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习题课8　功能关系与能量守恒定律
1.（多选）如图所示，某同学正在做排球运动的垫球训练。他将球击出后，球从某位置离开手臂竖直向上运动，再下落回到该位置的过程中，空气阻力不能忽略。下列说法正确的是（　　）
A.重力对球先做正功后做负功 B.空气阻力对球一直做负功
C.球的机械能始终不变 D.球的机械能减少
2.如图所示，弹性轻绳的一端套在手指上，另一端与弹力球连接，某同学用手将弹力球以某一竖直向下的初速度抛出，抛出后手保持不动。从球抛出瞬间至球第一次到达最低点的过程中（弹性轻绳始终在弹性限度内，不计空气阻力），下列说法正确的是（　　）
A.弹性轻绳的弹性势能一直增大
B.弹力球的重力先不做功，后做正功
C.弹性轻绳刚伸直时，弹力球的动能最大
D.弹力球受到的合力先做正功后做负功
3.（多选）质量为m的物体从静止出发以的加速度竖直下降h，对于此过程，下列说法中正确的是（　　）
A.物体的机械能守恒 B.物体的机械能不守恒
C.重力做功mgh D.物体的重力势能减少mgh
4.一蹦极运动员身系弹性轻绳从水面上方的高台自由下落，到a点时绳刚好绷直，经过b点时运动员的加速度为零，c为蹦极的最低点。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是（　　）
A.在b点运动员的机械能最大
B.从a到c运动员的机械能先减小后增加
C.从a到c运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之和先减少后增大
D.蹦极过程中，运动员、地球所组成的系统机械能守恒
5.“打水漂”是人类最古老的游戏之一，游戏者运用手腕的力量让撇出去的石头在水面上弹跳数次。如图所示，游戏者在地面上以速度v0抛出质量为m的石头，抛出后石头落到比抛出点低h的水平面上。若以抛出点为零势能点，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A.抛出后石头落到水平面时的势能为mgh
B.抛出后石头落到水平面时重力对石头做的功为－mgh
C.抛出后石头落到水平面上的机械能为m
D.抛出后石头落到水平面上的动能为m－mgh
6.（多选）如图所示，小球m从A点（距轻弹簧上端为h）由静止开始下落，到C点速度为零（弹簧的最大压缩量为x），弹簧的劲度系数为k，不计空气阻力，则在小球从与弹簧接触至运动到最低点C的过程中，下列说法错误的是（　　）
A.小球先超重后失重
B.小球的速度立刻减小直至为0
C.当弹簧的压缩量为时，小球的动能最大
D.弹簧弹性势能的最大值为mg（h＋x）
7.如图所示，质量为M＝8 kg的长木板放在光滑水平面上，在木板左端施加F＝12 N的水平推力，当木板向右运动的速度达到v0＝1.5 m/s时，在其右端轻轻放上一个大小不计、质量为m＝2 kg的铁块，铁块与木板间的动摩擦因数μ＝0.2，木板足够长，g取10 m/s2。求：
（1）当二者达到共同速度时，木板对铁块以及铁块对木板所做的功；
（2）当二者达到共同速度时，木板和铁块之间因摩擦所产生的热量。
8.当代人工智能无处不在，大大减少了人工的成本。某智能快递分拣中心，通过智能大脑分拣好的包裹从机器的出口以初速度v0＝0.2 m/s滑上由理想电动机带动的水平传送带，传送带以速度v＝3 m/s匀速运动，传送带左右两端相距L＝5 m，如图所示。设包裹质量m＝1 kg，它与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g取 10 m/s2。求：
（1）包裹从左端到右端的时间；
（2）包裹从左端到右端的过程中，摩擦力对包裹所做的功；
（3）包裹从左端到右端的过程中，电动机多消耗的电能。
习题课8　功能关系与能量守恒定律
1.BD　球先上升后下降，则重力对球先做负功后做正功，A错误；空气阻力与速度方向始终相反，则空气阻力对球一直做负功，B正确；由于空气阻力一直做负功，则球的机械能减小，C错误，D正确。
2.D　在弹性绳达到原长前，弹性势能为0，以后弹性势能才一直增大，故A错误；从球抛出瞬间至球第一次到达最低点的过程中，重力始终做正功，故B错误；弹性轻绳刚伸直时，弹力小于重力，合力向下，弹力球的动能继续增大，当弹力与重力相等时，弹力球的动能最大，故C错误；弹力球受到的合力先向下，后向上，先做正功后做负功，故D正确。
3.BC　物体从静止出发以的加速度竖直下降，说明物体受到阻力的作用，阻力对物体做负功，物体的机械能减少，所以物体的机械能不守恒，A错误，B正确；重力对物体做功WG＝mgh，C正确；物体下降h时，物体的重力做正功为mgh，等于物体重力势能的减少，所以物体的重力势能减少mgh，D错误。
4.C　运动员从高台到a点过程中机械能守恒，从a点开始，绳子对运动员做负功，机械能开始减小，所以在Pa段机械能最大，故A、B错误；蹦极过程中，运动员、弹性绳和地球所组成的系统除重力和弹力做功外，其他力的合力做功为零，所以运动员、弹性绳和地球所组成的系统机械能守恒，运动员、地球所组成的系统机械能不守恒，故D错误；由于系统的机械能守恒，则运动员的重力势能、动能与弹性绳的弹性势能之和不变，从a到c过程中，运动员的动能先增大后减小，则运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之和先减少后增大，故C正确。
