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广西壮族自治区柳州市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分。）
1．（2024八上·柳州期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，据此可得结果.
2．（2024八上·柳州期末）下列运算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法法则即可逐一判断．
3．（2024八上·柳州期末）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意；
B、3+4＞5，能够组成三角形，故此选项正确，符合题意；
C、5+4＜10，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意；
D、2+6＜9，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，据此判断.
4．（2024八上·柳州期末）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】由科学记数法的表示可知， ，
故答案为：A．
【分析】根据科学记数法绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，其中 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
5．（2024八上·柳州期末）如图，在中，画出边上的高（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由题意可得：
AC边上的高为：过点B作BD⊥AC于点D
故答案为：D
【分析】根据三角形边上的高的定义即可求出答案。
6．（2024八上·柳州期末）若一个多边形的内角和比它的外角和大，则该多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为n，
∴
故答案为：B.
【分析】设该多边形的边数为n，则该多边形的内角和为(n-2)×180°，而所有多边形的外角和都是360°，进而根据一个多边形的内角和比它的外角和大540°，列方程，解此方程即可求解.
7．（2024八上·柳州期末）若 、 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： 、 的值均扩大为原来的3倍，
变为： ，所以分式的值发生了变化，故 不符合题意；
变为： ，所以分式的值发生了变化，故 不符合题意；
变为： ，所以分式的值发生了变化，故 不符合题意；
变为： ，所以分式的值没有发生了变化，故 符合题意；
故答案为：D
【分析】根据分式的基本性质逐项求解判断即可。
8．（2024八上·柳州期末）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意；
B、，则本项符合题意；
C、，则本项不符合题意；
D、则本项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据因式分解中的提公因式法可判断A选项；根据因式分解法中的十字相乘法可判断B选项；根据因式分解中的完全平方公式法克判断C选项；先提取公因式x，再利用平方差公式法进行分解可判断D选项.
9．（2024八上·柳州期末）如图，在中，，，平分，点E在上，把沿直线折叠，使点B落在点F处，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵平分，
∴
∵沿直线折叠，使点B落在点F处，且，
∴BD=DF
∵∴DF=CD
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质然后根据折叠的性质即可求出∠BDF的度数及DF=CD，再由等边对等角得出∠DFC=∠DCF=15°，最后根据∠EFC=∠EFD+∠DFC即可求解.
10．（2024八上·柳州期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，利用图1可以得到，那么利用图2所得到的数学等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：图2的面积可表示为：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）2
或a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
则有：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
故答案为：D．
【分析】观察图形2，可知此正方形的边长为（a+b+c），可以用两种不同的方法表示出此正方形的面积，据此可得答案.
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024八上·柳州期末）若分式的值为0，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴
∴
故答案为：1.
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0且分母不为0，据此即可求解.
12．（2024八上·柳州期末）点关于轴对称的点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点A（-3，2）关于x轴对称的点的坐标为 （-3，-2）.
故答案为：（-3，-2）.
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求得.
13．（2024八上·柳州期末）如图，在中，平分若则　 　．
【答案】1
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作于点F，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】先求出，再利用三角形的面积公式求解即可。
14．（2024八上·柳州期末）已知，，则代数式的值为　 　．
【答案】-15
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，∵，，
∴原式==
故答案为：-15.
【分析】利用提公因式法对原式变形得到：，进而将，，代入计算即可.
15．（2024八上·柳州期末）如图，中，，以点B为圆心，的长为半径画弧交于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接交AC于点D，若，则是　 　°．
【答案】20
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由作图可知，F点到点E和点C的距离相等，
∴F点在的垂直平分线上，
又∵，
∴垂直平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由图可知垂直平分，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和订立求出，同理再求出，则。
16．（2024八上·柳州期末）如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的有　 　.（填序号）
【答案】①③④⑤
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边的底边上的高，
∴，，
故①符合题意；
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
，
故②不符合题意；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③符合题意；
∵，G是的中点，
∴是等腰的底边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故④符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故⑤符合题意；
∴正确的结论有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
【分析】利用等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质逐项判断即可。
三、解答题（本题共7小题，满分52分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
17．（2024八上·柳州期末）分解因式：．
【答案】解：原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】利用提公因式法和完全平方公式即可对原式进行分解.
