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甘肃省兰州第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则有（ ）
A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值
4．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．使“”成立的必要不充分条件是（ ）
A． B．或
C． D．或
6．若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、多选题
9．已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知关于的不等式的解集为或，则（ ）
A．且
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
11．若正实数满足，则下列结论中正确的有（ ）
A．的最小值为8．
B．的最小值为
C．的最大值为．
D．的最小值为．
三、填空题
12．已知集合，，若，则实数 ．
13．学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，每人至多参加两项比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人.则同时参加游泳比赛和球类比赛的有 人.
14．若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围
四、解答题
15．设全集,集合，集合.
(1)当时，求，；
(2)若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
16．如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为.
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？
17．已知集合.
(1)若命题是假命题，求的取值范围；
(2)若命题是真命题，求的取值范围.
18．已知二次函数．
(1)若的解集为，分别求a，b的值；
(2)解关于x的不等式．
19．已知关于的不等式.
(1)是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围；
(3)若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C C A C B ACD BD
题号 11
答案 ABC
1．D
先解一元二次不等式确定B，再利用交集的概念计算即可.
【详解】，
又，所以.
故选：D
2．B
利用存在量词命题的否定判断得解.
【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
故选：B
3．D
根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.
【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最大值．
故选：D.
4．C
根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.
【详解】根据元素与集合、集合与集合之间的关系：
是的一个元素，故，①正确；
是任何集合的子集，故、，②③正确；
没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；
所以①②③④⑥正确.
故选：C
5．C
根据分式不等式的解法，求得，结合选项，即可求解.
【详解】由不等式，即，解得，
结合选项，可得不等式成立的必要不充分条件是.
故选：C.
6．A
根据集合有7个真子集，由集合中包含3个元素求解.
【详解】解：因为集合有7个真子集，
所以集合中包含3个元素，
所以，
解得.
故选：A
7．C
考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可.
【详解】当时，不等式，即，，
故不等式的解集为，故A可能；
当时，，即，
当时，的解集为，故D可能；
当时，不等式无解，故B可能；
当时，的解集为.
故选：C
8．B
首先利用基本不等式求出的最小值，依题意，即可得到关于的一元二次不等式，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
所以或（舍去），
即，当且仅当时取得，
因为不等式恒成立，所以，
即，解得，即实数的取值范围是.
故选：B
9．ACD
通过线性组合法，将都用表示，从而利用不等式性质求解范围，即可判断各项.
【详解】由题意，因为，，
所以，所以，故A正确；
，因为，，
所以，所以，故B错误；
设，
则，解得，则，
因为，
所以，即，故C正确；
设，
则，解得，则，
因为，
所以，即，故D正确．
故选：ACD
10．BD
根据不等式的解集得，再依次判断各项的正误.
【详解】由题设，是方程的两个根，且，
所以，可得，A错，
由，B对；
由，即，不等式解集为，C错；
由，即，
所以，故不等式的解集为，D对.
故选：BD
11．ABC
利用基本不等式求解最值判断A，B，C，利用消元法结合二次函数求得最值判断D.
【详解】A选项，因为，且，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，故A正确；
B选项，因为
，
当且仅当，即时取等号，故B项正确；
C选项，，
当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为，故C项正确；
D选项，因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，故D项错误．
故选：ABC.
12．或
【详解】因为，所以，所以或，
当时，或，
若，，满足要求；
若，，不满足集合元素的互异性；
当时，或，
若，，不满足集合元素的互异性；
若，，满足要求；
综上，的取值为或，
故答案为：或.
13．
【详解】设高一（1）班参加游泳比赛、田径比赛、球类比赛的学生分别构成集合、、，
设同时参加游泳比赛和球类比赛的学生人数为，根据题意得出如下韦恩图：

则该班学生的总人数为，解得.
因此同时参加游泳比赛和球类比赛的有人.
故答案为：.
14．或.
【解析】根据一元二次方程根的分布建立不等式组，解之可得答案.
【详解】由题意得应满足解得：或.
故答案为：或.
15．(1)，
(2)
【详解】（1）当时，集合，且，
可得，
或
（2）由是的充分不必要条件，则集合是的真子集，
则满足且等号不同时成立，解得，
经验证，当时，满足集合是的真子集，
所以实数m的取值范围是.
16．(1)
(2)海报长，宽时，用纸量最少
（1）根据宣传栏的面积列出解析式；
（2）结合基本不等式求解出海报面积的最小值即的最小值；
【详解】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，
，
整理得.
（2）由（1）知，即，
，由基本不等式可得，
令，则，
解得（舍去）或.
，当且仅当，即时等号成立，
∴海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为.
17．(1)
(2)
（1）由题意得命题的否定为真命题，分集合是否为空集进行讨论，根据集合关系求解即可；
（2）由题意得，根据集合关系求解即可.
【详解】（1）因为命题是假命题，所以，
所以，解得，则，
若，则只需，即，
综上，m的取值范围为.
（2）因为是真命题，所以，
所以，即解得，
此时，
所以只需满足即可，即.
故m的取值范围为.
18．(1)；
(2)答案见解析.
（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案.
（2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案.
【详解】（1）由的解集为，则1，b是方程的根，且，
由，解得；由，解得，
所以.
（2）由二次函数，知，
不等式整理得，即，
当时，不等式等价于，
当，即时，解得或；
当，即时，解得或；
当，即时，解集为或；
当时，不等式等价于，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
19．(1)不存在
(2)
(3)
（1）将不等式转换，讨论的取值得到结果
（2）将原式转化为，通过换元分析得出的取值范围.
（3）将原式堪称关于的一次函数，保证和的值大于零即可.
【详解】（1）原不等式等价于，
当时，不恒成立，
当时，不等式对于恒成立，
则需且，无解，
所以不存在实数对任意恒成立.
（2）因为，所以，
设，则，
所以，
设，
显然在上单调递增，
当时，，，且，
所以，所以的取值范围是.
（3）设，
当时，恒成立，
当且仅当，即，
解得或，
所以的取值范围是.

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