5.C　以抛出点为零势能点，水平面低于抛出点h，所以石头在水平面上时的重力势能为－mgh，A错误；抛出点与水平面的高度差为h，并且重力做正功，所以整个过程重力对石头做功为mgh，B错误；整个过程机械能守恒，以抛出点为零势能点，抛出时的机械能为m，所以石头在水平面时的机械能也为m，C正确；根据动能定理得mgh＝Ek2－m，可得石头在水平面上的动能Ek2＝m＋mgh，D错误。
6.AB　小球从与弹簧接触至运动到最低点C的过程中，弹簧弹力从0逐渐变大，一开始弹力小于重力，合力方向向下，加速度方向向下，小球向下加速，处于失重状态，当弹力大于重力后，合力方向向上，加速度方向向上，小球向下减速，处于超重状态，A、B说法均错误，满足题意要求；当弹簧弹力等于小球重力时，小球的加速度为0，此时小球速度达到最大，动能最大，设此时弹簧的压缩量为x1，则有kx1＝mg，解得x1＝，C说法正确，不满足题意要求；小球从A点到最低点C的过程中，根据能量守恒定律可知弹簧弹性势能的增加量等于小球重力势能的减少量，则ΔEp弹＝mg（h＋x），即弹簧弹性势能的最大值为mg（h＋x），D说法正确，不满足题意要求；故选A、B。
7.（1）9 J　－13.5 J　（2）4.5 J
解析：（1）放上铁块后，铁块加速度a1＝μg＝2 m/s2（方向向右）
木板加速度a2＝＝1 m/s2（方向向右），
二者达到共同速度v所用时间t＝＝，
解得v＝3 m/s，t＝1.5 s。
从放上铁块到二者速度相同，
铁块位移x1＝t＝2.25 m，
木板位移x2＝t＝3.375 m，
木板对铁块做的功W1＝μmgx1＝9 J，
铁块对木板做的功W2＝－μmgx2＝－13.5 J。
（2）木板和铁块之间因摩擦所产生的热量
Q＝μmg（x2－x1）＝4.5 J。
8.（1）2.32 s　（2）4.48 J　（3）8.4 J
解析：（1）由μmg＝ma可得包裹的加速度a＝μg＝2 m/s2
包裹匀加速运动的时间t1＝＝1.4 s
包裹匀加速运动的位移x1＝t1＝2.24 m
包裹匀速运动的时间t2＝＝0.92 s
包裹从左端到右端的总时间t＝t1＋t2＝2.32 s。
（2）摩擦力对包裹做的功
Wf＝mv2－m＝4.48 J。
（3）当包裹与传送带共速时，包裹相对传送带的位移Δx＝vt1－x1＝1.96 m
该过程产生的内能Q＝μmgΔx＝3.92 J
电动机多消耗的电能E电＝Wf＋Q＝8.4 J。
2 / 2习题课8　功能关系与能量守恒定律
核心 素养 目标 1.理解几种常见的功能关系，并会利用功能关系解决实际问题。 2.掌握能量守恒定律，并会利用能量守恒定律解决实际问题。 3.掌握摩擦力做功与摩擦生热的计算问题。
要点一　几种常见的功能关系
【探究】
　质量为m的物块在竖直向上的恒力F的作用下由静止向上加速运动了h，此过程恒力F做功多少，物块机械能变化了多少？（空气阻力不计，重力加速度为g）
【归纳】
1.只有重力或系统内弹力做功，只有重力势能、弹性势能和动能的相互转化，系统机械能守恒；若有其他力做功，就有其他能量和机械能相互转化，系统的机械能就会发生变化。
2.除重力和弹力以外的其他力做了多少正功，物体的机械能就增加多少；其他力做了多少负功，物体的机械能就减少多少。
3.常见的几种关系
功 能量转化 关系式
重力做功 重力势能的改变 WG＝－ΔEp
弹力做功 弹性势能的改变 W弹＝－ΔEp
合外力做功 动能的改变 W合＝ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功 机械能的改变 W＝ΔE机
【典例1】　如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP＝2R，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球从P到B的运动过程中（　　）
A.重力做功2mgR B.机械能减少mgR
C.合外力做功mgR D.克服摩擦力做功mgR
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.（多选）如图所示，一热气球总质量为m，某竖直上升过程中受到浮力恒为F，空气阻力恒为F阻，热气球从地面由静止上升高度h，速度变为v，已知重力加速度为g。在上述过程中，热气球的（　　）
A.重力势能增加了（mg＋F阻）h B.动能增加了（F－mg－F阻）h
C.机械能增加了Fh D.机械能增加了mgh＋mv2
2.（多选）质量为m的物体，由静止开始下落，由于阻力作用，下落的加速度为g，在物体下落h的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.物体的动能增加了mgh B.物体的重力势能减少了mgh
C.物体机械能减少了mgh D.物体克服阻力所做的功为mgh
要点二　能量守恒定律的理解及应用
1.能量守恒定律
（1）内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。
（2）表达式
①E初＝E末：初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
②ΔE增＝ΔE减：增加的能量的增加量等于减少的能量的减少量。
（3）适用范围：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适用的一条规律。
2.应用能量守恒定律解题的一般步骤
（1）分清有多少种形式的能（如动能、势能、内能、电能等）在变化。
（2）分别列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
（3）列恒等式：ΔE减＝ΔE增。
