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浙江省杭州市余杭区2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷
1．（2025九上·余杭月考）下列函数中，为二次函数的是（　　）
A．y=2x-1 B． C．y=x2+3x D．
2．（2025九上·余杭月考）抛掷一枚硬币100次，正面朝上53次，则正面朝上的频数是（　　）
A．0.53 B．47 C．53 D．100
3．（2025九上·余杭月考） 二次函数y=-2（x-1）2+3的对称轴是直线（　　）
A．x=1 B．x=-1 C．x=3 D．x=-3
4．（2025九上·余杭月考）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）和B（4，0），则方程 的根是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2025九上·余杭月考）下列事件的发生，为必然事件的是（　　）
A．上数学课，忘记带数学课本
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．杭州明年五一节当天最高气温35℃
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
6．（2025九上·余杭月考） 如图，的周长是40，AB边上的高.设，的面积为y，若，则y的值是（　　）
A．147 B．111 C．93 D．33
7．（2025九上·余杭月考）从长度为3，5，7，m（其中m为整数）的四条线段中任取三条，使它们首尾顺次相接能组成三角形的概率为，则m的值应为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2025九上·余杭月考） 已知点A（-1， ， ）在抛物线上，则， ， 大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·余杭月考）某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（　　）
A．y=200（x+1）2 B．y=200+200x2
C．y=200+x+x2 D．y=200（x-1）2
10．（2025九上·余杭月考）已知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象，某同学得出以下四个结论：
①abc<0，②2a+b>0，③9a-3b+c>0，④b2-ac=0.
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2025九上·余杭月考）抛物线y=3（x-2）2+1的顶点坐标为　 　.
12．（2025九上·余杭月考）已知，在“浙BA”篮球赛中，由大数据推送发现某地21号运动员比赛中罚球投中的概率是，若他在一场比赛中，有10次罚球机会，则他估计能投中的次数是　 　.
13．（2025九上·余杭月考）将抛物线y=向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则移动后所得抛物线的表达式是　 　.
14．（2025九上·余杭月考）若抛物线y=x2+bx+c与x轴交于（1，0）和（3，0），则2b+c的值是　 　.
15．（2025九上·余杭月考）某超市为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物满100元就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准A、B、C区域（注：图中已用不同的阴影表示），顾客就可以分别获得80元、30元、10元的购物券.若转盘被等分成20个扇形，其中A区域2个，B区域3个，C区域5个，则获得30元购物券的概率是　 　.
16．（2025九上·余杭月考）如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=6 cm，CD=AD=6cm，∠B=120°.点E从点B出发，沿BC边向点C以1cm/s的速度移动；点F从点C出发，沿CD边向点D以1cm/s的速度移动.E、F同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，连结AE，EF，AF，设运动的时间为t（S），若使△AEF的面积为最小，则t的值是　 　.
17．（2025九上·余杭月考）已知二次函数y=x2+4x-1.
（1）求顶点坐标；
（2）求对称轴.
18．（2025九上·余杭月考）学校组织春游，安排给九年级同学甲、乙、丙三辆车，小王与小叶都可以从这三辆车中任选一辆搭乘.
（1）用树状图表示小王与小叶搭乘车所有可能的结果；
（2）求两人搭乘同一辆车的概率。
19．（2025九上·余杭月考）下表是二次函数自变量x与函数у的部分对应值：
x … -3 -2 -1 0 3 …
y … -5 0 3 0 …
根据上表的数值，解答下列问题：
（1）求二次函数的表达式；
（2）在上表中，求出被墨水涂黑那格的数据。
20．（2025九上·余杭月考）小叶在学习二次函数图象平移内容时，研究了抛物线的移动方法。
课本方法：把顶点先向左或向右平移一定距离，再向上或向下平移一定距离得到新的抛物线.
在以前的学习过程中，小叶知道确定物体位置的方法可以用方向与距离表示，
迁移方法：于是他想，在移动抛物线时也可以通过确定移动的方向后，再一次性把顶点移动一定距离就到位.例如：如图，二次函数y=3x2+6x+3图象沿北偏东60°方向移动4个单位得到二次函数y=3（x-2+1）2+2的图象.
（1）仿照迁移方法，把抛物线y=x2沿　 　方向移动　 　个单位得到抛物线у=（x+1）2+1；
（2）比较课本方法与迁移方法，写出迁移方法的优点与缺点（至少各一条）。
21．（2025九上·余杭月考）某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成.
（1）共有多少种可能密码？
（2）小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？
（3）若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由.
