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人教版2025—2026学年九年级上册数学期中考试复习试卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位后得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，A，B，C是上的三个点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值
C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值
8．抛物线的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方，以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．关于x的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的是（ ）
；；；关于x的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
10．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．抛物线与y轴的交点坐标是 ．
12．已知关于x的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为 ．
13．如图，A、B、C 是上三点，，则＝ ．
14．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手(每两人只握一次手)，大家一共握了次手，则参加聚会的人数为 人．
15．若关于的方程是一元二次方程，则m的值为 ．
16．石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径 m．
第II卷
人教版2025—2026学年九年级上册数学期中考试复习试卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．如图，是的直径，，，的平分线交于点D．
(1)求的度数；
(2)求图中阴影部分的面积．
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元．
(1)求第一批购入A、B两款头盔的数量；
(2)12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？
20．如图，在中，，以为直径作半圆O，交于点D，E为的中点，连接．
(1)求证：是半圆O的切线．
(2)若，，求的长．
21．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF；
（2）当AE＝1时，求EF的长．
22．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．
（1）旋转角为 　 度；
（2）求点P与点Q之间的距离；
（3）求∠BPC的度数；
（4）求△ABC的面积S△ABC．
23．已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（1，2），B（2，p）．
（1）①求b，c的关系式；
②求pc的最大值；
（2）已知点C（t，y1），D（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，且对于任意的实数t，不等式：（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立．若y1≥y2时，求t的取值范围．
24．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．
（1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式．
（2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值．
25．已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点E是抛物线上一动点，过点E作轴，若，求点D的坐标．
(3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到抛物线．点P为抛物线上一动点，过P作轴，点Q为射线上一点，过点Q的直线交抛物线于M，N两点，若与的面积之积为2．点Q的轨迹是否确定？若确定，求出轨迹的解析式：若不确定，请说明理由．
参考答案
选择题
1—10：ABCAA BACCC
二、填空题
11．
12．
13．
14．
15．
16．10
三、解答题
17．【解】（1）解：是的直径，
，
平分，
，
和都是所对的圆周角，
；
（2）解：，，，
，
，
如图，连接，
由（1）知，
，
，
，
阴影部分的面积．
18．【解】（1）解：（1），
，
，
，
，
；
（2），
，
或，
．
19．【解】（1）解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个；
（2）解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：A款头盔的单价上涨了10元．
29．【解】（1）证明：连接，
∵为的直径，
∴；
又∵点E为的中点，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵点D在半圆O上，
∴是半圆O的切线．
（2）解：由（1）知，
又∵
∴，
∴，
∴
∴，
由勾股定理得：．
21．【解答】（1）证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝45°，
∴∠EDF＝∠FDM．
又∵DF＝DF，DE＝DM，
∴△DEF≌△DMF，
∴EF＝MF；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，
∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝4﹣x．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
则EF的长为．
22．【解答】解：（1）∵将△APB绕点B逆时针旋转，
∴∠PBQ＝∠ABC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠PBQ＝∠ABC＝60°，
∴旋转角度为60°，
故答案为：60；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4；
（3）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；
（4）如图，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，
∵∠BPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∴CH＝PC＝，PH＝HC＝，
∴BH＝4+，
∴BC2＝BH2+CH2＝+（4+）2＝25+12，
∵S△ABC＝BC2，
∴S△ABC＝（25+12）＝+9．
23．【解答】解：（1）①由题意，把A（1，2）代入y＝x2+bx+c，
∴1+b+c＝2．
∴b+c＝1．
②由（1）得：b+c＝1，
∴c＝1﹣b．
把（2，p）代入y＝x2+bx+1﹣b，
∴p＝4+2b+1﹣b＝b+5．
∴pc＝（b+5）（1﹣b）＝﹣b2﹣4b+5＝﹣（b+2）2+9≤9．
∴pc的最大值为9．
（2）∵抛物线为y＝x2+bx+c，
∴抛物线开口向上．
∵对于任何的实数t都有（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立，
∴点B（2，p）必为抛物线的最低点，即点B为抛物线的顶点．
∴对称轴为直线x＝2，当x＜2时，y随着x的增大而减小，当x＞2时，y随着x的增大而增大．
∵y1≥y2，点C（t，y1）AD（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，
∴，
∴t≤1．
24．【解答】（1）解：∵点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，
∴该二次函数的图象的对称轴为直线x，
∴，
解得a＝2，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+1．
（2）证明：∵Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+40，
∴不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点．
（3）解：二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1图象的对称轴为直线xa，
当a＜0时，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
即a﹣1＝﹣3，
解得a＝﹣2；
当0≤a≤3，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝a时，y＝﹣3，
即a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3，
解得a1＝2，a2＝﹣1（舍去），
∴a的值为2；
当a＞3时，
∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，
∴当x＝3时，y＝﹣3，
即9﹣6a+a﹣1＝﹣3，
解得a（舍去）．
综上所述，a的值为﹣2或2．
25．【解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，与y轴交于点．
∴，解得：，
∴抛物线为：．
（2）解：如图，在轴上取点，使，
∴，
∴，
延长交抛物线于，
∵轴，
∴轴，
∴，满足，
设，而，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为：，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当在轴的上方时，取关于轴的对应点，直线与抛物线的交点为，
∴，
同理可得：为，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：的坐标为：或．
（3）解：，
将抛物线向左平移个单位长度得到抛物线．
∴为：；
如图，当时，设，，，
∴，
设直线为：，
∴，
∴，
令，
∴，
∴，，
∵与的面积之积为2，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴点Q的轨迹是抛物线，解析式为．
当或时，如图，
设，，，
∴，
设直线为：，
∴，
∴，
令，
∴，
∴，，
∵与的面积之积为2，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴点Q的轨迹是抛物线，解析式为．
综上：点Q的轨迹是抛物线为
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