【典例2】　（2024·四川雅安期末）如图，半径为R的光滑半圆形轨道ABC固定在竖直平面内且与水平轨道CD相切于C点，D端有一被锁定的轻质压缩弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，弹簧右端Q到C点的距离为2R。质量为m的滑块（视为质点）从轨道上的P点由静止滑下，刚好能运动到Q点，并能触发弹簧解除锁定，然后滑块被弹回，且刚好能通过圆轨道的最高点A。已知∠POC＝60°，求：
（1）滑块第一次滑至圆形轨道最低点C时所受轨道支持力大小；
（2）滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ；
（3）弹簧被锁定时具有的弹性势能。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图所示，一小孩从公园中粗糙的滑梯上加速滑下，对于其能量变化情况，下列说法中正确的是（　　）
A.重力势能减小，动能增加，机械能减小
B.重力势能减小，动能不变，机械能减小
C.重力势能减小，动能增加，机械能增加
D.重力势能减小，动能增加，机械能不变
2.秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动。春秋时期传入中原地区，因其设备简单，容易学习，故而深受人们的喜爱，很快在各地流行起来。会荡秋千的人不用别人推，就能越摆越高，而不会荡秋千的人则始终也摆不起来。要使秋千越摆越高，以下做法合理的是（　　）
A.从高处摆下来的时候身体迅速下蹲，而从最低点向上摆起时，身体迅速直立起来
B.从高处摆下来的时候身体要保持直立，而从最低点向上摆起时，身体迅速下蹲
C.不论从高处摆下来还是从低点向上摆起，身体都要保持下蹲
D.不论从高处摆下来还是从最低点向上摆起，身体都要保持直立
要点三　摩擦力做功与摩擦生热的计算
1.系统内一对静摩擦力对物体做功时，由于相对位移为零，故没有内能产生，只有物体间机械能的转移。
2.作用于系统的滑动摩擦力和物体间相对滑动的距离的乘积，在数值上等于滑动过程产生的内能。即Q＝f滑s相对，其中f滑必须是滑动摩擦力，s相对必须是两个接触面的相对滑动距离（或相对路程）。
【典例3】　（多选）如图所示，质量为m0、长度为l的小车静止在光滑的水平面上。质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端。现有一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为f，经过时间t，小车运动的位移为x，物块刚好滑到小车的最右端（　　）
A.此时物块的动能为（F－f）（x＋l）
B.这一过程中，物块对小车所做的功为f（x＋l）　
C.这一过程中，物块和小车增加的机械能为Fx
D.这一过程中，物块和小车产生的内能为fl
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　（2024·陕西宝鸡期末）“平安北京，绿色出行”，地铁已成为北京的主要绿色交通工具之一。如图甲所示的是地铁安检场景，图乙是安检时的传送带运行的示意图，某乘客把一质量为m的书包无初速度地放在水平传运带的入口A处，书包随传送带从出口B处运出，入口A到出口B的距离为L，传送带始终绷紧并以速度v匀速运动，书包与传送带间的动摩擦因数为μ。对于书包由静止释放到相对传送带静止这一过程，下列说法正确的是（　　）
A.书包的动能变化量为mv2
B.摩擦力对传送带做的功为mv2
C.书包与传送带摩擦产生的热量为μmgL
D.电动机增加的平均功率为μmgv
1.某运动员参加撑竿跳高比赛的示意图如图所示，对该运动员在撑竿跳高过程中的能量变化描述正确的是（　　）
e
A.加速助跑过程中，该运动员的机械能不断增大
B.运动员越过横杆正上方时，动能为零
C.起跳上升过程中，运动员的机械能守恒
D.起跳上升过程中，竿的弹性势能一直增大
2.如图所示，两个完全相同的物体分别自斜面AC和BC顶端由静止开始下滑，物体与两斜面间的动摩擦因数相同，物体滑至斜面底部C点时的动能分别为EA和EB，下滑过程中产生的热量分别为QA和QB，则（　　）
A.EA＞EB　QA＝QB
B.EA＝EB　QA＞QB
C.EA＞EB　QA＞QB
D.EA＜EB　QA＞QB
3.如图所示，一固定斜面的倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于0.8g（g为重力加速度大小），物块上升的最大高度为H，则此过程中（　　）
A.物块的重力势能减少了mgH
B.物块的动能损失了1.6mgH
C.物块的机械能损失了0.8mgH
D.物块克服摩擦力做功0.8mgH
4.如图所示，一质量为m的滑块从高为h的光滑圆弧形槽的顶端A处无初速度地滑下，槽的底端B与水平传送带相接，传送带的运行速度恒为v0，两轮轴心间距为l，滑块滑到传送带上后做匀加速运动，滑到传送带右端C时，恰好加速到与传送带的速度相同。求：
（1）滑块到达底端B时的速度大小vB；
（2）滑块与传送带间的动摩擦因数μ；
（3）此过程中，由于克服摩擦力做功而产生的热量Q。
习题课8　功能关系与能量守恒定律
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：恒力F做功WF＝Fh。
对物块，由动能定理得Fh－mgh＝mv2
物块机械能的变化量ΔE＝mv2＋mgh＝Fh
故物块机械能增加Fh。
【典例1】　D　从P到B的过程中，小球下降的高度为R，则WG＝mgR，选项A错误；小球到达B点时恰好对轨道没有压力，则有mg＝m，设摩擦力对小球做的功为Wf，从P到B的过程，由动能定理可得mgR＋Wf＝m，联立以上两式解得：Wf＝－mgR，即克服摩擦力做功mgR，机械能减少mgR，故B错误，D正确；根据动能定理知：W合＝m＝mgR，故C错误。