22．（2025九上·余杭月考）某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋，经市场调研，该鞋的进货成本为每双50元，根据以往销售数据和市场分析，店铺发现：当销售单价为80元/双时，月平均销售量为200双，销售单价每提高1元，月销售量就会减少5双：销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双，设该运动鞋的销售单价为x（x>50）元/双，月销售总利润为y元[总利润=（销售单价一进货成本）×月销售量]
（1）求月销售总利润y关于销售单价x的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？
（3）销售单价在什么范围内时，店铺销售该运动鞋才能盈利？
23．（2025九上·余杭月考）已知函数 的图象与函数 的图象在同一个平面直角坐标系中. 解答下列问题：
（1）当 时，求函数 表达式；
（2）求证：函数 的顶点在函数 图象上；
（3）小慧说函数 的图象与函数 的图象一定有两个交点，而且这两个交点间的距离为定值. 请说明这种说法是正确的，并求出这个定值.
24．（2025九上·余杭月考）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点0（0，0）和点A（4，0），顶点为B，且顶点B的纵坐标为2.
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求证：△ABO是以点B为直角顶点的等腰直角三角形；
（3）设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上，是否存在正三角形APQ？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由，
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A：y=2x-1，是一次函数，不是二次函数；
B：，不是二次函数；
C：y=x2+3x，是二次函数；
D：，不是二次函数；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义“形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数是二次函数”逐项判断解答即可.
2．【答案】C
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：解：根据题意得，正面朝上53次，
∴正面朝上的频数是53，
故答案为：C.
【分析】利用频数的定义进行求解即可.
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：
∴抛物线的对称轴为：x=1，
故答案为：A.
【分析】由抛物线解析式可求得其对称轴为直线x=h解答即可.
4．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）和B（4，0），
∴方程 的根是 ， ，
故答案为：B .
【分析】根据抛物线 y=ax2+bx+c 与x轴的交点坐标的横坐标即为方程的解即可解答.
5．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、上数学课，忘记带数学课本，这是随机事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环，这是随机事件，不符合题意；
C、杭州明年五一节当天最高气温 这是随机事件，不符合题意；
D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，这是必然事件，符合题意；
故答案为：D.
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生，也有可能不发生的事件，不可能事件指在一定条件下，不可能发生的事件，据此逐一判断即可.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的周长是40， AB=9，
∴AD=11，
又∵ ，
∴DE=，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的周长可得AD=11，进而求出DE长，然后根据平行四边形的面积=底×高解答即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；概率的意义
【解析】【解答】解：∵四条线段任取三条所有的情况为4种，
∴当能组成三角形的概率为
∴满足条件任取三条能组成三角形的情况为 种，
∴有①3，5，7； ②3，5，m； ③3，7，m； ④5，7，m
∴能组成三角形，①能组成三角形；
A、当m=4时， 对于②3，5，4有3+4>5，5-3<4，
∴②能组成三角形，对于③3，7，4，：3+4=7，7-3=4，
∴③不能组成三角形，
对于④5，7，4，5+4>7，7-4<5，
∴④能组成三角形，
∵满足条件任取三条能组成三角形的情况只有3种，
∴A选项符合题意；
B、当m=5时， 对于②3，5，5有：3+5>5，5-3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3，7，5，3+5>7，7-3<5，
∴③能组成三角形，
对于④5，7，5，5+5>7，7-5<5，
∴④能组成三角形，
∴B选项不符合题意；
C、当m=6时， 对于②3，5，6有3+5>6，6-3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3，7，6，3+6>7，7-3<6，
∴③能组成三角形，
对于④5，7，6，5+6>7，7-5<6，
∴④能组成三角形，
∴C选项不符合题意；
D、当m=7时， 对于②3，5，7有：3+5>7，7-3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3，7，7，3+7>7，7-3<7，
∴③能组成三角形，
对于④5，7，7，5+7>7，7-5<7，
∴④能组成三角形，
∴D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得满足条件任取三条能组成三角形的情况只有3种，再根据三角形三边关系进行逐一判断即可.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 则抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线开口向上，点 到对称轴的距离最远，点到对称轴的距离最近，
故答案为：C.
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小.
9．【答案】A
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，该工厂3月份的产值为y，
故答案为：A.
