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浙江省金华市义乌市义亭镇初级中学2025-2026学年九年级上学期数学9月月考卷
1．（2025九上·义乌月考）下列是二次函数的是（　　）
A．y＝3x+1 B．x＝x2﹣2 C．y＝x2﹣1 D．
2．（2025九上·义乌月考）下列说法错误的是（　　）
A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为
B．不可能事件发生机会为0
C．买一张彩票会中奖是可能事件
D．一件事发生机会为1.0%，这件事就有可能发生
3．（2025九上·义乌月考）由二次函数y＝2（x﹣3）2＋1，可知（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的顶点坐标为（3，1）
C．其图象的对称轴为直线x＝﹣3 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
4．（2025九上·义乌月考）把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　）
A．y=x2+1 B．y=（x+1）2 C．y=x2﹣1 D．y=（x﹣1）2
5．（2025九上·义乌月考）将二次函数y＝x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是(　　)
A．y＝(x﹣2)2﹣1 B．y＝(x+1)(x+3)
C．y＝(x﹣2)2+1 D．y＝(x+2)2﹣1
6．（2025九上·义乌月考）设A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）是抛物线y＝（x+1）2﹣m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
7．（2025九上·义乌月考）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15％左右，则口袋中红色球可能有（　　）
A．4个 B．6个 C．34个 D．36个
8．（2025九上·义乌月考）已知二次函数，当取任意实数时，都有，则（　　）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
9．（2025九上·义乌月考）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1，给出五个结论：①bc＞0；②a+b+c＜0；③当x＜1时，y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；⑤4a﹣2b+c＞0其中正确结论是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．③④⑤
10．（2025九上·义乌月考）已知抛物线C1：y=﹣x2+2mx+1（m为常数，且m≠0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B．若点P是抛物线C1上的点，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则m为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·义乌月考）若抛物线y＝（m﹣1）x2﹣2的开口向上，则m的取值范围是 　 　 ．
12．（2025九上·义乌月考）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为﹣2，﹣1，0，2，从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和是负数的概率是　 　 ．
13．（2025九上·义乌月考）已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是　 　 ．
14．（2025九上·义乌月考）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了表格：那么该二次函数有最　 　（填“大”或“小”）值　 　 ．
x …… 1 2 3 4 ……
…… 0 -1 0 3 ……
15．（2025九上·义乌月考）如图，是y＝x2、y＝x、在同一平面直角坐标系中图象，请根据图象写出时x的取值范围是 　 　 ．
16．（2025九上·义乌月考）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x满足2≤x≤5时，其对应函数y的最大值为﹣1，则h的值为　 　 ．
17．（2025九上·义乌月考）小滨的父母决定周末带她去旅游，初步商量有意向的四个景点分别为：A．明月山，B．庐山，C．婺源，D．三清山．由于受到时间限制，只能选两个景点，于是小滨的父母决定通过抽签选择，用四张小纸条分别写上四个景点做成四个签（外表无任何不同），让小源随机先抽一次（不放回），再抽一次，每次抽一个签，每个签抽到的机会相等．
（1）小滨最希望去婺源，则小滨第一次恰好抽到婺源的概率是　 　 ；
（2）除婺源外，小滨还希望去明月山，求小滨抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率是多少．（通过“画树状图”或“列表”进行分析）
18．（2025九上·义乌月考）已知二次函数y＝x2﹣4x+c．
（1）若该图象过点（4，5），求c的值并求图象的顶点坐标；
（2）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与坐标轴有2个交点，求字母c的值．
19．（2025九上·义乌月考）二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且OB＝OC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）该二次函数在第一象限的图象上有一动点为P，且点P在移动时满足S△PAB＝10，求此时点P的坐标．
20．（2025九上·义乌月考）观察如表：
x 0 1 2
　 1 　
-3 　 -3
（1）求a，b，c的值，并在表内空格处填入正确的数；
（2）根据上面的结果解答问题
①在方格纸中画出函数y＝ax2+bx+c的图象；
②根据图象回答：当x的取值范围是 ▲ 时，y≤0？
21．（2025九上·义乌月考）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的40%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b，且x＝80时，y＝40；x＝70时，y＝50．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
22．（2025九上·义乌月考）已知二次函数y＝a（x﹣k）（x﹣2）（k≠0）．
（1）若ak＝1．
①当k＝1时，求该函数图象的顶点坐标．
②不论k（k≠0）取何值，图象是否会经过定点？若会，请求出图象经过的定点坐标；若不会，请说明理由．
（2）点A（﹣2，y1），B（1，y2）在该函数图象上，且y1≥y2．若a+k＝1，图象的顶点在第三象限，求a的取值范围．
23．（2025九上·义乌月考）任意球是足球比赛的重要得分手段之一．在某次足球比赛中，小明站在点O处罚出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣12）2+h．小明罚任意球时防守队员站在小明正前方9m处组成人墙，防守队员的身高为2.1m，对手球门与小明的水平距离为18m，已知足球球门的高是2.43m．（假定甲球员的任意球恰好能射正对方的球门）．
（1）当h＝3时，求y与x的关系式．
（2）当h＝3时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞？请说明理由．
（3）若小明罚出的任意球一定能直接射进对手球门得分，直接写h的取值范围．
24．（2025九上·义乌月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴的交点为点D，顶点为C，
（1）写出该抛物线的对称轴；
（2）当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，求出a的取值范围；
（3）作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】 根据二次函数的定义，形如的函数为二次函数.
y=3x+1为一次函数，为反比例函数，故选项A、D错误；
x=x2-2是一元二次方程，不是函数，故选项B错误；
y=x2-1为二次函数，故选项C正确.
