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浙江省杭州市拱墅区杭州启正中学2025-2026学年九年级上学期数学开学考试题
1．（2025九上·拱墅开学考）下列函数中，是二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B．是二次函数，故此选项符合题意；
C．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D．不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据二次函数的定义“形如、、为常数，的函数，叫二次函数”逐项判断即可．
2．（2025九上·拱墅开学考）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．y有最小值是3
C．对称轴是直线 D．当时，y随x增大而增大
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数为，
∴，
∴函数图象开口向下，故A错误；
根据二次函数可知，顶点为，对称轴为且开口向下，
∴y有最大值是3，故B、C错误；
∵对称轴为，且开口向下，
∴当时，y随x增大而增大，故D正确；
故答案为：D ．
【分析】根据二次函数的顶点式即可判断函数图象的开口方向，最大值，对称轴与增减性得出答案.
3．（2025九上·拱墅开学考）已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为（　　）
A．（3，6） B．（0，8）
C．（0，﹣1） D．（4，0）或（2，0）
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x＝0时，y＝（0﹣3）2﹣1＝8，
所以抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交点C的坐标是（0，8）．
故选：B．
【分析】把x＝0代入，求出二次函数的值解答即可．
4．（2025九上·拱墅开学考）将抛物线 向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】 ，即抛物线的顶点坐标为 ，
把点 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为 ，
所以平移后得到的抛物线解析式为 ．
故答案为：D．
【分析】先将抛物线一般式化为顶点式，可得到顶点坐标（3，-4），利用点的坐标规律将（3，-4）向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的点的坐标为（3+1，-4+2），即（4，-2），然后根据顶点式特征写出平移后的抛物线解析式即可.
5．（2025九上·拱墅开学考）二次函数的变量x与y部分对应值如下表，那么时，对应的函数值y为（　　）
x … 1 3 5 …
y … 7 0 7 …
A．0 B．3 C． D．5
【答案】A
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：根据表格数据可知，当时，，当时，，
二次函数的对称轴为直线，
∴ x=4关于对称轴x=1的对称点为x=-2，
函数值与时相同，均为0，
故答案为：A．
【分析】根据表格数据求得二次函数的对称轴，再结合轴对称性质求出其函数值即可．
6．（2025九上·拱墅开学考）已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵的对称轴为，
∴点关于对称轴对称的点为，
∵，
∴当时，随增大而增大，
∵，，在函数（m为常数）的图象上，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】配方得到对称轴为直线，得到点关于对称轴对称的点为，然后根据二次函数增减性解答即可．
7．（2025九上·拱墅开学考）在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：由方程组得ax2＝ a，
∵a≠0
∴x2＝ 1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选C．
【分析】根据一次函数图象经过的象限判断一次函数中a，b的值，再根据二次函数的开口方向和对称轴的位置判断二次函数中a和b的值，然后相比较解答即可．
8．（2025九上·拱墅开学考）如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；数形结合
【解析】【解答】解：据图可知，二次函数开口向下，对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象过点，
∴由二次函数的对称性可知，二次函数与x轴的另一交点为，
根据函数图象可得，当时，，
即，故②正确；
据图可知，当时，，
∴，
，即，故③错误；
∵二次函数的对称轴是直线，
又∵ ，
∴，
∴x1和x2关于直线x'=1对称，
即时，． 故④正确，
综上所述，正确的选项是①②④，共3个．
故答案为： C．
【分析】由二次函数的性质可得，，，，即可判断结论①；根据时的函数值即可判断结论②；根据时的函数值即可判断结论③；根据可知点与点关于直线x=1对称即可判断结论④．
9．（2025九上·拱墅开学考）设二次函数是实数，则（　　）
A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：令y=a（x-m）（x-m-k）中的y=0，
则a（x-m）（x-m-k）=0，
解得x1=m，x2=m+k，
∴该二次函数的对称轴为：，
∵a＞0，
∴函数有最低点，即当时，函数有最小值，
当k=2时，函数的最小值y=-a，
当k=4时，函数有最小值y=-4a，
∴只有A选项正确，符合题意.
故答案为：A.