【分析】根据该工厂3月份的产值=该工厂1月份的产值： 平均每月产值的增长率)2 ，列出二次函数关系式即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵开口向下，
∴a<0，
又∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，即b>0，
抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确；
∵对称轴x=-，
∴b>-2a，即2a+b>0，故②正确；
当x=-3时，y=9a-3b+c<0，故③错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，即b2-4ac>0，
∴b2-ac>0，故④错误；
正确的为①②，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置和抛物线与y轴交点的位置判断a，b，c与0的大小关系判断①；然后根据抛物线的对称轴为直线x>1判断②；根据x=-3时y<0判断③；根据抛物线与x轴交点的个数判断④解答即可.
11．【答案】（2，1）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解： 抛物线y=3（x-2）2+1的顶点坐标为(2，1)，
故答案为：(2，1).
【分析】根据抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标为(h，k)解答即可.
12．【答案】9
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：∵ 罚球投中的概率是，
∴ 10次罚球机会，估计能投中的次数是9次，
故答案为：9.
【分析】根据概率的定义解答即可.
13．【答案】y＝－(x－3)2－2
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 抛物线y=向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线为，
故答案为：.
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
14．【答案】-5
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：抛物线解析式为y=(x-1)(x-3)，即
∴2b+c=2×(-4)+3=-5，
故答案为：-5.
【分析】根据交点式求出二次函数的解析式即可求出b和c的值，然后代入计算解答即可.
15．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵转盘被等分成20个扇形，其中A区域2个，C区域3个，C区域5个，
∴获得30元购物券的概率为：
故答案为：
【分析】找到B区域的份数占总份数的多少即为获得30元购物券的概率.
16．【答案】
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：解： 连接AC，BD交于点M， 过点A作AG⊥BC交CB延长线于点G，过点A作AH⊥CD于点H
是等腰三角形，
BD=BD，
D，
同理得到
∴AC =AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∵∠AHD=90°，
∴∠HAD=30°，
∵∠ABG=180°-∠ABC =60°， ∠AGB=90°，
∴∠BAG=30°，
同理求出.
∵∠BCD=∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴△AEF的面积为
∵BE= tcm，CF = tcm，
∴△AEF的面积为 '的面积为
'的面积为
令 的面积为S，则
∴兰
时，S有最小值，
即当 时， 的面积为最小.
故答案为：
【分析】连接AC，BD交于点M， 过点A作AG⊥BC交CB延长线于点G，过点A作AH⊥CD于点H，易证△ABC是等腰三角形， 求出∠BAC =∠BCA=30°， 证明△ABD≌△CBD(SSS)， 易得∠ABM =∠CBM = 60°， 进而得到∠AMB=∠CMB=90°，利用直角三角形的性质求出 再利用勾股定理求出 同理得到 易证△ACD是等边三角形，进而求出AH =9cm， 由已知求出∠ABG=60°， 进而得到∠BAG=30°， 同理求出. 求出∠BCD= 90°， 根据△AEF的面积为 再利用二次函数的性质解答即可.
17．【答案】（1）解：
所以顶点坐标为(-2，-5)；
（2）解：由 (1) 知
所以对称轴为直线：x=-2.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把二次函数配方得到顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）根据顶点式得到对称轴即可.
18．【答案】（1）解：小王与小叶搭乘车所有可能的树状图如图所示：
∴小王与小叶搭乘车所有可能性有9种．
（2）解：P两人搭乘同一辆车＝＝．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)画出树状图即可得到所有等可能性的结果数；
(2)找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
19．【答案】（1）解：由表观察可知：当x＝－1或x＝3时，y＝0；当x＝－2时，y＝－5，
∴设y＝a(x＋1)(x－3)，把x＝－2，y＝－5代入得 a＝－1，
∴y＝－(x＋1)(x－3)．
（2）解：由（1）可得 y＝－(x＋1)(x－3)，
∴把x＝－3代入得 y＝－12．
∴表中被墨水涂黑的那格数据为－12．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用特殊值设出二次函数的两点式，再利用待定系数法求解析式即可；
(2)把x=-3代入二次函数的解析式，求函数值即可.
20．【答案】（1）西北；
（2）解：答案不唯一，只要说得有道理就给满分．
优点：可以一次性就移到位；缺点：当碰到不是特殊角时，无法计算角度，确定不了方向．
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：(1)根据平移的性质，由 到y =y=
可以看作向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到，
∴平移的方向为西北方向，
由勾股定理得
∴把抛物线 沿西北方向移动 个单位得到抛物线
故答案为：西北；
【分析】(1)利用平移的性质和等腰直角三角形进行求解即可；
(2)根据题意，描述出优缺点即可.
