资源简介

(共25张PPT)
青岛版数学 八年级上册
5.1 勾股定理及其逆定理
课时1 勾股定理
第5章 勾股定理与实数
1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系.
2.能够运用勾股定理进行简单的计算.
第14届国际数学教育大会会标中心的图案,是依据汉末三国初数学家赵爽(生卒年不详)的弦图创作的.
它是由什么图形组成的？
蕴含着怎样的数学知识？
剪四个全等的直角三角形,拼一拼,拼出图所示的图形.判断这个图形中四个全等的直角三角形围成的大四边形和中间小四边形的形状,并说明理由.
两个四边形都是正方形.
因为它们各自的边相等,四个角都为直角.
探究一 勾股定理
观察与发现
（1）这两个正方形的面积怎样表示 它们有什么关系
思考与交流
设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c.观察下图,
（2）从中你能发现直角三角形的三边a,b,c之间有什么关系吗
（1）大、小正方形的边长分别为 c 和 b-a,
它们的面积分别为 c2 和(b-a)2.
∴a2+b2=c2.
（2）直角三角形的三边a,b,c之间有：
a2+b2=c2.
由图可知c2=(b-a)2+4× ab,
利用手中四个全等的直角三角形纸片
（1）你还能拼出其它不同的正方形吗 试一试.
（2）能用拼出的图形说明：a2+b2=c2 吗
思考与交流
设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c.
b
a
c
探究一 勾股定理
（1）拼出的正方形如图所示
（2）大、小正方形的边长分别为 a+b 和 c,
（a+b）2 =c2+4× ab
∴a2+b2=c2.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理：
A
B
C
a
b
c
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
概括与表达
a2+b2=c2.
在RtABC中，∠C=90°，
由勾股定理，得a2+b2=c2.
勾
股
勾
股
弦
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
探究一 勾股定理
解:在△ABC中,∠C=90°,由勾股定理,
得a2+b2=c2.
例1、在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b, c
(1)若a=8,b=6,求c;
(2)若c=25,b=15,求a;
(3)若a:b=3:4,c = 15,求a和b.
∵c=15,∴ 5x = 15,
∴x=3.
∴a=3x=3×3=9,
b=4x=4×3=12.
(1)∵a=8，b= 6,
∴c2=a2+b2=82+62=100,
∴c=10.
(2)∵c=25，b=15,
∴a2=c2-b2=252-152=400,
∴a=20.
(3)设a=3x,b=4x(x>0),
∴c2=a2+b2=(3x) +(4x)
=25x2,
∴c=5x.
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是边BC上一点，若AC＝5，AB＝13，CD＝4，则BD的长是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
C
利用勾股定理,可以证明 “斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”(HL).
探究二 证明“HL”
思考与交流
已知，如图,在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,BC=B'C',AB=A'B',
证明:△ABC≌△A'B'C'.
证明:在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中,
由勾股定理,得
AB2=BC2+AC2,A'B'2=B'C'2+A'C'2.
∵BC=B'C',AB=A'B',
∴AC2=A'C'2.∴AC=A'C'.
在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中,
BC=B'C',
AB=A'B',
AC=A'C',
所以△ABC≌△A'B'C'(SSS).
解:如图,过点A作AD⊥BC,则∠ADB=90°.
例2、在△ABC 中,BC=6,AB=AC=5.求△ABC 的面积.
A
B
C
D
AD2=AB2-BD2=52-32=16.
∵AB=AC,BC=6,
∴BD=BC=3.
在Rt△ABD 中,∠ADB=90°,
AB=5,BD=3.由勾股定理,得
∴AD=4.
∴S△ABC= BC·AD= ×6×4=12,
即△ABC 的面积为12.
大意为:如图,有一个边长为10尺的正方形水池,在水池正中间有一根芦苇AD,它高出水面1尺,即CD 为1尺.如果将这根芦苇从顶端牵引到池边中点B 处,它的顶端刚好到达岸边的水面,问这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少.
例3、《九章算术》中记载了一个有趣的数学问题:
今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何.
解方程,得x=12.
解:设水池的水深为x尺,则这根芦苇的长度为(x+1)尺.即AC=x,AD=x+1.
在Rt△ABC 中,BC=5,AB=AD=x+1.
由勾股定理,得
BC2+AC2=AB2,即 52+x2=(x+1)2.
∴ x+1=13.
∴这个水池的水深为12尺,这根芦苇的长度为13尺.
2.已知直角三角形两边的长分别是3和4,求第三边长的平方.
解:分两种情况：
①当3和4为直角边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；
②4为斜边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方=42-32=7；
综上所述：第三边长的平方是25或7.
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果用a，b和c分别表示直角三角形
的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.
A
B
C
a
b
c
文字语言
符号语言
1.选择题
（1）放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东方向和南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为 （ ）
A、600米 B、800米 C、1000米 D、不能确定
C
D
（2）直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（ ）
A、6厘米 B、 8厘米 C、 厘米； D、 厘米；
12
13
25
A
O
8米
6米
B
10米
2.填空题
（1）如右图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为（ ）.
（2）如图，从电线杆的顶端A点，扯一根钢丝绳固定在地面上的B点，这根钢丝绳的长度是（ ） .
3.如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度DE＝5 cm，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度BF＝7 cm，且与摆锤在最低点时的水平距离为BC＝10 cm，求钟摆AD的长度．
解：由题意可知AD＝AB，CE＝BF＝7 cm，
所以CD＝CE－DE＝7－5＝2(cm)，
设AB＝x cm，
则AC＝AD－CD＝(x－2) cm，
因为∠ACB＝90°，
所以AB2＝AC2＋BC2，即x2＝(x－2)2＋102，
解得x＝26.
答：钟摆AD的长度为26 cm.

展开更多......

收起↑