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山西省大同市铁路第一中学校2026届高三上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.直线被圆所截得的弦长为( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.设等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
6.当时，若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调，而函数有最大值，则下列数值可作为取值的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，均为实数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则， D. 若，，则
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. B. 函数的图象关于点对称
C. ， D. 函数在上无最小值
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. B. 的最大值是
C. 有两个不等实根 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为单位向量，且，若，则 ．
13.将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则
14.已知是上的奇函数，且对，有，当时，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，、、分别是角、、的对边，且．
求角的大小；
若，，求的面积．
16.本小题分
如图，在直角梯形中，，，为的中点，将沿折起到的位置，使得．
求证：；
求平面与平面所成的角的余弦值．
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，，正项等比数列中，，．
求与的通项公式；
求数列的前项和．
18.本小题分
自限性疾病是指病情具有自我缓解特点、能够自行消散的疾病．已知某种自限性疾病在不用药物的情况下一般天后可以康复．为研究药物对该自限性疾病的作用，某研究所对其进行了双盲实验，把名初患该疾病的志愿者随机平均分成两组，甲组正常使用药物，乙组用安慰剂代替用药，经统计得到以下列联表：
小于天康复 天后康复 合计
甲组
乙组
合计
依据列联表所给数据，能否有的把握认为用药物与小于天康复有关？
若将甲组中天后康复的频率视为药物无效的概率，现从患该疾病且用了药物的人中随机抽取人，记其中药物对其无效的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，．
双盲实验：在试验过程中，测验者与被测验者都不知道被测者所属的组别实验组或对照组，分析者在分析资料时，通常也不知道正在分析的资料属于哪一组，旨在消除可能出现在实验者和参与者意识当中的主观偏差和个人偏好．
安慰剂：是指没有药物治疗作用，外形与真药相像的片、丸、针剂．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的最大值；
若恰有一个零点，求的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.
15.【详解】由利用正弦定理可得，
整理可得，
又，可得，
即，
又，所以，
由，可得；
由余弦定理可得，
将，代入可得，
由三角形面积公式可得．
即的面积为．

16.【详解】证明：由题知在直角梯形中，，
，，
又
所以平面
又平面，
取的中点，连接
由，，得是等边三角形，则
又知平面，由，所以平面
则可过点作平行于的直线建立空间直角坐标系，
由，，则，
则，，，
则，
设平面的一个法向量为
则即
令，则，则
易知为平面的一个法向量，
设平面与平面所成的角为，
则

17.【详解】等差数列的前项和为，，，设公差为
所以，解得
所以
正项等比数列中，，，设公比为
所以，所以
解得，或舍去
所以
由知：
所以
两式相减得：


18.【详解】根据列联表，可计算
所以有的把握认为用药物与小于天康复有关．
记药物无效的概率为，则，
依题意可知，则，
，，
，，
的分布列如下：
故．

19.【详解】当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
，则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，的取值范围为．

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