【分析】令抛物线中的y=0算出对应的x的值，可得函数与x轴交点的横坐标，进而根据抛物线的对称性可得其对称轴是抛物线与x轴两交点横坐标和的一半求出抛物线的对称轴直线为x=m+k，由于抛物线中二次项的系数大于零，故函数的最小值就是顶点的纵坐标，从而将x=m+k代入抛物线解析式可算出顶点纵坐标，最后再分别代入k的值即可判断.
10．（2025九上·拱墅开学考）二次函数的图象与x轴交点为，则方程的解是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解根据二次函数的性质可知 二次函数 的对称轴是 ，二次函数的对称轴为，
∴二次函数与二次函数的图象关于y轴对称，
∵二次函数的图象与x轴交点为，
∴二次函数的图象与x轴交点为，
即方程的解是，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质求得和位置关系，再根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点的横坐标求得即可解答．
11．（2025九上·拱墅开学考）抛物线y=2 的顶点坐标是　 　
【答案】(1， 1)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】∵y=2 = ，
∴顶点坐标为（1，-1），
故答案为：（1，-1）.
【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
12．（2025九上·拱墅开学考）不等式的解为　 　．
【答案】或
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
整理得：
分解因式得：
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【分析】先将变形为，再进行因式分解得，然后分为或即可求解.
13．（2025九上·拱墅开学考）已知关于x的二次函数，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：根据二次函数的性质可知，二次函数， a＞0，开口向上，对称轴为直线，
∴函数在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次函数的性质可知开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧y随x的增大而减小，然后根据题意得到不等式，解不等式即可．
14．（2025九上·拱墅开学考）小徐在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小徐此次的实心球成绩为　 　米．
【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：在函数中，
当时，，解得（舍去），，
∴小强此次成绩为10米，
故答案为：10．
【分析】将y=0代入解析式求出x的值即可.
15．（2025九上·拱墅开学考）当时，二次函数的最大值为8，则　 　.
【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
对称轴为x=2
当a>0时，抛物线开口向上，函数在x=-3处取最大值
即
解得
当a<0时，抛物线开口向下，函数在x=2处取最大值
即
解得
综上所述，
【分析】将二次函数解析式化为顶点式可以看出对称轴为x=2，再根据a的正负分两种情况讨论。当a>0时，易知函数在x=-3处取最大值；当a<0时，易知函数在x=2处取最大值，分别解方程即可求出a的两种可能取值。
16．（2025九上·拱墅开学考）已知实数a，b满足且，则代数式的最小值是　 　．
【答案】4
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
则，
∵二次函数开口向上，
∴时随着a的增大其函数值也增大，
则当时，代数式取得最小值为4．
故答案为：4．
【分析】求出a的取值范围，然后配方成根据二次函数的最值解答即可．
17．（2025九上·拱墅开学考）已知二次函数经过点，对称轴是直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大．
【答案】（1）解：二次函数经过点，对称轴是直线，
∴，
解得：，
∴，
答：二次函数的解析式为.
（2）解：由（1）可知，二次函数的解析式为，
∵a=2＞0，
∴二次函数图象开口向上，
∵此二次函数的对称轴是直线x=1，
∴根据二次函数的性质可知，当x≥1时，y随着x的增大而增大.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求出二次函数解析式．，
（2）由（1）可知，二次函数的解析式为，根据二次函数的性质可知此二次函数的开口方向向上，且在时，y随x的增大而增大，即可得出结论.
（1）解：∵二次函数经过点，对称轴是直线，
∴，，
解得，，
∴，
（2）解：由（1）得，
∵，对称轴是直线，
∴二次函数的开口方向向上，且在时，y随x的增大而增大．
18．（2025九上·拱墅开学考）已知二次函数．
（1）化成顶点式；
（2）二次函数的值可以取到吗？说明理由；
（3）求出抛物线与轴、轴交点坐标．
【答案】（1）解：
（2）解：不能。由顶点式可知，该二次函数的最小值为-14
∴函数值不能取到-15
（3）解：令x=0，则y=-6
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，-6)
令y=0，则
解得
∴抛物线与x轴的交点坐标为
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)对二次项与一次项提公因数(提二次项的系数)，同时配好常数项，就可以将二次函数的一般式化为顶点式；
(2)根据二次函数顶点式可以轻松得出函数有最小值-14，因此函数值取不到-15；
(3)要求函数图象与x轴的交点坐标就令y=0，求函数图象与y轴的交点坐标就令x=0。
19．（2025九上·拱墅开学考）已知二次函数，一次函数
（1）求函数与的交点坐标；
（2）自变量x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.