素养训练
1.BD　热气球从地面由静止上升高度h，克服重力做功mgh，则重力势能增加了mgh，故A错误；根据动能定理可得（F－mg－F阻）h＝ΔEk增，故B正确；根据功能关系，可得ΔE＝（F－F阻）h＝mv2＋mgh，故C错误，D正确。
2.ABD　下落的加速度为g，则物体所受的合力为mg，合力做功W合＝ mgh，合力做功等于动能的变化，所以物体的动能增加了mgh，选项A正确；重力做功WG＝mgh，重力做功等于重力势能的变化，所以重力势能减少了mgh，物体的动能增加了mgh，则机械能减少了mgh，选项B正确，选项C错误；物体受竖直向下的重力和竖直向上的阻力，下落的加速度为g，根据牛顿第二定律得阻力为mg，所以阻力做功WF阻＝－F阻h＝－mgh，即物体克服阻力所做的功为mgh，选项D正确。
要点二
【典例2】　（1）2mg　（2）0.25　（3）3mgR
解析：（1）设滑块第一次滑至C点时的速度为vC，在P→C过程中有mgR＝m
在C点有FN－mg＝m
解得FN＝2mg，方向竖直向上。
（2）在P→C→Q过程中有mgR－μmg×2R＝0
解得μ＝0.25。
（3）在A点有mg＝m
在Q→C→A过程中有Ep＝m＋mg×2R＋μmg×2R
解得弹性势能Ep＝3mgR。
素养训练
1.A　小孩从公园中粗糙的滑梯上加速滑下，则高度不断降低，重力势能不断减小；速度不断增加，则动能逐渐变大；因为要克服摩擦力做功，则机械能不断减小。故选A。
2.A　由能量守恒定律可知，要让秋千越荡越高，那么应该从高处摆下来的时候身体迅速下蹲，使重心降低，使更多的重力势能转化为动能；过了最低点后向上摆起时，身体应该迅速直立起来，升高重心，获得更多的重力势能，故A正确。
要点三
【典例3】　AD　对物块分析，物块的位移为x＋l，根据动能定理得，（F－f）（x＋l）＝Ek－0，所以物块到达小车最右端时具有的动能为（F－f）（x＋l），故A正确；对小车分析，小车的位移为x，所以物块对小车所做的功为fx，故B错误；物块和小车增加的内能Q＝fs相对＝fl，故D正确；根据功能关系得，外力F做的功转化为小车和物块的机械能和摩擦产生的内能，则有F（l＋x）＝ΔE＋Q，则ΔE＝F（l＋x）－fl，故C错误。
素养训练
　A　书包的最终速度为v，故动能变化量为mv2，故A正确；这一过程中书包的位移s1＝t，传送带走过的位移s2＝vt＝2s1，摩擦力对书包做的功为书包动能的增量W＝fs1＝mv2，摩擦力对传送带做的功为W'＝－fs2＝－mv2，故B错误；书包与传送带摩擦产生的热量Q＝fΔs，Δs＝s2－s1＝s1＜L，故摩擦产生的热量小于μmgL，故C错误；书包加速的时间t＝，由能量守恒定律得，电动机增加的平均功率P＝＝＝μmgv，故D错误。
【教学效果·勤检测】
1.A　加速助跑过程中运动员的动能不断增大，势能不变，故运动员的机械能不断增大，A正确；若运动员越过横杆正上方时动能为零，则下一时刻运动员将做自由落体运动，无法过杆，B错误；起跳上升过程中，竿的弹力对运动员做功，运动员的机械能不守恒，C错误；起跳上升过程中，竿先弯曲后伸直，竿的弹性势能先增大后减小，D错误。
2.A　设斜面倾角为θ，底边长为b，则Wf＝μmgcos θ·＝μmgb，即摩擦力做功与斜面倾角无关，所以两物体所受的摩擦力做功相同，即QA＝QB，产生的热量相同。由题图知A情况物体的重力做的功大于B情况物体的重力做的功，再由动能定理知，EA＞EB。故选项A正确。
3.B　重力做功－mgH，根据功能关系可知，物块的重力势能增加了mgH，A错误；在此过程中，由动能定理可知W＝－ma＝－1.6mgH，说明物块的动能损失了1.6mgH，B正确；在上升过程中，动能减少了1.6mgH，而重力势能增加了mgH，故机械能损失了0.6mgH，C错误；设物块克服摩擦力做功为W克，由动能定理可得W＝－mgH－W克＝－1.6mgH，解得W克＝0.6mgH，D错误。
4.（1）　（2）　（3）
解析：（1）滑块在由A到B的过程中机械能守恒，可得mgh＝m，解得vB＝。
（2）滑块在由B到C的过程中，
应用动能定理得μmgl＝m－m
解得μ＝。
（3）产生的热量Q＝f·l相对＝μmgl相对
由v0＝vB＋μgt得t＝
又l相对＝v0t－t＝t
代入vB＝，解得Q＝。
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习题课8　功能关系与能量守恒定律
核心 素养 目标 1.理解几种常见的功能关系，并会利用功能关系解决实际问题。
2.掌握能量守恒定律，并会利用能量守恒定律解决实际问题。
3.掌握摩擦力做功与摩擦生热的计算问题。
目 录
基础知识·准落实
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　几种常见的功能关系
【探究】
　质量为m的物块在竖直向上的恒力F的作用下由静止向上加速运动
了h，此过程恒力F做功多少，物块机械能变化了多少？（空气阻力不
计，重力加速度为g）
提示：恒力F做功WF＝Fh。
对物块，由动能定理得Fh－mgh＝mv2
物块机械能的变化量ΔE＝mv2＋mgh＝Fh
故物块机械能增加Fh。
【归纳】
1. 只有重力或系统内弹力做功，只有重力势能、弹性势能和动能的相
互转化，系统机械能守恒；若有其他力做功，就有其他能量和机械
能相互转化，系统的机械能就会发生变化。
2. 除重力和弹力以外的其他力做了多少正功，物体的机械能就增加多
少；其他力做了多少负功，物体的机械能就减少多少。
