向左滑回时乙一定会回到
凹槽的最低点。故A、D正确。
要点二　非质点类物体的机械能守恒问题
1. 在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液
柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体
也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2. 物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械
能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规
则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列
式求解。
【典例4】　如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，不计滑轮大小，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其A端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？（重力加速度为g）
答案：
解析：方法一　取整个铁链为研究对象
设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方L处，末位置的
重心在A点，则重力势能的减少量为：ΔEp＝mg·L
由机械能守恒得：mv2＝mg·L，则v＝。
方法二　将铁链看成两段
铁链由初始状态到刚离开滑轮时，
等效于左侧铁链BB'部分移到AA'位置。
重力势能减少量为ΔEp＝mg·
由机械能守恒得：mv2＝mg·
则v＝。
　如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时
两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，
当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为（　　）
解析：　设液体总质量为m，当两液面高度相等时，减少的重力势
能转化为整个液体的动能，根据机械能守恒定律有mg·h＝mv2，解
得v＝ ，A正确。
02
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
1. 如图所示，一个质量为m，均匀的细链条长为L，置于光滑水平桌
面上，用手按住一端，使长部分垂在桌面下，（桌面高度大于链
条长度），现将链条由静止释放，则链条上端刚离开桌面时的动能
为（　　）
解析：　取桌面下为零势能面，根据机械能守恒定律得Ek＝·
＋·＝mgL，故选D。
2. （多选）如图所示，通过质量不计的定滑轮悬挂两个质量分别为
m1、m2的物体（m1＞m2），不计绳子质量、绳子与滑轮间的摩
擦，由静止释放，在m1向下运动一段距离的过程中，下列说法中
正确的是（　　）
A. m1和地球组成的系统机械能守恒
B. m1、m2和地球组成的系统机械能守恒
C. m1机械能的减少量等于m2机械能的增加量
D. m1减少的重力势能小于m2增加的动能
解析： 　单独对m1来说，绳子的拉力属于外力，有外力做功，
所以m1和地球组成的系统机械能不守恒，A错误；将m1、m2看作一
个整体，绳子拉力属于内力，只有重力做功，所以m1、m2和地球
组成的系统机械能守恒，B正确；由于m1、m2和地球组成的系统机
械能守恒，所以m1机械能的减少量等于m2机械能的增加量，C正
确，D错误。
3. 如图所示，质量为m和3m的小球A和B，系在长为L的细线两端，桌
面水平光滑，高为h（h＜L）。A球无初速从桌边滑下，落在沙地
上静止不动，则B球离开桌面的速度为（　　）
解析：　A球落地之前，对于A、B组成的系统，只有重力做功，
系统的机械能守恒，则有mgh＝（m＋3m）v2，解得v＝ 。A球
落地后，B球做匀速直线运动，故B球离开桌面时的速度仍为
，选项A正确。
4. 如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球，
杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放摆下。求
当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功。
答案：－0.2mgL　0.2mgL
解析：设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，只有重力势能和动能相互转化，故系统机械能守恒。此过程重力势能转化为动能，
则mgL＋mg·＝m＋m
又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB＝2vA
由以上二式得vA＝，vB＝。
根据动能定理，可解出杆对A、B做的功：
对A有WA＋mg·＝m－0，所以WA＝－0.2mgL；
对B有WB＋mgL＝m－0，所以WB＝0.2mgL。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. （多选）如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，
AC水平放置，两中心有孔的相同小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是（　　）
A. M球的机械能守恒
B. M球的机械能减小
C. M球和N球组成的系统的机械能守恒
D. 绳的拉力对N球做负功
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解析： 　因M球下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球
做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增大，但M球和N球组
成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误。
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2. 如图所示，有一条长为L＝2 m的均匀金属链条，有一半长度在光
滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为
30°，另一半长度竖直下垂在空中。链条由静止释放后开始滑动，
则链条刚好全部滑出斜面时的速度为（g取10 m/s2）（　　）
A. 2.5 m/s
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解析：　设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点所在水平面
为参考平面，链条静止时的机械能E＝Ep＋Ek＝－×2mg×sin
30°－×2mg×＋0＝－mgL，链条全部滑出后，动能Ek'＝
×2mv2，重力势能Ep'＝－2mg×，由机械能守恒定律可得E＝Ek'
＋Ep'，即－mgL＝mv2－mgL，解得v＝m/s，故B正确，A、C、
D错误。
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3. 如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与
水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于
原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下
滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），则在圆
环下滑到最大距离的过程中（　　）
A. 圆环的机械能守恒
C. 圆环下滑到最大距离时加速度为零
D. 圆环的重力势能与弹簧的弹性势能之和先增大后减小
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解析：　下滑过程中，弹簧的弹力对圆环做功，则圆环机械能不
守恒，故A错误；根据几何关系可知，圆环下滑的最大距离为
L，根据系统的机械能守恒，弹簧弹性势能的增加量等于圆环重
力势能的减少量，则弹簧的弹性势能变化了ΔEp＝mgh＝mgL，
故B正确；当圆环加速度为零时，速度最大，继续向下运动，弹簧
弹力增大，则圆环下滑到最大距离时合力不为零，加速度不为零，
故C错误；根据题意可知，圆环的速度先增大后减小，则动能先增
大后减小，根据系统的机械能守恒可知，圆环的重力势能与弹簧的
