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湖南省长沙市明德教育集团2025-2026学年九年级上学期10月课堂作业数学试题
1．（2025九上·长沙月考）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·长沙月考）下列各式运算中，正确的是（　　）
A．3x+4y＝12xy B．3a2+2a2＝5a4
C．7y2﹣5y＝2y D．2a2b﹣ba2＝a2b
3．（2025九上·长沙月考）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是9.1环，四人的方差分别是s甲2＝0.63，s乙2＝2.56，s丙2＝0.49，s丁2＝0.46，则射箭成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2025九上·长沙月考）一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．（2025九上·长沙月考）下列判断中正确的是（　　）
A．平分弦的直线垂直于弦
B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
6．（2025九上·长沙月考）如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则排水管水面高为（　　）
A．3 B．8 C．2 D．
7．（2025九上·长沙月考）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
8．（2025九上·长沙月考）如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△DEC，点A对应点D，点B对应点E，点B刚好落在DE边上，∠A＝25°，∠BCD＝45°，则∠ABC等于（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
9．（2025九上·长沙月考）如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+6x+c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
10．（2025九上·长沙月考）如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断正确的是 （　　）
①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|
A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
11．（2025九上·长沙月考）在直角坐标系中，点A（2，3）关于原点对称的点A'坐标是 　 　 ．
12．（2025九上·长沙月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+3＝0的一个根为1，则m＝　 　 ．
13．（2025九上·长沙月考）把抛物线y＝3（x+1）2﹣2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是 　 　 ．
14．（2025九上·长沙月考）已知x1，x2分别是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则的值为　 　 ．
15．（2025九上·长沙月考）O是直线AB上一点，∠BOC＝62°45'，则∠AOC＝ 　 　 ．
16．（2025九上·长沙月考）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 　 　 米．
17．（2025九上·长沙月考）计算：．
18．（2025九上·长沙月考）计算：．
19．（2025九上·长沙月考）解方程：x2+8x﹣9＝0；
20．（2025九上·长沙月考）如图，已知点O是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆交于点C、D．
（1）求证：AC＝BD；
（2）如果AB＝8，CD＝4，大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长．
21．（2025九上·长沙月考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC．
（1）将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到△A2B2C1，画出△A2B2C1；
（3）求四边形A1B1B2C1的面积．
22．（2025九上·长沙月考）如图，将 ABCD的边DC延长至点E，使DE＝2CD，连接AE、BE、AC，AE交BC于点O．
（1）求证：△ADC≌△BCE；
（2）若，求证：四边形ABEC是矩形．
23．（2025九上·长沙月考）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元；
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
24．（2025九上·长沙月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过点D（0，1）的直线与y轴右侧的抛物线交于F，与y轴左侧的抛物线交于E，若DF＝2DE，求直线的解析式；
（3）设点P是抛物线上任一点，点Q在x轴正半轴上，△PCQ能否构成以∠CPQ为直角的等腰直角三角形？若能，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
25．（2025九上·长沙月考）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），都是“纵三倍点”．
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 　 　 ；（填序号）
①y＝﹣2x+1；②y＝x2+x+1．
（2）已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令w＝b2﹣2b+6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。根据中心对称和轴对称的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3x、4y不能合并，故A错误；
故B错误；
不能运算，故C错误；
故D正确.
故选： D.
【分析】根据合并同类项法则逐项判断解答即可.
3．【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵0.49<0.46<0.63<2.56，
∴射箭成绩最稳定的是丁，
故选： D.
【分析】根据方差的意义“ 方差越小，数据波动越小，成绩越稳定 ”即可得.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为
所以 12=-8<0，
故选： C.
【分析】根据当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根，进行作答即可.
5．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；
B、平分弦的直径也必平分弦所对的两条弧，故本选项错误；
C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，符合垂径定理，故本选项正确；
D、平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故本选项错误．
故选：C．
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一判断即可．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
由题可知
∴排水管水面高为3，
故选： C.
【分析】根据垂径定理可知 再利用勾股定理求出OC，再根据线段的和差求解即可.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程：200（1＋x）2＝242，
故答案为：A．
【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，根据“ 第一天揽件200件，第三天揽件242件 ”列出方程200（1＋x）2＝242即可.