【答案】（1）解：联立两个函数解析式
解得
∴这两个函数的交点坐标为
（2）解：画出两个函数草图如下
结合交点可知当时，一次函数的值大于二次函数的值。
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；数形结合
【解析】【分析】(1)求两个函数的交点坐标，方法就是联立这两个函数的解析式，解方程组；
(2)根据两个函数的大致特征，在同一平面直角坐标系中画出它们的草图，观察可知当时，一次函数的值大于二次函数的值。
20．（2025九上·拱墅开学考）已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）当时，结合图象求y的取值范围．
【答案】（1）解：根据函数解析式，列出自变量x和函数y的对应值表，如下：
0 1 2 3 4
2 2 …
描点，用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数图象，如下图所示：
（2）解：通过观察图象可知，当0＜x＜5时，y的取值范围.
【知识点】作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）根据函数列出x与y对应值的表，然后描点，再用平滑的曲线连接，即可画出二次函数图象；
（2）直接观察图象即可得出答案．
（1）解：列表，
0 1 2 3 4
2 2
描点，连线，函数图象，如下图：
（2）解：观察函数图象得：当时，的取值范围为．
21．（2025九上·拱墅开学考）设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若，
求二次函数的表达式；
求的值．
（2）若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向．
【答案】（1）解：①根据题意可知， 二次函数 经过点（2，1）和（-1，4），
∴，
解得：，
∴，
答： 二次函数的表达式为；
②由（1）可知，，
∴9a+3b=9×1+3×（-2）=3，
答：9a+3b的值是3.
（2）解：根据函数值y和自变量x的部分对应取值可知，当x=0和x=2时，函数y的值相同，
即二次函数图象的对称轴是x=1，
∴（1，n）是函数图象的顶点，（-1，m）和（3，p）关于对称轴对称，
∴m与p的值相同，
因此，若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，
∴ 二次函数图象开口的方向为向下.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；求代数式的值-直接代入求值；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①利用待定系数法求解析式即可；
②将①中求得的a、b的值代入中即可；
（2）据函数值y和自变量x的部分对应取值可知二次函数图象的对称轴是x=1，进而可知（1，n）是函数图象的顶点，（-1，m）和（3，p）关于对称轴对称，则m与p的值相同，根据二次函数的图象特征即可得出结论．
（1）解：①由题意得，
解得，
∴二次函数的表达式是；
②∵，，
∴；
（2）解：∵和时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴是顶点，和关于对称轴对称，则，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，
即该二次函数图象的开口向下．
22．（2025九上·拱墅开学考）启正校外小店销售一种文具，进价为元件．售价为元件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元件（且是整数），当天销售利润为元．
（1）求与的函数关系式；
（2）若每件文具的售价不超过元，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
（3）要使当天销售利润不低于元，求当天销售单价所在的范围．
【答案】（1）解：根据题意可得， （且是整数）
答： 与的函数关系式（且是整数）.
（2）解：由（1）可知， 与的函数关系式=，
∵a=-10＜0，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x=10.5，
∴当x＜10.5时，y随着x的增大而增大，
∵x≤9，且x为整数，
∴当x=9时，y取得最大值，y最大值=-10×（9-10.5）2+302.5=280（元）， 答：每件文具售价为元，最大利润元；
（3）解：由（1）可知， 当天销售利润为，
根据题意可得，≥240，
令，整理得，
解得：，，
∵，
∴当天销售单价所在的范围是．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）根据总利润每件利润销售量，列出y与x的函数关系式即可；
（）由（）得=，再结合二次函数的性质即可求求解；
（）由（）的关系式，根据题意可得，≥240，然后L令，最后结合二次函数的性质即可求的取值范围．
（1）解：由题意得，
；
（2）解：由（）得，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∵每件文具的售价不超过元，且是整数，
∴当时，有最大值，为（元），
答：每件文具售价为元，最大利润元；
（3）解：要使当天销售利润不低于元，即，
令，整理得，
解得：，，
∵，
∴当天销售单价所在的范围是．
23．（2025九上·拱墅开学考）已知二次函数．
（1）若点向上平移1个单位，向左平移m个单位（）长度后，恰好落在该二次函数上，求m的值．
（2）已知该函数图象经过，两个不同的点．
①当，，且时，求的取值范围．
②当，时，求证：．
【答案】（1）解：由点向上平移1个单位，向左平移m个单位（）长度后得到点（3-m，3），
∵平移后的点恰好落在二次函数上，
∴（3-m）2+2（3-m）=3，
整理得，m2-6m+12=0，
解得：m1=2或者m2=6，
答：m的值为2或6.