18．（2024八上·柳州期末）计算：．
【答案】解：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式分别去括号，然后合并同类项即可求解.
19．（2024八上·柳州期末）解方程：．
【答案】解：去分母得：2 x＝1 2（x 3），
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x 3≠0，
∴分式方程的解为x＝5
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边同乘以(x-3)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
20．（2024八上·柳州期末）如图，在平面直角坐标系中，已知．
（1）作出关于直线l（直线l上各点的纵坐标都是1）对称的图形，并写出，，的坐标．（　 　，　 　）；（ 　 　，　 　）；（ 　 　，　 　）．
（2）在直线l上找一点P，使得的长度最小（只要作出图形即可）；
（3）若中有一点，写出点Q在中对应点的坐标是（ 　 　，　 　）．
【答案】（1）1；；2；0；3；
（2）解：如图，点P为所作；
（3）x；
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）如图即为所求，
故答案为：1，-1，2，0，3，-2.
（3）∵点Q到直线l的距离为
∴Q1到直线l的距离也为
∴点Q1的坐标为，
故答案为：x，2-y.
【分析】（1）根据方格纸的特点及轴对称的性质得到点A、B、C的关于直线l的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即可得到所求的△A1B1C1，进而根据A1、B1、C1三点的位置读出其坐标即可；
（2）连接AB1交直线l于点P，该点P就是所求的点；
（3）由题意可知点Q到直线l的距离为则Q1到直线l的距离也为进而即可得到点Q1的坐标.
21．（2024八上·柳州期末）已知：如图，点在一条直线上，两点在直线的同侧，，，，求证：．
【答案】证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
，
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行线的性质得进而根据等量加等量和相等得BC=EF，即可利用"AAS"证明，最后根据全等三角形的对应边相等可得结论.
22．（2024八上·柳州期末）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆.求每辆B型汽车进价是多少万元？
【答案】解：设每辆B型汽车进价是x万元，那么每辆A型汽车进价是1.5x万元.
根据题意，得
解这个方程，得 .
经检验，是所列方程的解，并且符合实际问题的意义.
答：每辆B型汽车进价是10万元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设每辆B型汽车进价是x万元，那么每辆A型汽车进价是1.5x万元 ，利用数量=总价÷单价 ， 结合用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆 ，可列出关于x的分式方程，解之检验后，即可得出结论。
23．（2024八上·柳州期末）【综合与探究】新定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
理解：如图①，在中，点D，E分别是的中点，那么为的一条中位线．可得且．
应用：如图②，在中，，点D，E分别在边，上，且．点M，N，P分别是，和的中点．已知．
（1）当时，
①请直接写出：与的数量关系 ▲ ； ▲ ；
②是否存在点D，使得以P，M，N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点D的位置；若不存在，请说明理由；
（2）将绕点A旋转，当点D在内时（如图③），试说明与的数量关系，并求出的度数（用含α的式子表示）．
【答案】（1）解：①；；
②存在点D，使得以P，M，N为顶点的三角形与全等，理由如下：
连接，如图：
由①知是等腰直角三角形，
若，则，
∵，
∴，
∴，
∴D是靠近A的三等分点；
（2）解：；理由如下：
连接，，如图：
由旋转可得，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点M，N，P分别是，和的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，，，
∴
，
∵，
∴，
∵
，
∴
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）①∵
∴
∴
∵点M，N，P分别是，和的中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：90°；
【分析】（1）①根据题意得到：进而即可得到：然后根据直角三角形的量锐角互余即可求解；
②连接MN，由①得：为等腰直角三角形，若，则即可得到D是靠近A的三等分点；
（2）连接CE、BD，利用"SAS"证明，得到，，根据三角形中位线性质即可得到：进而即可得到：通过角之间的等量代换即可求解.