8．【答案】B
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】由△ABC绕顶点C旋转得到△DEC可知：∠D=∠A =25°， ∠ABC =∠E， CB=CE，
∴∠E =∠CBE =∠BCD+∠D，
∵∠BCD = 45°，
∴∠CBE =45°+25°= 70°，故∠ABC =∠E = 70°.
故选： B.
【分析】先通过旋转得到∠D =∠A=25°， ∠ABC =∠E，CB=CE，再通过等边对等角以及三角形外角的性质得到∠E =∠CBE =∠BCD+∠D，代入已知的数据即可求解.
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线 的开口向下，对称轴是直线
∴当x>3时，y随x的增大而减小， 关于称轴是直线x=3的对称点是
∴ y1＜y3＜y2 ，
故选： A.
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∵抛物线交y轴于正半轴，
故①正确，
时，y<0，
即4a+c<2b，故②正确，
的图象过点((-1，0)和(m，0)
故③正确，
=2a-2b+a+b
=3a-b<0，故④正确，
故⑤正确，
故选：B.
【分析】①利用图象信息即可判断；②根据.x=-2时， y<0即可判断；③根据m是方程 0的根，结合两根之积 即可判断；④根据两根之和 可得 ma=a-ma=a-b，可得 =3a-b<0，⑤根据抛物线与x轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断.
11．【答案】（﹣2，﹣3）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(2，3)，
∴A点关于原点对称的点A'坐标为(-2，-3)，
故答案为：(-2，-3).
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.由此可求点A关于原点对称的点的坐标.
12．【答案】2
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=1代入方程得：1-(m+2)+3=0，
去括号得：1-m-2+3=0，
解得：m=2，
故答案为：2.
【分析】把x=1代入方程计算即可求出m的值.
13．【答案】y＝3（x﹣1）2+1
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据二次函数的平移规律得到的抛物线是y=3
故答案为：
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解即可.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 分别是一元二次方程； 的两个根，
故答案为：
【分析】利用根与系数的关系，可得出 再将其代入 中，即可求出结论.
15．【答案】117°15'
【知识点】常用角的度量单位及换算；邻补角
【解析】【解答】解： ，
故答案为：
【分析】根据邻补角的定义计算即可.
16．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：如图，
以水面为x轴，拱桥的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-2)，把(0，2)代入得-4a=2，
解得a=-，
∴抛物线的解析式为y=，
当x=时，y=，
∴水面上升米，
故答案为：.
【分析】建立平面直角坐标系，然后哦设抛物线的解析式y=a(x+2)(x-2)，代入(0，2)求出a的值，即可得到解析式，然后把x=代入求出y值即可.
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】首先根据乘方的定义和立方根、算术平方根的定义、绝对值的性质把各部分分别计算出来，然后再运算加减即可.
18．【答案】解：
．
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】先通分，然后相加减，最后约分即可.
19．【答案】解：x2+8x﹣9＝0，
x2+8x+16＝9+16，
（x+4）2＝25，
则x+4＝±5，
所以x1＝1，x2＝﹣9；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程即可.
20．【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AB于E，
∴AE＝BE，CE＝DE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，
∴AC＝BD；
（2）解：连接AO、CO，
在Rt△AOE与Rt△COE中，OE2＝OA2﹣AE2，OE2＝OC2﹣CE2，
∴OC2﹣CE2 ＝OA2﹣AE2，
∴OA2﹣OC2＝AE2﹣CE2，
∵CD＝4，AB＝8，
∴CE＝2，AE＝4，
∴OA2﹣OC2＝42﹣22＝12①，
∵大圆面积是小圆面积的3倍，
∴π OA2＝3π OC2，
即OA2＝3OC2②，
根据①②可得：OA2＝18，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作于E，根据垂径定理得AE=BE，CE=DE，所以AE-CE=BE-DE，即可求解；
（2）连接AO、CO，根据勾股定理求出OA2﹣OC2＝12，然后根据大圆面积是小圆面积的3倍，得到OA2＝3OC2，即可求出OA长.
