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13.1勾股定理及其逆定理华东师大版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知在中，、、分别是、、的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是( )
A. B.
C. ，， D.
2.下列各组数中是勾股数的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.用反证法证明“若，则，中至少有一个为”时，第一步应假设( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.若的三边，，满足，则是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
5.若，，为勾股数，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.在中，，，的对边分别为，，若，则( )
A. B. C. D.
7.如图，每个小正方形的边长为，则的三边，，的大小关系是．
A. B. C. D.
8.若一个直角三角形的两直角边的长为和，则第三边的长为( )
A. 或 B. 或 C. D.
9.一直角三角形的两直角边长分别为，，则斜边长为( )
A. B. C. D.
10.如图，在正方形和正方形中，，，三点在同一条直线上，点在边上．若，，连接，是的中点，连接，则的长是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，若，，，，则 ．
12.如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点，，是网格线的交点，则
13.如图，在单位为的正方形网格中，有三条线段，，线段端点都在格点上，以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答： 填“能”或“不能”
14.如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点落在边上的处，则折痕等于 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在网格中，每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点网格线的交点上．
填空： ______， ______， ______．
是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由．
16.本小题分
如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，且．
求证：是直角三角形；
若，：：，求的长．
17.本小题分
为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以米分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒如图，学校位于点位置，洒水车由向移动，学校与路段上的两个路口、的距离分别为，，经测量，发现在及以内的会受到音乐的影响判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响．
18.本小题分
解答：
在中，，，，求的长．
在中，，，，判断的形状，并说明理由．
19.本小题分
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点，点在格点上在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
在图中，画一个平行四边形，使它的各边长都是无理数．
20.本小题分
如图，内部有一点，且，，，，．
判断的形状；
求四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】A.，这组数不是勾股数；虽然，但是，，不是正整数，这组数不是勾股数；．，这组数不是勾股数；．，这组数是勾股数故选D答案
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】，，为勾股数，当最大时，；当最大时，，不能构成勾股数．故选 B．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线．连接、，延长交于点，根据正方形的性质得，，，，再利用勾股定理计算出，然后根据是的中点，计算的长即可．
【解答】
解：连接、，延长交于点，如图，
四边形和四边形为正方形，
，，
，
四边形为矩形，
，，
，
是的中点，
．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】解：延长交格点于，连接，
则，，
，
，
，
．
故答案为：．
延长交格点于，连接，根据勾股定理和逆定理证明，根据三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
13.【答案】能
【解析】略
14.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
是由翻折而来，
，，．
设，
在中，，，，
，
解得，
．
故答案为：．
证明是解题的关键，属于中考常考题型．首先证明，设，在中，利用勾股定理求出，再在中利用勾股定理表示出即可求解．
本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，掌握其相关知识点是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由网格得，，，，
故答案为：，，；
是直角三角形，理由如下：
由知，，，，
，，
，
是直角三角形．
利用勾股定理计算即可；
利用勾股定理的逆定理判断即可；
本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知识是解题的关键．
16.【答案】证明：连接，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
是直角三角形，且；
是直角三角形；

【解析】证明：连接，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
是直角三角形，且；
是直角三角形；
解：设，，则，，
在中，，
在中，，
，
解得：负值舍去，
，
．
连接，利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用勾股定理逆定理可得结论；
设，，则，，首先确定的长，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
本题主要考查勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理、线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
17.【答案】学校会受到影响，受分钟影响．
【解析】解：在中，，，，
，，
，
，
．
过点作于点，如图所示，
，
，
，
学校会受到影响．
设直线上点，到点的距离为，连接，，
在中，，，
，
同理：，
，
分钟．
答：学校会受到影响，受分钟影响．
在中，由，可得出，过点作于点，利用面积法，可求出的长，由该值小于，学校会受到影响，设直线上点，到点的距离为，连接，，利用勾股定理，可求出，的长，结合，可求出的长，再利用时间路程速度，即可求出学校受影响的时长．
本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及三角形的面积，利用勾股定理，求出学校会受到影响区域线段的长度是解题的关键．
18.【答案】【小题】
解：中，，，，
；
【小题】
解：是直角三角形，理由：
，，，
，
，
，
是直角三角形．

【解析】
本题考查了勾股定理及逆定理，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．
根据勾股定理直接解答即可；

根据勾股定理的逆定理解答即可．
19.【答案】如图，直角三角形即为所求答案不唯一．
如图，平行四边形即为所求答案不唯一．

【解析】利用网格结合勾股定理以及勾股定理的逆定理，画三边长分别为，，的直角三角形即可．
结合平行四边形的判定与性质以及无理数的定义画图即可．
本题考查作图应用与设计作图、无理数、勾股定理、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：，，．
在中，根据勾股定理得：，
，，
，，
，
根据勾股定理逆定理可知，是直角三角形；
图形的面积为：
，
则四边形面积为．
【解析】在中，，，可求；在中，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形；
利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．
本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法，关键是根据勾股定理的逆定理解答．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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