故选：C.
【分析】利用二次函数的概念即可求解.
2．【答案】A
【知识点】事件的分类；可能性的大小；概率公式
【解析】【解答】∵A.同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为，故错误，A符合题意；
B.不可能发生的事件概率为0，故正确，B不符合题意；
C.买一张彩票会中奖是随机（可能）事件，故正确，C不符合题意；
D.一件事发生机会为1.0%，表示这件事发生的概率只有百分之一，故正确，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】A根据概率公式来分析；B根据不可能事件的定义来分析；C根据可能事件的定义来分析；D根据可能性事件的大小来分析；
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=2 (x－3)2 ＋1是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为(3，1)，
A、∵a>0，∴图象的开口向上，故此选项错误，不合题意；
B、顶点坐标为(3，1)，故此选项正确，符合题意；
C、对称轴为直线x=3，故此选项错误，不合题意；
D、当x>3时，y随x增大而增大，故此选项错误，不合题意；
故选：B．
【分析】根据二次函数的顶点坐标、对称轴，开口方向和增减性逐项判断解答即可．
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（1，0）；
可设新抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k代入得：y=（x﹣1）2，
故选D．
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2+4x+3
=x2+4x+4-1
=（x+2）2-1，
故选D．
【分析】利用配方法得到顶点式即可．
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵函数的解析式是y=（x+1）2-m，
∴二次函数的对称轴是直线x=-1，
∴点C关于对称轴的对称点C'是（-3，y3），
∵a=1>0，
∴当x＜-1时，y随x的增大而减小，
∵-3<-2<-1
∴y3＞y1＞y2．
故选：D．
【分析】根据二次函数的对称性，找出点C的对称点C'（-3，y3），再利用二次函数的增减性即可判断．
7．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【分析】由题意分写，设红球有X个，所以，，故选B
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A)= ．
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由题意可知，，且关于的一元二次方程的根的判别式小于0，
即，
解得，
综上，，且，
故选：D．
【分析】根据题意得到a>0，抛物线与x轴没有交点，即根的判别式小于0解答即可．
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线的开口向下，抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴a＜0，c＞0，
又∵抛物线对称轴，
∴b＞0，即得bc＞0，故①正确；
②由图象可知，当x=1时，y=a+b+c＞0，故②不正确；
③根据二次函数的单调性，当x＜1时，y随着x的增大而增大，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=1，且方程的一个根为x2=3，
∴，即另一个根x1=-1，故④正确；
⑤∵二次函数与x轴的两个交点是（-1，0）（3，0），且开口向下，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，故⑤不正确．
综上可知，正确的结论有：①③④.
故选：B．
【分析】①观察二次函数的图象，a决定二次函数的开口方向，可通过“同左异右”判断b，根据图象与y轴交点即可判断c；②利用赋值法即可判断；③利用二次函数的增减性即可判断；④利用二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系即可解决；⑤根据二次函数增减性，利用赋值法即可解决.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；菱形的性质
【解析】【解答】易知：C（0，1），A（m，m2+1）；若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则CP∥AB①，CP=AP②；
由①得：点P与点C纵坐标相同，将y=1代入C1，得：x=0或x=2m，即P（2m，1）；
由②得：（2m）2=m2+（m2+1﹣1）2，即m2=3，解得m=± ；
故答案为：A．
【分析】易知：C（0，1），A（m，m2+1）， 抛物线C1、C2关于y轴对称，那么它们的顶点A、B也关于y轴对称，所以AB∥x轴；若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，那么CP也必须与x轴平行，即点C、P的纵坐标相同，代入抛物线C1的解析式中，就能确定点P的坐标，此时能发现AB=CP，即四边形APCB中，AB、CP平行且相等，即该四边形APCB是平行四边形，只要再满足AP=CP（即一组邻边相等），就能判定该四边形是菱形，因此先用m表达出AP、CP的长，再列等式求出m的值即可。
11．【答案】m＞1
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y=（m-1）x2-2的开口向上，
∴m-1＞0，解得m＞1，
故答案为：m＞1．
【分析】根据抛物线y=（m-1）x2-2的开口向上，可知m-1＞0，解不等式即可求解．
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：如图，画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，两次摸出的球的编号之和是负数的结果有8个，所以两次摸出的球的编号之和是负数的概率为.
故答案为：．
【分析】先画树状图，共有16种等可能的结果，两次摸出的球的编号之和是负数的结果有8个，再利用概率公式求解即可．
13．【答案】x＜1（或x≤1）
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴该函数图象开口向上，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大.
故答案为：x＜1（或x≤1）．
【分析】确定二次函数的开口及对称轴，利用根据二次函数的性质即可求解．
14．【答案】小；﹣1
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵当x=1时，y=0，当x=3时， y=0，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴由表格可得，二次函数的顶点为（2，-1），
∵当x>2时，y随x的增大而增大，
∴a>0，
∴二次函数有最小值，最小值是-1，
故答案为：小；-1．
【分析】观察表格，易得抛物线的对称轴为直线x=2，且当x>2时，y随x的增大而增大，从而判断出a>0，利用二次函数的最值为抛物线顶点坐标的纵坐标即可求解.
