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北京市第一六一中学2025-2026学年高三上学期10月阶段测试数学试卷
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．已知函数，则当时，有（ ）
A．最大值 B．最小值
C．最大值 D．最小值
5．已知函数，则“”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数的部分图象大致如图所示，则的解析式可能为（　　）
A． B．
C． D．
7．设函数，若为上单调递减函数，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ）
A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地
B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
9．对于函数定义域中任意的，给出如下四个结论：
①；
②；
③；
④．
满足其中三个结论的函数是（　　）
A． B． C． D．
10．已知函数，，记函数的最大值为，则的最小值为（　　）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
二、填空题
11．已知复数满足，则 ．
12．若函数，，则 ．
13．已知，则 ．
14．设函数，若只有一个零点，则的一个取值为 ，若存在最小值，则的最大值为 ．
15．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称是的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论：
①若，则存在唯一一个周期为1的周期点；
②若，则存在周期为2的周期点；
③若则不存在周期为3的周期点；
④若，则对任意正整数n，都不是的周期为n的周期点．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
16．在三棱柱中，侧面 为矩形，平面， D，E分别是棱 的中点.

(1)求证： 平面；
(2)若，求直线与平面 所成角的正弦值.
17．已知函数．
(I)求的最小正周期；
(Ⅱ)求在区间上的最大值．
18．某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为分，规定测试成绩在之间为“体质优秀”，在之间为“体质良好”，在之间为“体质合格”，在之间为“体质不合格”.现从这两个年级中各随机抽取名学生，测试成绩如下：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7
高一年级 60 85 80 65 90 91 75
高二年级 79 85 91 75 60
其中是正整数.
（1）若该校高一年级有学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；
（2）若从高一年级抽取的名学生中随机抽取人，记为抽取的人中为“体质良好”的学生人数，求的分布列及数学期望；
（3）设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出的值.（只需写出结论）
19．已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.
20．已知函数．
(1)若函数在处与轴相切，求的值；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)若函数存在两个极小值点，求证：．
21．设n 为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记
（Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素
（Ⅱ）设且，求的最大值和最小值；
（Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值.
试卷第4页，共5页
试卷第5页，共5页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B A D B C B C
11．
12．
13．
14． （答案不唯一）
15．①④
16．
（1）在三棱柱中，，且，
因为D，E分别是棱 的中点，
所以，且,
所以四边形是平行四边形，所以,
又平面，平面，
所以平面.
（2）分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示
的空间直角坐标系，
由题意得，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，于是，
所以，
所以直线与平面 所成角的正弦值.

17．
（Ⅰ）因为，所以的最小正周期．
（Ⅱ）因为，所以．当，即时，取得最大值为．
18．
解：（1）高一年级随机抽取的7名学生中，
“体质优秀”的有3人，优秀率为，将此频率视为概率，
估计高一年级“体质优秀”的学生人数为.
（2）高一年级抽取的7名学生中
“体质良好”的有2人，非“体质良好”的有5人.
所以的可能取值为
所以
所以随机变量的分布列为：
（3）
19．
（1）由题意可得，解得，，
所以圆的方程为，椭圆的方程为．
（2）
证明：设点P的坐标为，点Q的坐标为，
则，即，
又由，得点M的坐标为，
由，得点N的坐标为，
所以，，，
所以，
所以，即
20．
（1），由条件可知，，，得；
（2），，
设，
当时，恒成立，
当时，，得，
当，，单调递减，当，，单调递增，
所以当时，取得最小值，，
所以当时，恒成立，
所以的变号零点由决定，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以的减区间是，增区间是；
（3），，
由（2）可知，当时，只有1个极小值，不满足条件，
当时，，，，得，
当，，单调递减，当，，单调递增，
所以当时，取得最小值，，
时，，时，，
所以在区间和分别有1个零点，设为，，
所以有3个变号零点，分别是，
如下表，（说明是极小值点）
0 0 0
单调递减 极小值点 单调递增 极大值点 单调递减 极小值点 单调递增
且，即，
得，且，即，
，
，
所以.
21．
(Ⅰ)满足的元素为
（Ⅱ）记，，
注意到，所以，
所以
因为，所以
所以中有个量的值为1，个量的值为0.
显然
，
当，时，
满足，.所以的最大值为
又
注意到只有时，，否则
而中个量的值为1，个量的值为0
所以满足这样的元素至多有个，
当为偶数时，.
当时，满足，且.
所以的最小值为
当为奇数时，且，这样的元素至多有个，
所以.
当，时，满足，.
所以的最小值为
综上：的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，.
（Ⅲ）中的元素个数最大值为
设集合是满足条件的集合中元素个数最多的一个
记 ，
显然
集合中元素个数不超过个，下面我们证明集合中元素个数不超过个
，则
则中至少存在两个元素
，
因为，所以不能同时为
所以对中的一组数而言，
在集合中至多有一个元素满足同时为
所以集合中元素个数不超过个
所以集合中的元素个数为至多为 .
记 ，则中共个元素，
对于任意的，，.
对，记其中，，
记，
显然，，均有.
记，中的元素个数为，且满足，，均有.
综上所述，中的元素个数最大值为.
答案第6页，共7页
答案第7页，共7页

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