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第5章 勾股定理与实数
5.5 立方根
青岛版数学 八年级上册
1.了解立方根的概念、表示及性质.
2.了解开立方运算的含义，知道立方与开立方互为逆运算.
3.会用立方运算求百以内整数的立方根.
1.平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a,即，那么叫作 的平方根， 也称为二次方根.
a 的平方根表示为：
（a≥0）
x2=a
x叫作a的平方根
求一个数a(a≥0)的平方根的运算叫作开平方.
2.开平方的定义
通过研究正方形边长与面积的关系,我们学会了如何求一个正数的算术平方根,进而学会了开平方运算.
那么研究正方体的棱长与体积的关系,又会有什么新的发现呢
探究一 立方根的意义
观察与发现
(1)一个正方体的体积是8cm3,它的棱长是多少
(2)如果一个数的立方是64,这个数是多少
(3)有没有一个数的立方是-27 这样的数有几个
解:(1)设正方体的棱长是x cm，由题意得 x3=8
(2)设这个数是y,由题意得 y3=64
(3)有.设这个的数为z，由题意得z3=-27.
上面运算的实质都是已知一个数的立方，求这个数.
类比平方根，这个数叫作什么呢？
x3=8，
y3=64
z3=-27
你能求出未知数的值吗？
你是怎样求出来的？与同学交流.
一般地，如果一个数的立方等于a,，那么叫作 的立方根，也称为三次方根.
x3=a
x叫作a的立方根
23 =8
2是8的立方根
（-3）3 =-27
-3是-27的立方根
立方根的概念
例1、根据立方根的意义填空.
立方根等于本身的数有0，±1.
（1）因为 13=1，所以 1 的立方根是 ( )；
（2）因为( )3=0.064，所以 0.064 的立方根是( )；
（3）因为( )3= -8，所以 -8 的立方根是 ( )；
（4）因为( )3= -1，所以 -1的立方根是 ( )；
（5）因为( )3=0，所以 0 的立方根是 ( )；
1
0.4
0.4
-2
-2
-1
-1
0
0
1.说出下列各数的立方根:
(1)2； (2)-8；(3)-0.001；(4)216.
解：
(1)2的立方根为 ；
(2)-8的立方根为 =-2；
(3)-0.001的立方根为=-0.1；
(4)216的立方根为=6 .
探究二 立方根的性质
思考与交流
任意一个数都有立方根吗 有几个 有什么特点
因为一个正数的立方是一个正数,
所以一个正数的立方根是一个正数.
因为一个负数的立方是一个负数,
所以一个负数的立方根是一个负数.
0的立方是0,所以0的立方根是0.
①正数的立方根是一个正数，
的立方根是0；
③负数的立方根是一个负数.
概括与表达
任何一个数都有唯一的一个立方根，
且立方根的符号与原数符号保持一致.
立方根的性质
1.判断下列说法是否正确,并说明理由:
(1)-4没有立方根;
(2)1的立方根是±1;
(3)-5的立方根是
(4)0的立方根是0.
(1)错
(2)错
(3)正确
(4)正确
被开方数
读作“三次根号a ”.
数 a 的立方根表示为：
0的立方根记为 =0 .
如何表示一个数的立方根呢？
探究三 立方根的表示
思考与交流
根指数
思考：根指数的 3 能不能省略，为什么？
探究四 开立方根的定义
求一个数的立方根的运算叫作开立方.
立方运算与开立方运算互为逆运算.
例2、求下列各数的立方根:
(1)1000; (2)-64; (3); (4)-0.125 .
解:(1)∵103=1000,
∴1000的立方根是10,
即=10 .
(2)∵（-4）3=-64,
∴-64的立方根是-4,
即=-4 .
(3)∵（）3=,
∴的立方根是,
即= .
(4)∵（-0.5）3=-0.125
∴-0.125的立方根是-0.5,
即=-0.5 .
从例1的(2)(4)可以看出:
= -
= -，从中你能得到什么结论？
一般而言,如果a>0,那么= -
也就是说,求一个负数的立方根,可以先求这个负数的绝对值的立方根,再取相反数.
例3、已知a=.
(1)a在哪两个连续的整数之间
(2)用计算器求a的近似值(结果精确到0.001).
解:(1)∵13<5<23,
∴1<<2.
∴a在1和2之间.
(2)在计算器上,依次按键 ,
可以得到=1.709975946…
∴≈1.710 .
是一个无限不循环小数,也是一个无理数.
，，，，......开方开不尽的都是无理数.
例4、求下列各式的值:
(1)()3;
(2) -
（3）
解：(1)()3=5
（3）
=-2+2=0
(2) -
= - =
=
例5、(1)求 ,,的值;
(2)求()3,)3,()3 的值;
(3)对比(1)(2)的计算结果,你有什么发现
解：(1) =0,=-1，=3
(2)()3=0，)3=-1，()3=3
(3) =()3=a
想一想:在绝对值不大于1000的整数中,哪些数的立方根仍然是整数
探究与挑战
答:这些数是
±1000,±729,±512,±343,±216,±125,±64，±27，±8，±1，0.
思考：本节课你学到什么？
立方根
概念
0的平方根是它本身；
性质
负数有一个负的平方根.
正数有一个正的平方根;
1. 判断正误:
(1) 的立方根是 ；
(2)互为相反数的立方根互为相反数；
(3)任何数的立方根只有一个；
(4)如果一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1；
(5)如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零；
(6)一个数的立方根不是正数就是负数.
(×)
(×)
(×)
(×)
(√)
(√)
C
D
2.下列各式中，正确的是（　　）
A. B. C. D.
3.已知 ，那么 (a+b)2020的立方根为（　　）
A. 0 B.-1 C. 1 D.±1
4.用有理数估计下列各数的立方根的范围（精确到0.1）.
(1) 35； (2)-95 .
解：（1）∵33＜35＜43，3.23＜35＜3.33，∴3.2＜ ＜3.3 .
精确到0.1的不足近似值是3.2，过剩近似值是3.3 .
（2）∵43＜95＜53，4.53＜95＜4.63，∴4.5＜ ＜4.6 .
精确到0.1的不足近似值是4.5，过剩近似值是4.6 .
∴ 精确到0.1的不足近似值是-4.6，过剩近似值是-4.5 .
∴-4.6＜ ＜-4.5 .

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