功 能量转化 关系式
重力做功 重力势能的改变 WG＝－ΔEp
弹力做功 弹性势能的改变 W弹＝－ΔEp
合外力做功 动能的改变 W合＝ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其
他力做功 机械能的改变 W＝ΔE机
3. 常见的几种关系
【典例1】　如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径
OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始
自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP
＝2R，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球
从P到B的运动过程中（　　）
A. 重力做功2mgR
B. 机械能减少mgR
C. 合外力做功mgR
解析：从P到B的过程中，小球下降的高度为R，则WG＝mgR，选项A
错误；小球到达B点时恰好对轨道没有压力，则有mg＝m，设摩擦
力对小球做的功为Wf，从P到B的过程，由动能定理可得mgR＋Wf＝
m，联立以上两式解得：Wf＝－mgR，即克服摩擦力做功mgR，
机械能减少mgR，故B错误，D正确；根据动能定理知：W合＝m
＝mgR，故C错误。
1. （多选）如图所示，一热气球总质量为m，某竖直上升过程中受到
浮力恒为F，空气阻力恒为F阻，热气球从地面由静止上升高度h，
速度变为v，已知重力加速度为g。在上述过程中，热气球的
（　　）
A. 重力势能增加了（mg＋F阻）h
B. 动能增加了（F－mg－F阻）h
C. 机械能增加了Fh
解析： 　热气球从地面由静止上升高度h，克服重力做功mgh，
则重力势能增加了mgh，故A错误；根据动能定理可得（F－mg－F
阻）h＝ΔEk增，故B正确；根据功能关系，可得ΔE＝（F－F阻）h＝
mv2＋mgh，故C错误，D正确。
2. （多选）质量为m的物体，由静止开始下落，由于阻力作用，下落
的加速度为g，在物体下落h的过程中，下列说法正确的是
（　　）
B. 物体的重力势能减少了mgh
解析： 下落的加速度为g，则物体所受的合力为mg，合力做功W合＝ mgh，合力做功等于动能的变化，所以物体的动能增加了mgh，选项A正确；重力做功WG＝mgh，重力做功等于重力势能的变化，所以重力势能减少了mgh，物体的动能增加了mgh，则机械能减少了mgh，选项B正确，选项C错误；物体受竖直向下的重力和竖直向上的阻力，下落的加速度为g，根据牛顿第二定律得阻力为mg，所以阻力做功WF阻＝－F阻h＝－mgh，即物体克服阻力所做的功为mgh，选项D正确。
要点二　能量守恒定律的理解及应用
1. 能量守恒定律
（1）内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一
种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物
体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。
（2）表达式
①E初＝E末：初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的
总和。
②ΔE增＝ΔE减：增加的能量的增加量等于减少的能量的减
少量。
（3）适用范围：能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种
自然现象中普遍适用的一条规律。
2. 应用能量守恒定律解题的一般步骤
（1）分清有多少种形式的能（如动能、势能、内能、电能等）在
变化。
（2）分别列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
（3）列恒等式：ΔE减＝ΔE增。
【典例2】　（2024·四川雅安期末）如图，半径为R的光滑半圆形轨
道ABC固定在竖直平面内且与水平轨道CD相切于C点，D端有一被锁
定的轻质压缩弹簧，弹簧左端连接在固定的挡板上，弹簧右端Q到C
点的距离为2R。质量为m的滑块（视为质点）从轨道上的P点由静止
滑下，刚好能运动到Q点，并能触发弹簧解除锁定，然后滑块被弹
回，且刚好能通过圆轨道的最高点A。已知∠POC＝60°，求：
（1）滑块第一次滑至圆形轨道最低点C时所
受轨道支持力大小；
答案：2mg　
解析：设滑块第一次滑至C点时的速度为vC，在P→C过程
中有mgR＝m
在C点有FN－mg＝m
解得FN＝2mg，方向竖直向上。
（2）滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ；
答案： 0.25　
解析： 在P→C→Q过程中有mgR－μmg×2R＝0
解得μ＝0.25。
（3）弹簧被锁定时具有的弹性势能。
答案： 3mgR
解析： 在A点有mg＝m
在Q→C→A过程中有Ep＝m＋mg×2R＋μmg×2R
解得弹性势能Ep＝3mgR。
1. 如图所示，一小孩从公园中粗糙的滑梯上加速滑下，对于其能量变
化情况，下列说法中正确的是（　　）
A. 重力势能减小，动能增加，机械能减小
B. 重力势能减小，动能不变，机械能减小
C. 重力势能减小，动能增加，机械能增加
D. 重力势能减小，动能增加，机械能不变
解析：　小孩从公园中粗糙的滑梯上加速滑下，则高度不断降
低，重力势能不断减小；速度不断增加，则动能逐渐变大；因为要
克服摩擦力做功，则机械能不断减小。故选A。