15．【答案】﹣1＜x＜0或x＞1
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解： ∵y＝x2、y＝x、，
∴三个函数在第一象限内交点坐标为（1，1），y=x与在第三象限内交点坐标为（-1，-1），
∴时，x的取值范围是：-1＜x＜0或x＞1．
故答案为：-1＜x＜0或x＞1．
【分析】先确定出三个函数在第一象限内的交点坐标，y=x与在第三象限内交点坐标，再根据函数图象，找出抛物线图象在最上方，反比例函数图象在最下方的x的取值范围即可．
16．【答案】6或1
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-（x-h）2（h为常数），
∴二次函数开口向下，对称轴为直线x=h，
∴当x≥h时，y随x的增大而减小，当x＜h时，y随x的增大而增大，
∵当自变量x满足2≤x≤5时，其对应函数y的最大值为-1，
∴当h>5时，则当x=5时，y最大，即-（5-h）2=-1，解得h1=4（舍去），h2=6；
当h＜2时，则当x=2时，y最大，即-（2-h）2=-1，解得h3=1，h4=3（舍去）；
当2＜h＜5时，则当x=h时，y最大，最大值为0，与题意不符；
综上可知，h的值是6或1．
故答案为：6或1．
【分析】根据题意易得，二次函数开口向下，对称轴为直线x=h，利用二次函数的性质，根据h的范围分类讨论即可求解．
17．【答案】（1）
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的情况数有10种，
∴抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵有意向的四个景点分别为：A．明月山，B．庐山，C．婺源，D．三清山，
∴ 小滨第一次恰好抽到婺源的概率是；
故答案为：.
【分析】（1）由题意，直接利用概率公式即可求解；
（2）先根据题意画出树状图，再利用概率公式即可求解．
18．【答案】（1）解：∵ 二次函数图象过点（4，5），
∴将（4，5）代入y＝x2﹣4x+c，可得，5＝16﹣16+c，解得c＝5，
∴y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标（2，1）.
（2）解：由题意，
①当抛物线与x轴只有一个交点，与y轴有一个交点时，
∴Δ＝0，即16﹣4c＝0，解得c＝4，
②当抛物线与x轴、y轴的交点重合时，抛物线与x轴有两个交点，
此时抛物线必过（0，0），∴，解得c＝0，
综上可知，c＝4或0.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由题意，将点（4，5）代入y=x2-4x+c后即可求出c，将二次函数转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）抛物线与坐标轴只有两个交点，有两种情况：①抛物线与x轴只有一个交点，令Δ=0即可求解；
②x轴的一个交点与y轴的交点必定重合，即抛物线必过（0，0），即可求解．
19．【答案】（1）解：∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴OB＝4，
∵OB=OC，
∴OC＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
设经过A，C，B三点的二次函数的解析式为y＝a（x﹣4）（x+1），
∵点C（0，4）在图象上，
∴将（0，4）代入解析式，解得a＝﹣1，
∴二次函数解析式为y＝﹣（x﹣4）（x+1），即y＝﹣x2+3x+4.
（2）解：∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），
∴AB＝5，
设P点的坐标为（x，﹣x2+3x+4），
∵S△PAB＝10，
∴，即，
∴或，解得，x1＝3，x2＝0，，，
∵点P在第一象限，
∴P的坐标为（3，4）．
【知识点】利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据B（4，0），易得OB=4，则OC=4，即点C的坐标为（0，4），利用二次函数的交点式，设二次函数的解析式为y=a（x-4）（x+1），利用点C（0，4）在图象上易得a=-1，即可求出二次函数解析式为y=-（x-4）（x+1），即y=-x2+3x+4；
（2）根据A、B的坐标求得AB的长，设P点的坐标为（x，-x2+3x+4），根据S△PAB=10，建立方程，利用绝对值解方程即可求得x的值，根据点P在第一象限即可求出点P的坐标．
20．【答案】（1）解：由表知，当x＝0时，ax2+bx+c＝﹣3；当x＝1时，ax2＝1；当x＝2时，ax2+bx+c＝﹣3，
∴，解得，
∴函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，y＝x2，
当x=0，y＝x2=0，
当x=2，y＝x2=4，
当x=1，y＝x2﹣2x﹣3=-4，
∴表格中的空格填0，4，﹣4.
（2）解：①画出函数y＝ax2+bx+c的图象如图：
②由图象可知，当﹣1≤x≤3时，y≤0，
故答案为﹣1≤x≤3．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）由图中表格知，当x=0时，y=-3，当x=2时，y=-3，当x＝1时，ax2＝1，根据待定系数法求出函数的解析式分别为y＝x2﹣2x﹣3，y＝x2，代入相应x的值即可求解；
（2）①描点、连线画出函数y=ax2+bx+c的图象；
②根据图象即可求解．
21．【答案】（1）解：∵试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的40%，
∴60≤x≤60×（1+40%），解得，60≤x≤84，
由题得，，解得，，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+120（60≤x≤84）．
（2）解：由题意，该商场的销售额为xy＝x（﹣x+120）元，成本为60y＝60（﹣x+120），则
W＝xy﹣60y
＝x（﹣x+120）﹣60（﹣x+120）
＝（x﹣60）（﹣x+120）
＝﹣x2+180x﹣7200
＝﹣（x﹣90）2+900，
即W＝﹣（x﹣90）2+900，（60≤x≤84），
∵-1<0，
∴二次函数开口向下，当x＝84时，W取得最大值，最大值是﹣（84﹣90）2+900＝864（元），
即销售价定为每件84元时，可获得最大利润，最大利润是864元．
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可知：试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的40%，
易得60≤x≤60×（1+40%），解不等式可确定x的取值范围，即60≤x≤84，利用待定系数法，求出k，b的值即可确定一次函数的解析式为y＝﹣x+120，实际问题应注意备注自变量x的取值范围；