1 / 1广西壮族自治区柳州市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分。）
1．（2024八上·柳州期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·柳州期末）下列运算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八上·柳州期末）下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．（2024八上·柳州期末）华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·柳州期末）如图，在中，画出边上的高（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·柳州期末）若一个多边形的内角和比它的外角和大，则该多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2024八上·柳州期末）若 、 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·柳州期末）下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八上·柳州期末）如图，在中，，，平分，点E在上，把沿直线折叠，使点B落在点F处，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八上·柳州期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，利用图1可以得到，那么利用图2所得到的数学等式为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024八上·柳州期末）若分式的值为0，则的值为　 　．
12．（2024八上·柳州期末）点关于轴对称的点的坐标为　 　．
13．（2024八上·柳州期末）如图，在中，平分若则　 　．
14．（2024八上·柳州期末）已知，，则代数式的值为　 　．
15．（2024八上·柳州期末）如图，中，，以点B为圆心，的长为半径画弧交于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接交AC于点D，若，则是　 　°．
16．（2024八上·柳州期末）如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的有　 　.（填序号）
三、解答题（本题共7小题，满分52分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
17．（2024八上·柳州期末）分解因式：．
18．（2024八上·柳州期末）计算：．
19．（2024八上·柳州期末）解方程：．
20．（2024八上·柳州期末）如图，在平面直角坐标系中，已知．
（1）作出关于直线l（直线l上各点的纵坐标都是1）对称的图形，并写出，，的坐标．（　 　，　 　）；（ 　 　，　 　）；（ 　 　，　 　）．
（2）在直线l上找一点P，使得的长度最小（只要作出图形即可）；
（3）若中有一点，写出点Q在中对应点的坐标是（ 　 　，　 　）．
21．（2024八上·柳州期末）已知：如图，点在一条直线上，两点在直线的同侧，，，，求证：．
22．（2024八上·柳州期末）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆.求每辆B型汽车进价是多少万元？
23．（2024八上·柳州期末）【综合与探究】新定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
理解：如图①，在中，点D，E分别是的中点，那么为的一条中位线．可得且．
应用：如图②，在中，，点D，E分别在边，上，且．点M，N，P分别是，和的中点．已知．
（1）当时，
①请直接写出：与的数量关系 ▲ ； ▲ ；
②是否存在点D，使得以P，M，N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点D的位置；若不存在，请说明理由；
（2）将绕点A旋转，当点D在内时（如图③），试说明与的数量关系，并求出的度数（用含α的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，据此可得结果.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；负整数指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法法则即可逐一判断．
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意；
B、3+4＞5，能够组成三角形，故此选项正确，符合题意；
C、5+4＜10，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意；
D、2+6＜9，不能组成三角形，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，据此判断.
4．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】由科学记数法的表示可知， ，
故答案为：A．
【分析】根据科学记数法绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，其中 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
5．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：由题意可得：
AC边上的高为：过点B作BD⊥AC于点D
故答案为：D
【分析】根据三角形边上的高的定义即可求出答案。
6．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为n，
∴
故答案为：B.
【分析】设该多边形的边数为n，则该多边形的内角和为(n-2)×180°，而所有多边形的外角和都是360°，进而根据一个多边形的内角和比它的外角和大540°，列方程，解此方程即可求解.
7．【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解： 、 的值均扩大为原来的3倍，
变为： ，所以分式的值发生了变化，故 不符合题意；
变为： ，所以分式的值发生了变化，故 不符合题意；
变为： ，所以分式的值发生了变化，故 不符合题意；
变为： ，所以分式的值没有发生了变化，故 符合题意；
故答案为：D
【分析】根据分式的基本性质逐项求解判断即可。
8．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：A、则本项不符合题意；
B、，则本项符合题意；
C、，则本项不符合题意；
D、则本项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据因式分解中的提公因式法可判断A选项；根据因式分解法中的十字相乘法可判断B选项；根据因式分解中的完全平方公式法克判断C选项；先提取公因式x，再利用平方差公式法进行分解可判断D选项.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵平分，
∴
∵沿直线折叠，使点B落在点F处，且，
∴BD=DF
∵∴DF=CD
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质然后根据折叠的性质即可求出∠BDF的度数及DF=CD，再由等边对等角得出∠DFC=∠DCF=15°，最后根据∠EFC=∠EFD+∠DFC即可求解.