21．【答案】（1）解：∵这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种，
∴密码的可能性有：9×10＝90（种）．
（2）解：P＝．
（3）解：不是．理由：每次尝试解锁是独立的随机事件，且成功概率较小，只有．随机尝试100次仍未成功在概率上是可能的，他可能多次尝试了相同的错误密码，未覆盖到正确的密码．
【知识点】概率的意义；概率公式；用列举法求概率
【解析】【分析】(1)根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果；
(2)用输入一次除以所有可能出现的结果数即可；
(3)用概率的意义解答即可.
22．【答案】（1）解：①当x＞80时，根据题意得 y＝(x－50)［200－(x－80)×5］，
整理得 y＝(x－50)(600－5x)＝－5x2+850x－3000
②50＜x＜80时，根据题意得y＝(x－50)［200+(80－x)×5］，
整理得 y＝(x－50)(600－5x)
（2）解：由（1）得 x＝＝85，
y最大＝ ＝6125，
答：当销售单价定为85元时，可获得最大月利润，最大月利润为6125元．
（3）解：∵店销售要盈利，就是y＞0，
即(x－50)(600－5x)＞0．
∵ 令(x－50)(600－5x)＝0，
∴解得x1＝50，x2＝120，
∵二次函数 y＝(x－50)(600－5x)的开口向下，
∴当50＜x＜120时，y＞0，
∴销售单价在50至120之间时，店铺销售该运动鞋才能盈利．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分为x＞80和50＜x＜80两种情况，利用利润=单利润×销售量列函数关系式即可；
（2）根据二次函数的顶点坐标公式求出最值即可；
（3）令y=0，求出x的值，然后根据二次函数的性质得到自变量的取值范围即可.
23．【答案】（1）解：当b＝2时，
∴y1＝x2＋2x＋×4－2－1，
∴y1＝x2＋2x－2．
（2）证明： ，
∴5y1的顶点坐标为（－，－b－1），
把x＝－代入y2＝2x－1得，y2＝－b－1，
∴y1的顶点在直线y2＝2x－1上．
（3）解：如图所示，y1与y2相交于点A，B，过A点作x轴的平行线，过B点作y轴的平行线，两线相交于点C．
显然，AC长是点A，B的横坐标之差的绝对值，BC长是点B，A的纵坐标之差的绝对值．
∴当y1＝y2时，即x2＋bx＋b2－b－1＝2x－1，
整理得 x2＋（b－2）x＋b2－b＝0，
则xA+xB=-(b-2)，xAxB=b2－b，
AC=
BC＝
∴AB＝2．
因此，小慧的说法是正确的，这个定值为2．
【知识点】勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把b=2代入求出二次函数的解析式即可；
（2）配方得到顶点的坐标，然后代入直线解析式，验证即可；
（3）y1与y2相交于点A，B，过A点作x轴的平行线，过B点作y轴的平行线，两线相交于点C，令y1＝y2，则有x2＋（b－2）x＋b2－b＝0，根据根与系数的关系可得xA+xB=-(b-2)，xAxB=b2－b，然后根据完全平方公式的变形求出AC和BC的值，然后根据勾股定理解答即可.
24．【答案】（1）解： 的图象经过点O(0，0)，A(4，0)，
∴抛物线的对称轴为直线 2；
（2）证明：由(1)可计算得二次函数图象的顶点坐标为(2，2)，可画图象如图.
又·
是等腰直角三角形.
（3）解：∵点P在抛物线 上，且抛物线经过(0，0)与(4，0)，(2，2)三点，
设y =y=ax(x-4)，
∴将(2，2)代入， 可解得
要使 是正三角形，
设点P为 过点P作 轴，交x轴于点C，
分三种情况：
当x>4时，
解得： (与A点重合，舍去)， <4(不符合题意舍去).
当0解得
根据正三角形对称性，点Q在x轴上，
∴点Q坐标为
当x<0时，则有： (x-4)，
解得
∴点Q的坐标为
综上所述，点Q的坐标为： 或
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1) 根据待定系数法求二次函数的解析式即可.
(2)由(1)可计算得二次函数图象的顶点坐标为(2，2)，可画出图象，则 即可得BO=AB，即可证明 是等腰直角三角形.