（2）根据题意，建立利润（W）与销售单价（x）之间的函数关系式，利用二次函数的性质及x的取值范围求出最大利润即可．
22．【答案】（1）解：①∵ak＝1，k＝1，
∴a＝1，
∴二次函数为y＝（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2，
∵y＝x2﹣3x+2＝，
∴该函数图象的顶点坐标为；
②图象会过定点，理由如下：
∵二次函数y＝a（x﹣k）（x﹣2）=a[（x2-2x）+k（2-x）]，且不论k（k≠0）取何值，图象过定点，
∴2-x=0，即x=2，
当x＝2时，y＝0，
∴图象经过的定点（2，0）；
（2）解：∵二次函数y＝a（x﹣k）（x﹣2）（k≠0），
∴图象交x轴于（k，0），（2，0），
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象的顶点在第三象限，
∴a＞0，，
∴k＜﹣2，
∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）在该函数图象上，且y1≥y2，
∴，即k≥﹣3，
又∵k＜﹣2，
∴-3≤k<-2，
∵a+k＝1，
∴k＝1﹣a，
∵-3≤k<-2，
∴﹣3≤1﹣a＜﹣2，解得，3＜a≤4，
∴a的取值范围是3＜a≤4．
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的其他应用；利用顶点式求二次函数解析式；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①结合已知，易得a=1，将二次函数解析式化成顶点式即可求解；
②将二次函数解析式变形易得，y＝a（x﹣k）（x﹣2）=a[（x2-2x）+k（2-x）]，易得2-x=0，所以当x=2时，y=0，所以图象经过的定点（2，0）；
（2）由二次函数解析式易得二次函数图象与x轴相交于点（k，0），（2，0），利用二次函数的对称性即可计算出对称轴，即对称轴为直线，由抛物线过定点（2，0），图象的顶点在第三象限，可得a＞0，，即k＜-2，再结合已知，y1≥y2，可得，即k≥﹣3，再由a+k=1即可建立关于a的不等式，求解不等式即可得出答案.
23．【答案】（1）解：当h＝3时，y＝a（x﹣12）2+3，
∵抛物线y＝a（x﹣12）2+3经过点（0，0），
∴0＝a（0﹣12）2+3，解得，
∴所求的函数关系式为；
（2）解：当h＝3时，足球能越过人墙，足球会不会踢飞，
理由如下：当h＝3时，由（1）得，
∵当x＝9时，，
∴足球能越过人墙，
当x＝18时y＝﹣m（18﹣12）2+3＝2.25＜2.43，
∴足球能直接射进球门，不会踢飞；
（3）解：h的取值范围是2.24＜h＜3.24．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（3）由题意，设知y＝a（x﹣12）2+h，
∵函数图象经过点（0，0），
∴0＝a（0﹣12）2+h，整理可得①，
∵由足球能越过人墙，
∴9a+h＞2.1②，
∵由足球能直接射进球门，
∴0＜36a+h＜2.43③，
将①代入②得，，解得h＞2.24，
把①代入③得，，解得0＜h＜3.24，
∴h的取值范围是2.24＜h＜3.24．
故答案为：h的取值范围是2.24＜h＜3.24．
【分析】（1）当h=3时，y=a（x-12）2+3，根据函数图象过原点，即可求出a的值；
（2）当h=3时，由（1）中解析式，分别把x=9和x=18代入函数解析式，求出y的值，与2.1和2.43比较即可得出结论；
（3）由抛物线过原点得到①，由足球能越过人墙可得，9a+h＞2.1②；由足球能直接射进球门可得，0＜36a+h＜2.43③，将①代入不等式②③即可求解．
24．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），
∴抛物线的对称轴.
（2）解：当∠ACB＝60°时，△ABC是等边三角形，即点C坐标为，
设y＝a（x+1）（x﹣3），
把C点坐标代入函数解析式，解得，
当∠ACB＝90°时，△ABC是等腰直角三角形，即点C坐标为（1，﹣2），
设y＝a（x+1）（x﹣3），把C点坐标（1，﹣2）代入函数解析式，解得，
综上可知，当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，.
（3）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
∴C（1，﹣4a），D（0，﹣3a），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
将C（1，﹣4a），D（0，﹣3a）代入直线CD的解析式可得，，解得，
∴直线CD的解析式为y＝﹣a（x+3），
∴E点坐标为（﹣3，0），
∵ △CEF是一个等腰直角三角形，
∴分两类情况进行讨论：
①如图1，过点F作HK⊥y轴，过点E、点C作x轴的垂线，与HK交于点H、点K，易得∠H=∠K=90°，
∵△CEF是一个等腰直角三角形，∴EF=CF，∠HFE+∠CFK=90°，又∵∠HFE+∠HEF=90°，∴∠HEF=∠CFK，又∵∠H=∠K=90°，∴△EHF≌△FKC，即HF＝CK＝3，HE=FK=1，∵CK=1-（-4a）=1+4a，∴4a+1＝3，解得；
②如图2，过点E作HK⊥x轴，过点F、点C作y轴的垂线，与HK交于点H、点K，易得∠H=∠K=90°，
同理可证，△EHF≌△EKC，即EK＝HF＝3，即4a＝3，解得，
同理可得，当点F位于y轴负半轴上，EC＝CF时，此时三角形是等腰直角三角形，a＝，
综上可知，在y轴上存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形，此时a＝、或．
【知识点】等腰直角三角形；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）结合已知，利用抛物线的对称性易得对称轴为直线；
（2）先分别求出当∠ACB=60°和∠ACB=90°时a的临界值，进而可求出a的取值范围；
（3）结合已知，易得，可计算出C点、D点及E点的坐标，再根据等腰直角三角形△CEF 进行分类讨论，构造“K”型全等，易证△EHF≌△EKC，利用全等三角形的性质，建立关于a的方程，解方程即可求出a的值．
1 / 1浙江省金华市义乌市义亭镇初级中学2025-2026学年九年级上学期数学9月月考卷
1．（2025九上·义乌月考）下列是二次函数的是（　　）
A．y＝3x+1 B．x＝x2﹣2 C．y＝x2﹣1 D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】 根据二次函数的定义，形如的函数为二次函数.
y=3x+1为一次函数，为反比例函数，故选项A、D错误；
x=x2-2是一元二次方程，不是函数，故选项B错误；
y=x2-1为二次函数，故选项C正确.
