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2025-2026学年北师大版数学八年级上册 第五章 二元一次方程组
5.4 二元一次方程与一次函数（同步练习）
姓名： 班级：
一、选择题
1．在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．如果一次函数与的交点坐标为，那么是下列哪个方程组的解（　　）
A． B．
C． D．
3．已知方程组的解为，则直线y=-x+2与直线y=2x-7的交点在平面直角坐标系中位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如图，一次函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则关于x，y的方程组 的解为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．
6． 一次函数与的图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）
A．
B．这两个函数的图象与轴围成的三角形的面积为4. 5
C．关于的方程组的解为
D．当从0开始增加时，函数比的值先达到3
7．已知关于x、y的二元一次方程组无解，则一次函数的图象经过的象限是（　　）
A．一、二、四 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、三
8．在平面直角坐标系中，已知两直线与相交于第四象限，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．下面四条直线中，直线上每个点的坐标都是二元一次方程的解的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．一次函数与图象的交点为A，则方程组的解为 　 　．
11．已知二元一次方程组的解为，则一次函数和正比例函数图象的交点坐标是　 　．
12．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是　 　．
13．一次函数和的图像上一部分点的坐标见下表，则方程组的解为　 　．
2 1 0
0 3 6 9
6 3 0
14．已知一次函数y＝kx+4（k≠0）和y＝﹣3x+b的图象交于点A（﹣3，2），则关于x，y的二元一次方程组的解是 　 　，
三、解答题
15．如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）．
（1）求k、b和m的值；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标，请说明理由．
16．如图，在 Rt 和 Rt 中， ，点 在 上， 的延长线恰好经过点 ．
（1）若 ，判断 的形状并说明理由；
（2）已知 ，设 ．
①求 关于 的函数关系式；②若 ，求线段 的长．
17．一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车行驶x小时后，记客车离甲地的距离y1千米，轿车离甲地的距离y2千米，y1、y2关于x的函数图象如图所示：
①根据图象直接写出y1、y2关于x的函数关系式；
②当两车相遇时，求此时客车行驶的时间．
③相遇后，两车相距200千米时，求客车又行驶的时间．
18．如图，直线分别与轴，轴交于点两点，直线交直线于点，点从点出发，以每秒个单位的速度向点匀速运动．
（1）求出点、点、点坐标；
（2）当直线平分的面积时，求直线的函数关系式；
（3）若等腰三角形，求点运动时间．
参考答案
1．B
2．C
3．D
4．A
5．B
6．D
7．A
8．A
9．B
10．
11．
12．
13．
14．
15．（1）∵直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），∴，
∴，
∴直线l2：，
∵直线l2：经过点C（2，m），
∴，
∴，
把代入y＝kx+1，得到，
∴，，；
（2）对于直线l1：，令，得到，
∴，
∴，
对于直线l2：，令，得到，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接EC，则的周长最小；
∵，，
∴C'（2，-2），
∴直线BC'的解析式为，
令，得到，
∴；
16．（1）解：△ADE是等边三角形；理由如下：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC =60°，
∴∠DAE=∠BAC =60°，
∵AE= DE，
∴△ADE是等边三角形
（2）解：①在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∠ACB=∠CDE=90°，
∴∠CAB+∠B =90°，∠EDA+∠CDA=90°，
∵AE= DE，
∴∠EDA=∠EAD，
∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EDA=∠EAD=∠BAC，
∴∠CDA=∠B，
∴△BCD是等腰三角形，
∵∠CDE=90°，AC=5，设DE=x，BC2=y，
∴y= BC2=CD2=CE2- DE2 =(x + 5)2-x2=10x+25；
②过点C作CH⊥BD于H，
∵BC=CD，
∴BH= DH，
∴AB-AD=BH+AH-(DH-AH)=2AH=6，
∴AH=3，
∵AC=5，
在直角三角形ACH中，由勾股定理得：
设BH =a，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BC2= BH2+ CH2= a2+ 42，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC2=AB2-AC2=(a+3)2- 52，
∴a2+42=(a+3)2-52，
解得a =，
∴BC2=10x+ 25 =+ 42，
解得x =，
∴AE=DE=
17．解：①设y1＝kx，则将(10，600)代入得出：600＝10k，
解得：k＝60，
∴y1＝60x (0≤x≤10)，
设y2＝ax+b，则将(0，600)，(6，0)代入得出：
，
解得： ，
∴y2＝﹣100x+600 (0≤x≤6)；
②当两车相遇时，y1＝y2，即60x＝﹣100x+600
解得：x＝ ；
∴当两车相遇时，此时客车行驶了 小时；
③相遇后相距200千米，则y1﹣y2＝200，即60x+100x﹣600＝200，
解得：x＝5
5﹣ = ，
∴相遇后，两车相距200千米时，客车又行驶的时间 小时．
18．（1）解：把代入，解得 ，
∴，
把代入，解得 ，
∴，
联立两条直线解析式得
，解得，
∴；
（2）解：如图所示，
∵直线平分的面积，∴，
∴，
又∵A（6，0），
∴OA=6，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，把点、分别代入得，
，
解得，
∴直线的函数关系式为；
（3）解：由题意可知，，
∵点的坐标为，
∴，
①当时，如图所示，此时，
∵点从点出发以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，
∴点的运动时间为秒；
②当时，过点作轴于点，如图，此时△OMC为等腰直角三角形，
则，，
∴点的运动时间为秒；
③当时，如图，
∵，
∴△OPC为等腰直角三角形，
∴，
即轴，
∴，
∴点的运动时间为秒；
综上，当为等腰三角形时，点的运动时间为秒或秒或秒．

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