21．【答案】（1）解：将三个顶点分别向下平移5个单位长度得到对应点，再顺次连接，如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）解：将点A1、B1绕点C1逆时针旋转90°得到对应点，再首尾顺次连接，如图所示，△A2B2C1即为所求．
（3）解：由题意，可知，，
∴四边形A1B1B2C1的面积为．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)将三个顶点分别向下平移5个单位长度得到对应点，再顺次连接即可得；
(2)将点. 绕点 逆时针旋转 得到对应点，再首尾顺次连接即可得；
(3)利用四边形的面积：计算得出答案.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC（平行四边形的对边平行且相等），
∴∠D＝∠BCE，且DC＝CE，AD＝BC，
∴△ADC≌△BCE（SAS）；
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），
∵DE＝2CD，
∴DC＝CE，
∴AB∥CE，AB＝CE，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴AE＝2OA，BC＝2OB，
∵，
∴∠BOE＝2∠BCE＝∠BCE+∠OEC，
∴∠OEC＝∠BCE，
∴OE＝OC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC为矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由题意易得 则有 进而问题可求证；
(2)由题意易得四边形ABEC为平行四边形，则有AE=2OA，BC=2OB，然后可得 进而可得OE=OC，然后问题可求解.
23．【答案】（1）解：根据题意得，
y＝200﹣10（x﹣14）
＝﹣10x+340，
∴y＝﹣10x+340．
又∵销售单价不能超过20元，且进价为10元，
∴10＜x≤20．
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+340（10＜x≤20）；
（2）解：根据题意得，
（x﹣10）（﹣10x+340）＝1190，
∴x1＝17，x2＝27（不合题意舍去）．
答：要使日销售利润为1190元，销售单价应定为17元；
（3）解：根据题意得，
w＝（x﹣10）（﹣10x+340）
＝﹣10（x﹣22）2+1440，
∵﹣10＜0，
∴当x＜22时，w随x的增大而增大，
又∵10＜x≤20，
∴当x＝20时，w所获利润最大，为1400元，
答：当x为20时，日销售利润最大，最大利润1400元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据“销售单价每提高1元日销量将会减少10件”可写出函数表达式y=200-10(x-14)，化简即可；
(2)利润=(单价-定价)×日销售量，通过这个公式可得出日销售利润的函数表达式，将w=1190代入表达式，即可求出销售单价的值；
(3)根据第二问即可写出日销售利润w(元)与销售单价x(元)的函数关系式，根据二次函数的性质，即可得出答案.
24．【答案】（1）解：由已知可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：设直线EF的解析式为y＝kx+1，E、F的横坐标分别为x1，x2，
∴kx+1＝﹣x2+2x+3，
整理得：x2+（k﹣2）x﹣2＝0，
过点E作EG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，则有EG∥y轴∥FH，
∴，
即OH＝2OG，
∴x2＝﹣2x1，
由x1 x2＝﹣2，得：
x1（﹣2x1）＝﹣2，
解得：x1＝±1，
∴x1＝﹣1，
∴E点的横坐标为（﹣1，0），
把（﹣1，0）代入y＝kx+1，得k＝1，
∴直线的解析式为y＝x+1；
（3）解：P点的坐标为，，．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（3）△PCQ能构成以∠CPQ为直角的等腰直角三角形．
过点P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N，
设P点的坐标为（x，﹣x2+2x+3），Q（m，0），则M（x，0），N（0，﹣x2+2x+3），
由题意可知：PC＝PQ，∠CPQ＝90°，四边形OMPN是矩形，
∴∠MPN＝90°，
∴∠CPN＝∠QPM，
∴△CPN≌△QPM（AAS），
∴PM＝PN，QM＝CN，
∴，
由﹣x2+2x+3＝x，
解得：，（舍去），
，
∴，
由﹣x2+2x+3＝﹣x，得：
，，
当时，﹣x2+2x+3，
∴，
当时，﹣x2+2x+3，
∴，
∴P点的坐标为，，．
【分析】(1)把A、B两点的坐标代入函数解析式即可求得问题答案；
(2)设直线DF的解析式为y=kx+1，E、F的横坐标分别为x1，x2，得到 +3，整理得： 再由平行线分线段成比例定理，可得两根之间的关系，从而求出E点的坐标，进而求得k；
(3)过点P作 轴于点M，作 轴于点N，设P点的坐标为 (m，0)， 则由三角形全等，建立方程求解即可得出答案.