故选：C.
【分析】利用二次函数的概念即可求解.
2．（2025九上·义乌月考）下列说法错误的是（　　）
A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为
B．不可能事件发生机会为0
C．买一张彩票会中奖是可能事件
D．一件事发生机会为1.0%，这件事就有可能发生
【答案】A
【知识点】事件的分类；可能性的大小；概率公式
【解析】【解答】∵A.同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为，故错误，A符合题意；
B.不可能发生的事件概率为0，故正确，B不符合题意；
C.买一张彩票会中奖是随机（可能）事件，故正确，C不符合题意；
D.一件事发生机会为1.0%，表示这件事发生的概率只有百分之一，故正确，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】A根据概率公式来分析；B根据不可能事件的定义来分析；C根据可能事件的定义来分析；D根据可能性事件的大小来分析；
3．（2025九上·义乌月考）由二次函数y＝2（x﹣3）2＋1，可知（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的顶点坐标为（3，1）
C．其图象的对称轴为直线x＝﹣3 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=2 (x－3)2 ＋1是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为(3，1)，
A、∵a>0，∴图象的开口向上，故此选项错误，不合题意；
B、顶点坐标为(3，1)，故此选项正确，符合题意；
C、对称轴为直线x=3，故此选项错误，不合题意；
D、当x>3时，y随x增大而增大，故此选项错误，不合题意；
故选：B．
【分析】根据二次函数的顶点坐标、对称轴，开口方向和增减性逐项判断解答即可．
4．（2025九上·义乌月考）把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　）
A．y=x2+1 B．y=（x+1）2 C．y=x2﹣1 D．y=（x﹣1）2
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（1，0）；
可设新抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k代入得：y=（x﹣1）2，
故选D．
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
5．（2025九上·义乌月考）将二次函数y＝x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是(　　)
A．y＝(x﹣2)2﹣1 B．y＝(x+1)(x+3)
C．y＝(x﹣2)2+1 D．y＝(x+2)2﹣1
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2+4x+3
=x2+4x+4-1
=（x+2）2-1，
故选D．
【分析】利用配方法得到顶点式即可．
6．（2025九上·义乌月考）设A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）是抛物线y＝（x+1）2﹣m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵函数的解析式是y=（x+1）2-m，
∴二次函数的对称轴是直线x=-1，
∴点C关于对称轴的对称点C'是（-3，y3），
∵a=1>0，
∴当x＜-1时，y随x的增大而减小，
∵-3<-2<-1
∴y3＞y1＞y2．
故选：D．
【分析】根据二次函数的对称性，找出点C的对称点C'（-3，y3），再利用二次函数的增减性即可判断．
7．（2025九上·义乌月考）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15％左右，则口袋中红色球可能有（　　）
A．4个 B．6个 C．34个 D．36个
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【分析】由题意分写，设红球有X个，所以，，故选B
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A)= ．
8．（2025九上·义乌月考）已知二次函数，当取任意实数时，都有，则（　　）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由题意可知，，且关于的一元二次方程的根的判别式小于0，
即，
解得，
综上，，且，
故选：D．
【分析】根据题意得到a>0，抛物线与x轴没有交点，即根的判别式小于0解答即可．
9．（2025九上·义乌月考）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（3，0），二次函数图象对称轴为直线x＝1，给出五个结论：①bc＞0；②a+b+c＜0；③当x＜1时，y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；⑤4a﹣2b+c＞0其中正确结论是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．③④⑤
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线的开口向下，抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴a＜0，c＞0，
又∵抛物线对称轴，
∴b＞0，即得bc＞0，故①正确；
②由图象可知，当x=1时，y=a+b+c＞0，故②不正确；
③根据二次函数的单调性，当x＜1时，y随着x的增大而增大，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=1，且方程的一个根为x2=3，
∴，即另一个根x1=-1，故④正确；
⑤∵二次函数与x轴的两个交点是（-1，0）（3，0），且开口向下，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，故⑤不正确．
综上可知，正确的结论有：①③④.
故选：B．
【分析】①观察二次函数的图象，a决定二次函数的开口方向，可通过“同左异右”判断b，根据图象与y轴交点即可判断c；②利用赋值法即可判断；③利用二次函数的增减性即可判断；④利用二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系即可解决；⑤根据二次函数增减性，利用赋值法即可解决.