2. 秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动。春秋时期传入中原
地区，因其设备简单，容易学习，故而深受人们的喜爱，很快在各
地流行起来。会荡秋千的人不用别人推，就能越摆越高，而不会荡
秋千的人则始终也摆不起来。要使秋千越摆越高，以下做法合理的
是（　　）
A. 从高处摆下来的时候身体迅速下蹲，而从
最低点向上摆起时，身体迅速直立起来
B. 从高处摆下来的时候身体要保持直立，而
从最低点向上摆起时，身体迅速下蹲
C. 不论从高处摆下来还是从低点向上摆起，身体都要保持下蹲
D. 不论从高处摆下来还是从最低点向上摆起，身体都要保持直立
解析：　由能量守恒定律可知，要让秋千越荡越高，那么应该从
高处摆下来的时候身体迅速下蹲，使重心降低，使更多的重力势能
转化为动能；过了最低点后向上摆起时，身体应该迅速直立起来，
升高重心，获得更多的重力势能，故A正确。
要点三　摩擦力做功与摩擦生热的计算
1. 系统内一对静摩擦力对物体做功时，由于相对位移为零，故没有内
能产生，只有物体间机械能的转移。
2. 作用于系统的滑动摩擦力和物体间相对滑动的距离的乘积，在数值
上等于滑动过程产生的内能。即Q＝f滑s相对，其中f滑必须是滑动摩
擦力，s相对必须是两个接触面的相对滑动距离（或相对路程）。
【典例3】　（多选）如图所示，质量为m0、长度为l的小车静止在光
滑的水平面上。质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左
端。现有一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速
直线运动，物块和小车之间的摩擦力为f，经过时间t，小车运动的位
移为x，物块刚好滑到小车的最右端（　　）
A. 此时物块的动能为（F－f）（x＋l）
B. 这一过程中，物块对小车所做的功为f（x＋l）
C. 这一过程中，物块和小车增加的机械能为Fx
D. 这一过程中，物块和小车产生的内能为fl
解析：对物块分析，物块的位移为x＋l，根据动能定理得，（F－f）
（x＋l）＝Ek－0，所以物块到达小车最右端时具有的动能为（F－f）
（x＋l），故A正确；对小车分析，小车的位移为x，所以物块对小车
所做的功为fx，故B错误；物块和小车增加的内能Q＝fs相对＝fl，故D
正确；根据功能关系得，外力F做的功转化为小车和物块的机械能和
摩擦产生的内能，则有F（l＋x）＝ΔE＋Q，则ΔE＝F（l＋x）－fl，
故C错误。
　（2024·陕西宝鸡期末）“平安北京，绿色出行”，地铁已成为北京的主要绿色交通工具之一。如图甲所示的是地铁安检场景，图乙是安检时的传送带运行的示意图，某乘客把一质量为m的书包无初速度地放在水平传运带的入口A处，书包随传送带从出口B处运出，入口A到出口B的距离为L，传送带始终绷紧并以速度v匀速运动，书包与传送带间的动摩擦因数为μ。对于书包由静止释放到相对传送带静止这一
过程，下列说法正确的是（　　）
C. 书包与传送带摩擦产生的热量为μmgL
解析：　书包的最终速度为v，故动能变化量为mv2，故A正确；这
一过程中书包的位移s1＝t，传送带走过的位移s2＝vt＝2s1，摩擦力对
书包做的功为书包动能的增量W＝fs1＝mv2，摩擦力对传送带做的功
为W'＝－fs2＝－mv2，故B错误；书包与传送带摩擦产生的热量Q＝
fΔs，Δs＝s2－s1＝s1＜L，故摩擦产生的热量小于μmgL，故C错误；书
包加速的时间t＝，由能量守恒定律得，电动机增加的平均功率P＝
＝＝μmgv，故D错误。
02
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
1. 某运动员参加撑竿跳高比赛的示意图如图所示，对该运动员在撑竿
跳高过程中的能量变化描述正确的是（　　）
A. 加速助跑过程中，该运动员的机械能不断增大
B. 运动员越过横杆正上方时，动能为零
C. 起跳上升过程中，运动员的机械能守恒
D. 起跳上升过程中，竿的弹性势能一直增大
解析：　加速助跑过程中运动员的动能不断增大，势能不变，故
运动员的机械能不断增大，A正确；若运动员越过横杆正上方时动
能为零，则下一时刻运动员将做自由落体运动，无法过杆，B错
误；起跳上升过程中，竿的弹力对运动员做功，运动员的机械能不
守恒，C错误；起跳上升过程中，竿先弯曲后伸直，竿的弹性势能
先增大后减小，D错误。
2. 如图所示，两个完全相同的物体分别自斜面AC和BC顶端由静止开
始下滑，物体与两斜面间的动摩擦因数相同，物体滑至斜面底部C
点时的动能分别为EA和EB，下滑过程中产生的热量分别为QA和
QB，则（　　）
A. EA＞EB　QA＝QB B. EA＝EB　QA＞QB
C. EA＞EB　QA＞QB D. EA＜EB　QA＞QB
解析：　设斜面倾角为θ，底边长为b，则Wf＝μmgcos θ·＝
μmgb，即摩擦力做功与斜面倾角无关，所以两物体所受的摩擦力
做功相同，即QA＝QB，产生的热量相同。由题图知A情况物体的重
力做的功大于B情况物体的重力做的功，再由动能定理知，EA＞
EB。故选项A正确。
3. 如图所示，一固定斜面的倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面
底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于
0.8g（g为重力加速度大小），物块上升的最大高度为H，则此过
程中（　　）
A. 物块的重力势能减少了mgH
B. 物块的动能损失了1.6mgH
C. 物块的机械能损失了0.8mgH
