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2025-2026学年浙江省宁波市慈溪市实验中学九年级（上）月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上 B. 顶点坐标是
C. 图象与轴交点的坐标是 D. 图象在轴上截得的线段长度是4
2.下列说法正确的是（）
A. “煮熟的鸭子飞了”是随机事件
B. 两个负数相乘，积是正数是不可能事件
C. 射击运动员射击一次，命中10环是必然事件
D. “掷一次骰子，向上一面的点数是3”是随机事件
3.如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
4.如图，是半圆的直径，点在半圆上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，则的值是（ ）
A. B. C. D. 2
6.如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7.如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为，油漆面宽为，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（ ）
A. B. C. D.
8.如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
10.在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在一个不透明的口袋中，有若干个红球和白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率0.75，若白球有3个，则红球有 个．
12.已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ．
13.已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ．
14.如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是 ．
15.如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ．
16.四边形中，与交于点O，O是的中点，，已知，，，则的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同．
(1) 将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是 ；
(2) 将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
19.(本小题8分)
如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）
(1) 在图中，仅用无刻度直尺在线段上找一点M，使得；
(2) 在图中，以为公共角，仅用无刻度直尺在线段、上分别找一点P、Q，使与相似但不全等．
20.(本小题8分)
某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线运行．
若火箭第二级的引发点的高度为．
(1) 求两段路径所在函数解析式；
(2) 火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离．
21.(本小题8分)
如图，四边形为的内接四边形，连结，交于点E．若，．
(1) 求的大小（用含的代数式表示）．
(2) 若，，求的长．
22.(本小题8分)
现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，．
(1) 填空： ， ；
(2) 已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，）
23.(本小题8分)
已知二次函数（m为常数）．
(1) 若点在该函数图象上，则 ；
(2) 证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
(3) 若该函数图象上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
24.(本小题8分)
如图，已知内接于，，过点作于点，延长交于点，在上截取，连结．
(1) 求证：．
(2) 若，求的值．
(3) 在上取一点，使得，连结，若，的面积为，求和的长．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】9
12.【答案】
/
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
/
17.【答案】【小题1】
解：原式
；
【小题2】
原式

18.【答案】【小题1】

【小题2】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种，
∴两次摸到的球标号均小于3的概率为．

19.【答案】【小题1】
解：如图，取格点、，连接，与交于点，
设正方形网格的边长为1，则，，
，
，
，
点为所求作；
【小题2】
解：如图，取格点、，连接、，与的交点为点，
则四边形是平行四边形，
，
，
，
与不全等，
点和点为所求作．

20.【答案】【小题1】
解：∵火箭第二级的引发点的高度为，
∴抛物线和直线均经过点，
∴，，
解得，，
∴函数解析式分别为：，；
【小题2】
解：，
∴最大值，
当时，则，
解得，，
又∵时，，
∴当时，则．
解得，
，
∴这两个位置之间的距离．

21.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
∵
∴．
∵，
∴．
【小题2】
解：由（1）得，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵在中，，
∴设，则，
∵，
∴，
解得：或（舍去负值），
∴，，
∵在中，，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．

22.【答案】【小题1】
64
53
【小题2】
解：过点D作，过点E作，如图所示：
∴四边形为矩形，
同理得：四边形为矩形，
∴，
∵为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
2
【小题2】
解：由题可知，
∵，
∴，
∴，
∴该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
【小题3】
解：的对称轴为直线，
∵二次项系数，
∴二次函数图象开口向上，
∵，
∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
∴，
即，
∴或．

24.【答案】【小题1】
证明：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：如图所示，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，且，
∴点在线段的垂直平分线上，
如图所示，连接并延长交于于点，
∴，，，
∴，
在中，设，则，，
∴，
∴；
【小题3】
解：由（2）可得，，
如图所示，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，即，
解得，，即，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
如图所示，连接，过点作于点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，即，
解得，，
在中，．

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