25．【答案】（1）①②
（2）解：∵抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，
∴方程x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0有两个相等的实数根，即Δ＝0，
∴（m﹣1）2﹣4（n﹣4）＝0，
∴nm2m①，
∵抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝x+4交点是“纵三倍点”，
∴x＝2，y＝6，
∴n＝﹣2m+2②，
联立①②，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+8；
（3）解：∵抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，
∴方程3x＝ax2+bx有且只有一个实数根，
∴Δ＝（b﹣3）2﹣4a＝0，
∴a（b﹣3）2，
∴w＝b2﹣2b+6a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2（b﹣2）2+1，
根据题意，当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，
当t+1≤2，即t≤1时，当b＝t+1时，w有最小值，
∴t＝2（t+1﹣2）2+1，
即2t2﹣5t+3＝0，
解得：t1＝1，t2（舍去），
∴此时不存在常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，w的最小值为1，
即t≤b≤t+1时，w的最小值为1，不符合题意；
当t＞2时，t＝2（t﹣2）2+1，
即2t2﹣9t+9＝0，
解得：t1（舍去），t2＝3，
∴存在常数t＝3，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；
综上所述，t的值为1或3．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）①由得，
∴在直线y＝﹣2x+1上只有一个“纵三倍点”：（，）；
②由得：，
∴二次函数y＝x2+x+1的图象上只有一个“纵三倍点”：（1，3）；
故答案为：①②；
【分析】(1)由新定义即可求解；
(2)抛物线与直线y=x+4只有一个交点，方程 有两个相等的实数根，即 抛物线与直线y=x+4交点是“纵三倍点”，则x=2y=6，n=-2m-2②， 联立①②得：即可求解；
(3)当t+1≤2，即 时，当b=t+1时， w有最小值，则 即 t+3=0，即可求解；当t≤2≤t+1，即 t≤2、t>2时，同理可解.
1 / 1湖南省长沙市明德教育集团2025-2026学年九年级上学期10月课堂作业数学试题
1．（2025九上·长沙月考）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。根据中心对称和轴对称的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．（2025九上·长沙月考）下列各式运算中，正确的是（　　）
A．3x+4y＝12xy B．3a2+2a2＝5a4
C．7y2﹣5y＝2y D．2a2b﹣ba2＝a2b
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、3x、4y不能合并，故A错误；
故B错误；
不能运算，故C错误；
故D正确.
故选： D.
【分析】根据合并同类项法则逐项判断解答即可.
3．（2025九上·长沙月考）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是9.1环，四人的方差分别是s甲2＝0.63，s乙2＝2.56，s丙2＝0.49，s丁2＝0.46，则射箭成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵0.49<0.46<0.63<2.56，
∴射箭成绩最稳定的是丁，
故选： D.
【分析】根据方差的意义“ 方差越小，数据波动越小，成绩越稳定 ”即可得.
4．（2025九上·长沙月考）一元二次方程x2﹣2x+3＝0根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为
所以 12=-8<0，
故选： C.
【分析】根据当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根，进行作答即可.
5．（2025九上·长沙月考）下列判断中正确的是（　　）
A．平分弦的直线垂直于弦
B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；
B、平分弦的直径也必平分弦所对的两条弧，故本选项错误；
C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，符合垂径定理，故本选项正确；
D、平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故本选项错误．
故选：C．
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一判断即可．
6．（2025九上·长沙月考）如图，一根排水管的截面是一个半径为5的圆，管内水面宽AB＝8，则排水管水面高为（　　）
A．3 B．8 C．2 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA，
由题可知
∴排水管水面高为3，
故选： C.
【分析】根据垂径定理可知 再利用勾股定理求出OC，再根据线段的和差求解即可.
7．（2025九上·长沙月考）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程：200（1＋x）2＝242，
故答案为：A．
【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，根据“ 第一天揽件200件，第三天揽件242件 ”列出方程200（1＋x）2＝242即可.
