资源简介

内蒙古自治区呼和浩特市第四中学2025-2026学年上学期八年级九月考数学试题
一、单选题
1．下列四个图片是我国四个银行的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．根据下列条件，能画出唯一三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．如果三角形的两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，已知∥，，，则的度数为（ ）
A．30° B．32.5° C．35° D．37.5°
6．如图，与中，，，，但与显然不全等，这说明（ ）
A．两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等
B．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形不一定全等
D．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等
7．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）
A．11 B．5.5
C．7 D．3.5
二、填空题
9．命题“对顶角相等”的逆命题是 ，逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
10．在平面直角坐标系中，将点沿轴折叠，得到对应点，则点的坐标为 ．
11．如图，在中，，为的平分线，若，且的面积为24，则点到的距离为 ．
12．如图，在四边形中，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 ．

三、解答题
13．如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE=CF．
14．已知：如图，，点E在上，求证：．
15．如图所示，、是的内角、外角的平分线，求证：点必在的另一个外角的平分线上．
16．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．
17．小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．求的长．

18．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试：如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请用直尺和圆规将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形，请保留作图痕迹．
（2）理解运用：请在图2的方格纸中，画两个面积为2的三角形，使这两个三角形是偏等积三角形．
（3）综合应用：如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为腰向外作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB=∠DAE=90°，连结BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
参考答案
1．C
解：A．不是轴对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，符合题意；
D．不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
2．C
解：在和中
，
∴，
∴，
故选：C．
3．C
解：A、 ∵ ，
∴此三条线段不能围成一个三角形，故不能画出；
B、已知两边的长和其中边的对角，根据全等三角形的判定方法是不能画出唯一三角形；
C、已知两个边和这两个边的夹角，根据判定定理可以画出唯一三角形；
D、已知三个角，根据两个三角形全等的判定方法，可以画出无数个这样的三角形，不能画出唯一三角形，故不合题意；
故选：C．
4．C
解：∵三角形的两边长分别是2和5，
设第三边长为，则，
∵周长为偶数，，
∴，
即第三边长为5，
故选：C．
5．C
解：如图：∵AB∥CD
∴∠C=∠BOE=65°(两直线平行，同位角相等)
∵∠BOE=∠A+∠E（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠A=∠BOE-∠E=65°-30°=35°．
故选C．
6．B
【详解】∵与中，，，，
但与显然不全等，
∴这说明两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
故选：B．
7．A
解：由题意得：，，，，
，
，，
，
在和中，
，
；
由题意得：，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
故选：A．
8．B
【详解】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵DM=DE，AD=AD，AD是△ABC的角平分线，
∴△ADE≌△ADM，
∵DE=DG，
∴DM=DG，
∴MN=GN，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
∴△DFE≌△DNM，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△AMD=50﹣39=11，
S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5
故选：B．
9． 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 假
【详解】原命题的题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
题设和结论互换后即为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
根据对顶角的定义：对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；故原命题的逆命题是假命题．
故答案为：①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②假．
10．
解：∵将点沿轴折叠，得到对应点，
∴点的坐标为．
故答案为：．
11．4
解：过点D作于点E，

∵是的平分线，
∴，
∵，且的面积为24，
∴，
∴点D到的距离为4．
故答案为：4．
12．1或
解：设点的运动速度为，则，，，
，
当，时，根据“”判断，
即，，解得，；
当，时，根据“”判断，
即，，解得，，
综上所述，点的运动速度为1或．
故答案为：1或．
13．见解析
证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°．
∵在△BDE和△CDF中，，
∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴BE=CF．
14．见解析
解：∵
∴点A在的垂直平分线上，
∵，
∴点D在的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∵点E在上，
∴．
15．证明过程见解析
【详解】证明：作于点，作于点，作于点，
∵是的平分线，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点必在的另一个外角的平分线上．
16．证明见解析．
【详解】已知：如图，在和中，，CM、FN分别是AB、DE边上的中线，且，
求证：．

证明：CM、FN分别是AB、DE边上的中线，
点M、N分别是AB、DE边的中点，
，
，
，
在和中，，
，
，
在和中，，
．
17．
【详解】∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
18．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）证明见解析.
（1）如图1所示，△ABD和△BCD是偏等积三角形；
（2）如图2所示，△ABC和△DEF是偏等积三角形；
（3）如图3所示：过点B作BH⊥AE，垂足为H．
∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，∠CAB=∠DAE=90°，
∴∠HAC+∠DAC=90°，∠BAH+∠HAC=90°．
∴∠BAH=∠DAC．
在△ABH和△ACD中
∵，
∴△ABH≌△ACD（AAS），
∴BH=CD，
∵S△ABE=BH AE，S△ACD=AD CD，
∵AE=AD，CD=BH，
∴S△ABE=S△ACD，
又由图知，这两个三角形不全等，
∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．

展开更多......

收起↑