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2025-2026学年浙江省杭州市春蕾中学九年级（上）10月月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数表达式中，一定是二次函数的是（）
A. B. C. D.
2.下列事件中的必然事件是（）
A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
3.下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
4.已知抛物线上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
y
则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，平行四边形的对角线相交于点O，过点O的直线交于点E，交于点F，米粒随机撒在平行四边形上，那么米粒最终停留在阴影部分的概率是（　　）
A. B. C. D.
6.在中，，，．以点C为圆心，4为半径画圆，则（　　）
A. 点A在圆上 B. 点A在圆外 C. 点B在圆上 D. 点B在圆外
7.比较二次函数与的图象，则（ ）
A. 开口大小相同 B. 开口方向相同 C. 对称轴相同 D. 顶点坐标相同
8.已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
9.平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，抛物线与轴交于点顶点坐标是，与轴交点的纵坐标在和之间不含端点在以下结论中：
；
；
；
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；
．
其中正确的结论有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次函数的顶点坐标是 ．
12.把抛物线向右平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式是 ．
13.三张完全相同的卡片上分别写有函数y= 2x，y=，y= x2，从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内随x的增大而增大的概率是 ．
14.如图为抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ．
15.外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为 ．
16.如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边是围墙，且的长不能超过，其余三边，，用长的铁质栅栏．有下列结论：
①的长可以为；
②当农场面积为时，满足条件的的长只有一个值；
③农场面积的最大值为；
④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过．
其中，正确结论的是 ．(只需填序号)
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点（顶点在网格线的交点上）的顶点的坐标分别为
(1) 在网格所在的平面内，请画出平面直角坐标系；
(2) 将绕着原点顺时针旋转得，画出．
18.(本小题8分)
已知二次函数的图像经过，两点．
(1) 求和的值；
(2) 试判断点是否在此函数图像上？
19.(本小题8分)
在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 1000 2000 4000 5000 8000 10000 …
摸到白球的次数m 749 1499 2998 3751 6000 7501 …
摸到白球的频率 0．7490 0．7495 0．7495 0．7502 0．750 0．7501 …
(1) 根据试验结果试估算口袋中白球有多少只？
(2) 在（1）的基础上，若同时从该口袋中摸出两个球，用画树状图或列表法求这两个球颜色相同的概率．
20.(本小题8分)
如图所示，在中，半径弦，垂足为D，．求半径的长．
21.(本小题8分)
素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图1是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米．
素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线．
(1) 求此抛物线的表达式；
(2) 这艘货船能否安全过桥？
22.(本小题8分)
如图，点在以为直径的上，，交于点，垂足，，．
(1) 连接，证明为等腰直角三角形；
(2) 连接，若点，在上，且，求证：．
23.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，设二次函数（，是常数，）．
(1) 判断该函数图像与轴的交点个数，并说明理由；
(2) 若该函数图像的对称轴为直线，，为该函数图像上的任意两点，其中，求当，为何值时，；
(3) 若该函数图像的顶点在第二象限，且过点，当时求的取值范围．
24.(本小题8分)
如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标；
(3) 若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】（-2，-1）
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
/
15.【答案】6
16.【答案】②④/④②
17.【答案】【小题1】
解：坐标系如图：

【小题2】
解：如图：

18.【答案】【小题1】
解：把，两点代入二次函数得
，
解得，；
【小题2】
解：由（1）得，
把代入，得，
点在不在此函数图象上．

19.【答案】【小题1】
解：（1）统计表中第三行的数据分别为：
0．7490 0．7495 0．7495 0．7502 0．750 0．7501
因此，当n很大时，摸到白球的频率将会接近，
白球的概率为，设口袋中白球个数为x个，
则，解得，即口袋中白球个数为3个；
【小题2】
解；设白球为，黑球为B，由题意，将这4个球中3白1黑，摸球的所有可能的结果有12种，如下表所示：
它们每一种结果出现的可能性相等，
从表中看出，两次摸出的两个球颜色相同的概率的结果有6种，
故两次摸出的球都是黑的概率为．

20.【答案】解：连接，
∵半径弦，
∴，
∵，
∴，
设的半径为r，
∵，
∴，
在中，，
即
∴，
答：的半径长为10．

21.【答案】【小题1】
解：由题易知，，抛物线的顶点为点，
设抛物线的解析式为，
将分别代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小题2】
解：根据题意得，点D的横坐标为，
把代入，
得
∵，
∴该船能安全通过．

22.【答案】【小题1】
证明：∵为直径，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形；
【小题2】
证明：连接，交于，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：，
，
，
故函数图像与轴的交点个数为个；
【小题2】
函数图像的对称轴为直线，
，则，
则函数表达式为，
当时，有，
解得或，
，
，；
【小题3】
将代入函数表达式得，则，
，故，解得，
则函数表达式为，
由（1）知，函数图像与x轴的交点个数为个且图像的顶点在第二象限，则抛物线开口向下，即，
则函数图像的对称轴，
解得，
，
，
，
即的取值范围为．

24.【答案】【小题1】
解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
【小题2】
由，当时，，则
∵，则，对称轴为直线
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
当时，，则
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
连接，设交轴于点，则
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又
∴
∴
∴点与点重合时符合题意，
如图所示，过点作交抛物线于点，
设直线的解析式为，将代入得，
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：，
∴
综上所述，或；
【小题3】
解：∵，，
∴
∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中
∴，
①当时，，解得：或
②当时，，解得：
③当时，，解得：或（舍去）
综上所述，或或或．

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