（2）解：①∵点，在函数图象上，
∴当时，，
当时，，
∵ ，
∴，
解得：n＞-1，
∴n的取值范围为n＞-1；
②证明：∵点，在函数图象上，
∴=
=
=
∵，，
∴，
又∵，
∴＞0，
即.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）先求出点平移之后的坐标为（3-m，3），再将平移后的点代入二次函数解析式求解即可得出答案；
（2）①根据题意，将和代入函数解析式分别求解出，再解不等式求解即可得出答案；
②先将代入得，再进行因式分解得，再根据x的取值范围确定每个因式的符号，即可求解.
（1）解：点向上平移个单位，得到，
再向左平移个单位（），得到，
∵平移后的点落在二次函数上，
∴将，代入函数可得：，
展开式子得，即，
解得，，
因此，的值为或；
（2）解：①已知二次函数，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
即，解得，
∴的取值范围是；
证明：②，
∵，，
∴，
当时，，
则；
当时，，
则，
∴得证．
24．（2025九上·拱墅开学考）已知抛物线为常数）经过点．
（1）求a的值．
（2）过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点，求t的值．
（3）设，抛物线的一段最大值与最小值的差为，求的最大值与最小值．
【答案】（1）解：∵抛物线为常数）经过点 ，
∴12-a+5=0，
∴a=6
答：a的值为6.
（2）解：由（1）可知，抛物线为，对称轴为直线x==3，
∵点A（0，t）在y轴上， 过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴点B、点C的纵坐标均为t，关于对称轴对称，
又∵ 点B为线段的中点， 设点B（b，t），点C（c，t），
∴，即c=2b，
∴，
∴b=2，
∴t=
答：t的值为-3.
（3）解：由（1）可知，抛物线 为=（x-3）2-4，
∴抛物线的顶点坐标为（3，-4），最小值为-4，
当时，抛物线的一段的最小值取在顶点处取得，
即当x=3时，y最小值=-4，
∵抛物线的一段最大值与最小值的差为，
∴，
∴当y=12时，可得：，
解得：x1=-1，x2=7，
由题意可知，，，且或，
当，时，取得最大值；
当时，或当时，取得最小值，
∴的最大值为8，最小值为4．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求出函数解析式即可；
（2）根据题意，先抛物线的对称轴，可知，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，进而得到和，求得b的值，再代入函数解析式求出的值即可；
（3）根据题意，可知抛物线对称轴为直线，所以抛物线的一段的最小值取在顶点处，为，而最大值与最小值的差为，所以最大值为12，代入抛物线解析式，可求出当时相应的自变量取值，从而由题意可知，需满足，，且或，由此计算求解即可．
（1）解：把代入，
得：，
解得：；
（2）解：由（1）知：，
对称轴为直线，
点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，
，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，
又点为线段的中点，
，即
由对称性知，
，
代入，
得：，
；
（3）解，
抛物线的顶点坐标，
∵，
∴抛物线的一段的最小值取在顶点处取得，
即当，，
∵抛物线的一段最大值与最小值的差为，
∴，
当时，代入得：
，
解得：，
由题意可知，需满足，，且或，
当，时，取得最大值；
当时，或当时，取得最小值，
故的最大值为8，最小值为4．
1 / 1浙江省杭州市拱墅区杭州启正中学2025-2026学年九年级上学期数学开学考试题
1．（2025九上·拱墅开学考）下列函数中，是二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·拱墅开学考）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．y有最小值是3
C．对称轴是直线 D．当时，y随x增大而增大
3．（2025九上·拱墅开学考）已知抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交于点C，则点C的坐标为（　　）
A．（3，6） B．（0，8）
C．（0，﹣1） D．（4，0）或（2，0）
4．（2025九上·拱墅开学考）将抛物线 向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025九上·拱墅开学考）二次函数的变量x与y部分对应值如下表，那么时，对应的函数值y为（　　）
x … 1 3 5 …
y … 7 0 7 …
A．0 B．3 C． D．5
6．（2025九上·拱墅开学考）已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·拱墅开学考）在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九上·拱墅开学考）如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2025九上·拱墅开学考）设二次函数是实数，则（　　）
