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北京市首都师范大学附属苹果园中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．若集合，或，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是
A． B． C． D．
3．函数是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为2π的偶函数
4．角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．3
5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
7．已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是．那么后物体的温（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，以后物体的温度是38℃，则k的值约为（ ）
A．0.25 B． C．0.89 D．
10．已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
二、填空题
11．函数的定义域是 ．
12．已知，则 .
13．若函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
14．设函数
①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ；
②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ．
15．对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质.
（1）下列函数中具有性质的有 .
①
②
③，（）
④
（2）若函数具有性质，则实数的取值范围是 .
三、解答题
16．已知等比数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
17．已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）设. 当时，的取值范围为，求的最大值.
18．在中，．
(1)求；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．
19．已知函数.
(1)求函数的单调区间及极值；
(2)直接写出函数的值域，不要求计算过程.
20．已知函数.
(1)若曲线在处的切线方程为，求的值；
(2)证明：当时，曲线不存在斜率小于零的切线；
(3)若函数存在极值，求的取值范围.
21．已知数列记集合
(1)对于数列：，列出集合的所有元素；
(2)若是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
(3)若把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为若，求的最大值.
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B A C C D A B
11．
12．
13．
14．（答案不唯一）；
15．（1）①②③
（2）或．
16．（1）因为等比数列满足，
则，两式相除可得，解得.
所以的通项公式为.
（2）.
所以
17．（1）令，.
所以，.
所以函数的单调递减区间.
（2）
因为，
所以.
因为的取值范围为，
所以的取值范围为
所以.
解得：.
所以m的最大值为.
18．（1）解：因为，由余弦定理得，
又因为，所以.
（2）解：由（1）知，
若选①②：，，
由，可得，
由正弦定理，可得，解得，则，
又由余弦定理，可得，
即，解得或（舍去），
所以的面积为.
若选①③：且，
由，可得，
因为，可得，
由正弦定理，可得，解得，
所以的面积为.
若选：②③：且，
因为，可得，整理得，
解得，不符合题意，（舍去）.
19．（1）因为，
所以.
由；
由或.
所以的递减区间为和，递增区间为.
函数的极小值为，极大值为.
（2）因为函数在和上单调递减，在上单调递增，
且恒成立，
又，
且时，时，
所以函数的值域为.
20．（1）函数的定义域为，
，
因为曲线在处的切线方程为，
故切点为，
因为，故切点在曲线上，
因为，所以，解得，
故的值为；
（2）当时，所以，
令，，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以函数在处有最小值，即，
所以曲线在定义域内恒成立，
故时，曲线不存在斜率小于零的切线；
（3）当时，函数存在极值；
当时，若函数存在极值，则有解，
即，
当，即时，关于的方程无解，
当，即时，得，
令，，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以函数在处有极小值为，
因为时，，当时，，故函数大致图象如下：

所以要使有解，则或，
下面，讨论或，函数是否存在极值，
令，，
当时，在上恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
因为时，，所以，即，，
所以当时，函数存在极值，
当时，因为时，，时，，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以在处有最小值，
因为，，
所以当时，，故函数存在极值，
当时，，故函数不存在极值；
综上，若函数存在极值，求的取值范围为.
21．（1）由题意可得，，，
所以.
（2）假设存在，使得，
则有，
由于与奇偶性相同，所以与奇偶性不同，
又因为，所以必有大于等于的奇数因子，
这与无以外的奇数因子矛盾.
故不存在，使得成立.
（3）由题意得，
当，时，，
除，外，，
其中与一奇一偶，则能拆成奇数与偶数之乘积，
在正偶数中，只有无法拆成一个大于的奇数与一个不小于的偶数之乘积，
又中的元素均为偶数，故，
故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024，
，
故的最大值为．
答案第6页，共6页
答案第5页，共6页

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