8．（2025九上·长沙月考）如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△DEC，点A对应点D，点B对应点E，点B刚好落在DE边上，∠A＝25°，∠BCD＝45°，则∠ABC等于（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】B
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】由△ABC绕顶点C旋转得到△DEC可知：∠D=∠A =25°， ∠ABC =∠E， CB=CE，
∴∠E =∠CBE =∠BCD+∠D，
∵∠BCD = 45°，
∴∠CBE =45°+25°= 70°，故∠ABC =∠E = 70°.
故选： B.
【分析】先通过旋转得到∠D =∠A=25°， ∠ABC =∠E，CB=CE，再通过等边对等角以及三角形外角的性质得到∠E =∠CBE =∠BCD+∠D，代入已知的数据即可求解.
9．（2025九上·长沙月考）如果三点P1（1，y1），P2（3，y2）和P3（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+6x+c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线 的开口向下，对称轴是直线
∴当x>3时，y随x的增大而减小， 关于称轴是直线x=3的对称点是
∴ y1＜y3＜y2 ，
故选： A.
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可.
10．（2025九上·长沙月考）如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断正确的是 （　　）
①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|
A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∵抛物线交y轴于正半轴，
故①正确，
时，y<0，
即4a+c<2b，故②正确，
的图象过点((-1，0)和(m，0)
故③正确，
=2a-2b+a+b
=3a-b<0，故④正确，
故⑤正确，
故选：B.
【分析】①利用图象信息即可判断；②根据.x=-2时， y<0即可判断；③根据m是方程 0的根，结合两根之积 即可判断；④根据两根之和 可得 ma=a-ma=a-b，可得 =3a-b<0，⑤根据抛物线与x轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断.
11．（2025九上·长沙月考）在直角坐标系中，点A（2，3）关于原点对称的点A'坐标是 　 　 ．
【答案】（﹣2，﹣3）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(2，3)，
∴A点关于原点对称的点A'坐标为(-2，-3)，
故答案为：(-2，-3).
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.由此可求点A关于原点对称的点的坐标.
12．（2025九上·长沙月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+3＝0的一个根为1，则m＝　 　 ．
【答案】2
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=1代入方程得：1-(m+2)+3=0，
去括号得：1-m-2+3=0，
解得：m=2，
故答案为：2.
【分析】把x=1代入方程计算即可求出m的值.
13．（2025九上·长沙月考）把抛物线y＝3（x+1）2﹣2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是 　 　 ．
【答案】y＝3（x﹣1）2+1
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据二次函数的平移规律得到的抛物线是y=3
故答案为：
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解即可.
14．（2025九上·长沙月考）已知x1，x2分别是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个根，则的值为　 　 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 分别是一元二次方程； 的两个根，
故答案为：
【分析】利用根与系数的关系，可得出 再将其代入 中，即可求出结论.
15．（2025九上·长沙月考）O是直线AB上一点，∠BOC＝62°45'，则∠AOC＝ 　 　 ．
【答案】117°15'
【知识点】常用角的度量单位及换算；邻补角
【解析】【解答】解： ，
故答案为：
【分析】根据邻补角的定义计算即可.
16．（2025九上·长沙月考）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 　 　 米．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：如图，
以水面为x轴，拱桥的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-2)，把(0，2)代入得-4a=2，
解得a=-，
∴抛物线的解析式为y=，
当x=时，y=，
∴水面上升米，
故答案为：.
【分析】建立平面直角坐标系，然后哦设抛物线的解析式y=a(x+2)(x-2)，代入(0，2)求出a的值，即可得到解析式，然后把x=代入求出y值即可.
17．（2025九上·长沙月考）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】首先根据乘方的定义和立方根、算术平方根的定义、绝对值的性质把各部分分别计算出来，然后再运算加减即可.
18．（2025九上·长沙月考）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】先通分，然后相加减，最后约分即可.
19．（2025九上·长沙月考）解方程：x2+8x﹣9＝0；
【答案】解：x2+8x﹣9＝0，
x2+8x+16＝9+16，
（x+4）2＝25，
则x+4＝±5，
所以x1＝1，x2＝﹣9；
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程即可.