(3)根据点P在抛物线 上，且抛物线经过(0，0)与(4，0)，(2，2)三点， 设y=ax(x-4)，将(2，2)代入，可解得 即可得 要使 是正三角形，设点P为 过点P作P 轴，交x轴于点C，分三种情况：当x>4时，当01 / 1浙江省杭州市余杭区2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷
1．（2025九上·余杭月考）下列函数中，为二次函数的是（　　）
A．y=2x-1 B． C．y=x2+3x D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A：y=2x-1，是一次函数，不是二次函数；
B：，不是二次函数；
C：y=x2+3x，是二次函数；
D：，不是二次函数；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义“形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数是二次函数”逐项判断解答即可.
2．（2025九上·余杭月考）抛掷一枚硬币100次，正面朝上53次，则正面朝上的频数是（　　）
A．0.53 B．47 C．53 D．100
【答案】C
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：解：根据题意得，正面朝上53次，
∴正面朝上的频数是53，
故答案为：C.
【分析】利用频数的定义进行求解即可.
3．（2025九上·余杭月考） 二次函数y=-2（x-1）2+3的对称轴是直线（　　）
A．x=1 B．x=-1 C．x=3 D．x=-3
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：
∴抛物线的对称轴为：x=1，
故答案为：A.
【分析】由抛物线解析式可求得其对称轴为直线x=h解答即可.
4．（2025九上·余杭月考）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）和B（4，0），则方程 的根是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）和B（4，0），
∴方程 的根是 ， ，
故答案为：B .
【分析】根据抛物线 y=ax2+bx+c 与x轴的交点坐标的横坐标即为方程的解即可解答.
5．（2025九上·余杭月考）下列事件的发生，为必然事件的是（　　）
A．上数学课，忘记带数学课本
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．杭州明年五一节当天最高气温35℃
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、上数学课，忘记带数学课本，这是随机事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环，这是随机事件，不符合题意；
C、杭州明年五一节当天最高气温 这是随机事件，不符合题意；
D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，这是必然事件，符合题意；
故答案为：D.
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生，也有可能不发生的事件，不可能事件指在一定条件下，不可能发生的事件，据此逐一判断即可.
6．（2025九上·余杭月考） 如图，的周长是40，AB边上的高.设，的面积为y，若，则y的值是（　　）
A．147 B．111 C．93 D．33
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的周长是40， AB=9，
∴AD=11，
又∵ ，
∴DE=，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的周长可得AD=11，进而求出DE长，然后根据平行四边形的面积=底×高解答即可.
7．（2025九上·余杭月考）从长度为3，5，7，m（其中m为整数）的四条线段中任取三条，使它们首尾顺次相接能组成三角形的概率为，则m的值应为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；概率的意义
【解析】【解答】解：∵四条线段任取三条所有的情况为4种，
∴当能组成三角形的概率为
∴满足条件任取三条能组成三角形的情况为 种，
∴有①3，5，7； ②3，5，m； ③3，7，m； ④5，7，m
∴能组成三角形，①能组成三角形；
A、当m=4时， 对于②3，5，4有3+4>5，5-3<4，
∴②能组成三角形，对于③3，7，4，：3+4=7，7-3=4，
∴③不能组成三角形，
对于④5，7，4，5+4>7，7-4<5，
∴④能组成三角形，
∵满足条件任取三条能组成三角形的情况只有3种，
∴A选项符合题意；
B、当m=5时， 对于②3，5，5有：3+5>5，5-3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3，7，5，3+5>7，7-3<5，
∴③能组成三角形，
对于④5，7，5，5+5>7，7-5<5，
∴④能组成三角形，
∴B选项不符合题意；
C、当m=6时， 对于②3，5，6有3+5>6，6-3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3，7，6，3+6>7，7-3<6，
∴③能组成三角形，
对于④5，7，6，5+6>7，7-5<6，
∴④能组成三角形，
∴C选项不符合题意；
D、当m=7时， 对于②3，5，7有：3+5>7，7-3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3，7，7，3+7>7，7-3<7，
∴③能组成三角形，
对于④5，7，7，5+7>7，7-5<7，
∴④能组成三角形，
∴D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得满足条件任取三条能组成三角形的情况只有3种，再根据三角形三边关系进行逐一判断即可.
8．（2025九上·余杭月考） 已知点A（-1， ， ）在抛物线上，则， ， 大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 则抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线开口向上，点 到对称轴的距离最远，点到对称轴的距离最近，
故答案为：C.
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小.
9．（2025九上·余杭月考）某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（　　）
A．y=200（x+1）2 B．y=200+200x2
C．y=200+x+x2 D．y=200（x-1）2
【答案】A
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，该工厂3月份的产值为y，
故答案为：A.