10．（2025九上·义乌月考）已知抛物线C1：y=﹣x2+2mx+1（m为常数，且m≠0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B．若点P是抛物线C1上的点，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则m为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换；菱形的性质
【解析】【解答】易知：C（0，1），A（m，m2+1）；若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则CP∥AB①，CP=AP②；
由①得：点P与点C纵坐标相同，将y=1代入C1，得：x=0或x=2m，即P（2m，1）；
由②得：（2m）2=m2+（m2+1﹣1）2，即m2=3，解得m=± ；
故答案为：A．
【分析】易知：C（0，1），A（m，m2+1）， 抛物线C1、C2关于y轴对称，那么它们的顶点A、B也关于y轴对称，所以AB∥x轴；若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，那么CP也必须与x轴平行，即点C、P的纵坐标相同，代入抛物线C1的解析式中，就能确定点P的坐标，此时能发现AB=CP，即四边形APCB中，AB、CP平行且相等，即该四边形APCB是平行四边形，只要再满足AP=CP（即一组邻边相等），就能判定该四边形是菱形，因此先用m表达出AP、CP的长，再列等式求出m的值即可。
11．（2025九上·义乌月考）若抛物线y＝（m﹣1）x2﹣2的开口向上，则m的取值范围是 　 　 ．
【答案】m＞1
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线y=（m-1）x2-2的开口向上，
∴m-1＞0，解得m＞1，
故答案为：m＞1．
【分析】根据抛物线y=（m-1）x2-2的开口向上，可知m-1＞0，解不等式即可求解．
12．（2025九上·义乌月考）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为﹣2，﹣1，0，2，从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和是负数的概率是　 　 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：如图，画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，两次摸出的球的编号之和是负数的结果有8个，所以两次摸出的球的编号之和是负数的概率为.
故答案为：．
【分析】先画树状图，共有16种等可能的结果，两次摸出的球的编号之和是负数的结果有8个，再利用概率公式求解即可．
13．（2025九上·义乌月考）已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是　 　 ．
【答案】x＜1（或x≤1）
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴该函数图象开口向上，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大.
故答案为：x＜1（或x≤1）．
【分析】确定二次函数的开口及对称轴，利用根据二次函数的性质即可求解．
14．（2025九上·义乌月考）用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了表格：那么该二次函数有最　 　（填“大”或“小”）值　 　 ．
x …… 1 2 3 4 ……
…… 0 -1 0 3 ……
【答案】小；﹣1
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵当x=1时，y=0，当x=3时， y=0，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴由表格可得，二次函数的顶点为（2，-1），
∵当x>2时，y随x的增大而增大，
∴a>0，
∴二次函数有最小值，最小值是-1，
故答案为：小；-1．
【分析】观察表格，易得抛物线的对称轴为直线x=2，且当x>2时，y随x的增大而增大，从而判断出a>0，利用二次函数的最值为抛物线顶点坐标的纵坐标即可求解.
15．（2025九上·义乌月考）如图，是y＝x2、y＝x、在同一平面直角坐标系中图象，请根据图象写出时x的取值范围是 　 　 ．
【答案】﹣1＜x＜0或x＞1
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解： ∵y＝x2、y＝x、，
∴三个函数在第一象限内交点坐标为（1，1），y=x与在第三象限内交点坐标为（-1，-1），
∴时，x的取值范围是：-1＜x＜0或x＞1．
故答案为：-1＜x＜0或x＞1．
【分析】先确定出三个函数在第一象限内的交点坐标，y=x与在第三象限内交点坐标，再根据函数图象，找出抛物线图象在最上方，反比例函数图象在最下方的x的取值范围即可．
16．（2025九上·义乌月考）已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x满足2≤x≤5时，其对应函数y的最大值为﹣1，则h的值为　 　 ．
【答案】6或1
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-（x-h）2（h为常数），
∴二次函数开口向下，对称轴为直线x=h，
∴当x≥h时，y随x的增大而减小，当x＜h时，y随x的增大而增大，
∵当自变量x满足2≤x≤5时，其对应函数y的最大值为-1，
∴当h>5时，则当x=5时，y最大，即-（5-h）2=-1，解得h1=4（舍去），h2=6；
当h＜2时，则当x=2时，y最大，即-（2-h）2=-1，解得h3=1，h4=3（舍去）；
当2＜h＜5时，则当x=h时，y最大，最大值为0，与题意不符；
综上可知，h的值是6或1．
故答案为：6或1．
【分析】根据题意易得，二次函数开口向下，对称轴为直线x=h，利用二次函数的性质，根据h的范围分类讨论即可求解．
17．（2025九上·义乌月考）小滨的父母决定周末带她去旅游，初步商量有意向的四个景点分别为：A．明月山，B．庐山，C．婺源，D．三清山．由于受到时间限制，只能选两个景点，于是小滨的父母决定通过抽签选择，用四张小纸条分别写上四个景点做成四个签（外表无任何不同），让小源随机先抽一次（不放回），再抽一次，每次抽一个签，每个签抽到的机会相等．
（1）小滨最希望去婺源，则小滨第一次恰好抽到婺源的概率是　 　 ；
（2）除婺源外，小滨还希望去明月山，求小滨抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率是多少．（通过“画树状图”或“列表”进行分析）
【答案】（1）
（2）解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的情况数有10种，
∴抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）∵有意向的四个景点分别为：A．明月山，B．庐山，C．婺源，D．三清山，
∴ 小滨第一次恰好抽到婺源的概率是；
故答案为：.
【分析】（1）由题意，直接利用概率公式即可求解；
（2）先根据题意画出树状图，再利用概率公式即可求解．
18．（2025九上·义乌月考）已知二次函数y＝x2﹣4x+c．
（1）若该图象过点（4，5），求c的值并求图象的顶点坐标；
（2）若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与坐标轴有2个交点，求字母c的值．
【答案】（1）解：∵ 二次函数图象过点（4，5），
∴将（4，5）代入y＝x2﹣4x+c，可得，5＝16﹣16+c，解得c＝5，
∴y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标（2，1）.