A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为
C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为
10．（2025九上·拱墅开学考）二次函数的图象与x轴交点为，则方程的解是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025九上·拱墅开学考）抛物线y=2 的顶点坐标是　 　
12．（2025九上·拱墅开学考）不等式的解为　 　．
13．（2025九上·拱墅开学考）已知关于x的二次函数，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　 　．
14．（2025九上·拱墅开学考）小徐在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小徐此次的实心球成绩为　 　米．
15．（2025九上·拱墅开学考）当时，二次函数的最大值为8，则　 　.
16．（2025九上·拱墅开学考）已知实数a，b满足且，则代数式的最小值是　 　．
17．（2025九上·拱墅开学考）已知二次函数经过点，对称轴是直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大．
18．（2025九上·拱墅开学考）已知二次函数．
（1）化成顶点式；
（2）二次函数的值可以取到吗？说明理由；
（3）求出抛物线与轴、轴交点坐标．
19．（2025九上·拱墅开学考）已知二次函数，一次函数
（1）求函数与的交点坐标；
（2）自变量x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.
20．（2025九上·拱墅开学考）已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）当时，结合图象求y的取值范围．
21．（2025九上·拱墅开学考）设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
（1）若，
求二次函数的表达式；
求的值．
（2）若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向．
22．（2025九上·拱墅开学考）启正校外小店销售一种文具，进价为元件．售价为元件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元件（且是整数），当天销售利润为元．
（1）求与的函数关系式；
（2）若每件文具的售价不超过元，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
（3）要使当天销售利润不低于元，求当天销售单价所在的范围．
23．（2025九上·拱墅开学考）已知二次函数．
（1）若点向上平移1个单位，向左平移m个单位（）长度后，恰好落在该二次函数上，求m的值．
（2）已知该函数图象经过，两个不同的点．
①当，，且时，求的取值范围．
②当，时，求证：．
24．（2025九上·拱墅开学考）已知抛物线为常数）经过点．
（1）求a的值．
（2）过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点，求t的值．
（3）设，抛物线的一段最大值与最小值的差为，求的最大值与最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B．是二次函数，故此选项符合题意；
C．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D．不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据二次函数的定义“形如、、为常数，的函数，叫二次函数”逐项判断即可．
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数为，
∴，
∴函数图象开口向下，故A错误；
根据二次函数可知，顶点为，对称轴为且开口向下，
∴y有最大值是3，故B、C错误；
∵对称轴为，且开口向下，
∴当时，y随x增大而增大，故D正确；
故答案为：D ．
【分析】根据二次函数的顶点式即可判断函数图象的开口方向，最大值，对称轴与增减性得出答案.
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x＝0时，y＝（0﹣3）2﹣1＝8，
所以抛物线y＝（x﹣3）2﹣1与y轴交点C的坐标是（0，8）．
故选：B．
【分析】把x＝0代入，求出二次函数的值解答即可．
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】 ，即抛物线的顶点坐标为 ，
把点 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为 ，
所以平移后得到的抛物线解析式为 ．
故答案为：D．
【分析】先将抛物线一般式化为顶点式，可得到顶点坐标（3，-4），利用点的坐标规律将（3，-4）向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的点的坐标为（3+1，-4+2），即（4，-2），然后根据顶点式特征写出平移后的抛物线解析式即可.