D. 物块克服摩擦力做功0.8mgH
解析：　重力做功－mgH，根据功能关系可知，物块的重力势能
增加了mgH，A错误；在此过程中，由动能定理可知W＝－
ma＝－1.6mgH，说明物块的动能损失了1.6mgH，B正确；
在上升过程中，动能减少了1.6mgH，而重力势能增加了mgH，故
机械能损失了0.6mgH，C错误；设物块克服摩擦力做功为W克，由
动能定理可得W＝－mgH－W克＝－1.6mgH，解得W克＝0.6mgH，
D错误。
4. 如图所示，一质量为m的滑块从高为h的光滑圆弧形槽的顶端A处无
初速度地滑下，槽的底端B与水平传送带相接，传送带的运行速度
恒为v0，两轮轴心间距为l，滑块滑到传送带上后做匀加速运动，
滑到传送带右端C时，恰好加速到与传送带的速度相同。求：
（1）滑块到达底端B时的速度大小vB；
答案： 　
解析：滑块在由A到B的过程中机械能守恒，
可得mgh＝m，解得vB＝。
（2）滑块与传送带间的动摩擦因数μ；
答案：　
解析： 滑块在由B到C的过程中，
应用动能定理得μmgl＝m－m
解得μ＝。
（3）此过程中，由于克服摩擦力做功而产生的热量Q。
答案：
解析： 产生的热量Q＝f·l相对＝μmgl相对
由v0＝vB＋μgt得t＝
又l相对＝v0t－t＝t
代入vB＝，解得Q＝。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. （多选）如图所示，某同学正在做排球运动的垫球训练。他将球击
出后，球从某位置离开手臂竖直向上运动，再下落回到该位置的过
程中，空气阻力不能忽略。下列说法正确的是（　　）
A. 重力对球先做正功后做负功
B. 空气阻力对球一直做负功
C. 球的机械能始终不变
D. 球的机械能减少
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解析： 　球先上升后下降，则重力对球先做负功后做正功，A
错误；空气阻力与速度方向始终相反，则空气阻力对球一直做负
功，B正确；由于空气阻力一直做负功，则球的机械能减小，C错
误，D正确。
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2. 如图所示，弹性轻绳的一端套在手指上，另一端与弹力球连接，某
同学用手将弹力球以某一竖直向下的初速度抛出，抛出后手保持不
动。从球抛出瞬间至球第一次到达最低点的过程中（弹性轻绳始终
在弹性限度内，不计空气阻力），下列说法正确的是（　　）
A. 弹性轻绳的弹性势能一直增大
B. 弹力球的重力先不做功，后做正功
C. 弹性轻绳刚伸直时，弹力球的动能最大
D. 弹力球受到的合力先做正功后做负功
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解析： 　在弹性绳达到原长前，弹性势能为0，以后弹性势能才
一直增大，故A错误；从球抛出瞬间至球第一次到达最低点的过程
中，重力始终做正功，故B错误；弹性轻绳刚伸直时，弹力小于重
力，合力向下，弹力球的动能继续增大，当弹力与重力相等时，弹
力球的动能最大，故C错误；弹力球受到的合力先向下，后向上，
先做正功后做负功，故D正确。
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3. （多选）质量为m的物体从静止出发以的加速度竖直下降h，对于
此过程，下列说法中正确的是（　　）
A. 物体的机械能守恒
B. 物体的机械能不守恒
C. 重力做功mgh
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解析： 　物体从静止出发以的加速度竖直下降，说明物体受到
阻力的作用，阻力对物体做负功，物体的机械能减少，所以物体的
机械能不守恒，A错误，B正确；重力对物体做功WG＝mgh，C正
确；物体下降h时，物体的重力做正功为mgh，等于物体重力势能
的减少，所以物体的重力势能减少mgh，D错误。
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4. 一蹦极运动员身系弹性轻绳从水面上方的高台自由下落，到a点时
绳刚好绷直，经过b点时运动员的加速度为零，c为蹦极的最低点。
假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是
（　　）
A. 在b点运动员的机械能最大
B. 从a到c运动员的机械能先减小后增加
C. 从a到c运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能
之和先减少后增大
D. 蹦极过程中，运动员、地球所组成的系统机械能守恒
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解析：　运动员从高台到a点过程中机械能守恒，从a点开始，绳
子对运动员做负功，机械能开始减小，所以在Pa段机械能最大，
故A、B错误；蹦极过程中，运动员、弹性绳和地球所组成的系统
除重力和弹力做功外，其他力的合力做功为零，所以运动员、弹性
绳和地球所组成的系统机械能守恒，运动员、地球所组成的系统机
械能不守恒，故D错误；由于系统的机械能守恒，则运动员的重力
势能、动能与弹性绳的弹性势能之和不变，从a到c过程中，运动员
的动能先增大后减小，则运动员的重力势能与弹性绳的弹性势能之
和先减少后增大，故C正确。
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5. “打水漂”是人类最古老的游戏之一，游戏者运用手腕的力量让撇
