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3.2.1 函数的单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.
2. 能够利用定义证明函数的单调性
3. 掌握函数单调性的简单应用
一、学习目标
自主预习，导学提示
阅读课本76-77页，完成以下问题：
1.单调递增、单调递减、增函数、减函数的概念是什么？
2.如何表示函数的单调区间？
3.函数的单调性和单调区间有什么关系？
二、新课导入
考试
曲线的变化趋势不同
一、不同的函数，其图象的变化趋势不同
二、同一函数在不同区间上变化趋势也不同
函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性
引例 观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗？
图象从左到右上升
（保持递增）
图象关于原点成中心对称
图象从左到右有增有减
图象关于y轴对称
局部上升或下降
在初中我们利用函数图像研究过函数值y随着自变量x的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性。下面进一步用符号语言刻画这种性质。
初高衔接
观察下列函数图象，指出其变化趋势.
x
y
x
y
y=x+1
x
y
O
O
O
1
1
1
1
1
1
在某一区间内，
图像在该区间内呈上升趋势——函数值y随着自变量x的增大而增大；
图像在该区间单调递增
初高衔接
观察下列函数图象，指出其变化趋势.
1
y=-x+1
x
y
x
y
x
y
O
O
O
1
1
1
1
1
1
在某一区间内，
图像在该区间内呈下降趋势——函数值y随着自变量x的增大而减小；
图像在该区间单调递减
初高衔接
观察下列函数图象，指出其变化趋势.
x
y
y=x2
y
x
x
y
1
1
-1
-1
O
O
O
1
1
1
1
y轴左侧（上升），
随x的增大而增大，
y轴右侧（下降），
随x的增大而减小。
y轴左侧（下降），
随x的增大而减小，
y轴右侧（上升），
随x的增大而增大。
局部上升或下降趋势
需要分段讨论
三、思——定量分析二次函数f(x)=x2的单调性
在y轴左侧，当x≤0时，y随x的增大而减小
f(x)在(-∞,0]上单调递减
在y轴右侧，当x≥0时，y随x的增大而增大
f(x)在[0,+∞)上单调递增
思——定量分析二次函数f(x)=x2的单调性
思维火花
在区间[0,+∞)上的x1， x2，当x1< x2时，有f(x1)< f(x2)，一定能保证函数图象在区间[0,+∞)上y随x的增大而增大吗？
x
O
y
x
O
y
因此，满足在区间[0,+∞)上所有的x1， x2，当x1小结
图象从左至右上升
当x1< x2时,
f(x1)< f(x2)
y随x的增大而增大
任意的
都有
x
y
O
1
1
2
-1
-2
2
3
4
x1
f(x2)
x2
f(x1)
M
N
思维火花
注意：单调性是针对定义域的某个区间而言的，是函数的一种局部性质。
课本77页思考1
函数，各有怎样的单调性
O
x
y
注意:端点值于单调区间不重要，但要明确端点是否在定义域内。
概念剖析
——单调递增、增函数
x增大
x1 ＜ x2
x增大，函数值f(x)也增大
函数值f(x)也增大
f(x1)＜f(x2)
当 x1＜x2 时，
都有f(x1)＜f(x2)
用符号表示
用符号表示
用符号表示
概念剖析
——单调递增、增函数
如果 x1，x2∈I, 当x1则称函数f(x)在区间I上单调递增，
区间 I 为f(x)的单调递增区间.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数。
请类比增函数定义给出减函数的定义.
概念剖析
——单调递减、减函数
如果 x1，x2∈I, 当x1则称函数f(x)在区间I上单调递减，
区间 I 为f(x)的单调递减区间.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数。
如果函数y =f(x)在区间D是增函数或减函数，那么就说函数y =f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫做y =f(x)的单调区间。常数函数不具有严格的单调性.
单调增区间和单调减区间都叫单调区间
注意：定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1(3)属于同一个单调区间．
课本77页思考2（1）
设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且 x1,x2∈A，当x1课本77页思考2（2）
函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是
单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另
一些区间上单调递减的函数例子吗？
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-2
-3
2
3
o

牛刀小试：
给出函数 y = f (x) 的图象，如图所示，根据图象说出这个函数在哪些区间上是增函数？哪些区间上是减函数？
解：函数在区间[-1，0]，[2，3]上是减函数；
在区间[0，1]，[3，4]上是增函数．
2
3
x
1
4
-1
O
y
区间的端点不影响区间的单调性.
例：的单调递增区间或
当函数有多个单调区间时，不能写并集 连接，要用“，”或者“和”隔开.（易错易错易错）
概念辨析：
（3）反比例函数 在 上是减函数．( )
×
（1）若f (1)< f (2)，则 f (x)在[1,2]上单调递增.（ ）
（2）f (x)在R上单调递增，则f (-3)×
√
四、议——典例分析
例1 根据定义研究函数的单调性.
则
①当k>0时，
于是
②当k<0时，
于是
取值
作差变形
定号
定号
结论
结论
一次函数
例2 物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量气体，
当体积V减小时，压强P将增大。试对此用函数的单调性证明。
分析：按题意就是证明函数在区间 上是减函数.
反比例函数
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1由V1，V2∈ (0，+∞)且V10, V2- V1 >0
因为k>0,所以
所以，函数是减函数。也就是说，当体积V减少时，压强P将增大.
例2拓展 的定义域是什么？它在定义域上的单调性是怎样的？
小结
定义法证明函数单调性的步骤：
取值：在区间内任取x1、x2，且x1作差：f(x1)－f(x2);
变形：将f(x1)－f(x2)进行适当因式分解、配方变形;
定号：将变形结果与0作比较;
结论：判断，根据定义作结论.
例3 根据定义证明函数 在区间 上单调递增。
证明：
所以，函数 在区间 上单调递增。
五、展——自信大方的上台展示吧！
证明函数 在定义域上的单调递增．
任意取值
判断符号
得出结论
作差变形
证明：函数f(x) = 4x-2的定义域为(-∞，+∞).
展1
展2
证明函数上单调递增.
展3 已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.
(1)将函数写成分段函数的形式；
(2)画出函数的图象；
(3)根据图象写出它的单调区间．
解：(1)f(x)＝x2－4|x|＋3＝
(2)如图．
(3)由图象可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2)．
六、精讲精评
f(x)在区间D上单调递增 x1，x2∈D且x1 x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)0
f(x)在区间D上单调递减 x1，x2∈D且x1f (x2)
x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)要在定义域上讨论单调区间.
[3,＋∞)
增+增=增
减+减=减
增－减=增
减－增=减
注：“增－增”、“减－减”无法确定单调性
思维火花——对勾函数
七、强化训练，巩固提升
2. 已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f ( )的大小.
3.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.

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