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青岛版数学 八年级上册
5.1 勾股定理及其逆定理
课时2 勾股定理的逆定理
第5章 勾股定理与实数
1.探索并证明勾股定理的逆定理. （重点）
2.能运用勾股定理的逆定理判断已知三边长度的三角形是不是直角三角形. （难点）
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.勾股定理：
直角三角形的性质有哪些？
1.直角三角形的两个锐角互余；
在RtABC中，∠C=90°，由勾股定理，得a2+b2=c2.
直角三角形的判定方法有哪些？
1.直角三角形的定义：
2.直角三角形的判定定理：
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；
有两个角互余的三角形是直角三角形；
还有其他方法吗？
探究一 勾股定理的逆定理
观察与发现
勾股定理的逆命题是什么 它是真命题吗
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
逆命题
如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
是真命题.
如何证明？
已知△ABC 的三边长分别为AC=3,BC=4,AB=5.验证三边长是否满足 a2+b2=c2
∵AC 2+BC 2
= 32+42
=9+16
=25
AB 2
=52
=25
∴AC 2+BC 2
=AB2
∴△ABC的三边长满足 a2+b2=c2
符合a2+b2=c2
的三角形是直角三角形？
用尺规作图的方法作出△ABC,观察它是怎样的三角形.
已知△ABC 的三边长分别为AC=3,BC=4,AB=5.验证三边长是否满足 a2+b2=c2
A
B
C
是直角三角形.
已知△ABC 的三边长分别为AC=5,BC=12,AB=13.验证三边长是否满足 a2+b2=c2 它是怎样的三角形 你可以从中得到什么结论
∵AC 2+BC 2
= 52+122
=25+144
=169
AB 2
=132
=169
∴AC 2+BC 2
=AB 2
∴△ABC的三边长满足 a2+b2=c2
是直角三角形.
即如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
当三角形的三边长满足 a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
思考与交流
一般地，如果△ABC 的三边长a,b,c.满足 a2+b2=c2 它是直角三角形吗 为什么
探究一 勾股定理的逆定理
另作一个Rt△A'B'C',
所以∠C=∠C'=90°.
所以,△ABC 是直角三角形.
使得∠C'=90°,A'C'=b,B'C'=a.
我们可以通过证明△A'B'C'≌△ABC,
概括与表达
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理：
A
B
C
在△ABC 中
几何语言：
∵a2+b2=c2
∴△ABC 是直角三角形
如何确定哪个角
为直角呢
勾股定理与其逆定理的关系
类别 勾股定理 勾股定理的逆定理
条件
结论
区别
联系 在△ABC中,∠C=90°
在△ABC 中，a2+b2=c2
a2+b2=c2
△ABC 是直角三角形
以“一个三角形是直角三角形”条件，得到数量关系“a2+b2=c2 ”结论,即由“形”到“数”
以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2 ”为条件,得到“这个三角形是直角三角形”,即由“数”到“形”
两者都与三角形的三边有关系
例1、已知三角形三条边的长分别是:
(1)2,3,4； (2)3x,4x,5x(x>0).
分别判断它们是否为直角三角形.
解:(1)在边长为2,3,4的三角形中,4是最大边长.
∵22+32=13≠42,
∴该三角形不是直角三角形.
(2) 在边长为3x,4x,5x(x>0)的三角形中,5x是最大边长.
∵(3x)2+(4x)2=9x2+16x2=25x2=(5x)2,
∴该三角形是直角三角形.
勾股定理
的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形
1.以下列各组数为三边长的三角形中，是直角三角形的有（ ）
① 3，4，5； ② 1，2，4；
③ 32，42，52； 　 ④ 6，8，10
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个　　　
B
2.三角形的三边分别是a，b，c，且满足等式(a+b)2-c2=2ab，则此三角形是 ( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
A
3. 如图，图中哪些是直角三角形？哪些不是？
解：④⑤是直角三角形，因为三边满足勾股定理的逆定理.①②③⑥不是直角三角形.

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