【分析】根据该工厂3月份的产值=该工厂1月份的产值： 平均每月产值的增长率)2 ，列出二次函数关系式即可得出答案.
10．（2025九上·余杭月考）已知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象，某同学得出以下四个结论：
①abc<0，②2a+b>0，③9a-3b+c>0，④b2-ac=0.
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵开口向下，
∴a<0，
又∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，即b>0，
抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确；
∵对称轴x=-，
∴b>-2a，即2a+b>0，故②正确；
当x=-3时，y=9a-3b+c<0，故③错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，即b2-4ac>0，
∴b2-ac>0，故④错误；
正确的为①②，
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置和抛物线与y轴交点的位置判断a，b，c与0的大小关系判断①；然后根据抛物线的对称轴为直线x>1判断②；根据x=-3时y<0判断③；根据抛物线与x轴交点的个数判断④解答即可.
11．（2025九上·余杭月考）抛物线y=3（x-2）2+1的顶点坐标为　 　.
【答案】（2，1）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解： 抛物线y=3（x-2）2+1的顶点坐标为(2，1)，
故答案为：(2，1).
【分析】根据抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标为(h，k)解答即可.
12．（2025九上·余杭月考）已知，在“浙BA”篮球赛中，由大数据推送发现某地21号运动员比赛中罚球投中的概率是，若他在一场比赛中，有10次罚球机会，则他估计能投中的次数是　 　.
【答案】9
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：∵ 罚球投中的概率是，
∴ 10次罚球机会，估计能投中的次数是9次，
故答案为：9.
【分析】根据概率的定义解答即可.
13．（2025九上·余杭月考）将抛物线y=向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则移动后所得抛物线的表达式是　 　.
【答案】y＝－(x－3)2－2
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 抛物线y=向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线为，
故答案为：.
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.
14．（2025九上·余杭月考）若抛物线y=x2+bx+c与x轴交于（1，0）和（3，0），则2b+c的值是　 　.
【答案】-5
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：抛物线解析式为y=(x-1)(x-3)，即
∴2b+c=2×(-4)+3=-5，
故答案为：-5.
【分析】根据交点式求出二次函数的解析式即可求出b和c的值，然后代入计算解答即可.
15．（2025九上·余杭月考）某超市为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物满100元就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准A、B、C区域（注：图中已用不同的阴影表示），顾客就可以分别获得80元、30元、10元的购物券.若转盘被等分成20个扇形，其中A区域2个，B区域3个，C区域5个，则获得30元购物券的概率是　 　.
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵转盘被等分成20个扇形，其中A区域2个，C区域3个，C区域5个，
∴获得30元购物券的概率为：
故答案为：
【分析】找到B区域的份数占总份数的多少即为获得30元购物券的概率.
16．（2025九上·余杭月考）如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=6 cm，CD=AD=6cm，∠B=120°.点E从点B出发，沿BC边向点C以1cm/s的速度移动；点F从点C出发，沿CD边向点D以1cm/s的速度移动.E、F同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，连结AE，EF，AF，设运动的时间为t（S），若使△AEF的面积为最小，则t的值是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：解： 连接AC，BD交于点M， 过点A作AG⊥BC交CB延长线于点G，过点A作AH⊥CD于点H
是等腰三角形，
BD=BD，
D，
同理得到
∴AC =AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∵∠AHD=90°，
∴∠HAD=30°，
∵∠ABG=180°-∠ABC =60°， ∠AGB=90°，
∴∠BAG=30°，
同理求出.
∵∠BCD=∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴△AEF的面积为
∵BE= tcm，CF = tcm，
∴△AEF的面积为 '的面积为
'的面积为
令 的面积为S，则
∴兰
时，S有最小值，
即当 时， 的面积为最小.
故答案为：
【分析】连接AC，BD交于点M， 过点A作AG⊥BC交CB延长线于点G，过点A作AH⊥CD于点H，易证△ABC是等腰三角形， 求出∠BAC =∠BCA=30°， 证明△ABD≌△CBD(SSS)， 易得∠ABM =∠CBM = 60°， 进而得到∠AMB=∠CMB=90°，利用直角三角形的性质求出 再利用勾股定理求出 同理得到 易证△ACD是等边三角形，进而求出AH =9cm， 由已知求出∠ABG=60°， 进而得到∠BAG=30°， 同理求出. 求出∠BCD= 90°， 根据△AEF的面积为 再利用二次函数的性质解答即可.
17．（2025九上·余杭月考）已知二次函数y=x2+4x-1.
