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北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期10月份阶段性质量检测
一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数z满足i z＝2+i，则z的共轭复数是
A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i
3．已知，，，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（　　）
A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
5．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知非零平面向量,，则“|+|=||+||”是“存在非零实数λ，使=λ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知函数（），，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知无穷等比数列的公比为，则“”是“单调递减”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
10．已知函数的最小正周期为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）的关系为，其中，k是常数.如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少需要花多少时间（精确到）？（，）（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且，下列说法正确的是（ ）
A．当时，数列为递减数列
B．数列不可能为等比数列
C．当，，都有
D．当时，，，都有
二、填空题
13．函数的定义域为 .
14．若，则 ．
15．已知，且，．写出满足条件的一组，的值 ， ．
16．等差数列的通项公式，前项和为，则 ，数列的最小值为 ．
17．在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是 ．
18．已知函数与，其中实数．给出下列四个结论：
①函数在区间上单调递增；
②对任意的与的图象都只有一个公共点；
③若与的图象没有公共点，则的取值范围是；
④当与的图象有两个公共点时，这两个公共点横坐标的差大于1．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
19．已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
(1)求的值，并写出函数的单调递减区间；
(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件①：；
条件②：是的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．在中，为钝角，，．
(1)求；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21．如图，点是以为圆心，半径为1的圆弧（包含两个端点）上的一点，且，且；

(1)若为圆弧的中点，求和的值；
(2)若在圆弧（包含两个端点）上运动，求的取值范围.
22．已知函数，，在处取得极大值1.
（1）求和的值；
（2）当时，曲线在曲线的上方，求实数的取值范围.
（3）设，证明：存在两条与曲线和都相切的直线.
23．定义：若正整数能表示成（为正整数且）的形式，则称为“型数”，也称具有“结构”. 若数列中的项均为“型数”，则称数列为“型数列”.
(1)写出这四个数中的“型数”；
(2)若为等差数列，且，，求证中任意一项均不为“型数”；
(3)若数列，均为“型数列”，设，求证数列为“型数列”.
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A A A B B A B
题号 11 12
答案 C C
13．
14．
15． ；.（答案不唯一）
16． ；
17． .
18．①②③
19．（1）选条件①：无意义，所以选条件①时不存在，故不能选①，
选条件②．
由题设，所以．
因为， 所以，所以．
所以．
选条件③，由题设．
整理得．
因为， 所以，所以．
所以．
所以
由，
解得，
即函数的单调递减区间为
（2）由（1） ，
因为， 所以．
于是，当且仅当，即时，取得最大值；
当且仅当，即时，取得最小值．
又，即时，．
时，故，
故 在上单调递增，同理在上单调递减，
所以曲线与直线恰有一个公共点时，则或
的取值范围是．
20．（1）因为，所以，
又因为为钝角，所以，则，可得，
由正弦定理，所以.
若选择条件①：，
（2）因为，且为钝角，所以
由余弦定理，代入整理得到
解得（舍），此时的面积；
若选择条件②：，
因为，且为钝角，所以，且为锐角，
由可得，
则，
由正弦定理，所以，
所以的面积；
若选择条件③：，
由（1）结合为钝角可得，
因为，故 ，而，故，
故，而，由余弦定理，，
，但由基本不等式有，产生矛盾，故不能选③.
21．（1）以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

由可得，
又，由三角函数的定义可得，
即，
因为为圆弧的中点，所以,又，
则，
所以，，，
由可得，
即，解得.
（2）设，则，所以，
由可得，
可得，解得，
所以，
因为，所以，
当时，即时，取得最大值，此时的最大值为，
当或时，即或时，取得最小值，
此时的最小值为，
所以的取值范围为.
22．解：（1）.
由已知，，
解得，.经检验，满足题意.
所以，.
（2），..
依题意对任意的恒成立.
所以对任意的恒成立.
令，，
，
令，，
所以，令，所以.
因为当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
当时，函数的最小值为，且.
所以，即.在上单调递增，
所以，
所以，故实数的取值范围为.
（3）假设存在与曲线和曲线都相切的直线，
设切点坐标分别为，.
因为，所以的方程为.
因为，所以的方程为.
所以，消去得.……①.
令，，
所以，
所以，在区间上，，是减函数；在区间上，，
是增函数.
所以，当时，函数的最小值为.
又因为，
，
所以函数在上有两个零点，即方程①有两个不等的正实根，
由方程可得有两个不同的值，
所以有两组不同的解，直线有两条，
所以存在两条与曲线和都相切的直线.
23．（1）7，14，21，28这四个数中的＂型数＂有7，21，28．
；；.
（2）因为为等差数列，且，
所以有．
所以．
下面用反证法证明：
假设存在N，使为＂T型数＂
则有．
①若，均可以被3整除，则一定被3整除，
与矛盾．
②若，则，
与矛盾．
③若，
则
与矛盾.
④若，结论与②同．
⑤若，结论与③同．
⑥若，
则
与矛盾．
⑦若，则结论与⑥同．
综上，中任意一项均不为＂T型数＂．
（3）因为数列均为＂T型数列＂，
所以有为正整数且为正整数且
不妨设，
①当时，则存在正整数以及既约分数，
使得
则
②当时，
，
③当时，则，
由①②③可知为＂T型数＂，所以数列为＂T型数列＂．
答案第6页，共7页
答案第7页，共7页

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