出去的石头在水面上弹跳数次。如图所示，游戏者在地面上以速度
v0抛出质量为m的石头，抛出后石头落到比抛出点低h的水平面上。
若以抛出点为零势能点，不计空气阻力，则下列
说法正确的是（　　）
A. 抛出后石头落到水平面时的势能为mgh
B. 抛出后石头落到水平面时重力对石头做的功为－mgh
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解析：　以抛出点为零势能点，水平面低于抛出点h，所以石头
在水平面上时的重力势能为－mgh，A错误；抛出点与水平面的高
度差为h，并且重力做正功，所以整个过程重力对石头做功为
mgh，B错误；整个过程机械能守恒，以抛出点为零势能点，抛出
时的机械能为m，所以石头在水平面时的机械能也为m，C
正确；根据动能定理得mgh＝Ek2－m，可得石头在水平面上的
动能Ek2＝m＋mgh，D错误。
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6. （多选）如图所示，小球m从A点（距轻弹簧上端为h）由静止开始
下落，到C点速度为零（弹簧的最大压缩量为x），弹簧的劲度系
数为k，不计空气阻力，则在小球从与弹簧接触至运动到最低点C
的过程中，下列说法错误的是（　　）
A. 小球先超重后失重
B. 小球的速度立刻减小直至为0
D. 弹簧弹性势能的最大值为mg（h＋x）
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解析： 小球从与弹簧接触至运动到最低点C的过程中，弹簧弹力从0逐渐变大，一开始弹力小于重力，合力方向向下，加速度方向向下，小球向下加速，处于失重状态，当弹力大于重力后，合力方向向上，加速度方向向上，小球向下减速，处于超重状态，A、B说法均错误，满足题意要求；当弹簧弹力等于小球重力时，小球的加速度为0，此时小球速度达到最大，动能最大，设此时弹簧的压缩量为x1，则有kx1＝mg，解得x1＝，C说法正确，不满足题意要求；小球从A点到最低点C的过程中，根据能量守恒定律可知弹簧弹性势能的增加量等于小球重力势能的减少量，则ΔEp弹＝mg（h＋x），即弹簧弹性势能的最大值为mg（h＋x），D说法正确，不满足题意要求；故选A、B。
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7. 如图所示，质量为M＝8 kg的长木板放在光滑水平面上，在木
板左端施加F＝12 N的水平推力，当木板向右运动的速度达到v0
＝1.5 m/s时，在其右端轻轻放上一个大小不计、质量为m＝2
kg的铁块，铁块与木板间的动摩擦因数μ＝0.2，木板足够长，
g取10 m/s2。求：
（1）当二者达到共同速度时，木板对铁块以及铁块对木板所做
的功；
答案： 9 J　－13.5 J　
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解析：放上铁块后，铁块加速度a1＝μg＝2 m/s2（方向向右）
木板加速度a2＝＝1 m/s2（方向向右），
二者达到共同速度v所用时间t＝＝，解得v＝3 m/s，t＝1.5 s。
从放上铁块到二者速度相同，铁块位移x1＝t＝2.25 m，
木板位移x2＝t＝3.375 m，
木板对铁块做的功W1＝μmgx1＝9 J，
铁块对木板做的功W2＝－μmgx2＝－13.5 J。
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（2）当二者达到共同速度时，木板和铁块之间因摩擦所产生的
热量。
答案： 4.5 J
解析： 木板和铁块之间因摩擦所产生的热量
Q＝μmg（x2－x1）＝4.5 J。
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8. 当代人工智能无处不在，大大减少了人工的成本。某智能快递分拣
中心，通过智能大脑分拣好的包裹从机器的出口以初速度v0＝0.2
m/s滑上由理想电动机带动的水平传送带，传送带以速度v＝3 m/s
匀速运动，传送带左右两端相距L＝5 m，如图所示。设包裹质量m
＝1 kg，它与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g取 10
m/s2。求：
（1）包裹从左端到右端的时间；
答案：2.32 s　
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解析： 由μmg＝ma可得包裹的加速度
a＝μg＝2 m/s2　
包裹匀加速运动的时间t1＝＝1.4 s
包裹匀加速运动的位移x1＝t1＝2.24 m
包裹匀速运动的时间t2＝＝0.92 s
包裹从左端到右端的总时间t＝t1＋t2＝2.32 s。
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（2）包裹从左端到右端的过程中，摩擦力对包裹所做的功；
答案： 4.48 J　
解析： 摩擦力对包裹做的功
Wf＝mv2－m＝4.48 J。
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（3）包裹从左端到右端的过程中，电动机多消耗的电能。
答案：8.4 J
解析： 当包裹与传送带共速时，包裹相对传送带的位移Δx＝
vt1－x1＝1.96 m
该过程产生的内能Q＝μmgΔx＝3.92 J
电动机多消耗的电能E电＝Wf＋Q＝8.4 J。
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