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北京市北京北师大实验中学2026届高三上学期综合测验2
数学试题
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A． B． C．3 D．5
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知点满足，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．4
6．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．7
7．已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（ ）
A．4 B．2 C．0 D．2
8．已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知是边长为2的等边三角形，点在线段上，，点在线段上，且与的面积相等，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数来表示.下列结论正确的是（ ）
A．若，则函数为奇函数 B．若，则函数有最小值
C．若，则函数为增函数 D．若，则函数存在零点
二、填空题
11．函数的定义域是 .
12．已知向量，，且，则 .
13．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则 ；若为偶函数，则的最小值是 .
14．已知函数其中.若，则函数的值域是 ；若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是 .
15．已知是各项均为正数的无穷数列，其前项和为，且.给出下列四个结论：
①；
②；
③对任意的，都有；
④存在常数，使得对任意的，都有，
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
16．已知函数.
(1)求的最小正周期及值域；
(2)求的单调递增区间.
17．在中，，．再从条件① 条件② 条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，并求
(1)的值；
(2)的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18．已知公差大于0的等差数列满足，，为数列的前项和.
(1)求的通项公式；
(2)若，，成等比数列，求，的值.
19．已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程及长轴长；
(2)点是椭圆上一动点，且不与顶点重合，点满足四边形是平行四边形，过点作轴的垂线交直线于点，连接交于点，求证：．
20．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在处取得极小值，求的值；
(3)若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围.
21．已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集.
(1)若，写出的所有子集；
(2)若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值；
(3)若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值.
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A C D A B C D
11．
12．2
13． ；．
14． ；.
15．①②③
16．（1），
故的最小正周期，的值域为.
（2）根据（1）中所求，，
令，解得.
故的单调增区间为：.
17．（1）若选条件①，，
，满足条件的有两个，不合题意，不能选择条件①；
若选条件②，，
，满足条件的有且仅有一个，
由余弦定理得：，
解得：或（舍），；
若选条件③，，，；
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
解得：或（舍），则满足条件的有且仅有一个，.
（2）由（1）知：，.
18．（1）因为，所以，
而，所以或，
又因为公差大于0，所以，得，
所以.
即
（2），
所以，，
若，，成等比数列，则有，
即，又因为，且，
所以或，
解得或.
19．（1）由题意，解得，
所以椭圆的方程为，椭圆的长轴长为；
（2）
由题意知斜率存在，设，
联立与得，，化简得，
由韦达定理得，，
所以，
而直线，从而，
因为点满足四边形是平行四边形，关于中心对称，
根据平行四边形的中心对称性，可知也关于中心对称，
所以，而，
所以，显然，所以，
所以直线的方程为，
联立与，得，
即，
化简得，即，
因为，所以，
所以.
20．（1）因为，则，，
故，所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）知，所以，
此时，，
当时，，
所以在区间上单调递增，
设，则，
设，则，
所以，当，，所以在区间上单调递增，
又，，故存在使得，
所以当时，，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故函数在时取得极小值，所以.
（3）因为，则，，
当，即，由函数图象的连续性可知，
必存在正实数，使得对任意的，，
此时单调递增，从而，不符合题意；
当，即，由函数图象的连续性可知，
必存在正实数，使得对任意的，，
故在上单调递减，从而，符合题意；
当时，，，
设，在上恒为正，
所以在上单调递增，
所以在上，在上单调递增，
从而，不合题意；
综上，的范围是.
21．（1）当时，，的所有子集为.
（2）当时，取，因为，所以是的子集，此时；
若，设且，
根据题意，，其中；
因为，所以，所以；
又因为，所以；
因为，所以，
所以；
因为，所以，
所以，与矛盾.
综上所述，.
（3）设
，
设的元素个数为，
若不是的子集，
则最多能包含中的一个元素以及中的元素；
令，易验证不是的子集，
当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的子集，
所以，若的任意一个元素个数为的子集都是的子集，则；
当时，存在，使得中必有两个元素属于，
同时中两个元素之和为的某个正整数指数幂，
所以是的子集；
所以，的最小值为.
答案第6页，共6页
答案第5页，共6页

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