资源简介

北京市第一五六中学2025-2026学年高三上学期10月月考
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．0
3．的展开式中，的系数是（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，且，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
7．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
8．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为 B．的最大值为
C．的图象关于直线对称 D．在区间上有3个零点
10．已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”.给出下列4个集合：
① ②
③ ④
其中所有“好集合”的序号是（ ）
A．②③ B．①②④ C．③④ D．①③④
二、填空题
11．已知复数，，那么 .
12．函数的定义域为 ．
13．已知，，，则，，三个数从小到大的顺序是 .
14．设函数，的值域是 ，设，若恰有两个零点，则a的取值范围为 ．
15．设函数的定义域为，若对于任意，存在，使得，则称函数具有性质M，给出下列四个结论：
①函数不具有性质M；
②函数具有性质M；
③若函数，具有性质M，则；
④若函数具有性质M，则.
则正确的序号为 .
三、解答题
16．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)若，求的最小值.
17．如图，在中，，，点在边上，.
(1)求的长；
(2)若的面积为，求的长.
18．某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.
株高增量（单位：厘米）
第1组鸡冠花株数 9 20 9 2
第2组鸡冠花株数 4 16 16 4
第3组鸡冠花株数 13 12 13 2
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；
(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；
(3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明）
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点.
(1)求证：；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小.
条件①：；
条件②：平面平面；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
20．已知椭圆经过两点.
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点F，若点满足，求证：P，O，Q三点共线．
21．已知函数.
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)设直线l为曲线的切线，当时，记直线l的斜率的最小值为，求的最小值；
(3)当时，设，，求证： .
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D B C B A D A
11．/
12．
13．
14．
15．①③
16．
（1）因为，
所以的最小正周期为.
（2）因为，由（1）知，令，
则，易知，所以，
所以当时，取得最小值，最小值为.
17．
（1）因为，所以
在中，因为
所以
在中，由正弦定理得，
所以；
（2）的面积为，得
因为，所以
又因为，所以
在中，由余弦定理得
所以.
18．
（1）设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米,
所以估计为；
（2）设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，估计为， 估计为，
根据题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2.3，且
；
；
；
，
则的分布列为：
0 1 2 3
所以.
（3）
理由如下：
，所以；
，所以；
，所以；
所以.
19．
（1）证明：因为底面是正方形，所以，
平面，平面,
所以平面，
又因为平面与交于点.
平面，平面平面
所以.
（2）选条件①②
侧面为等腰直角三角形，且
即，
平面平面，
平面平面，平面,
则平面，又为正方形，
所以.
以点为坐标原点，分别为轴,轴,轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则
因为，所以点为的中点，则
从而：，
设平面的法向量为：，
则，
令，可得
设平面的法向量为：，则
，
令，可得
所以
则两平面所成的锐二面角为
选条件①③
侧面为等腰直角三角形，且即
，且两直线在平面内，可得平面，平面，则.
又因为且两直线在平面内，
则平面平面则
因为，所以为等腰三角形，所以点为的中点
又因为，所以为等腰直角三角形，
下面同①②
选条件②③
侧面为等腰直角三角形，且，
即
平面平面，
平面平面，平面,
则平面为正方形，
所以.
又因为且两直线在平面内，则平面，平面
则
因为，所以为等腰三角形，所以点为的中点.
下面同①②
20．
（1）将代入椭圆方程，，
解得，故，，
所以椭圆C的方程为，离心率为；
（2）
法1：设点，，
所以直线PA的方程为：，直线AQ的方程为：，
所以点，．
，
因为，所以
即①
当直线PQ无斜率时，设，
则，
代入①得：，解得：，
所以P，O，Q三点共线．
当直线PQ有斜率时，设，
由得：
所以
，
代入（1）得：，
解得：或.
当时，直线PQ的方程：，不符合题意．
故，所以P，O，Q三点共线．
综上，P，O，Q三点共线．
法2：设点，点，直线PA的方程为：，
所以点．
，，
因为，所以，
所以，即，
所以直线AF的方程为：，
要证P，O，Q三点共线，由椭圆的对称性，只需证在直线AF上．
又因为，所以，
所以，所以在直线AF上，
所以P，O，Q三点共线．
法3：由题意得，不妨令E点在x轴上方，
因为，所以，
又因为，所以，
所以Rt∽Rt，故，即，
设，则，
则直线方程为，与联立得，
设，则，解得，则，
直线方程为，与联立得，
设，则，解得，则，
故，，
所以P，Q关于原点对称，P，O，Q三点共线.
21．
（1）当时，，故，
令，则，
即的单调递增区间为.
（2）由，可得，
即直线l的斜率为，
设，则，
因为，故，
当时，，在上递减，
当时，，在上递增，
故，即，
即，而，故的最小值为.
（3）由已知，由（2）可知时，为单调增函数，
由，，
则，
又时，为单调减函数，
，
故，
由于，即，故，
故 .
答案第8页，共8页
答案第7页，共8页

展开更多......

收起↑