（2）解：由题意，
①当抛物线与x轴只有一个交点，与y轴有一个交点时，
∴Δ＝0，即16﹣4c＝0，解得c＝4，
②当抛物线与x轴、y轴的交点重合时，抛物线与x轴有两个交点，
此时抛物线必过（0，0），∴，解得c＝0，
综上可知，c＝4或0.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）由题意，将点（4，5）代入y=x2-4x+c后即可求出c，将二次函数转化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）抛物线与坐标轴只有两个交点，有两种情况：①抛物线与x轴只有一个交点，令Δ=0即可求解；
②x轴的一个交点与y轴的交点必定重合，即抛物线必过（0，0），即可求解．
19．（2025九上·义乌月考）二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且OB＝OC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）该二次函数在第一象限的图象上有一动点为P，且点P在移动时满足S△PAB＝10，求此时点P的坐标．
【答案】（1）解：∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴OB＝4，
∵OB=OC，
∴OC＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
设经过A，C，B三点的二次函数的解析式为y＝a（x﹣4）（x+1），
∵点C（0，4）在图象上，
∴将（0，4）代入解析式，解得a＝﹣1，
∴二次函数解析式为y＝﹣（x﹣4）（x+1），即y＝﹣x2+3x+4.
（2）解：∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），
∴AB＝5，
设P点的坐标为（x，﹣x2+3x+4），
∵S△PAB＝10，
∴，即，
∴或，解得，x1＝3，x2＝0，，，
∵点P在第一象限，
∴P的坐标为（3，4）．
【知识点】利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据B（4，0），易得OB=4，则OC=4，即点C的坐标为（0，4），利用二次函数的交点式，设二次函数的解析式为y=a（x-4）（x+1），利用点C（0，4）在图象上易得a=-1，即可求出二次函数解析式为y=-（x-4）（x+1），即y=-x2+3x+4；
（2）根据A、B的坐标求得AB的长，设P点的坐标为（x，-x2+3x+4），根据S△PAB=10，建立方程，利用绝对值解方程即可求得x的值，根据点P在第一象限即可求出点P的坐标．
20．（2025九上·义乌月考）观察如表：
x 0 1 2
　 1 　
-3 　 -3
（1）求a，b，c的值，并在表内空格处填入正确的数；
（2）根据上面的结果解答问题
①在方格纸中画出函数y＝ax2+bx+c的图象；
②根据图象回答：当x的取值范围是 ▲ 时，y≤0？
【答案】（1）解：由表知，当x＝0时，ax2+bx+c＝﹣3；当x＝1时，ax2＝1；当x＝2时，ax2+bx+c＝﹣3，
∴，解得，
∴函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，y＝x2，
当x=0，y＝x2=0，
当x=2，y＝x2=4，
当x=1，y＝x2﹣2x﹣3=-4，
∴表格中的空格填0，4，﹣4.
（2）解：①画出函数y＝ax2+bx+c的图象如图：
②由图象可知，当﹣1≤x≤3时，y≤0，
故答案为﹣1≤x≤3．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）由图中表格知，当x=0时，y=-3，当x=2时，y=-3，当x＝1时，ax2＝1，根据待定系数法求出函数的解析式分别为y＝x2﹣2x﹣3，y＝x2，代入相应x的值即可求解；
（2）①描点、连线画出函数y=ax2+bx+c的图象；
②根据图象即可求解．
21．（2025九上·义乌月考）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的40%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b，且x＝80时，y＝40；x＝70时，y＝50．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：∵试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的40%，
∴60≤x≤60×（1+40%），解得，60≤x≤84，
由题得，，解得，，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+120（60≤x≤84）．
（2）解：由题意，该商场的销售额为xy＝x（﹣x+120）元，成本为60y＝60（﹣x+120），则
W＝xy﹣60y
＝x（﹣x+120）﹣60（﹣x+120）
＝（x﹣60）（﹣x+120）
＝﹣x2+180x﹣7200
＝﹣（x﹣90）2+900，
即W＝﹣（x﹣90）2+900，（60≤x≤84），
∵-1<0，
∴二次函数开口向下，当x＝84时，W取得最大值，最大值是﹣（84﹣90）2+900＝864（元），
即销售价定为每件84元时，可获得最大利润，最大利润是864元．
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可知：试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的40%，
易得60≤x≤60×（1+40%），解不等式可确定x的取值范围，即60≤x≤84，利用待定系数法，求出k，b的值即可确定一次函数的解析式为y＝﹣x+120，实际问题应注意备注自变量x的取值范围；
（2）根据题意，建立利润（W）与销售单价（x）之间的函数关系式，利用二次函数的性质及x的取值范围求出最大利润即可．
22．（2025九上·义乌月考）已知二次函数y＝a（x﹣k）（x﹣2）（k≠0）．
（1）若ak＝1．
①当k＝1时，求该函数图象的顶点坐标．
②不论k（k≠0）取何值，图象是否会经过定点？若会，请求出图象经过的定点坐标；若不会，请说明理由．
（2）点A（﹣2，y1），B（1，y2）在该函数图象上，且y1≥y2．若a+k＝1，图象的顶点在第三象限，求a的取值范围．
【答案】（1）解：①∵ak＝1，k＝1，
∴a＝1，
∴二次函数为y＝（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2，
∵y＝x2﹣3x+2＝，
∴该函数图象的顶点坐标为；
②图象会过定点，理由如下：
∵二次函数y＝a（x﹣k）（x﹣2）=a[（x2-2x）+k（2-x）]，且不论k（k≠0）取何值，图象过定点，
∴2-x=0，即x=2，
当x＝2时，y＝0，
∴图象经过的定点（2，0）；
（2）解：∵二次函数y＝a（x﹣k）（x﹣2）（k≠0），
∴图象交x轴于（k，0），（2，0），
∴抛物线对称轴为直线，
∵图象的顶点在第三象限，
∴a＞0，，
∴k＜﹣2，
∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）在该函数图象上，且y1≥y2，
∴，即k≥﹣3，
又∵k＜﹣2，
∴-3≤k<-2，
∵a+k＝1，
∴k＝1﹣a，
∵-3≤k<-2，
∴﹣3≤1﹣a＜﹣2，解得，3＜a≤4，
∴a的取值范围是3＜a≤4．
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数的其他应用；利用顶点式求二次函数解析式；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①结合已知，易得a=1，将二次函数解析式化成顶点式即可求解；
②将二次函数解析式变形易得，y＝a（x﹣k）（x﹣2）=a[（x2-2x）+k（2-x）]，易得2-x=0，所以当x=2时，y=0，所以图象经过的定点（2，0）；
（2）由二次函数解析式易得二次函数图象与x轴相交于点（k，0），（2，0），利用二次函数的对称性即可计算出对称轴，即对称轴为直线，由抛物线过定点（2，0），图象的顶点在第三象限，可得a＞0，，即k＜-2，再结合已知，y1≥y2，可得，即k≥﹣3，再由a+k=1即可建立关于a的不等式，求解不等式即可得出答案.
