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庄浪县紫荆中学高二年级阶段性测试题（卷）
数 学
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）
1．已知集合,,则( )
A． B． C． D．
2．已知向量,,若,则( )
A． B． C． D．
3．在中,、、分别为内角、、的对边,若,,则( )
A． B． C． D．
4．已知直线过点,且倾斜角为,则( )
A． B． C． D．
5．已知数列是等差数列,其前项和为,,则等于( )
A． B． C． D．
6．已知两点,若直线与线段有公共点,则直线斜率的取值范围为( )
A． B．
C． D．
7．北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”,就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一货物堆,从上向下查,第一层有个货物,第二层比第一层多个,第三层比第二层多个,以此类推,记第层货物的个数为,则使得成立的的最小值是( )
A． B． C． D．
8．直线和圆的位置关系为( )
A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心
二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题6分，共18分）
9．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动,从参赛选手的答卷中随机抽取了份,将成绩分成组,第组为,第组为,…,第组为,画出如图所示的频率分布直方图,则( )
A．
B．第6组有15个样本
C．从第5,6组中,按组别分层抽取6个样本,则应在第5组抽取3个样本
D．估计参赛选手成绩的中位数在内
10．已知圆的一般方程为,则( )
A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为
C．该圆半径为5 D．该圆半径为
11．已知直线,直线,则下列说法正确的为( )
A．若,则 B．若两条平行直线与间的距离为,则
C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为
三、填空题(每题5分，共15分）
12．点到直线的距离为__________.
13．圆关于直线对称,则 __________.
14．已知数列满足,是公差为的等差数列,若,,则的通项公式为__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．(本小题满分13分)已知数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列前项和.
16．(本小题满分15分)已知圆.
(1)将圆的方程化为标准方程,并指出圆心坐标和半径;
(2)求直线被圆所截得的弦长.
17．(本小题满分15分)为何值时,
(1)直线与直线平行
(2)直线与直线垂直
18．(本小题满分17分)已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，求圆的方程．
19．(本小题满分17分)已知数列{an}中，an>0，a1＝3，记数列{an}的前n项的乘积为Sn，且Sn＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn∈(n－1，n)．
参考答案
一、单选题
1．【答案】A
【解析】求,即求直线与直线的交点,联立解得,,因为结果是一个点集,故.
2．【答案】B
【解析】由题意知向量,,,
则,而,
故,解得,
故选:
3．【答案】D
【解析】因为,所以由正弦定理得,又因为,所以,
令,则,,
所以由余弦定理得,
故选:D.
4．【答案】C
【解析】,
解得,
故选:C.
5．【答案】D
【解析】因为数列是等差数列,则,可得,
且,可得.所以.
故选:D.
6．【答案】A
【解析】由直线,
变形可得,
由,解得,可得直线恒过定点,
则,又直线的斜率为,
若直线与线段有公共点,则直线斜率的取值范围为.故选:A.
7．【答案】C
【解析】由题意,,且,
累加可得,所以,
∴,得,即.
故选:C.
8．【答案】A
【解析】【详解】的圆心和半径分别为,
则圆心到直线的距离为.
故直线与圆相交但不经过圆心.
故选:A
二、多选题
9．【答案】A,D
【解析】对于A,由,得,故A正确;
对于B:第组有个样本,B错误;
对于C,由频率分布直方图可知第组与第组的频率分别为与,
则第组内抽取为个样本,故C错误;
对于D,因为,,
所以估计参赛选手得分的中位数在内,故D正确.
故选:AD.
10．【答案】B,D
【解析】圆转化为,其圆心坐标为,半径为.
故选:BD.
11．【答案】A,C
【解析】由直线,,则,.
对于A,若,则,解得,故A正确;
对于B,若,则,即,
此时,即,,
因为与间的距离为,所以,解得或,故B错误;
对于C,由,令,即,
所以直线过定点,故C正确;
对于D,由C知,直线过定点,
要使点到直线距离最大,则,则点到直线距离的最大值为,故D错误.故选:AC.
三、填空题（（6小题，30分））
12．【答案】
【解析】,故答案为:.
13．【答案】3
【解析】由题意得直线过圆心,代入直线方程有,
解得,
故答案为:3.
14．【答案】
【解析】已知,,则,解得,
,解得,所以.
因为是公差为的等差数列,根据等差数列通项公式,
可得.
故答案为:.
四、解答题
15．【答案】见解析
【解析】(1)数列的前项和为,,,
当时,,所以,
当时,由,可得,
两式相减得,得到,
又,又,
满足,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以.
(2)由(1)知,所以数列前项和.
16．【答案】见解析
【解析】(1)由可得该圆的标准方程为
其圆心为,半径为
(2)圆心到直线的距离为
所以直线被圆所截得的弦长为
17．【答案】见解析
【解析】(1)要使两直线平行,则需,且,
解得:或.所以当或时,两直线平行;
(2)法一:①当时,直线的斜率不存在,直线,直线,此时满足;
②当,直线与直线,
要使两直线垂直,必有,方程无根,
综上①②可得:当时,两直线垂直.
法二:要使直线和直线垂直,
只需,
解得:,
所以当时,两直线垂直.
18.解析：法一：设圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝10.
因为圆心在直线y＝2x上，所以b＝2a.①
由方程组
得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0，
所以x1＋x2＝a＋b，x1·x2＝.
由弦长公式得·＝4，
化简得(a－b)2＝4.②
解①②组成的方程组，
得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，
则圆心为(a，b)，半径r＝，
圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝.
由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得
d2＋2＝r2，
即＋8＝10，
所以(a－b)2＝4.
又因为b＝2a，
所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
19.
(1)解　由题意知，Sn为正项数列{an}的前n项的乘积，且Sn＝，
当n＝2时，S＝(a1a2)2＝a，
所以(3a2)2＝a，解得a2＝9；
又S＝a，①
S＝a，②
②÷①得，a＝，即a＝a，
所以lg a＝lg a，
即nlg an＋1＝(n＋1)lg an，
所以＝，
所以＝＝lg 3，
结合＝，
可知数列是常数列，
所以＝＝lg 3，
所以lg an＝nlg 3＝lg 3n，所以an＝3n.
(2)证明　由(1)可得bn＝＝＝1－，
则Tn＝＋＋…＋
＝n－2，
因为0<＋＋…＋<＋＋…＋＝＝<，
所以n－1所以n－1

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