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青岛版数学 八年级上册
5.2 算术平方根
第5章 勾股定理与实数
1.了解算术平方根的意义，会用根号表示一个非负数的算术平方根，会用平方运算求某些非负数的算术平方根.
2.经历从平方运算到求算术平方根的演变过程，体会二者的互逆关系.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.勾股定理：
直角三角形的性质：
1.直角三角形的两个锐角互余；
在RtABC中，∠C=90°，由勾股定理，得a2+b2=c2.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
3.勾股定理的逆定理：
A
B
C
在△ABC 中
几何语言：
∵a2+b2=c2
∴△ABC 是直角三角形
已知直角三角形两边的长分别是3和4,求第三边的长.
解:当第三边是斜边时,第三边长的平方为32+42=25;
∴第三边长是5
当第三边为直角边时,第三边长的平方为42-32=7.
哪个数的平方等于7？如何求出这个数？
已知正方形的边长，利用平方运算可求得它的面积.反过来，已知正方形的面积，如何求它的边长？请同学们独立完成下列表格
探究一 算术平方根的意义
观察与发现
你是怎样求出来的？与同学交流.
上面运算的实质就是已知一个正数的平方，求这个数.
归纳与总结
算术平方根的定义：
如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x 叫作a的算术平方根.
a的算术平方根记作
读作“根号a”.
算术平方根
读作：根号
被开方数
概念的理解
如果x2=7(x>0)，那么x叫作 的算术平方根，即x= .
2的算术平方根记作 ，3的算术平方根记作 .
例如,因为22=4,所以2是4的算术平方根,即 =2.
因为52=25,所以 是 的算术平方根,即 = .
5
5
25
7
任何数都有算术平方根吗
思考与交流
如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x 叫作a的算术平方根.
a＞0
特别规定：0的算术平方根是0，即=0
只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根;
因为任何数的平方都不是负数,所以负数没有算术平方根.
正数有一个正的算术平方根,
0的算术平方根是0,
负数没有算术平方根.
概括与表达
算术平方根等于它本身的数只有0 和1.
（1）4的算术平方根记作______,是______；
（2）81的算术平方根记作______，是______；
（3）的算术平方根记作______，是______；
（4）的算术平方根记作 ，是 ；
（5） 0.04的算术平方根记作_____，是______.
2
9
0.2
3
探究一 算术平方根的意义
例1、 求下列各数的算术平方根：
(1)1； (2) 100； (3) 0.36； (4) .
(2) ∵102＝100，∴100的算术平方根＝10；
(3) ∵0.620.36，∴ 0.36的算术平方根＝0.6；
解：(1)∵12＝1，∴1的算术平方根＝1；
(4) ∵ ，∴ 的算术平方根＝；
一个正数算术平方根的求法
1、定义法：
如果某个有理数的平方等于这个正数，那么这个正数的算术平方根就是某个有理数.
2、符号法：
如果 没有有理数的平方等于这个正数时,那么这个正数的算术平方根就用 表示.
例2、已知一个圆形花坛的面积是64π m2,它的半径是多少
解:设圆形花坛的半径为x m.根据题意,得
由算术平方根的意义可知x= =8.
πx2=64π,所以x2=64.
所以,圆形花坛的半径为8m.
表示的意义具有双重性，既可表示运算，即求a的算术平方根.
也可表示运算结果，即a的算术平方根.
1.具有什么特性？
①被开方数a是非负数，即a≥0;
②算术平方根是非负数，即≥0.
思考与交流
具有双重非负性:
探究二 算术平方根的性质
2.根据算术平方根的定义，，分别等于多少？你能得到什么结论？
解：根据算术平方根的定义，得，
a (a≥0)．
- a (a≤0)．
3.根据算术平方根的定义，，分别等于多少？
有意义吗？
解：根据算术平方根的定义，得，.
没有意义.
你有什么猜想？你能说明理由吗？
猜想：()2a(a≥0)．
理由如下：根据算术平方根的定义，如果x2＝a (a≥0)，
那么x＝(a≥0)，把x＝代入得，()2＝a (a≥0).
4.()2，的区别与联系：
区 别 运算 顺序
a的取值范围
联系 先求算术平方
根，再平方
先平方，再求算
术平方根
a ≥ 0
任何数
当a ≥ 0 时，()2＝
填空：
（1）________； （2）________；
（3）________； （4）________．
9
5
5
规定：0的算术平方根是0.
一般地，如果一个正数x 的平方等于a, 即x2=a,那么这个正数x 叫做a的算术平方根.
a的算术平方根记为 , 读作: “根号a”，
1.双重非负性：
2.一个非负数的算术平方根的平方是它本身：
1. 的算术平方根是( )
A
A. B. C.3 D.
2.已知的算术平方根是3，，则 的算术平方根是 .
9
3.求下列各数的算术平方根：
解：∵ 92＝81，∴81的算术平方根＝9；
0的算术平方根＝0；
∵ ＝，∴ 2的算术平方根＝；
81， 0，2 ，106，0.81 ．
∵，∴ 的算术平方根；
∵ 0.92＝0.81，∴0.81的算术平方根＝0.9．
4.若，则以， 为边长的等腰三角形的周长为________.
11或13

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