5．【答案】A
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：根据表格数据可知，当时，，当时，，
二次函数的对称轴为直线，
∴ x=4关于对称轴x=1的对称点为x=-2，
函数值与时相同，均为0，
故答案为：A．
【分析】根据表格数据求得二次函数的对称轴，再结合轴对称性质求出其函数值即可．
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵的对称轴为，
∴点关于对称轴对称的点为，
∵，
∴当时，随增大而增大，
∵，，在函数（m为常数）的图象上，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】配方得到对称轴为直线，得到点关于对称轴对称的点为，然后根据二次函数增减性解答即可．
7．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：由方程组得ax2＝ a，
∵a≠0
∴x2＝ 1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选C．
【分析】根据一次函数图象经过的象限判断一次函数中a，b的值，再根据二次函数的开口方向和对称轴的位置判断二次函数中a和b的值，然后相比较解答即可．
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；数形结合
【解析】【解答】解：据图可知，二次函数开口向下，对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象过点，
∴由二次函数的对称性可知，二次函数与x轴的另一交点为，
根据函数图象可得，当时，，
即，故②正确；
据图可知，当时，，
∴，
，即，故③错误；
∵二次函数的对称轴是直线，
又∵ ，
∴，
∴x1和x2关于直线x'=1对称，
即时，． 故④正确，
综上所述，正确的选项是①②④，共3个．
故答案为： C．
【分析】由二次函数的性质可得，，，，即可判断结论①；根据时的函数值即可判断结论②；根据时的函数值即可判断结论③；根据可知点与点关于直线x=1对称即可判断结论④．
9．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：令y=a（x-m）（x-m-k）中的y=0，
则a（x-m）（x-m-k）=0，
解得x1=m，x2=m+k，
∴该二次函数的对称轴为：，
∵a＞0，
∴函数有最低点，即当时，函数有最小值，
当k=2时，函数的最小值y=-a，
当k=4时，函数有最小值y=-4a，
∴只有A选项正确，符合题意.
故答案为：A.
【分析】令抛物线中的y=0算出对应的x的值，可得函数与x轴交点的横坐标，进而根据抛物线的对称性可得其对称轴是抛物线与x轴两交点横坐标和的一半求出抛物线的对称轴直线为x=m+k，由于抛物线中二次项的系数大于零，故函数的最小值就是顶点的纵坐标，从而将x=m+k代入抛物线解析式可算出顶点纵坐标，最后再分别代入k的值即可判断.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解根据二次函数的性质可知 二次函数 的对称轴是 ，二次函数的对称轴为，
∴二次函数与二次函数的图象关于y轴对称，
∵二次函数的图象与x轴交点为，
∴二次函数的图象与x轴交点为，
即方程的解是，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质求得和位置关系，再根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点的横坐标求得即可解答．
11．【答案】(1， 1)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】∵y=2 = ，
∴顶点坐标为（1，-1），
故答案为：（1，-1）.
【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
12．【答案】或
【知识点】不等式的解及解集；解一元一次不等式组；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
整理得：
分解因式得：
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【分析】先将变形为，再进行因式分解得，然后分为或即可求解.
13．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：根据二次函数的性质可知，二次函数， a＞0，开口向上，对称轴为直线，
∴函数在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次函数的性质可知开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧y随x的增大而减小，然后根据题意得到不等式，解不等式即可．
14．【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：在函数中，
当时，，解得（舍去），，
∴小强此次成绩为10米，
故答案为：10．
【分析】将y=0代入解析式求出x的值即可.
15．【答案】
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
对称轴为x=2
当a>0时，抛物线开口向上，函数在x=-3处取最大值
即
解得
当a<0时，抛物线开口向下，函数在x=2处取最大值
即
解得
综上所述，
【分析】将二次函数解析式化为顶点式可以看出对称轴为x=2，再根据a的正负分两种情况讨论。当a>0时，易知函数在x=-3处取最大值；当a<0时，易知函数在x=2处取最大值，分别解方程即可求出a的两种可能取值。
16．【答案】4
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
则，
∵二次函数开口向上，
∴时随着a的增大其函数值也增大，
则当时，代数式取得最小值为4．
故答案为：4．
【分析】求出a的取值范围，然后配方成根据二次函数的最值解答即可．
17．【答案】（1）解：二次函数经过点，对称轴是直线，
∴，
解得：，
∴，
答：二次函数的解析式为.