20．（2025九上·长沙月考）如图，已知点O是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆交于点C、D．
（1）求证：AC＝BD；
（2）如果AB＝8，CD＝4，大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长．
【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AB于E，
∴AE＝BE，CE＝DE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，
∴AC＝BD；
（2）解：连接AO、CO，
在Rt△AOE与Rt△COE中，OE2＝OA2﹣AE2，OE2＝OC2﹣CE2，
∴OC2﹣CE2 ＝OA2﹣AE2，
∴OA2﹣OC2＝AE2﹣CE2，
∵CD＝4，AB＝8，
∴CE＝2，AE＝4，
∴OA2﹣OC2＝42﹣22＝12①，
∵大圆面积是小圆面积的3倍，
∴π OA2＝3π OC2，
即OA2＝3OC2②，
根据①②可得：OA2＝18，
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）过点O作于E，根据垂径定理得AE=BE，CE=DE，所以AE-CE=BE-DE，即可求解；
（2）连接AO、CO，根据勾股定理求出OA2﹣OC2＝12，然后根据大圆面积是小圆面积的3倍，得到OA2＝3OC2，即可求出OA长.
21．（2025九上·长沙月考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC．
（1）将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到△A2B2C1，画出△A2B2C1；
（3）求四边形A1B1B2C1的面积．
【答案】（1）解：将三个顶点分别向下平移5个单位长度得到对应点，再顺次连接，如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）解：将点A1、B1绕点C1逆时针旋转90°得到对应点，再首尾顺次连接，如图所示，△A2B2C1即为所求．
（3）解：由题意，可知，，
∴四边形A1B1B2C1的面积为．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)将三个顶点分别向下平移5个单位长度得到对应点，再顺次连接即可得；
(2)将点. 绕点 逆时针旋转 得到对应点，再首尾顺次连接即可得；
(3)利用四边形的面积：计算得出答案.
22．（2025九上·长沙月考）如图，将 ABCD的边DC延长至点E，使DE＝2CD，连接AE、BE、AC，AE交BC于点O．
（1）求证：△ADC≌△BCE；
（2）若，求证：四边形ABEC是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC（平行四边形的对边平行且相等），
∴∠D＝∠BCE，且DC＝CE，AD＝BC，
∴△ADC≌△BCE（SAS）；
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等），
∵DE＝2CD，
∴DC＝CE，
∴AB∥CE，AB＝CE，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴AE＝2OA，BC＝2OB，
∵，
∴∠BOE＝2∠BCE＝∠BCE+∠OEC，
∴∠OEC＝∠BCE，
∴OE＝OC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC为矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由题意易得 则有 进而问题可求证；
(2)由题意易得四边形ABEC为平行四边形，则有AE=2OA，BC=2OB，然后可得 进而可得OE=OC，然后问题可求解.
23．（2025九上·长沙月考）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为10元，当销售单价定为14元时，每天可以销售200件，市场调查反映：销售单价每增加1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过20元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）要使日销售利润为1190元，销售单价应定为多少元；
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）解：根据题意得，
y＝200﹣10（x﹣14）
＝﹣10x+340，
∴y＝﹣10x+340．
又∵销售单价不能超过20元，且进价为10元，
∴10＜x≤20．
∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+340（10＜x≤20）；
（2）解：根据题意得，
（x﹣10）（﹣10x+340）＝1190，
∴x1＝17，x2＝27（不合题意舍去）．
答：要使日销售利润为1190元，销售单价应定为17元；
（3）解：根据题意得，
w＝（x﹣10）（﹣10x+340）
＝﹣10（x﹣22）2+1440，
∵﹣10＜0，
∴当x＜22时，w随x的增大而增大，
又∵10＜x≤20，
∴当x＝20时，w所获利润最大，为1400元，
答：当x为20时，日销售利润最大，最大利润1400元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据“销售单价每提高1元日销量将会减少10件”可写出函数表达式y=200-10(x-14)，化简即可；
(2)利润=(单价-定价)×日销售量，通过这个公式可得出日销售利润的函数表达式，将w=1190代入表达式，即可求出销售单价的值；
(3)根据第二问即可写出日销售利润w(元)与销售单价x(元)的函数关系式，根据二次函数的性质，即可得出答案.