23．（2025九上·义乌月考）任意球是足球比赛的重要得分手段之一．在某次足球比赛中，小明站在点O处罚出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣12）2+h．小明罚任意球时防守队员站在小明正前方9m处组成人墙，防守队员的身高为2.1m，对手球门与小明的水平距离为18m，已知足球球门的高是2.43m．（假定甲球员的任意球恰好能射正对方的球门）．
（1）当h＝3时，求y与x的关系式．
（2）当h＝3时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞？请说明理由．
（3）若小明罚出的任意球一定能直接射进对手球门得分，直接写h的取值范围．
【答案】（1）解：当h＝3时，y＝a（x﹣12）2+3，
∵抛物线y＝a（x﹣12）2+3经过点（0，0），
∴0＝a（0﹣12）2+3，解得，
∴所求的函数关系式为；
（2）解：当h＝3时，足球能越过人墙，足球会不会踢飞，
理由如下：当h＝3时，由（1）得，
∵当x＝9时，，
∴足球能越过人墙，
当x＝18时y＝﹣m（18﹣12）2+3＝2.25＜2.43，
∴足球能直接射进球门，不会踢飞；
（3）解：h的取值范围是2.24＜h＜3.24．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（3）由题意，设知y＝a（x﹣12）2+h，
∵函数图象经过点（0，0），
∴0＝a（0﹣12）2+h，整理可得①，
∵由足球能越过人墙，
∴9a+h＞2.1②，
∵由足球能直接射进球门，
∴0＜36a+h＜2.43③，
将①代入②得，，解得h＞2.24，
把①代入③得，，解得0＜h＜3.24，
∴h的取值范围是2.24＜h＜3.24．
故答案为：h的取值范围是2.24＜h＜3.24．
【分析】（1）当h=3时，y=a（x-12）2+3，根据函数图象过原点，即可求出a的值；
（2）当h=3时，由（1）中解析式，分别把x=9和x=18代入函数解析式，求出y的值，与2.1和2.43比较即可得出结论；
（3）由抛物线过原点得到①，由足球能越过人墙可得，9a+h＞2.1②；由足球能直接射进球门可得，0＜36a+h＜2.43③，将①代入不等式②③即可求解．
24．（2025九上·义乌月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴的交点为点D，顶点为C，
（1）写出该抛物线的对称轴；
（2）当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，求出a的取值范围；
（3）作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），
∴抛物线的对称轴.
（2）解：当∠ACB＝60°时，△ABC是等边三角形，即点C坐标为，
设y＝a（x+1）（x﹣3），
把C点坐标代入函数解析式，解得，
当∠ACB＝90°时，△ABC是等腰直角三角形，即点C坐标为（1，﹣2），
设y＝a（x+1）（x﹣3），把C点坐标（1，﹣2）代入函数解析式，解得，
综上可知，当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，.
（3）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
∴C（1，﹣4a），D（0，﹣3a），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
将C（1，﹣4a），D（0，﹣3a）代入直线CD的解析式可得，，解得，
∴直线CD的解析式为y＝﹣a（x+3），
∴E点坐标为（﹣3，0），
∵ △CEF是一个等腰直角三角形，
∴分两类情况进行讨论：
①如图1，过点F作HK⊥y轴，过点E、点C作x轴的垂线，与HK交于点H、点K，易得∠H=∠K=90°，
∵△CEF是一个等腰直角三角形，∴EF=CF，∠HFE+∠CFK=90°，又∵∠HFE+∠HEF=90°，∴∠HEF=∠CFK，又∵∠H=∠K=90°，∴△EHF≌△FKC，即HF＝CK＝3，HE=FK=1，∵CK=1-（-4a）=1+4a，∴4a+1＝3，解得；
②如图2，过点E作HK⊥x轴，过点F、点C作y轴的垂线，与HK交于点H、点K，易得∠H=∠K=90°，
同理可证，△EHF≌△EKC，即EK＝HF＝3，即4a＝3，解得，
同理可得，当点F位于y轴负半轴上，EC＝CF时，此时三角形是等腰直角三角形，a＝，
综上可知，在y轴上存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形，此时a＝、或．
【知识点】等腰直角三角形；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）结合已知，利用抛物线的对称性易得对称轴为直线；
（2）先分别求出当∠ACB=60°和∠ACB=90°时a的临界值，进而可求出a的取值范围；
（3）结合已知，易得，可计算出C点、D点及E点的坐标，再根据等腰直角三角形△CEF 进行分类讨论，构造“K”型全等，易证△EHF≌△EKC，利用全等三角形的性质，建立关于a的方程，解方程即可求出a的值．
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