（2）解：由（1）可知，二次函数的解析式为，
∵a=2＞0，
∴二次函数图象开口向上，
∵此二次函数的对称轴是直线x=1，
∴根据二次函数的性质可知，当x≥1时，y随着x的增大而增大.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求出二次函数解析式．，
（2）由（1）可知，二次函数的解析式为，根据二次函数的性质可知此二次函数的开口方向向上，且在时，y随x的增大而增大，即可得出结论.
（1）解：∵二次函数经过点，对称轴是直线，
∴，，
解得，，
∴，
（2）解：由（1）得，
∵，对称轴是直线，
∴二次函数的开口方向向上，且在时，y随x的增大而增大．
18．【答案】（1）解：
（2）解：不能。由顶点式可知，该二次函数的最小值为-14
∴函数值不能取到-15
（3）解：令x=0，则y=-6
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，-6)
令y=0，则
解得
∴抛物线与x轴的交点坐标为
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)对二次项与一次项提公因数(提二次项的系数)，同时配好常数项，就可以将二次函数的一般式化为顶点式；
(2)根据二次函数顶点式可以轻松得出函数有最小值-14，因此函数值取不到-15；
(3)要求函数图象与x轴的交点坐标就令y=0，求函数图象与y轴的交点坐标就令x=0。
19．【答案】（1）解：联立两个函数解析式
解得
∴这两个函数的交点坐标为
（2）解：画出两个函数草图如下
结合交点可知当时，一次函数的值大于二次函数的值。
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；数形结合
【解析】【分析】(1)求两个函数的交点坐标，方法就是联立这两个函数的解析式，解方程组；
(2)根据两个函数的大致特征，在同一平面直角坐标系中画出它们的草图，观察可知当时，一次函数的值大于二次函数的值。
20．【答案】（1）解：根据函数解析式，列出自变量x和函数y的对应值表，如下：
0 1 2 3 4
2 2 …
描点，用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数图象，如下图所示：
（2）解：通过观察图象可知，当0＜x＜5时，y的取值范围.
【知识点】作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）根据函数列出x与y对应值的表，然后描点，再用平滑的曲线连接，即可画出二次函数图象；
（2）直接观察图象即可得出答案．
（1）解：列表，
0 1 2 3 4
2 2
描点，连线，函数图象，如下图：
（2）解：观察函数图象得：当时，的取值范围为．
21．【答案】（1）解：①根据题意可知， 二次函数 经过点（2，1）和（-1，4），
∴，
解得：，
∴，
答： 二次函数的表达式为；
②由（1）可知，，
∴9a+3b=9×1+3×（-2）=3，
答：9a+3b的值是3.
（2）解：根据函数值y和自变量x的部分对应取值可知，当x=0和x=2时，函数y的值相同，
即二次函数图象的对称轴是x=1，
∴（1，n）是函数图象的顶点，（-1，m）和（3，p）关于对称轴对称，
∴m与p的值相同，
因此，若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，
∴ 二次函数图象开口的方向为向下.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；求代数式的值-直接代入求值；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①利用待定系数法求解析式即可；
②将①中求得的a、b的值代入中即可；
（2）据函数值y和自变量x的部分对应取值可知二次函数图象的对称轴是x=1，进而可知（1，n）是函数图象的顶点，（-1，m）和（3，p）关于对称轴对称，则m与p的值相同，根据二次函数的图象特征即可得出结论．
（1）解：①由题意得，
解得，
∴二次函数的表达式是；
②∵，，
∴；
（2）解：∵和时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴是顶点，和关于对称轴对称，则，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，
即该二次函数图象的开口向下．
22．【答案】（1）解：根据题意可得， （且是整数）
答： 与的函数关系式（且是整数）.