24．（2025九上·长沙月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过点D（0，1）的直线与y轴右侧的抛物线交于F，与y轴左侧的抛物线交于E，若DF＝2DE，求直线的解析式；
（3）设点P是抛物线上任一点，点Q在x轴正半轴上，△PCQ能否构成以∠CPQ为直角的等腰直角三角形？若能，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：由已知可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）解：设直线EF的解析式为y＝kx+1，E、F的横坐标分别为x1，x2，
∴kx+1＝﹣x2+2x+3，
整理得：x2+（k﹣2）x﹣2＝0，
过点E作EG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，则有EG∥y轴∥FH，
∴，
即OH＝2OG，
∴x2＝﹣2x1，
由x1 x2＝﹣2，得：
x1（﹣2x1）＝﹣2，
解得：x1＝±1，
∴x1＝﹣1，
∴E点的横坐标为（﹣1，0），
把（﹣1，0）代入y＝kx+1，得k＝1，
∴直线的解析式为y＝x+1；
（3）解：P点的坐标为，，．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（3）△PCQ能构成以∠CPQ为直角的等腰直角三角形．
过点P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N，
设P点的坐标为（x，﹣x2+2x+3），Q（m，0），则M（x，0），N（0，﹣x2+2x+3），
由题意可知：PC＝PQ，∠CPQ＝90°，四边形OMPN是矩形，
∴∠MPN＝90°，
∴∠CPN＝∠QPM，
∴△CPN≌△QPM（AAS），
∴PM＝PN，QM＝CN，
∴，
由﹣x2+2x+3＝x，
解得：，（舍去），
，
∴，
由﹣x2+2x+3＝﹣x，得：
，，
当时，﹣x2+2x+3，
∴，
当时，﹣x2+2x+3，
∴，
∴P点的坐标为，，．
【分析】(1)把A、B两点的坐标代入函数解析式即可求得问题答案；
(2)设直线DF的解析式为y=kx+1，E、F的横坐标分别为x1，x2，得到 +3，整理得： 再由平行线分线段成比例定理，可得两根之间的关系，从而求出E点的坐标，进而求得k；
(3)过点P作 轴于点M，作 轴于点N，设P点的坐标为 (m，0)， 则由三角形全等，建立方程求解即可得出答案.
25．（2025九上·长沙月考）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），都是“纵三倍点”．
（1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 　 　 ；（填序号）
①y＝﹣2x+1；②y＝x2+x+1．
（2）已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令w＝b2﹣2b+6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①②
（2）解：∵抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，
∴方程x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0有两个相等的实数根，即Δ＝0，
∴（m﹣1）2﹣4（n﹣4）＝0，
∴nm2m①，
∵抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝x+4交点是“纵三倍点”，
∴x＝2，y＝6，
∴n＝﹣2m+2②，
联立①②，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+8；
（3）解：∵抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，
∴方程3x＝ax2+bx有且只有一个实数根，
∴Δ＝（b﹣3）2﹣4a＝0，
∴a（b﹣3）2，
∴w＝b2﹣2b+6a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2（b﹣2）2+1，
根据题意，当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，
当t+1≤2，即t≤1时，当b＝t+1时，w有最小值，
∴t＝2（t+1﹣2）2+1，
即2t2﹣5t+3＝0，
解得：t1＝1，t2（舍去），
∴此时不存在常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；
当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，w的最小值为1，
即t≤b≤t+1时，w的最小值为1，不符合题意；
当t＞2时，t＝2（t﹣2）2+1，
即2t2﹣9t+9＝0，
解得：t1（舍去），t2＝3，
∴存在常数t＝3，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t；
综上所述，t的值为1或3．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）①由得，
∴在直线y＝﹣2x+1上只有一个“纵三倍点”：（，）；
②由得：，
∴二次函数y＝x2+x+1的图象上只有一个“纵三倍点”：（1，3）；
故答案为：①②；
【分析】(1)由新定义即可求解；
(2)抛物线与直线y=x+4只有一个交点，方程 有两个相等的实数根，即 抛物线与直线y=x+4交点是“纵三倍点”，则x=2y=6，n=-2m-2②， 联立①②得：即可求解；
(3)当t+1≤2，即 时，当b=t+1时， w有最小值，则 即 t+3=0，即可求解；当t≤2≤t+1，即 t≤2、t>2时，同理可解.
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