弹性势能之和先减小后增大，故D错误。
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4. 如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，
跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3
倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放（A落
地时，立即烧断细线），B上升的最大高度是（　　）
D. 2R
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解析：　设B的质量为m，则A的质量为3m，A球落地前，A、B组
成的系统机械能守恒，
有：3mgR－mgR＝（3m＋m）v2
解得：v＝，
对B运用动能定理有：－mgh＝0－mv2
解得：h＝
则B上升的最大高度为：H＝h＋R＝，故选B。
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5. 抛出的铅球在空中的运动轨迹如图所示，A、B为轨迹上等高的两
点，铅球可视为质点，空气阻力不计。用v、E、Ek、P分别表示铅
球的速率、机械能、动能和重力瞬时功率的
大小，用t表示铅球在空中从A运动到B的时间，
则下列图像中正确的是（　　）
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解析：　铅球做斜上抛运动，机械能守恒，重力势能先增加后减
小，故动能先减小后增加，速度先减小后增加，故A、B错误；以
初始位置为零势能面，抛出时竖直方向速度为vy，铅球的机械能守
恒，则Ek＝E－Ep＝E－mgh＝E－mg，故Ek-t图像为抛
物线，故C错误；速度的水平分量不变，竖直分量先减小到零，后
反向增加，故根据P＝Gvy＝mg｜v0sin θ－gt｜，重力的功率先均匀
减小后均匀增加，故D正确。
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6. 如图所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道。小
球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，轨道2的
半径是轨道1的1.8倍。小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2
的最高点B，则小球在轨道1上经过最高点A处时对轨道的压力为
（　　）
A. 2mg B. 3mg C. 4mg D. 5mg
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解析：　设小球在A处时，轨道对小球的弹力为FN，小球恰好能
通过轨道2的最高点B时，由重力提供向心力，即mg＝，小球
在轨道1上经过最高点A处时，有FN＋mg＝，根据小球从A到B
由机械能守恒定律，有m＝1.6mgR＋m，解得F＝4mg，由
牛顿第三定律可知，小球在A点对轨道压力为4mg，故C正确。
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7. 有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆
与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，
且可看作质点，重力加速度为g。如图所示，开始时细绳水平伸
直，A、B静止。由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为
60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为
（　　）
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解析：　由运动的合成与分解可知滑块A和B在沿绳方向的速度大
小相等，有vAsin 60°＝vcos 60°，解得vA＝v，将滑块A、B看成
一个系统，系统的机械能守恒，设滑块B下滑的高度为h，有mgh＝
m＋mv2，解得h＝，由几何关系可知绳子的长度为l＝2h＝
，故选项D正确。
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8. 如图所示，mA＝2mB，不计摩擦阻力，A物体自H高处由静止开始
下落，且B物体始终在水平台面上。若以地面为零势能面，当物体
A的动能与其势能相等时，物体A距地面高度是（　　）
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解析：　A、B组成的系统机械能守恒，设物体A的动能与其势能
相等时，物体A距地面的高度是h，A的速度为v，则有：mAgh＝
mAv2，可得v2＝2gh，从开始到距地面的高度为h的过程中，减少
的重力势能为：ΔEp＝mAg（H－h）＝2mBg（H－h），增加的动能
为：ΔEk＝（mA＋mB）v2＝（3mB）2gh＝3mBgh，由ΔEp＝ΔEk得h
＝H，故B正确。
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9. 如图所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨
道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点
B时的速度为3，求：
（1）物体在A点时的速度大小；
答案： 　
解析：物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守
恒，选取B点为零势能点。设物体在B处的速度为vB，则
mg·3R＋m＝m，得v0＝。
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（2）物体离开C点后还能上升的高度。
答案： 3.5R
解析：设从B点上升到最高点的高度为HB，
由机械能守恒可得mgHB＝m，HB＝4.5R，
所以离开C点后还能上升HC＝HB－R＝3.5R。
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10. 如图所示，ABC为光滑圆轨道，固定在竖直平面内，轨道半径为
R，OA水平，OC竖直，最低点为B，最高点为C。在A点正上方某
位置处有一质量为m的小球（可视为质点）由静止开始自由下
落，刚好进入圆轨道内运动。不计空气阻力，
已知重力加速度为g，若小球刚好能到达轨道
的最高点C，求：
（1）小球经过最低点B时的速度大小vB；
答案：　
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解析：小球刚好能到达轨道的最高点C，则有
mg＝m
从B到C由机械能守恒可得m＝m＋mg·2R
可解得小球经过最低点B时的速度为vB＝。
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（2）轨道最低点B处对小球的支持力N大小。
答案：6mg
解析：根据受力分析可得N－mg＝m
可得轨道最低点B处对小球的支持力为N＝6mg。
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11. 如图所示，A物体用板托着，离地高度h＝1.0 m，轻质细绳通
过光滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态。已知A物体质
量M＝1.5 kg，B物体质量m＝1.0 kg，现将板抽走，A将拉动
B上升，设A着地后不反弹，B上升过程中不会
碰到定滑轮，g取10 m/s2。求：
（1）A着地时，B的速度大小；
答案：2 m/s　
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解析：在A下降B上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒，设地面的重力势能为0，由机械能守恒定律得Mgh＝Mv2＋mv2＋mgh，
解得v＝ ，代入数据得v＝2 m/s。
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（2）B物体在上升过程中离地面的最大高度。
答案：1.2 m
解析：设A落地后，B继续上升的高度为h'，
由机械能守恒定律得mv2＝mgh'，
解得h'＝0.2 m，
则B离地面的最大高度H＝h＋h'＝1.2 m。
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