（2）解：由（1）可知， 与的函数关系式=，
∵a=-10＜0，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x=10.5，
∴当x＜10.5时，y随着x的增大而增大，
∵x≤9，且x为整数，
∴当x=9时，y取得最大值，y最大值=-10×（9-10.5）2+302.5=280（元）， 答：每件文具售价为元，最大利润元；
（3）解：由（1）可知， 当天销售利润为，
根据题意可得，≥240，
令，整理得，
解得：，，
∵，
∴当天销售单价所在的范围是．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）根据总利润每件利润销售量，列出y与x的函数关系式即可；
（）由（）得=，再结合二次函数的性质即可求求解；
（）由（）的关系式，根据题意可得，≥240，然后L令，最后结合二次函数的性质即可求的取值范围．
（1）解：由题意得，
；
（2）解：由（）得，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∵每件文具的售价不超过元，且是整数，
∴当时，有最大值，为（元），
答：每件文具售价为元，最大利润元；
（3）解：要使当天销售利润不低于元，即，
令，整理得，
解得：，，
∵，
∴当天销售单价所在的范围是．
23．【答案】（1）解：由点向上平移1个单位，向左平移m个单位（）长度后得到点（3-m，3），
∵平移后的点恰好落在二次函数上，
∴（3-m）2+2（3-m）=3，
整理得，m2-6m+12=0，
解得：m1=2或者m2=6，
答：m的值为2或6.
（2）解：①∵点，在函数图象上，
∴当时，，
当时，，
∵ ，
∴，
解得：n＞-1，
∴n的取值范围为n＞-1；
②证明：∵点，在函数图象上，
∴=
=
=
∵，，
∴，
又∵，
∴＞0，
即.
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）先求出点平移之后的坐标为（3-m，3），再将平移后的点代入二次函数解析式求解即可得出答案；
（2）①根据题意，将和代入函数解析式分别求解出，再解不等式求解即可得出答案；
②先将代入得，再进行因式分解得，再根据x的取值范围确定每个因式的符号，即可求解.
（1）解：点向上平移个单位，得到，
再向左平移个单位（），得到，
∵平移后的点落在二次函数上，
∴将，代入函数可得：，
展开式子得，即，
解得，，
因此，的值为或；
（2）解：①已知二次函数，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
即，解得，
∴的取值范围是；
证明：②，
∵，，
∴，
当时，，
则；
当时，，
则，
∴得证．
24．【答案】（1）解：∵抛物线为常数）经过点 ，
∴12-a+5=0，
∴a=6
答：a的值为6.
（2）解：由（1）可知，抛物线为，对称轴为直线x==3，
∵点A（0，t）在y轴上， 过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴点B、点C的纵坐标均为t，关于对称轴对称，
又∵ 点B为线段的中点， 设点B（b，t），点C（c，t），
∴，即c=2b，
∴，
∴b=2，
∴t=
答：t的值为-3.
（3）解：由（1）可知，抛物线 为=（x-3）2-4，
∴抛物线的顶点坐标为（3，-4），最小值为-4，
当时，抛物线的一段的最小值取在顶点处取得，
即当x=3时，y最小值=-4，
∵抛物线的一段最大值与最小值的差为，
∴，
∴当y=12时，可得：，
解得：x1=-1，x2=7，
由题意可知，，，且或，
当，时，取得最大值；
当时，或当时，取得最小值，
∴的最大值为8，最小值为4．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法直接求出函数解析式即可；
（2）根据题意，先抛物线的对称轴，可知，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，进而得到和，求得b的值，再代入函数解析式求出的值即可；
（3）根据题意，可知抛物线对称轴为直线，所以抛物线的一段的最小值取在顶点处，为，而最大值与最小值的差为，所以最大值为12，代入抛物线解析式，可求出当时相应的自变量取值，从而由题意可知，需满足，，且或，由此计算求解即可．
（1）解：把代入，
得：，
解得：；
（2）解：由（1）知：，
对称轴为直线，
点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，
，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，
又点为线段的中点，
，即
由对称性知，
，
代入，
得：，
；
（3）解，
抛物线的顶点坐标，
∵，
∴抛物线的一段的最小值取在顶点处取得，
即当，，
∵抛物线的一段最大值与最小值的差为，
∴，
当时，代入得：
，
解得：，
由题意可知，需满足，，且或，
当，时，取得最大值；
当时，或当时，取得最小值，
故的最大值为8，最小值为4．
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