10．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：图2的面积可表示为：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）2
或a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
则有：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
故答案为：D．
【分析】观察图形2，可知此正方形的边长为（a+b+c），可以用两种不同的方法表示出此正方形的面积，据此可得答案.
11．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴
∴
故答案为：1.
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0且分母不为0，据此即可求解.
12．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点A（-3，2）关于x轴对称的点的坐标为 （-3，-2）.
故答案为：（-3，-2）.
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求得.
13．【答案】1
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作于点F，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】先求出，再利用三角形的面积公式求解即可。
14．【答案】-15
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，∵，，
∴原式==
故答案为：-15.
【分析】利用提公因式法对原式变形得到：，进而将，，代入计算即可.
15．【答案】20
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由作图可知，F点到点E和点C的距离相等，
∴F点在的垂直平分线上，
又∵，
∴垂直平分，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由图可知垂直平分，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和订立求出，同理再求出，则。
16．【答案】①③④⑤
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边的底边上的高，
∴，，
故①符合题意；
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
，
故②不符合题意；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③符合题意；
∵，G是的中点，
∴是等腰的底边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故④符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故⑤符合题意；
∴正确的结论有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
【分析】利用等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质逐项判断即可。
17．【答案】解：原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】利用提公因式法和完全平方公式即可对原式进行分解.
18．【答案】解：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式分别去括号，然后合并同类项即可求解.
19．【答案】解：去分母得：2 x＝1 2（x 3），
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x 3≠0，
∴分式方程的解为x＝5
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边同乘以(x-3)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
20．【答案】（1）1；；2；0；3；
（2）解：如图，点P为所作；
（3）x；
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）如图即为所求，
故答案为：1，-1，2，0，3，-2.
（3）∵点Q到直线l的距离为
∴Q1到直线l的距离也为
∴点Q1的坐标为，
故答案为：x，2-y.
【分析】（1）根据方格纸的特点及轴对称的性质得到点A、B、C的关于直线l的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即可得到所求的△A1B1C1，进而根据A1、B1、C1三点的位置读出其坐标即可；
（2）连接AB1交直线l于点P，该点P就是所求的点；
（3）由题意可知点Q到直线l的距离为则Q1到直线l的距离也为进而即可得到点Q1的坐标.
21．【答案】证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
，
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行线的性质得进而根据等量加等量和相等得BC=EF，即可利用"AAS"证明，最后根据全等三角形的对应边相等可得结论.
22．【答案】解：设每辆B型汽车进价是x万元，那么每辆A型汽车进价是1.5x万元.
根据题意，得
解这个方程，得 .
经检验，是所列方程的解，并且符合实际问题的意义.
答：每辆B型汽车进价是10万元.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设每辆B型汽车进价是x万元，那么每辆A型汽车进价是1.5x万元 ，利用数量=总价÷单价 ， 结合用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆 ，可列出关于x的分式方程，解之检验后，即可得出结论。
23．【答案】（1）解：①；；
②存在点D，使得以P，M，N为顶点的三角形与全等，理由如下：
连接，如图：
由①知是等腰直角三角形，
若，则，
∵，
∴，
∴，
∴D是靠近A的三等分点；
（2）解：；理由如下：
连接，，如图：
由旋转可得，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点M，N，P分别是，和的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，，，
∴
，
∵，
∴，
∵
，
∴
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）①∵
∴
∴
∵点M，N，P分别是，和的中点，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：90°；
【分析】（1）①根据题意得到：进而即可得到：然后根据直角三角形的量锐角互余即可求解；
②连接MN，由①得：为等腰直角三角形，若，则即可得到D是靠近A的三等分点；
（2）连接CE、BD，利用"SAS"证明，得到，，根据三角形中位线性质即可得到：进而即可得到：通过角之间的等量代换即可求解.
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