（1）求顶点坐标；
（2）求对称轴.
【答案】（1）解：
所以顶点坐标为(-2，-5)；
（2）解：由 (1) 知
所以对称轴为直线：x=-2.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把二次函数配方得到顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）根据顶点式得到对称轴即可.
18．（2025九上·余杭月考）学校组织春游，安排给九年级同学甲、乙、丙三辆车，小王与小叶都可以从这三辆车中任选一辆搭乘.
（1）用树状图表示小王与小叶搭乘车所有可能的结果；
（2）求两人搭乘同一辆车的概率。
【答案】（1）解：小王与小叶搭乘车所有可能的树状图如图所示：
∴小王与小叶搭乘车所有可能性有9种．
（2）解：P两人搭乘同一辆车＝＝．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)画出树状图即可得到所有等可能性的结果数；
(2)找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
19．（2025九上·余杭月考）下表是二次函数自变量x与函数у的部分对应值：
x … -3 -2 -1 0 3 …
y … -5 0 3 0 …
根据上表的数值，解答下列问题：
（1）求二次函数的表达式；
（2）在上表中，求出被墨水涂黑那格的数据。
【答案】（1）解：由表观察可知：当x＝－1或x＝3时，y＝0；当x＝－2时，y＝－5，
∴设y＝a(x＋1)(x－3)，把x＝－2，y＝－5代入得 a＝－1，
∴y＝－(x＋1)(x－3)．
（2）解：由（1）可得 y＝－(x＋1)(x－3)，
∴把x＝－3代入得 y＝－12．
∴表中被墨水涂黑的那格数据为－12．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用特殊值设出二次函数的两点式，再利用待定系数法求解析式即可；
(2)把x=-3代入二次函数的解析式，求函数值即可.
20．（2025九上·余杭月考）小叶在学习二次函数图象平移内容时，研究了抛物线的移动方法。
课本方法：把顶点先向左或向右平移一定距离，再向上或向下平移一定距离得到新的抛物线.
在以前的学习过程中，小叶知道确定物体位置的方法可以用方向与距离表示，
迁移方法：于是他想，在移动抛物线时也可以通过确定移动的方向后，再一次性把顶点移动一定距离就到位.例如：如图，二次函数y=3x2+6x+3图象沿北偏东60°方向移动4个单位得到二次函数y=3（x-2+1）2+2的图象.
（1）仿照迁移方法，把抛物线y=x2沿　 　方向移动　 　个单位得到抛物线у=（x+1）2+1；
（2）比较课本方法与迁移方法，写出迁移方法的优点与缺点（至少各一条）。
【答案】（1）西北；
（2）解：答案不唯一，只要说得有道理就给满分．
优点：可以一次性就移到位；缺点：当碰到不是特殊角时，无法计算角度，确定不了方向．
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：(1)根据平移的性质，由 到y =y=
可以看作向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到，
∴平移的方向为西北方向，
由勾股定理得
∴把抛物线 沿西北方向移动 个单位得到抛物线
故答案为：西北；
【分析】(1)利用平移的性质和等腰直角三角形进行求解即可；
(2)根据题意，描述出优缺点即可.
21．（2025九上·余杭月考）某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成.
（1）共有多少种可能密码？
（2）小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？
（3）若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由.
【答案】（1）解：∵这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种，
∴密码的可能性有：9×10＝90（种）．
（2）解：P＝．
（3）解：不是．理由：每次尝试解锁是独立的随机事件，且成功概率较小，只有．随机尝试100次仍未成功在概率上是可能的，他可能多次尝试了相同的错误密码，未覆盖到正确的密码．
【知识点】概率的意义；概率公式；用列举法求概率
【解析】【分析】(1)根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果；
(2)用输入一次除以所有可能出现的结果数即可；
(3)用概率的意义解答即可.
22．（2025九上·余杭月考）某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋，经市场调研，该鞋的进货成本为每双50元，根据以往销售数据和市场分析，店铺发现：当销售单价为80元/双时，月平均销售量为200双，销售单价每提高1元，月销售量就会减少5双：销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双，设该运动鞋的销售单价为x（x>50）元/双，月销售总利润为y元[总利润=（销售单价一进货成本）×月销售量]
（1）求月销售总利润y关于销售单价x的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？
（3）销售单价在什么范围内时，店铺销售该运动鞋才能盈利？
【答案】（1）解：①当x＞80时，根据题意得 y＝(x－50)［200－(x－80)×5］，
整理得 y＝(x－50)(600－5x)＝－5x2+850x－3000
②50＜x＜80时，根据题意得y＝(x－50)［200+(80－x)×5］，
整理得 y＝(x－50)(600－5x)
（2）解：由（1）得 x＝＝85，
y最大＝ ＝6125，
答：当销售单价定为85元时，可获得最大月利润，最大月利润为6125元．
（3）解：∵店销售要盈利，就是y＞0，
即(x－50)(600－5x)＞0．
∵ 令(x－50)(600－5x)＝0，
∴解得x1＝50，x2＝120，
∵二次函数 y＝(x－50)(600－5x)的开口向下，
∴当50＜x＜120时，y＞0，
∴销售单价在50至120之间时，店铺销售该运动鞋才能盈利．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分为x＞80和50＜x＜80两种情况，利用利润=单利润×销售量列函数关系式即可；
（2）根据二次函数的顶点坐标公式求出最值即可；
（3）令y=0，求出x的值，然后根据二次函数的性质得到自变量的取值范围即可.
23．（2025九上·余杭月考）已知函数 的图象与函数 的图象在同一个平面直角坐标系中. 解答下列问题：
（1）当 时，求函数 表达式；
（2）求证：函数 的顶点在函数 图象上；
（3）小慧说函数 的图象与函数 的图象一定有两个交点，而且这两个交点间的距离为定值. 请说明这种说法是正确的，并求出这个定值.
【答案】（1）解：当b＝2时，
∴y1＝x2＋2x＋×4－2－1，
∴y1＝x2＋2x－2．
（2）证明： ，
∴5y1的顶点坐标为（－，－b－1），
把x＝－代入y2＝2x－1得，y2＝－b－1，
∴y1的顶点在直线y2＝2x－1上．
（3）解：如图所示，y1与y2相交于点A，B，过A点作x轴的平行线，过B点作y轴的平行线，两线相交于点C．
显然，AC长是点A，B的横坐标之差的绝对值，BC长是点B，A的纵坐标之差的绝对值．
∴当y1＝y2时，即x2＋bx＋b2－b－1＝2x－1，
整理得 x2＋（b－2）x＋b2－b＝0，
则xA+xB=-(b-2)，xAxB=b2－b，
AC=
BC＝
∴AB＝2．
因此，小慧的说法是正确的，这个定值为2．
【知识点】勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把b=2代入求出二次函数的解析式即可；
（2）配方得到顶点的坐标，然后代入直线解析式，验证即可；
（3）y1与y2相交于点A，B，过A点作x轴的平行线，过B点作y轴的平行线，两线相交于点C，令y1＝y2，则有x2＋（b－2）x＋b2－b＝0，根据根与系数的关系可得xA+xB=-(b-2)，xAxB=b2－b，然后根据完全平方公式的变形求出AC和BC的值，然后根据勾股定理解答即可.
24．（2025九上·余杭月考）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点0（0，0）和点A（4，0），顶点为B，且顶点B的纵坐标为2.
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求证：△ABO是以点B为直角顶点的等腰直角三角形；
（3）设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上，是否存在正三角形APQ？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由，
【答案】（1）解： 的图象经过点O(0，0)，A(4，0)，
∴抛物线的对称轴为直线 2；
（2）证明：由(1)可计算得二次函数图象的顶点坐标为(2，2)，可画图象如图.
又·
是等腰直角三角形.
（3）解：∵点P在抛物线 上，且抛物线经过(0，0)与(4，0)，(2，2)三点，
设y =y=ax(x-4)，
∴将(2，2)代入， 可解得
要使 是正三角形，
设点P为 过点P作 轴，交x轴于点C，
分三种情况：
当x>4时，
解得： (与A点重合，舍去)， <4(不符合题意舍去).
当0解得
根据正三角形对称性，点Q在x轴上，
∴点Q坐标为
当x<0时，则有： (x-4)，
解得
∴点Q的坐标为
综上所述，点Q的坐标为： 或
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1) 根据待定系数法求二次函数的解析式即可.
(2)由(1)可计算得二次函数图象的顶点坐标为(2，2)，可画出图象，则 即可得BO=AB，即可证明 是等腰直角三角形.
(3)根据点P在抛物线 上，且抛物线经过(0，0)与(4，0)，(2，2)三点， 设y=ax(x-4)，将(2，2)代入，可解得 即可得 要使 是正三角形，设点P为 过点P作P 轴，交x轴于点C，分三种情况：当x>4时，当01 / 1

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